正态分布

(共27张PPT)
2.4正态分布
复习
100个产品尺寸的频率分布直方图
25.235
25.295
25.355
25.415
25.475
25.535
产品
尺寸
（mm)
频率
组距
复习
200个产品尺寸的频率分布直方图
25.235
25.295
25.355
25.415
25.475
25.535
产品
尺寸
（mm)
频率
组距
复习
样本容量增大时
频率分布直方图
频率
组距
产品
尺寸
(mm)
总体密度曲线
复习
产品
尺寸
(mm)
总体密度曲线
导入
产品尺寸的总体密度曲线
就是或近似地是以下函数的图象：
钟形曲线近似于以下函数的图象：
正态曲线的定义
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，我们称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
X落在区间(a,b]的概率为:
a
b
X
Y
正态分布的定义
如果对于任何实数 a则称随机变量X服从正态分布.
正态分布由参数 唯一确定.
如果随机变量X服从正态分布，则记作
参数 是随机变量X的标准差.
参数 是随机变量X的均值.
μ的意义
x1
x2
总体平均数反映总体随机变量的
平均水平
x3
x4
平均数
X= μ
总体平均数反映总体随机变量的
平均水平
总体标准差反映总体随机变量的
集中与分散的程度
平均数
σ的意义
x1
x2
总体平均数反映总体随机变量的
平均水平
总体标准差反映总体随机变量的
集中与分散的程度
平均数
x1
x2
总体平均数反映总体随机变量的
平均水平
总体标准差反映总体随机变量的
集中与分散的程度
平均数
正态总体的函数表示式
当μ= 0，σ=1时
标准正态总体
在实际生活生产中许多随机现象都服从或近似服从正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；
在测量中，测量结果；
在生物学中，同一群体的某一特征；……；
在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位；
经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.
（1）当 = 时,函数值为最大.
(3) 的图象关于 对称.
（2） 的值域为
（4）当 ∈ 时 为增函数.
当 ∈ 时 为减函数.
正态总体的函数表示式
μ
（－∞，μ]
（μ，+∞）
=μ
2 正态曲线
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
μ= -1
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
μ=0
σ=1
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
σ=2
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
μ= -1
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
μ=0
σ=1
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
σ=2
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
3 正态曲线的性质
（4）曲线与x轴之间的面积为1
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
3 正态曲线的性质
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
μ= -1
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
μ=0
σ=1
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
σ=2
（5）当 x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降.
并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以X轴为渐近线，
向它无限靠近.
当σ 一定时，正态曲线的位置由μ确定，
曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
3 正态曲线的性质
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
特殊区间的概率:
μ-a
μ+a
x=μ
若　　　　　　,则
3σ原则
　　正态总体几乎总取值于区间 之内,而在此区间以外取值的概率只有0.26％,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量只取 之间的值，并称为3σ原则．
归纳小结
1 正态总体函数解析式：
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
μ= -1
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
μ=0
σ=1
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
σ=2
2 正态曲线
归纳小结
3 正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ时位于最高点.
（4）当 x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降.
并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，
向它无限靠近.
(5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .
σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
谢谢大家