数列课堂复习
图片预览
文档简介
《数列》课堂复习
一、等差数列
1、定义：
2、通项公式：
（已知任意两项可求其公差）
一次函数形式：
3、前项和：
二次函数形式：（无常数项）
4、等差中项： 成等差数列
（等差数列当中：）
5、性质：
（1）若公差，则为递增等差数列；
若公差，则为递减等差数列；
若公差，则为常数列。
（2）当时,则有，
特别地，当时，则有.
（此性质可推广到有限项）
（3） ，…也成等差数列，公差为
（4）仍为等差数列
（5）也成等差数列
（6）是一个等差数列（）
（7）等差，则仍为等差数列
（8）若等差数列、的前和分别为、，
则.
（9）当为奇数时，
（其中为中间项）；；
当为偶数时，
(其中为中间两项)；
6、判断等差数列的方法：
（1）定义：【证明等差数列常用此法】
（2）通项公式法：
（3）求和公式法：（无常数项）
（4）等差中项法：等差数列
7、等差数列的设值技巧：若三个数成等差，可设为；
若四个数成等差，可设为
8、前项和的最值求法：
（1）转折项法：;
（2）二次函数法：通过配方，求出n
二、等比数列
1、定义：其中或
2、通项公式： （其中）
3、前项和：
【注意】在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解
4、等比中项： 成等比数列
（ 数列当中）
5、性质：
（1）若，则为递增数列；
若, 则为递减数列；
若 ，则为递减数列；
若, 则为递增数列；
若，则为摆动数列；
若，则为常数列.
（2）当时，则有，
特别地，当时，则有
（可推广到有限项）
（3）数列 ，…也是等比数列
（4）是项数相同等比数列，公比分别是
则
（5）若成等比数列，则是等差数列
（6）若成等差数列，则时等比数列
（7）若等比数列有2n项，则；
若有2n-1项，则？？？？？
（8）也成等比数列
（9）如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列
6、判断等比数列的方法：（类比等差数列）
7、等比数列的设值技巧：（类比等差数列）
三、通项公式的求法
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式
⑵已知（即）求，
用作差法：
如：①数列满足，求
②已知的前项和满足，求
【注意】（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；
（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。
如：数列满足，求；
（3）已知求，
用作商法：。
如：数列中，对所有的都有
，则______
（4）已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。
A、形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。
如：①已知，求；
②已知，求；
B、形如的递推数列都可以用倒数法求通项。
如：①已知，求；
②已知数列满足=1，，求
（5）若求，用累加法
如：已知数列满足，，
则=________ ；
（6）已知求，用累乘法
如：已知数列中，，若，求
四、数列求和问题
1、公式法：①等差数列求和公式；
②等比数列求和公式，
【注意】运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.
③常用公式：，
如：等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，
则＝_____ ；
2、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
如：求和
3、倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前项和公式的推导方法）.
如： 已知，则
＝______；
4、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前项和公式的推导方法）.
如：设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；
②求数列的通项公式.；
5、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.
常用裂项形式有：
①； ②；
③； ④
如①求和：
；
②在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_ ；
一、等差数列
1、定义：
2、通项公式：
（已知任意两项可求其公差）
一次函数形式：
3、前项和：
二次函数形式：（无常数项）
4、等差中项： 成等差数列
（等差数列当中：）
5、性质：
（1）若公差，则为递增等差数列；
若公差，则为递减等差数列；
若公差，则为常数列。
（2）当时,则有，
特别地，当时，则有.
（此性质可推广到有限项）
（3） ，…也成等差数列，公差为
（4）仍为等差数列
（5）也成等差数列
（6）是一个等差数列（）
（7）等差，则仍为等差数列
（8）若等差数列、的前和分别为、，
则.
（9）当为奇数时，
（其中为中间项）；；
当为偶数时，
(其中为中间两项)；
6、判断等差数列的方法：
（1）定义：【证明等差数列常用此法】
（2）通项公式法：
（3）求和公式法：（无常数项）
（4）等差中项法：等差数列
7、等差数列的设值技巧：若三个数成等差，可设为；
若四个数成等差，可设为
8、前项和的最值求法：
（1）转折项法：;
（2）二次函数法：通过配方，求出n
二、等比数列
1、定义：其中或
2、通项公式： （其中）
3、前项和：
【注意】在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解
4、等比中项： 成等比数列
（ 数列当中）
5、性质：
（1）若，则为递增数列；
若, 则为递减数列；
若 ，则为递减数列；
若, 则为递增数列；
若，则为摆动数列；
若，则为常数列.
（2）当时，则有，
特别地，当时，则有
（可推广到有限项）
（3）数列 ，…也是等比数列
（4）是项数相同等比数列，公比分别是
则
（5）若成等比数列，则是等差数列
（6）若成等差数列，则时等比数列
（7）若等比数列有2n项，则；
若有2n-1项，则？？？？？
（8）也成等比数列
（9）如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列
6、判断等比数列的方法：（类比等差数列）
7、等比数列的设值技巧：（类比等差数列）
三、通项公式的求法
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式
⑵已知（即）求，
用作差法：
如：①数列满足，求
②已知的前项和满足，求
【注意】（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；
（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。
如：数列满足，求；
（3）已知求，
用作商法：。
如：数列中，对所有的都有
，则______
（4）已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。
A、形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。
如：①已知，求；
②已知，求；
B、形如的递推数列都可以用倒数法求通项。
如：①已知，求；
②已知数列满足=1，，求
（5）若求，用累加法
如：已知数列满足，，
则=________ ；
（6）已知求，用累乘法
如：已知数列中，，若，求
四、数列求和问题
1、公式法：①等差数列求和公式；
②等比数列求和公式，
【注意】运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.
③常用公式：，
如：等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，
则＝_____ ；
2、分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
如：求和
3、倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前项和公式的推导方法）.
如： 已知，则
＝______；
4、错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前项和公式的推导方法）.
如：设为等比数列，，已知，，①求数列的首项和公比；
②求数列的通项公式.；
5、裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.
常用裂项形式有：
①； ②；
③； ④
如①求和：
；
②在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_ ；