3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
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习
目
标
核
心
素
养
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．
1.
通过倾斜角概念的学习，提升数学建模和直观想象的数学核心素养．2.
通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学核心素养．
1．倾斜角的相关概念
(1)两个前提：
①直线l与x轴相交；
②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；
③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
(2)作用：
①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；
②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．
思考：下图中标的倾斜角α对不对？
[提示] 都不对．
2．斜率的概念及斜率公式
(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．
(2)记法：k＝tan
α．
(3)斜率与倾斜角的对应关系．
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°＜α＜90°
α＝90°
90°＜α＜180°
斜率(范围)
0
(0，＋∞)
不存在
(－∞，0)
(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝．
思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？
[提示] 不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.
1．如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为( )
A．45° B．135° C．0° D．无法计算
B [根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]
2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( )
A.0°
B．45°
C．60°
D．90°
A [∵k＝＝0，∴θ
＝0°.]
3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是( )
A.5
B．8
C．
D．7
C [由斜率公式可得＝1，解之得m＝.]
4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A.
B．
C.1
D．
A [由题意可知，k＝tan
30°＝.]
直线的倾斜角
【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A.α＋45°
B.α－135°
C.135°－α
D.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°
D [根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]
求直线的倾斜角的方法及两点注意
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．
(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A.α
B．180°－α
C.180°－α或90°－α
D．90°＋α或90°－α
D [如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.
故选D.]
直线的斜率
【例2】 (1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为( )
A.(2，0)或(0，－4)
B．(2，0)或(0，－8)
C.(2，0)
D．(0，－8)
(2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.(－1，0]
B．[0，1]
C.[1，2]
D．[0，2]
(1)B (2)D [(1)设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4，∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8).
(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.]
解决斜率问题的方法
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan
α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．
2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．
(2)过原点且斜率为的直线l绕原点逆时针方向旋转30°到达l′位置，则直线l′的斜率为________．
(1)－5 (2) [(1)直线AB的斜率k＝tan
135°＝－1，
又k＝，由＝－1，得y＝－5.
(2)k＝时，即tan
α＝，α＝30°，绕原点按逆时针旋转30°到这时kl′＝tan
60°＝.]
直线倾斜角与斜率的综合
[探究问题]
1．斜率公式k＝中，分子与分母的顺序是否可以互换？y1与y2，x1与x2的顺序呢？
[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y1与y2和x1与x2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k＝.
2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？
[提示] 当k＝tan
α＜0时，
倾斜角α是钝角；
当k＝tan
α＞0时，
倾斜角α是锐角；
当k＝tan
α＝0时，
倾斜角α是0°.
【例3】 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
思路探究：
[解] 如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
将本例变为：
已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动，求直线AD的斜率的变化范围．
[解] 如图所示．
当点D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，又kAB＝＝，kAC＝＝，所以直线AD的斜率的变化范围是.
1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．
2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线?kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．
3.的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线情况
平行于x轴
垂直于x轴
α的大小
0°
0°＜α＜90°
90°
90°＜α＜180°
k的范围
0
k＞0
不存在
k＜0
k的增减情况
k随α的增大而增大
k随α的增大而增大
1．对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]
2．若经过A(2，1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－1，＋∞)
A [由题意知kAB＞0，即＞0，解得m＜1，故应选A.]
3．已知直线AB与直线AC有相同的斜率，且A(1，0)，B(2，a)，C(a，1)，则实数a的值是________．
[依题意：kAB＝kAC，即＝，
解得a＝.]
4．已知交于M(8，6)点的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角．
[解] l2的斜率为＝1，∴l2的倾斜角为45°，
由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°.
PAGE3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
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1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．
通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学学科素养．
1．两条直线平行与斜率之间的关系
类型
斜率存在
斜率不存在
条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
对应关系
l1∥l2?k1＝k2
l1∥l2?两直线斜率都不存在
图示
思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？
[提示] 不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等．
2．两条直线垂直与斜率之间的关系
图示
对应关系
l1⊥l2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)?k1k2＝－1
l1的斜率不存在，l2的斜率为0?l1⊥l2
思考：如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？
[提示] 不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在．
1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于( )
A．－3 B．3 C．－ D．
B [kAB＝＝3，∵l∥AB，∴kl＝3.]
2．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2( )
A．平行
B．垂直
C．重合
D．非以上情况
B [∵k1·k2＝2×＝－1，∴l1⊥l2.]
3．l1过点A(m，1)，B(－3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m＝________．
0 [∵kl2＝＝－1，l1∥l2，
∴kl1＝＝－1，∴m＝0.]
4．若直线l1的斜率kl1＝m，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为________．
－或不存在 [若m＝0时，直线l2的斜率不存在．
若m≠0时，直线l2的斜率为－.]
两直线平行关系的判定
【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)；
(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；
(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5).
[解] (1)由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，
又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.
(2)由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．
(3)由题意知，k1＝tan
60°＝，k2＝＝，k1＝k2，所以直线l1与直线l2平行或重合．
(4)由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.
判断两条不重合直线是否平行的步骤
1．已知l1经过点A(－3，3)，B(－8，6)，l2经过点M，N，求证：l1∥l2.
[证明] 直线l1的斜率为k1＝＝－，
直线l2的斜率为k2＝＝－，
因为k1＝k2，且kAN＝＝－，
所以l1与l2不重合，
所以l1∥l2.
两直线垂直关系的判定
【例2】 判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)；l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；
(2)l1的斜率为－10；l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(3)l1经过点A(3，4)，B(3，10)；l2经过点M(－10，40)，N(10，40).
[解] (1)k1＝＝2，k2＝＝，
k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．
(2)k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)由A，B的横坐标相等得
l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．
k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等．若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步．
(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．
2．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2).若l1⊥l2，求a的值．
[解] 设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.
①当a＝4时，l1的斜率不存在，k2＝－，不符合题意；
②当a＝0时，l2的斜率不存在，此时直线l1的斜率k1＝－不符合题意；
③当a≠4且a≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.
由k1·k2＝－1，得－·＝－1，
解得a＝3或a＝－4.
∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
两直线平行与垂直的综合应用
[探究问题]
1．已知△ABC的三个顶点坐标A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)，你能判断△ABC的形状吗？
[提示] 如图，AB边所在的直线的斜率kAB＝－，BC边所在直线的斜率kBC＝2.由kAB·kBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.
∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．
2．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以AB为直径作圆，若圆与x轴有交点C.如何确定点C的坐标？
[提示] 以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C，则AC⊥BC.设C(x，0)，则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，得x＝1或2，所以C(1，0)或(2，0).
【例3】 △ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．
[解] 因为∠A为直角，则AC⊥AB，
所以kAC·kAB＝－1，
即·＝－1，得m＝－7.
1．本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？
[解] 由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角．
若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
则·＝－1，得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝±2.
综上可知，m＝3或m＝±2.
2．若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？
[解] 若∠A为直角，则AC⊥AB，
所以kAC·kAB＝－1，
即·＝－1，得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，
所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝±2.
综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.
,
利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤
→
↓
→
↓
→
↓
→
1．两条不重合的直线平行或垂直的判定方法
斜率
直线
斜率均不存在
平行
一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在
垂直
斜率均存在
相等
平行
积为－1
垂直
2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想．
1．下列说法正确的是( )
A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2
B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1
C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴
D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行
D [对A，两直线倾斜角相等，可能重合；对B，若l1⊥l2，l1与l2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C，若直线斜率不存在，可能与y轴重合；对D，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D正确．]
2．过点(，)，(0，3)的直线与过点(，)，(2，0)的直线的位置关系为( )
A．垂直
B．平行
C．重合
D．以上都不正确
A [k1＝＝－＋，
k2＝＝－，
∵k1k2＝－1，∴两直线垂直．选A.]
3．若经过点M(m，3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________．
[由题意知，直线MN的斜率存在，因为MN⊥l，
所以kMN＝＝，解得m＝.]
4．当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行．
[解] (1)由kAB＝＝tan
135°＝－1，
解得m＝－或m＝1.
(2)由kAB＝，且＝3，
则＝－，解得m＝或m＝－3.
(3)令＝＝－2，
解得m＝或m＝－1.
PAGE3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
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1.了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点)2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点)3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点)
1.通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学学科素养．2．通过斜截式的学习，提升数学建模和逻辑推理的数学学科素养．
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
点斜式
斜截式
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程形式
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
适用条件
斜率存在
思考：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
[提示] 不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示．
2．直线在y轴上的截距
定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b．
符号：可正，可负，也可为零．
1．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是( )
A.2 B．－1 C．3 D．－3
C [由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.]
2．过点P(－2，0)，斜率为3的直线的方程是( )
A.y＝3x－2
B．y＝3x＋2
C.y＝3(x－2)
D．y＝3(x＋2)
D [由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，选D.]
3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是( )
A.y＝x＋1
B．y＝x－1
C.y＝－x＋1
D．y＝－x－1
D [由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，选D.]
4．直线y＝3x－4的斜率和在y轴上的截距分别为________．
3，－4 [根据斜截式可以知道，直线的斜率为3，在y轴上的截距为－4.]
直线的点斜式方程
【例1】 (1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．
(2)经过点(－5，2)且平行于y轴的直线方程为________．
(3)求经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程．
(1)y－5＝x－2 (2)x＝－5 [(1)因为倾斜角为45°，
所以斜率k＝tan
45°＝1，
所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2.
(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5.]
(3)解：因为直线y＝x的斜率为，
所以倾斜角为30°.
所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为.
所以所求直线方程为y＋3＝(x－2).
求直线的点斜式方程的步骤
提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0.
1．已知点A(3，3)和直线l：y＝x－.求：
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程．
[解] 因为直线l：y＝x－，
所以该直线的斜率k＝.
(1)过点A(3，3)且与直线l平行的直线方程为
y－3＝(x－3).
(2)过点A(3，3)且与直线l垂直的直线方程为y－3＝－(x－3).
直线的斜截式方程
【例2】 求下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为－4，在y轴上的截距为7；
(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行；
(3)倾斜角为150°，与y轴的交点到原点的距离为3.
[解] (1)直线的斜率为k＝－4，
在y轴上的截距b＝7，
由直线的斜截式方程知，
所求直线方程为y＝－4x＋7.
(2)直线的斜率为k＝0，
在y轴上的截距为b＝2，
由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y＝2.
(3)直线的倾斜角为150°，所以斜率为－，因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求的直线方程为y＝－x＋3或y＝－x－3.
求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可．
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入参数k.
2．已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
[解] 设直线方程为y＝x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.
由已知可得·|b|·|－6b|＝3，
即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.
两直线平行与垂直的应用
[探究问题]
1．已知l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若l1∥l2，应满足什么条件？若l1⊥l2，应满足什么条件？
[提示] k1＝k2且b1≠b2；k1·k2＝－1.
2．若两条直线的斜率均不存在，这两条直线位置关系如何？
[提示] 平行或重合．
【例3】 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
思路探究：
―→→
[解] (1)由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，
∵l1∥l2，∴解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)由题意可知，kl1＝2a－1，kl2＝4，
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.
故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
两条直线平行和垂直的判定
若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2（k1，k2都存在）
(1)平行的判定：l1∥l2?k1＝k2且b1≠b2.
(2)垂直的判定：l1⊥l2＝k1k2＝－1.
3．经过点(1，1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的斜截式方程为________．
y＝2x－1 [由y＝2x＋7得k1＝2，由两直线平行知k2＝2.所以所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.]
4．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上的高所在直线的斜截式方程为________．
y＝x＋3 [设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
所以kBC·kAD＝－1，所以·kAD＝－1，解得kAD＝.
所以BC边上的高所在直线的方程是y－0＝(x＋5).即y＝x＋3.]
1．建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.
2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k＝0时).如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程．
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A.直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
C [直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.]
2．过点(－3，2)，倾斜角为60°的直线方程为( )
A.y＋2＝(x－3)
B．y－2＝(x＋3)
C.y－2＝(x＋3)
D．y＋2＝(x＋3)
C [直线的斜率k＝tan
60°＝，故其方程为y－2＝(x＋3).选C.]
3．如果方程为y＝kx＋b的直线经过二、三、四象限，那么有( )
A.k＞0，b＞0
B．k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0
D．k＜0，b＜0
D [通过画出草图可以观察出，当直线y＝kx＋b经过二、三、四象限时，k＜0，b＜0，故选D.]
4．已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为________．
y－1＝－(x－2) [直线l2的斜率k2＝1，故l1的斜率为－1，所以l1的点斜式方程为y－1＝－(x－2).]
5．直线l经过点P(3，4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程．
[解] 直线y＝x＋的斜率k＝，则其倾斜角α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°.
所以直线l的斜率为k′＝tan
120°＝－.
所以直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3).
PAGE3.2.2 直线的两点式方程
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．(重点)2．了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．(重点)3．会用中点坐标公式求两点的中点坐标．
1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学学科素养．2．通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学学科素养．
1．直线的两点式方程
名称
两点式方程
已知条件
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2
示意图
直线方程
＝
适用范围
斜率存在且不为零
思考：过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2，3)，(5，3)的直线呢？
[提示] 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直线也不能用两点式表示．
2．直线的截距式方程
名称
截距式方程
已知条件
在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0
示意图
直线方程
＋＝1
适用范围
斜率存在且不为零，不过原点
思考：方程－＝1和＋＝－1都是直线的截距式方程吗？
[提示] 都不是截距式方程．截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为1.
3．线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是
线段P1P2的中点，则
1．过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0
D．x－y－1＝0
D [由直线的两点式方程，得＝，化简得x－y－1＝0.]
2．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是( )
A.
＋＝0
B.
＋＝0
C.
＋＝1
D.
－＝1
C [由截距式得，所求直线的方程为＋＝1.]
3．如图，直线l的截距式方程是＋＝1，则a________0，b________0.
> < [M(a，0)，N(0，b)，由题图知M在x轴正半轴上，N在y轴负半轴上，所以a>0，b<0.]
4．过两点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距为________．
－ [直线方程为＝，化为截距式为＋＝1，则在x轴上的截距为－.]
直线的两点式方程
【例1】 (1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2，7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
(1)x＝2 (2)－2 [(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.
(2)由直线方程的两点式得
＝，即＝.
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，
则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.]
由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标．
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．
提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
1．在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
[解] (1)设点C(x，y)，由题意得＝0，＝0.
得x＝－5，y＝－3.故所求点C的坐标是(－5，－3).
(2)点M的坐标是，点N的坐标是(1，0)，
直线MN的方程是＝，即5x－2y－5＝0.
直线的截距式方程
【例2】 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
思路探究：
[解] 法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，此时直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二：设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等．
∴|－4k－3|＝，
解得k＝1或k＝－1或k＝－.
∴所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．
2．求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．
[解] 由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，
直线l的方程为y＝x；
当直线l在坐标轴上的截距不为零时，
设l的方程为＋＝1，
将点(5，2)代入方程得＋＝1，解得a＝，
所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.
综上知，所求直线l的方程为y＝x或x＋2y－9＝0.
直线方程的灵活应用
[探究问题]
1.
若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？
[提示] 点斜式.
若直线过两定点可选择两点式或点斜式．
2．若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？
[提示] 可选择斜截式．
3．若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？
[提示] 选择截距式较好．
【例3】 已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
思路探究：(1)
(2)
[解] (1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，
故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).
(2)设BC的中点M(a，b)，
则a＝＝，b＝＝－3，
所以M，
又BC边的中线过点A(－3，2)，
所以＝，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
1．本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线方程．
[解] 设AB边上的高线所在直线斜率为k，
∵kAB＝＝－，∴k＝，
又高线过点C(0，－2)，
∴由点斜式方程得高线所在直线方程为
y＋2＝(x－0)，即4x－3y－6＝0.
2．本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线方程．
[解] 由探究1知kAB＝－，即中位线所在直线斜率为－，由例题知BC的中点为，
所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为
y＋3＝－，即6x＋8y＋9＝0.
直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．
3．已知直线l经过点(1，6)和点(8，－8).
(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
[解] (1)由已知得直线l的两点式方程为＝，
所以＝，即＝x－1，
所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以＋＝1.
故所求截距式方程为＋＝1.
(2)如图，直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB，且OA⊥OB，|OA|＝4，|OB|＝8，
故S△AOB＝·|OA|·|OB|＝×4×8＝16.
故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16.
1．当直线没有斜率(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．
2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．
1．下列说法正确的是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
D [斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D.]
2．经过点A(2，5)，B(－3，6)的直线在x轴上的截距为( )
A．2
B．－3
C．－27
D．27
D [由两点式得＝，整理得x＋5y－27＝0.当y＝0时，x＝27.故应选D.]
3．直线－＝1在y轴上的截距是( )
A．|b|
B．－b2
C．b2
D．±b
B [令x＝0，得y＝－b2.]
4．直线2x＋y＋7＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则2a＋b的值为________．
－14 [当x＝0时，y＝－7，即b＝－7；当y＝0时，x＝－，即a＝－.∴2a＋b＝2×－7＝－14.]
5．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
[解] 设直线方程的截距式为＋＝1.
则＋＝1，解得a＝2或a＝1，
则直线方程是＋＝1或＋＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
PAGE3.2.3 直线的一般式方程
学
习
目
标
核
心
素
养
1.掌握直线的一般式方程．(重点)2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)
通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学学科素养．
直线的一般式方程
(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
(3)系数的几何意义：
①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
思考：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？
[提示] (1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．
(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．
(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．
1．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
C [直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.]
2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A.
A≠0
B.
B≠0
C.
A·B≠0
D.
A2＋B2≠0
D [方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
故选D.
]
3．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．
2x－y＋1＝0 [由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0.]
4．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线的一般式方程是________．
3x＋2y－6＝0 [由截距式得，所求直线的方程为＋＝1，即3x＋2y－6＝0.]
直线的一般式方程
【例1】 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4).
[解] (1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，
即x＋2y－4＝0.
(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.
(3)由截距式得＋＝1，
即2x－y－3＝0.
(4)由两点式得＝，
即x＋y－1＝0.
1．求直线的一般式方程的策略
(1)首先选择不同的形式求出直线方程，再整理成Ax＋By＋C＝0的形式．
(2)直线Ax＋By＋C＝0中虽然参数含有三个，但其实只需两个即可：或点与斜率，或斜率和截距，或两个截距等．
2．直线方程的几种形式的转化
提醒：在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件．
1．(1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是( )
A．3x＋4y＋7＝0
B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0
D．3x＋4y－42＝0
(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )
A． B．－5
C． D．－3
(1)B (2)D [(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项．
又y＝－x＋14过点(0，14)，即直线过第一象限，所以只有B项正确．
(2)令y＝0，则x＝－3.]
由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直
【例2】 (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[解] 法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.
解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即·＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
法二：(1)令2×3＝m(m＋1)，
解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
(1)若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).
(2)若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
2．与直线Ax＋By＋C＝0平行或垂直的直线方程的设法：与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.
2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直．
[解] 法一：由题设l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－.
(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又∵l′过(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为，
又过(－1，3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二：(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.
与含参数的一般式方程有关的问题
[探究问题]
1．直线kx－y＋1－3k＝0是否过定点？
若过定点，求出定点坐标．
[提示] kx－y＋1－3k＝0可化为y－1＝k(x－3)，由点斜式方程可知该直线过定点(3，1).
2．若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，k，b应满足什么条件？
[提示] 若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第四象限，则应满足k>0且b≥0.
【例3】 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
思路探究：(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.
[解] (1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－＝a，
∴直线l的斜率为a，且过定点A，
而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A.
以下同法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3.
1．本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？
[解] 由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a
≤3.
2．本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
[解] (1)当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．
(2)当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即
解得，所以a>1.
综上可知a≥1.
直线恒过定点的求解策略
(1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标．
(2)①将方程转化为f(x，y)m＋g(x，y)＝0；
②解方程组的解(x0，y0)；
③(x0，y0)即为含参数直线的定点．
1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．
2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减小失误．
1．直线＋＝1，化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4
B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0
D．4x＋3y＝12
C [直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.]
2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件( )
A.bc＝0
B．a≠0
C．bc＝0且a≠0
D．a≠0且b＝c＝0
D [y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为
b＝c＝0，a≠0.]
3．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________．
x－3y＋24＝0 [直线2x－3y＋12＝0的斜率为，所以kl＝.又直线2x－3y＋12＝0在y轴的截距为4，所以直线l在y轴上的截距为8，所以直线l的方程为y＝x＋8，即x－3y＋24＝0.]
4．已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．
y＋4＝(x－0) ＋＝1 y＝x－4 x－y－4＝0 [点斜式方程：y＋4＝(x－0)，截距式方程：＋＝1，斜截式方程：y＝x－4，一般式方程x－y－4＝0.]
5．已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．
(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
[解] (1)∵l1∥l2，∴
解得a＝2.
(2)l1⊥l2得a×3＋2×(a＋1)＝0，得a＝－.
PAGE3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
学
习
目
标
核
心
素
养
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点)2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点)3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点)
1.
通过两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学学科素养．2.
通过两点间距离学习，培养逻辑推理和直观想象的数学学科素养．
1．两条直线的交点坐标
几何元素及关系
代数表示
点A
A(a，b)
直线l
l：Ax＋By＋C＝0
点A在直线l上
Aa＋Bb＋C＝0
直线l1与l2的交点是A
方程组的解是
2.两直线的位置关系
法一：代数法
直线l1，l2联立得方程组?
(代数问题) (几何问题)
法二：几何法(前提条件：系数均不为零)
3．两点间的距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
(2)两点间距离的特殊情况
①原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝．
②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|．
③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|．
思考：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是否可以写成|P1P2|＝的形式？
[提示] 可以，原因是＝，也就是说公式中P1，P2两点的位置没有先后之分．
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2，2) B．(1，1) C．(1，2) D．(2，1)
C [由得交点坐标为(1，2)，故选C.]
2．已知A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为( )
A．5
B．
C．3
D．
B [由平面内两点间的距离公式可知|AB|＝＝.]
3．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是( )
A．2
B．3＋2
C．6＋3
D．6＋
C [|AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|AC|＝＝3，则△ABC的周长为6＋3.]
4．已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________．
1或－5 [由两点间距离公式得＝5，解得a＝1或－5.]
两直线的交点问题
【例1】 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点．
(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0；
(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；
(3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.
[解] (1)方程组的解为
因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1).
(2)方程组有无数个解，
这表明直线l1和l2重合．
(3)方程组无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
两条直线相交的判定方法
方法一
联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交
方法二
两直线斜率都存在且斜率不等
方法三
两直线的斜率一个存在，另一个不存在
1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0.
[解] (1)解方程组得
所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1).
(2)解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2.
两点间距离公式的应用
【例2】 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，试判断△ABC的形状．
[解] 法一：∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|.
∴△ABC是等腰直角三角形．
1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．
2．若等腰三角形ABC的顶点A(3，0)，底边BC的长为4，BC边的中点为D(5，4)，求等腰△ABC的腰长．
[解] 因为|BD|=|BC|=2，因为|AD|＝＝2.
在Rt△ABD中，由勾股定理得
|AB|＝＝＝2.
所以等腰△ABC的腰长为2.
经过两条直线交点的直线方程
[探究问题]
1.
如何求两条直线的交点坐标？
[提示] 求两条直线的交点坐标只需将两条直线方程联立解方程组即可．
2．已知直线过一定点如何求其方程？
[提示] 已知直线过定点求其方程，若斜率存在只需求出斜率即可．
3．怎样表示过两条直线交点的直线系方程？
[提示] 过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程).
【例3】 求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．
思路探究：→→
[解] 法一：解方程组
得所以两直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋＝－3，
即15x＋5y＋16＝0.
法二：设所求直线方程为
(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0.(
)
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，
所以有得λ＝.
代入(
)式，得x＋y＋＝0，
即15x＋5y＋16＝0.
1．本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？
[解] 由例题知直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为，直线l与x＋3y－1＝0平行，故斜率为－，所以直线l的方程为y＋＝－，即5x＋15y＋24＝0.
2．本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？
[解] 设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，
即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，
则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
3．直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，则直线l的方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x－y＝0
C．x＋2y＝0
D．x－2y＝0
B [设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0.]
1．方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).
2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法．
3．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．
1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
A.
B．
C．
D．
B [由得]
2．已知点M(－1，3)，N(5，1)，P(x，y)到M，N的距离相等，则x，y满足的条件是( )
A.x＋3y－8＝0
B．x－3y＋8＝0
C．x－3y＋9＝0
D．3x－y－4＝0
D [由两点间距离公式得
＝，
整理得3x－y－4＝0.]
3．直线ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10和直线2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．
－1 [由得
把x＝4，y＝－2代入ax＋2y＋8＝0得4a－4＋8＝0，解得a＝－1.]
4．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则＝________．
2 [由两点间的距离公式，得|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，故＝＝2.]
5．已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
[解] 设所求点P(x，0)，于是由|PA|＝|PB|得
＝，
即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.
所以，所求P点坐标为(1，0)，
|PA|＝＝2.
PAGE3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解点到直线距离公式的推导方法．(重点)2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点)3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点)
通过点到直线距离、两条平行线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养．
1．点到直线的距离
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
思考：在使用点到直线距离公式时对直线方程有什么要求？
[提示] 要求直线的方程应化为一般式．
2．两平行直线间的距离
(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离．
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．
思考：在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？
[提示] 两条平行直线的方程都是一般式，且x,
y对应的系数应分别相等．
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B． C．2 D．
D [d＝＝.]
2．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为( )
A．3
B．2
C．1
D.
C [d＝＝1.]
3．分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．
5 [d＝|3－(－2)|＝5.]
4．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________．
－4 [由＝，得m＝－4或m＝0，
又∵m<0，∴m＝－4.]
点到直线的距离
【例1】 求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.
[解] (1)把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.
(2)法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8.
法二：因为直线y＝6平行于x轴，
所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.
点到直线距离的求解方法
(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．
(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．
1．已知△ABC三个顶点坐标A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，求△ABC的面积S.
[解] 由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0.
由两点间距离公式得
|BC|＝＝2，
点A到BC的距离为d，即为BC边上的高，
d＝＝，
所以S＝|BC|·d＝×2×＝4，
即△ABC的面积为4.
两条平行线间的距离
【例2】 (1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________．
(1) (2)2x－y＋1＝0 [(1)由题意，得＝，
∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间距离公式，得＝＝.
(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得＝，解得C＝1，∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.]
求两条平行线间距离的方法
(1)求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.
但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
(2)转化为一条平行线上的点到另一条平行线的距离．
2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．
[解] 设与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间的距离公式得＝3，
解得b＝45或b＝－33.
所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0，
或5x－12y－33＝0.
距离公式的综合应用
[探究问题]
1.
两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B同时旋转(旋转过程两直线保持平行)，如果两条平行直线间的距离为d，你能求出d的变化范围吗？
[提示] 如图所示，显然有0故所求的d的变化范围为(0,
3].
2.上述问题中当d取得最大值时你能求出两条直线的方程吗？
[提示] 当d取最大值时，两条平行线都垂直于AB，所以k＝－＝－＝－3，故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
【例3】 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．
[解] 设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5).
由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去).∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
1．求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．
[解] 由例题知，正方形中心坐标为P(－1，0)，则与OP垂直的直线到原点的距离最大．∵kOP＝0，∴此时所求直线方程为x＝－1.
2．本例中条件不变，你能求出正方形对角线所在直线方程吗？
[解] 由可得交点坐标为，又正方形中心为P(－1，0)，
∴由两点式方程得对角线方程为：＝，即2x＋y＋2＝0.
由可得正方形另一顶点坐标为，又正方形中心为P(－1，0)，
∴由两点式得另一对角线方程为：＝，即x－2y＋1＝0.
综上可知正方形的两条对角线方程为x－2y＋1＝0或2x＋2y＋2＝0.
距离公式综合应用的三种常用类型
(1)最值问题
①利用对称转化为两点之间的距离问题．
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．
③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
(2)求参数问题
利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求方程的问题
立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
1．对点到直线的距离公式的两点说明
(1)适用范围：点到直线的距离公式适用于平面内任意一点到任意一条直线的距离．
(2)结构特点：公式中的分子是用点P(x0，y0)的坐标代换直线方程中的x，y，然后取绝对值，分母是直线方程中的x，y的系数的平方和的算术平方根．
特别提醒 在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程的形式．
2．对两条平行直线间的距离的两点说明
(1)这个距离与所选点的位置无关，但一般要选取特殊的点(如与坐标轴的交点).
(2)两条平行直线间的距离公式．
除了将两平行直线间的距离转化为点到直线的距离求解外，还可以利用两条平行直线间的距离公式d＝.
1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于( )
A．7 B．5 C．3 D．2
A [直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.]
2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为( )
A．9
B．11或－9
C．－11
D．9或－11
B [两平行线间的距离为d＝＝2，解得c＝－9或11.]
3．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是( )
A．
B．
C．2
D．
C [|OP|的最小值是点O到直线x＋y－4＝0的距离，由点到直线的距离公式得
d＝＝2，故应选C.]
4．直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________．
x－2y＋2＝0 [由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0，则＝，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.]
5．已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．
[解] 当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝＝2，
得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.
PAGE第3章
直线与方程
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
直线的倾斜角与斜率
【例1】 (1)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，求l1，l2的斜率．
(2)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．
[解] (1)由图形可知，α2＝α1＋90°，则k1，k2可求．
直线l1的斜率k1＝tan
α1＝tan
30°＝.
∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，
∴直线l2的斜率k2＝tan
120°＝－.
(2)由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan
45°＝1，
又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝kl，
即＝＝1，解得x2＝7，y1＝0.
求直线的倾斜角与斜率注意点
(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．
(2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．
1．(1)若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于________．
(2)如果直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．
(1)－9 (2)30° [(1)∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC.
∴＝，即b＝－9.
(2)因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.]
直线五种形式的方程的应用
【例2】 已知△ABC中，A(1，3)，AB，AC边上中线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程.
思路探究：本题利用中线的特殊点(即AB的中点D在AB边的中线上)可解出各顶点的坐标，然后利用两点式可求出各边的方程．
[解] 设AB，AC边的中线分别为CD，BE，其中D，E为中点，
∵点B在中线y－1＝0上，
∴设点B的坐标为(xB，1).
∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1，3)，
∴点D的坐标为.
∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，
∴－2×2＋1＝0，∴xB＝5.
∴点B的坐标为(5，1).
∵点C在直线x－2y＋1＝0上，
∴设点C的坐标为(2t－1，t).
∴AC的中点E的坐标为.
∵点E在中线BE：y＝1上，
∴＝1，∴t＝－1.
∴点C的坐标为(－3，－1)，
∴△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.
求直线方程的方法
(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．
(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单．
2．过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．
[解] (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；
(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2.
令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.
由题意得＝1，即k＝1.
则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，
即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0
综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
两条直线的位置关系
【例3】 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
[解] (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0.
即a2－a－b＝0，①
又点(－3，－1)在l1上，
∴－3a＋b＋4＝0.②
由①②解得a＝2，b＝2.
(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，
∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝.
故l1和l2的方程可分别表示为
l1：(a－1)x＋y＋＝0，
l2：(a－1)x＋y＋＝0.
∵原点到l1与l2的距离相等，
∴4＝，解得a＝2或a＝.
因此或
两条直线的位置关系的判断方法及注意点
(1)方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．
(2)注意点：解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．
3．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)l1⊥l2时，求a的值．
[解] (1)若l1∥l2，
则
∴a＝－1.
∴a＝－1时，l1∥l2.
(2)当l2的斜率不存在时，a＝1.
则l2：x＝0，l1：x＋2y＋6＝0.
显然l1与l2不垂直．
当l2斜率存在时，a≠1.
则k2＝，k1＝－.
∵l1⊥l2，
∴k1·k2＝·＝－1.
∴a＝.
距离公式的应用
【例4】 已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．
(1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值．
[解] (1)经过两已知直线交点的直线系方程为2x＋y－5＋λ(x－2y)＝0,
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝或λ＝2.
所以l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2，1)，过P作任一直线l(图略)，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).所以dmax＝|PA|＝.
距离公式的运用
(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离．
(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合．
(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力．
4．若P、Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A． B． C． D．
C [因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，
由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.]
对称问题
[探究问题]
1．怎样求点关于点的对称点？
[提示] 设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解．
2．怎样求点关于直线的对称点坐标？
[提示] 设出所求点坐标(x,
y)，利用中点坐标公式建立关于x,
y的第一个方程，再利用垂直关系建立x,
y的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解．
【例5】 光线通过点A(2,
3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1，1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
[解] 设点A(2，3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则
解之得，A′(－4，－3).
由于反射光线经过点A′(－4，－3)和B(1，1)，
所以反射光线所在直线的方程为
y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0.
解方程组得反射点P.
所以入射光线所在直线的方程为
y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0.
综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x－4y＋2＝0；4x－5y＋1＝0.
1．点关于直线对称的点的求法
点N(x0，y0)关于直线l：Ax＋By＋C＝0的对称点
M(x，y)可由方程组
求得．
2．直线关于直线的对称的求法
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于直线l的对称点，再用两点式求出l2的方程．
5．已知A(3，－1)，B(5，－2)，点P在直线x＋y＝0上，若|PA|＋|PB|取最小值，求点P的坐标．
[解] 点A(3，－1)关于直线x＋y＝0的对称点为A′(1，－3)，连线A′B与直线x＋y＝0的交点，即为所求的点，直线A′B的方程为y＋3＝(x－1)，即y＝x－，与x＋y＝0联立得x＝，y＝－.故点P.
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