2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(难点)2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点)
1.通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学核心素养．2．通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学核心素养．
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．
思考：一个平面能否把空间分成两部分？
[提示] 因为平面是无限延展的，所以一个平面能把空间分成两部分．
2．平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°角，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.
① ②
3．平面的表示法
上图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．
4．平面的基本性质
公理
内容
图形
符号
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
公理2
过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，P∈β?α∩β＝l且P∈l
思考：经过空间任意三点能确定一个平面吗？
[提示] 不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面．
1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是( )
A．A∈l，l?α
B．A∈l，l?α
C．A?l，l?α
D．A?l，l?α
[答案] B
2．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A．平面MN
B．平面NQP
C．平面α
D．平面MNPQ
A [表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP，选A.]
3．任意三点可确定平面的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．1或无数个
D [当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面．]
4．将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言表示．
α∩β＝l，A∈l，AB?α，AC?β.
[解] 文字语言叙述：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内．
图形语言表示(如图所示).
立体几何三种语言的相互转化
【例1】 用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图．
三种语言的转换方法：
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义.
如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”．
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
1．用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
[解] (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①.
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图②.
点线共面问题
【例2】 如图，已知：a
?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ?α.
[证明] ∵PQ∥a，∴PQ
与
a
确定一个平面β.
∴直线a?β，点
P∈β.
∵P∈b，b?α，∴P∈α.
又∵a?α，∴α与β重合．∴PQ?α.
解决点线共面问题的基本方法：
2．求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．
[解] 已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C.
求证：直线AB，BC，AC共面．
证明：法一：因为AC∩AB＝A，所以直线AB，AC可确定一个平面α.
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈α，C∈α，故BC?α.
因此直线AB，BC，AC都在平面α内，
所以直线AB，BC，AC共面．
法二：因为A不在直线BC上，
所以点A和直线BC可确定一个平面α.
因为B∈BC，所以B∈α，又A∈α，所以AB?α.同理AC?α，故直线AB，BC，AC共面．
法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，
所以A，B，C三点可以确定一个平面α.
因为A∈α，B∈α，所以AB?α，
同理BC?α，AC?α，
故直线AB，BC，AC共面．
点共线、线共点问题
[探究问题]
1．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？
[提示] 如图，连接BD1，
∵A1C∩平面ABC1D1＝E，
∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
∵A1C?平面A1BCD1，
∴E∈平面A1BCD1.
2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？
[提示] 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．
【例3】 如图，已知平面α，
β，
且α∩β＝l.
设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α，CD?β.
求证：AB，CD，l共点(相交于一点).
思路探究：→→
→
[证明] 因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.
所以AB，CD必定相交于一点.
设AB∩CD＝M.
又因为AB?α，CD?β，所以M∈α，M∈β.
所以M∈α∩β.
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
即AB，CD，l共点(相交于一点).
本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD、AB、BC、CD上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
[证明] 若EF、GH交于一点P，
则E，F，G，H四点共面，
又因为EF?平面ABD，GH?平面CBD，
平面ABD∩平面CBD＝BD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
由公理3可得P∈BD.
所以点P在直线BD上.
1．证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知，这些点都在两个平面的交线上．
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
2．证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点；
(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．
1．立体几何的三种语言
图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言，要准确实现这三种语言的相互转换．
2．三个公理的作用
公理1——判定直线在平面内的依据；
公理2——判定点共面、线共面的依据；
公理3——判定点共线、线共点的依据．
3．证明几点共线的方法：首先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点.
或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上．
1．有以下结论：
①平面是处处平的面；
②平面是无限延展的；
③平面的形状是平行四边形；
④一个平面的厚度可以是0.001
cm.
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的．故选B.]
2．在空间中，可以确定一个平面的条件是( )
A．两两相交的三条直线
B.三条直线其中的一条直线与另外两条分别相交
C.三个点
D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
D [三条直线若交于同一点，可以有多个平面，共线的三个点可以有多个平面，这里三条两两相交且不共点的直线确定一个平面．故应选D.]
3．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( )
A．A?a，a?α，B∈α
B．A∈a，a?α，B∈α
C．A?a，a∈α，B?α
D．A∈a，a∈α，B∈α
B [点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a?α，B∈α.]
4．如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，求证：点P在直线DE上．
[证明] 因为P∈AB，AB?平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，
所以P∈直线DE.
所以点P在直线DE上.
PAGE2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.会判断空间两直线的位置关系．(易错点)2.理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．(难点、易错点)3.能用公理4解决一些简单的相关问题.
(重点)
1.通过对空间直线位置关系的学习，培养直观想象的数学核心素养；2.通过求异面直线所成角及公理4的运用，培养逻辑推理、直观想象的数学核心素养．
1．空间直线的位置关系
(1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线．
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．
① ②
(3)空间两条直线的三种位置关系
①从是否有公共点的角度来分：
②从是否共面的角度来分：
思考：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
[提示] 不一定.
可能平行、相交或异面．
2．公理4及定理
(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示：a∥b，b∥c?a∥c．
(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
(2)范围：0°＜θ≤90°．特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b．
1．空间任意两个角α，β，且α与β的两边对应平行，α＝60°，则β为( )
A．60° B．120° C．30° D．60°或120°
D [α与β相等或互补，β为60°或120°，故选D.]
2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )
A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
D [平行直线和异面直线都没有公共点，故应选D.]
3．如图所示，正方体ABCD?A′B′C′D′中，异面直线A′B′与BC所成的角为________．异面直线AD′与BC所成的角为________．
90° 45° [∵BC∥B′C′，
∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，∴∠A′B′C′＝90°，又BC∥AD，∴∠D′AD是异面直线AD′与BC所成的角，∴∠D′AD＝45°.]
空间两条直线位置关系的判定
【例1】 (1)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为
( )
A.1 B．2 C．3 D．4
C [还原的正方体如图所示，是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.]
(2)以下选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是( )
A B C D
C [本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.]
1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍：
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.
2．判定两条直线是异面直线的方法：
(1)证明两条直线既不平行又不相交．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这
个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A?α，B∈α，B?l，l?α，则AB与l是异面直线(如图).
1．(1)一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是( )
A．平行或异面
B．相交或异面
C．异面
D．相交
(2)在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF的位置关系为( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．以上均有可能
(1)B (2)B [(1)假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)；因此c与b可能相交或异面．
(2)根据题意画出图形如图，BE与点C在平面ABC内，且BE不过点C，又点F?平面ABC，故BE与CF既不平行也不相交，只能异面．]
公理4及等角定理的应用
【例2】 如图所示，在正方体ABCD?A′B′C′D′中，E、F、E′、F′分别是AB、BC、A′B′、B′C′的中点．
求证：EE′∥FF′.
[证明] 因为E、E′分别是AB、A′B′的中点，
所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形．
所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
1．证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等．
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点．
(3)公理4
用公理4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由公理4即可得到a∥c.
2．证明两个角相等或互补的方法
(1)利用等角定理．
(2)利用三角形全等或相似．
2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
[证明] 因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1.
又BB1綊DD1，所以BF綊D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形．
所以D1F∥GB，同理D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
异面直线所成的角
[探究问题]
1.已知直线a，b是两条异面直线，如图，如何作出这两条异面直线所成的角？
[提示] 如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角(或直角)θ，即两条异面直线a，b所成的角．
2．异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？通常点O取在什么位置？
[提示] 异面直线a与b所成角的大小只与a，b的相互位置有关，与点O的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上．
【例3】 如图，三棱锥A?BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值.
[解] 过点F作MF∥BD，交BC于点M，连接ME，
则CM∶MB＝CF∶FD
＝m，
又因为AE∶EB＝CF∶FD＝m，
所以CM∶MB＝
AE∶EB，
所以EM∥AC，
所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，
所以AC与BD所成的角为∠EMF.
因为AC⊥BD，∴∠EMF＝90°，
所以α＋β＝
90°.
将本例变为：
如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD和BC所成的角．
[解] 如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.
因为E，F分别是AB，CD的中点，
故EG∥BC且EG＝BC＝1，
FG∥AD，且FG＝AD＝1，即∠EGF为所求角，
又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.
求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．
(2)计算角：求角度，常利用三角形．
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是( )
A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
D [若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]
2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为( )
A．130°
B．50°
C．130°或50°
D．不能确定
C [根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.]
3．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 [(1)在长方体ABCD?A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．]
4．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．
[解] 取AC的中点G，连接EG，FG，
则FG∥CD，EG∥AB，
所以∠FEG即为EF与AB所成的角，
且FG＝CD，EG＝AB，
又AB＝CD，
所以FG＝EG.
又由AB⊥CD得FG⊥EG，所以∠FEG＝45°.
故EF和AB所成的角为45°.
PAGE2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)2.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点)
通过对直线与平面位置关系和对平面与平面位置关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的数学核心素养．
1．直线与平面的位置关系
位置关系
直线在平面内
直线在平面外
直线与平面相交
直线与平面平行
公共点
无数个公共点
1个
0个
符号表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
思考：“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？
[提示] 不是．前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行．
2．两个平面的位置关系
位置关系
平行
相交
图示
表示法
α∥β
α∩β＝a
公共点个数
0个
无数个
思考：分别位于两个平行平面内的两条直线的位置关系是什么？
[提示] 分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面．
1．直线l与平面α有两个公共点，则( )
A．l∈α
B．l∥α
C．l与α相交
D．l?α
D [根据公理1可知，l?α.]
2．若M∈平面α，M∈平面β，α、β为不同的平面，则平面α与β的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．重合
D．不确定
B [由公理可知，平面α与平面β相交．]
3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则下列说法正确的是________(填序号).
①若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
②若平面α和平面β相交，则直线a和直线b相交．
① [若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．]
直线与平面位置关系的判定
【例1】 (1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是( )
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
B [直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．]
(2)下列说法中，正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；
②经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；
③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
C [易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
1．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.其中正确命题的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
A [如图所示，在长方体ABCD?A′B′C′D′中，
AB∥CD，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．]
平面与平面位置关系的判定
[探究问题]
1．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？
[提示] 因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？
[提示] 不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条直线a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.
【例2】 (1)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不能确定
C [逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示).
]
(2)完成下列作图：
①在图中画出一个平面与两个平行平面相交．
②在图中分别画出三个两两相交的平面．
[解] ①如图所示，
②如图所示，
1．平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
2．常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行.
2．三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分．
8 4 [三个平面可将空间分成4，6，7，8部分，所以三个平面最少可将空间分成4部分，最多分成8部分．]
3.
试画出相交于一点的三个平面．
[解] 如图所示(不唯一).
1．空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式
(1)
(2)
2．判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法
(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断；
(2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果；
(3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，达到准确的判断位置关系的目的．
1.已知直线a在平面α外，则( )
A．a∥α
B．直线a与平面α至少有一个公共点
C．a∩α＝A
D．直线a与平面α至多有一个公共点
D [直线a在平面α外，则直线a与平面α平行或相交，故直线a与平面α至多有一个公共点．选D.]
2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．仅有一条直线不相交
B．仅有两条直线不相交
C．无数条直线相交
D．任意一条直线不相交
D [直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的任一直线均无公共点．]
3．下列命题正确的是( )
A．直线a∥α，直线b?α，则a∥b
B．若a?α，b?α，则a与b没有公共点
C．若a?α，则a∥α或a与α相交
D．若a∥α，b∥α，则a∥b
C [A中条件下，a与b还可能异面；B中b?α时，可能b与α相交，那么a与b也可能相交；D中，a与b可能平行，可能相交，也可能异面，只有C是正确的．]
4．下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________．
①② [①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．]
5．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，分别指出直线B1C，D1B与正方体六个面所在平面的关系．
[解] 根据图形，直线B1C?平面B1C，直线B1C∥平面A1D，与其余四个面相交，直线D1B与正方体六个面均相交．
PAGE2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
2.2.2 平面与平面平行的判定
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理．(重点)2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述这两个判定定理，并知道其地位和作用．(易混点)3．能够应用两个判定定理证明直线与平面平行和平面与平面平行．(难点)
1.通过学习直线与平面平行的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养；2．通过学习平面与平面平行的判定，培养直观想象、逻辑推理的数学核心素养．
直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理
定理
直线与平面平行的判定定理
平面与平面平行的判定定理
文字语言
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
符号语言
?l∥α
?α∥β
图形语言
思考：(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行，对吗？
(2)平面平行有传递性吗？
[提示] (1)根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．
(2)有．若α、β、γ为三个不重合的平面，则α∥β，β∥γ?α∥γ.
1．能保证直线a与平面α平行的条件是( )
A．b?α，a∥b
B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b?α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD
D．a?α，b?α，a∥b
D [A错误，若b?α，a∥b，则a∥α或a?α；B错误，若b?α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a?α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a?α或a与α相交；D正确，a?α，b?α，a∥b恰好是判定定理所具备的不可缺少的三个条件．]
2．已知平面α内的两条直线a，b，a∥β，b∥β，若要得出平面α∥平面β，
则直线a，b的位置关系是( )
A.相交
B．平行
C．异面
D．垂直
A [根据面面平行的判定定理可知a，b相交．]
3．已知平面α∥平面β，直线a?α，则直线a与平面β的位置关系为________．
a∥β [因为α∥β，所以α与β无公共点，
因为a?α，所以a与β无公共点，所以a∥β.]
直线与平面平行的判定
【例1】 如图所示，斜三棱柱ABC?A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1的中点．求证：
(1)AD1∥平面BDC1；
(2)BD∥平面AB1D1.
[证明] (1)∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形．
∴C1D1綊DA，
∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D.
又AD1?平面BDC1，C1D?平面BDC1，
∴AD1∥平面BDC1.
(2)连接DD1，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1?平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝DD1，∴BB1∥DD1，又∵D1，D分别为A1C1，AC的中点，∴BB1＝DD1，
故四边形BDD1B1为平行四边形，
∴BD∥B1D1，
又BD?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1，
∴BD∥平面AB1D1.
1．判断或证明线面平行的常用方法有：
(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；
(2)判定定理法(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；
(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．
2．证明线线平行的常用方法：
(1)利用三角形、梯形中位线的性质；
(2)利用平行四边形的性质；
(3)利用平行线分线段成比例定理．
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.
[证明] 如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，
∴GN∥DC，GN＝DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.
又∵MN?平面PAD，AG?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
平面与平面平行的判定
【例2】 如图所示，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是
AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O.
求证：平面AGO∥平面D1EF.
[证明] 设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，
因为＝＝，
所以GO∥D1H，
又GO?平面D1EF，D1H?平面D1EF，
所以GO∥平面D1EF.
在△BAO中，因为BE＝EA，BH＝HO，所以EH∥AO，
又AO?平面D1EF，EH?平面D1EF，
所以AO∥平面D1EF，
又GO∩AO＝O，所以平面AGO∥平面D1EF.
平面与平面平行的判定方法：
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
2．如图所示，在三棱锥S?ABC中，D、E、F分别是棱AC、BC、SC的中点．
求证：平面DEF∥平面SAB.
[证明] 因为D、E分别是棱AC、BC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，DE∥AB.
因为DE?平面SAB，AB?平面SAB，
所以DE∥平面SAB，
同理可证：DF∥平面SAB，
又因为DE∩DF＝D，DE?平面DEF，DF?平面DEF，
所以平面DEF∥平面SAB.
线面、面面平行的综合问题
[探究问题]
观察下面两个图形：
1．怎样证明平面β中的直线与平面α平行？
[提示] 利用线面平行的判定定理，只需在平面β中找到一条与平面α中的直线平行的直线即可．
2．怎样证明两个平面平行？
[提示] 利用面面平行的判定定理，只需平面β中的两条相交直线分别与平面α平行即可．
【例3】 已知底面是平行四边形的四棱锥P?ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．
思路探究：解答本题应抓住BF∥平面AEC.先找BF所在的平面平行于平面AEC，再确定F的位置．
[解] 如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG?平面AEC，OE?平面AEC，
∴BG∥平面AEC.
同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G.
∴平面BGF∥平面AEC.
∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．
又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．
而GF∥CE，∴F为PC中点．
综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.
本例若改为“已知底面是平行四边形的四棱锥P?ABCD，在棱PD上是否存在一点E，使PB∥平面ACE？若存在，请找出E点位置；若不存在，请说明理由”，该如何解决？
[解] 如图，连接AC、BD交于点O，取PD中点为E，连接OE、AE、CE，则在△PBD中，OE∥PB，又OE?平面ACE，PB?平面ACE，所以PB∥平面ACE.此时E为PD中点，故当E为PD中点时，能使PB∥平面ACE.
,
解决线线平行与面面平行的综合问题的策略：
(1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的．
(2)
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理．
1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．
2．证明面面平行的一般思路：线线平行?线面平行?面面平行．
3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理的使用前提条件，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．
1．平面α与平面β平行的条件可以是( )
A．α内有无数多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β
C．直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何直线都与β平行
D [由面面平行的定义知，选D.]
2．在三棱台ABC?A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．在平面内 D．不确定
B [因为AB∥A1B1，AB?平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1
.]
3．如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
[证明] 连接AC1交A1C于点F，
则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.
因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD.
PAGE2.2.3 直线与平面平行的性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解直线与平面平行的性质定理的探究以及证明过程.
2．理解直线与平面平行的性质定理的含义并能应用．(重点)3．能够综合应用直线与平面平行的判定定理和性质定理进行线面平行的相互转化．(难点)
通过学习直线与平面平行的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养．
直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行，过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行
符号语言
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
图形语言
思考：若a∥α，b?α，则直线a一定与直线b平行吗？
[提示] 不一定．由a∥α，可知直线a与平面α无公共点，又b?α，所以a与b无公共点，所以直线a与直线b平行或异面．
1．如图，过正方体ABCD?A′B′C′D′的棱BB′作一平面交平面CDD′C′于EE′，则BB′与EE′的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
A [因为BB′∥平面CDD′C′，BB′?平面BB′E′E，平面BB′E′E∩平面CDD′C′＝EE′，所以BB′∥EE′.]
2．若直线a∥平面α，直线b?平面α，则a与b的关系是( )
A．a∥b
B．a与b异面
C．a与b没交点
D．a与b可能相交
C [因为a∥α，所以a与α没交点，即a与b没交点，也就是说a∥b或a与b异面，选A或B都不全面，故选C.]
3．设m、n是平面α外的两条直线，给出以下三个论断：
①m∥n；②m∥α；③n∥α.
以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________．(用序号表示)
①②?③(或①③?②) [设过m的平面β与α交于l.因为m∥α，所以m∥l，因为m∥n，所以n∥l，因为n?α，l?α，所以n∥α.]
直线与平面平行性质定理的应用
[探究问题]
1．直线与平面平行性质定理的条件有哪些？
[提示] 线面平行的性质定理的条件有三个：
(1)直线a与平面α平行，即a∥α；
(2)平面α、β相交于一条直线，即α∩β＝b；
(3)直线a在平面β内，即a?β.
三个条件缺一不可．
2．直线与平面平行的性质定理有什么作用？
[提示] 定理的作用：
(1)线面平行?线线平行；
(2)画一条直线与已知直线平行．
3．直线与平面平行的判定定理和性质定理有什么联系？
[提示] 经常利用判定定理证明线面平行，再利用性质定理证明线线平行．
【例1】 如图，用平行于四面体
ABCD
的一组对棱AB，CD
的平面截此四面体．求证：截面
MNPQ
是平行四边形．
[证明] 因为AB∥平面
MNPQ，
平面
ABC∩平面
MNPQ＝MN，且
AB?平面
ABC，
所以由线面平行的性质定理，知
AB∥MN，同理，AB∥PQ，
所以MN∥PQ.
同理可得
MQ∥NP.
所以截面MNPQ
为平行四边形．
将本例变为：如图所示，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.
求证：四边形BCFE是梯形．
[证明] 因为四边形ABCD为矩形，
所以BC∥AD，
因为AD?平面PAD，BC?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，
所以BC∥EF.
因为AD＝BC，AD≠EF，
所以BC≠EF，
所以四边形BCFE是梯形．
1．利用线面平行性质定理解题的步骤：
2．证明线线平行的方法：
(1)定义：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行．
(2)平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．
(3)线面平行的性质定理：?a∥b，应用时题目条件中需有线面平行．
与线面平行性质定理有关的计算
【例2】 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA＝3，点F在棱PA上，且AF＝1，点E在棱PD上，若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．
[解] 过点E作EG∥FD交AP于点G，连接CG，连接AC交BD于点O，连接FO.
因为EG∥FD，EG?平面BDF，FD?平面BDF，
所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG?平面CGE，CE?平面CGE，
所以平面CGE∥平面BDF，
又CG?平面CGE，所以CG∥平面BDF，
又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG?平面PAC，
所以FO∥CG，又O为AC的中点，
所以F为AG的中点，所以FG＝GP＝1，
所以E为PD的中点，PE∶ED＝1∶1.
利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点：
(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系．
(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系．
(3)利用所得关系计算求值．
如图所示，在棱长为6的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．
6＋3 [如图所示，延长EF，A1B1相交于点M，
连接AM，交BB1于点H，连接FH，延长FE，A1D1相交于点N，连接AN交DD1于点G，连接EG，可得截面五边形AHFEG，因为几何体ABCD?A1B1C1D1是棱长为6的正方体，且E、F分别是棱C1D1，B1C1的中点，所以EF＝3，易知B1M＝C1E＝C1D1＝A1B1，又B1H∥AA1，所以B1H＝AA1＝2，则BH＝4，易知AG＝AH＝＝2，EG＝FH＝＝，所以截面的周长为6＋3.]
1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．用口诀记忆为：“过直线，作平面，得交线，得平行．”
2．要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．即
1．如图，在三棱锥S?ABC中，E，F分别是SB,
SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )
A.
EF与BC相交
B.
EF∥BC
C.
EF与BC异面
D.
以上均有可能
B [因为平面SBC∩平面ABC＝BC，又因为EF∥平面ABC，所以EF∥BC.]
2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A.0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条
C [过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．]
3．过正方体ABCD?A1B1C1D1的三顶点A1,
C1,
B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________．
平行 [因为A1C1∥平面ABCD，A1C1?平面A1C1B，
平面ABCD∩平面A1C1B＝l，由线面平行的性质定理，所以A1C1∥l.]
4．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1∥平面BDA1，求证：CD＝C1D.
[证明] 如图，连接AB1与BA1交于点O，连接OD，
因为PB1∥平面BDA1，PB1?平面AB1P，
平面AB1P∩平面BDA1＝OD，所以OD∥PB1，
又AO＝B1O，所以AD＝PD，
又AC∥C1P，所以CD＝C1D.
PAGE2.2.4 平面与平面平行的性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的性质定理并加以证明．(重点)2．能用文字语言、符号语言和图形语言准确描述平面与平面平行的性质定理，并知道其地位和作用．(重点)3．能运用平面与平面平行的性质定理，证明一些与空间面面平行关系有关的简单问题．(难点)
通过学习平面与平面平行的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养．
平面与平面平行的性质定理
文字语言
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
图形语言
思考：如果两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？
[提示] 不一定．它们可能异面．
1．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
A [因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.]
2．已知平面α∥平面β，直线l∥α，则( )
A.
l∥β
B.
l?β
C.
l∥β或l?β
D.
l,
β相交
C [假设l与β相交，又α∥β，则l与α相交，与l∥α矛盾，则假设不成立，则l∥β或l?β.]
3．已知平面α∥β，直线a?α，有下列命题：
①a与β内的所有直线平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直．
其中真命题的序号是________．
② [由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误．]
平面与平面平行性质定理的应用
[探究问题]
1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些？
[提示] 必须具备三个条件：①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
2．线线、线面、面面平行之间有什么联系？
[提示] 联系如下：
【例1】 如图，已知平面α∥平面β，P?α且P?β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．
[解] 因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.
所以BD＝.
1．将本例改为：若点P在平面α，β之间(如图所示)，其他条件不变，试求BD的长．
[解] 与本例同理，可证AB∥CD.
所以＝，即＝，
所以BD＝24.
2.
将本例改为：已知平面α∥β∥γ，两条直线l、m分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、F.已知AB＝6，＝，则AC＝________．
15 [由题可知＝?AC＝·AB＝×6＝15.]
3．将本例改为：已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A、B、C，直线b与这三个平面依次交于点E、F、G.
求证：＝.
[证明] 连接AG交β于H，连BH、FH、AE、CG.
因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，
所以BH∥CG.同理AE∥HF，
所以＝＝.
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤：
平行关系的综合应用
【例2】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.
求证：GH∥平面PAD.
[证明] 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴PA∥MO，而AP?平面BDM，OM?平面BDM，
∴PA∥平面BMD，
又∵PA?平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
又PA?平面PAD，GH?平面PAD，
∴GH∥平面PAD.
1．证明直线与直线平行的方法
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．
(2)公理4.
(3)线面平行的性质定理．
(4)面面平行的性质定理．
2.
证明直线与平面平行的方法：
(1)线面平行的判定定理．
(2)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
如图，三棱锥A?BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.
求证：CD∥平面EFGH.
[证明] 由于四边形EFGH是平行四边形，
∴EF∥GH.
∵EF?平面BCD，GH?平面BCD，
∴EF∥平面BCD.又∵EF?平面ACD，
平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.
又∵EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.
1．常用的面面平行的其他几个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．
1．a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面或相交
D [如图①②③所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交．]
① ② ③
2．若平面α∥平面β，直线a?α，点M∈β，过点M的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
D [由于α∥β，a?α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．]
3．用一个平面去截三棱柱ABC?A1B1C1，交A1C1，B1C1，BC，AC分别于点E，F，G，H.
若A1A>A1C1，则截面的形状可以为________．(填序号)
①一般的平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤梯形．
②⑤ [当FG∥B1B时，四边形EFGH为矩形；当FG不与B1B平行时，四边形EFGH为梯形．]
4．如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，N分别是AE，CD1的中点．
求证：MN∥平面ADD1A1.
[证明] 如图所示，取CD的中点K，连接MK，NK.
因为M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点，
所以MK∥AD，NK∥DD1，
所以MK∥平面ADD1A1，
NK∥平面ADD1A1.
又MK∩NK＝K，MK，NK?平面MNK，
所以平面MNK∥平面ADD1A1.
因为MN?平面MNK，
所以MN∥平面ADD1A1.
PAGE2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解直线与平面垂直的定义．(重点)2．理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．(难点)3．理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．(易错点)
1.通过学习直线与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养．2．通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学核心素养．
1．直线与平面垂直
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们惟一的公共点P叫做垂足
图示
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α
图形语言
3.直线和平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA
斜足
斜线和平面的交点，图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角
取值范围
[0°，90°]
思考：直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？
[提示] 定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB
B．平面OAC
C．平面OBC
D．平面ABC
C [由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.]
2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C.
相交不垂直
D.
不确定
B [一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．]
3．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
45° [如图所示，因为正方体ABCD?A1B1C1D1中，
B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.]
直线与平面垂直的判定
【例1】 如图，在三棱锥S?ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[证明] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD?平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC?平面SAC，所以BD⊥平面SAC.
证线面垂直的方法：
(1)线线垂直证明线面垂直：
①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α?b⊥α；
②α∥β，a⊥α?a⊥β.
如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.
求证：AN⊥平面PBM.
[证明] 设圆O所在的平面为α，
∵PA⊥α，且BM?α，
∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.
由于直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM，而AN?平面PAM，
∴BM⊥AN.
∴AN与PM、BM两条相交直线互相垂直．
故AN⊥平面PBM.
直线与平面所成的角
[探究问题]
1．若图中的∠POA是斜线PO与平面α所成的角，则需具备哪些条件？
[提示] 需要PA⊥α，A为垂足，OA为斜线PO的射影，这样∠POA就是斜线PO与平面α所成的角．
2．空间几何体中，确定线面角的关键是什么？
[提示] 在空间几何体中确定线面角时，过斜线上一点向平面作垂线，确定垂足位置是关键，垂足确定，则射影确定，线面角确定．
【例2】 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
[证明] (1)∵直线A1A⊥平面ABCD，
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝，∴tan
∠A1CA＝.
(2)连接A1C1交B1D1于O，
在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，
∴∠A1BO＝30°，
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
在本例正方体中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值．
[解] 连接AC交BD于点O，过E作EO1∥AC交BD于点O1，易证AC⊥平面BB1D1D，
∴EO1⊥平面BB1D1D，
∴B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影，
∴∠EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角．
设正方体的棱长为a，
∵E是AB的中点，EO1∥AC，
∴O1是BO的中点，
∴EO1＝AO＝×＝，
B1O1＝
eq
\r(BO＋BB)＝＝，
∴tan
∠EB1O1＝＝＝.
求斜线与平面所成角的步骤：
1．线线垂直和线面垂直的相互转化：
2．证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义．
(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
A [若l∥m，l?α，m?α，则l∥α，这与已知l⊥α矛盾．所以直线l与m不可能平行．]
2．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )
A．垂直
B．相交但不垂直
C．平行
D．不确定
A [因为梯形两腰所在直线为两条相交直线，所以由线面垂直的判定定理知，直线与平面垂直．选A.]
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60°
B．45°
C．30°
D．120°
A [∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos
∠ABO＝，即∠ABO＝60°.
故选A.]
4．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
[证明] 如图，连接AC，
∴AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A?平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C?平面A1AC，
∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1?平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
PAGE2.3.2 平面与平面垂直的判定
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．(难点、易错点)2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．(重点)3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化．(重点)
1.
通过学习平面与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养．2.
通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养．
1．二面角的概念
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
(3)记法：二面角α?l?β或α?AB?β或P?l?Q或P?AB?Q.
(4)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA?α，OB?β；
③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α?l?β的平面角是∠AO
B．
(5)二面角θ的取值范围为0°≤θ≤180°．当两个二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为0°，当两个二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小为180°.
思考：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
[提示] 无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
2．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)画法：
(3)记作：α⊥β．
(4)判定定理：
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，l?β?α⊥β
思考：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？
[提示] 不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．
1．如图所示的二面角可记为( )
A．α?β?l
B．M?l?N
C．l?M?N
D．l?β?α
B [根据二面角的记法规则可知B正确．]
2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( )
A．有一个
B．有两个
C．有无数个
D．不存在
C [经过l的任一平面都和α垂直．]
3．如图所示，三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B?PA?C的大小等于________．
90° [∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角B?PA?C的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.]
二面角的计算问题
【例1】
如图，已知三棱锥A?BCD的各棱长均为2，求二面角A?CD?B的余弦值．
[解] 如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角A?CD?B的平面角．
设点H是△BCD的重心，
则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．
在Rt△AMH中，AM＝×2＝，
HM＝×2×＝，则cos
∠AMB＝＝，
即二面角的余弦值为.
1．求二面角的大小关键是作出平面角：
求二面角大小的步骤是：
(1)找出这个平面角；
(2)证明这个角是二面角的平面角；
(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．
2．确定二面角的平面角的方法：
定义法
在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线
垂面法
过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角
1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD,
AC＝AD，求平面
ABD
与平面BCD
所成的二面角的大小．
[证明] 因为AC⊥平面
BCD，BD?平面
BCD，
所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，
所以BD⊥平面
ACD.
因为AD?平面
ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即为平面
ABD
与平面
BCD
所成二面角的平面角．
在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°.
平面与平面垂直的判定
【例2】 如图所示，在四面体ABCS
中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
[证明] (1)法一：(利用定义证明)
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A?BC?S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A?BC?S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
法二：(利用判定定理)
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
证明面面垂直常用的方法：
定义法
即说明两个半平面所成的二面角是直二面角
判定定理法
在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直
性质法
两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面
2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
[证明] 连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.
因为O为AC中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，
所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
线线、线面垂直的综合
[探究问题]
1．如图所示，如何作出二面角P?AB?Q的平面角？
[提示] 过点P作平面ABQ的垂线，垂足为H.过H作HO⊥棱AB于点O，连接OP，则∠POH即为二面角P?AB?Q的平面角．
2．线面、面面垂直关系是如何转化的？
[提示] 欲证面面垂直，可转化为证明线面垂直，再转化为证明线线垂直即可．
【例3】 如图所示，已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD⊥平面EBD.
思路探究：(1)欲证A1E⊥BD，只需证明BD垂直A1E所在平面即可；
(2)要证平面A1BD⊥平面EBD，只需求出二面角为直二面角即可，或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面．
[证明] 连接AC，设AC∩DB＝O，
连接A1O，OE，
(1)因为AA1⊥底面ABCD，
所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝A，
所以BD⊥平面ACEA1，
因为A1E?平面ACEA1，所以A1E⊥BD.
(2)在等边三角形A1BD中，BD⊥A1O，
因为BD⊥平面ACEA1，OE?平面ACEA1，
所以BD⊥OE，所以∠A1OE为二面角A1?BD?E的平面角．
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，设棱长为2a，因为E为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EO＝a，A1O＝a，A1E＝3a，满足A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD.
本例中，条件不变，试求二面角E?BD?C的正切值．
[解] 连接AC交BD于O，连接OE(图略).
由例题中(2)知，BD⊥OE，BD⊥OC.
∴∠EOC为二面角E?BD?C的平面角．
设正方体棱长为a，则CE＝，OC＝a.
在Rt△OCE中，tan
∠EOC＝＝＝.
所以二面角E?BD?C的正切值为.
线面、面面垂直的综合问题的解题策略：
(1)重视转化
涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直.
(2)充分挖掘线面垂直关系
解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．
1．求二面角大小的步骤
简称为“一作、二证、三求”．
2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直?面面垂直．
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
1．直线l⊥平面α，l?平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行
B．可能重合
C．相交且垂直
D．相交不垂直
C [由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]
2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是( )
A．互为余角
B．相等
C．其和为周角
D．互为补角
D [画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂
线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.]
3．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，二面角A?BC?A1的平面角等于________．
45° [根据长方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA1
即为二面角A?BC?A1的平面角.
又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1
＝45°.]
4．如图，棱柱ABC?A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
[证明] 因为BCC1B1是菱形，
所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1，
又B1C?平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
PAGE2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质
学
习
目
标
核
心
素
养
1.
理解直线和平面垂直、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(重点)2．能应用线面垂直、面面垂直的性质定理证明相关问题．(重点、难点)3．理解平行与垂直之间的相互转化．(易错点)
1.通过学习直线与平面垂直的性质，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养．2．通过学习平面与平面垂直的性质，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养.
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
作用
①线面垂直?线线平行②作平行线
思考：过一点有几条直线与已知平面垂直？
[提示] 有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线．
2．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言
?a⊥β
图形语言
作用
①面面垂直?线面垂直②作面的垂线
思考：如果α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线吗？
[提示] 正确．若设α∩β＝l，a?α，b?β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．
1．直线n⊥平面α，n∥l，直线m?α，则l、m的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
D [由题意可知l⊥α，所以l⊥m.]
2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直
D．以上都有可能
D [可能平行，也可能相交．如图，α与δ平行，α与γ垂直．]
3．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是( )
A．b∥α
B．b?α
C．b⊥α
D．b与α相交
C [由线面垂直的性质定理可知，当b⊥α，a⊥α时，a∥b.]
4．平面α⊥平面β，直线l?α，直线m?β，则直线l，m的位置关系是________．
相交、平行或异面 [根据题意，l，m可能相交、平行或异面．]
线面垂直性质定理的应用
【例1】 如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1.
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
证明线线平行常用如下方法：
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a?β，a⊥AB.求证：a∥l.
[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
面面垂直性质定理的应用
【例2】 如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
[证明] 如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
1．证明或判定线面垂直的常用方法：
(1)线面垂直的判定定理；
(2)面面垂直的性质定理；
(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a、b为直线，α为平面)；
(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)；
2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．
2．如图，四棱锥V?ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求证：平面VBC⊥平面VAC.
[证明] ∵面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB，面VAB∩面ABCD＝AB，BC?平面ABCD.
∴BC⊥面VAB，
又VA?平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥面VAD，∴VB⊥VA，
又VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC，
∵VA?面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.
线线、线面、面面垂直的综合应用
[探究问题]
试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．
[提示] 垂直问题转化关系如下所示：
【例3】 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，
求证：(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
思路探究：(1)设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE，即证DM为AE的中垂线即可．(2)(3)只需证明DM⊥平面ECA即可．
[证明] (1)设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，
则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC，
所以DE＝＝a.
又因为DB⊥平面ABC，
所以DA＝＝a，
所以DE＝DA.
(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN綊CE綊DB.
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.
又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.
又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.
(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM?平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小．
[解] 如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，
在△CEN中，由＝知B为CN中点，
∴CB＝BN＝2a.
∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，
∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA.
又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，
∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，
且AN为平面ADE与平面ABC的交线．
∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，
在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°.
所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°.
垂直关系的互化及解题策略：
空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：
1．直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是( )
A．a⊥α
B．a∥α
C．a?α
D．a?α或a∥α
D [a⊥b，b⊥α，则a∥α或a?α.
选D.]
2．如图所示，三棱锥P?ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A．PD?平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
B [∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.]
3．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
4 [∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，AC?平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，得BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．故直角三角形有4个．]
4．如图所示，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.
[证明] 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，
所以BC⊥平面SCD.
又因为BC?平面SBC.
所以平面SCD⊥平面SBC.
PAGE第2章
点、直线、平面之间的位置关系
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
空间点、线、面位置关系的判断与证明
【例1】 如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
[证明] (1)设AC与BD交于点O，连接EO，如图所示，
∵EF∥AC，且EF＝1，AO＝AC＝1，
∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE.
∵OE?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE.
(2)连接FO，如图所示．
∵EF∥CO，EF＝CO＝1，且CE＝1，
∴四边形CEFO为菱形，∴CF⊥EO.
∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC.
又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
∴BD⊥平面ACEF，∴CF⊥BD.
又BD∩EO＝O，∴CF⊥平面BDE.
空间平行、垂直关系的转化：
(1)平行、垂直关系的相互转化
(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点
①由已知想性质，由求证想判定．
②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．
③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．
1．如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
[证明] (1)因为ABC?A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1，DE?平面BCC1B1，
CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，
所以A1F∥平面ADE.
空间角的计算问题
【例2】 如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO与A′C′所成角的度数；
(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．
[解] (1)∵A′C′∥AC，
∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC?平面BC′，∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B.∴OC⊥平面ABO.
又OA?平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin
∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝30°，即AO与A′C′所成角的度数为30°.
(2)如图，作OE⊥BC于E，连接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，AE＝＝，
∴tan
∠OAE＝＝.
(3)∵OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB＝O，
∴OC⊥平面AOB.
又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.
空间角的求法：
求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算．
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).
(2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).
(3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②垂线法；③垂面法．
2．如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，D、E分别是BC、AB的中点，AC＞AD，设PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P?BC?A的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是________．
α＜β＜γ [∵D、E分别是BC、AB的中点，∴DE∥AC，∴PC与DE所成的角为∠PCA，即α；∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角为∠PDA，即β；过A作AH⊥BC，垂足为H，连接PH，
易证BC⊥平面PAH，
∴∠PHA是二面角P?BC?A的平面角，即γ.
∵AB≠AC，
∴AD＞AH，又AC＞AD，
∴AC＞AD＞AH，∴＜＜，
∴tan
α＜tan
β＜tan
γ，
∴α＜β＜γ.]
折叠问题
【例3】 如图所示，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q?ABP的体积．
[解] (1)由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC.
又BA⊥AD，且AC?平面ACD，AD?平面ACD，
AC∩AD＝A，所以AB⊥平面ACD.
又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
作QE⊥AC，垂足为E，则QE＝DC，QE∥DC.
由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱锥Q?ABP的体积为VQ?ABP＝×QE×S△ABP＝×1××3×2sin
45°＝1.
解决折叠问题的关键和解题步骤：
解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况，看看哪些元素的位置变了，哪些没有变，基本思路是利用不变求变，一般步骤如下：
⑴平面―→空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形．想象出空间图形，完成平面图形与空间图形在认识上的转化．
⑵空间―→平面：为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元素的变与不变．
⑶平面―→空间：弄清楚变与不变的元素以后，再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系．
3．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
图1 图2
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的四边形ACGD的面积．
[解] (1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，
所以AD∥CG，
故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，故AB⊥平面BCGE.
又因为AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)取CG的中点M，连接EM，DM.
因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.
由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM.
因此DM⊥CG.
在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝，
故DM＝2.
所以四边形ACGD的面积为4.
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