4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学
习
目
标
核
心
素
养
1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点)2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)
通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学学科素养．
1．圆的标准方程
(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．
(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．
思考：平面内确定圆的要素是什么？
[提示] 圆心坐标和半径．
2.
点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，半径为r.
d与r的大小
点与圆的位置
d点P在圆内
d＝r
点P在圆上
d>r
点P在圆外
1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( )
A.(－2，3)，1
B．(2，－3)，3
C.(－2，3)，
D．(2，－3)，
D [由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为.]
2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( )
A.x2＋y2＝2
B.x2＋y2＝4
C.(x－2)2＋(y－2)2＝8
D.x2＋y2＝
B [以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.]
3．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A.在圆外
B．在圆内
C.在圆上
D．不确定
A [∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．]
4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．
(x＋2)2＋y2＝10 [因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，∴m＝10.即圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.]
求圆的标准方程
【例1】 求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．
思路探究：法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程．
[解] 法一：设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由已知条件知
解此方程组，得
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点C的坐标为(a，2－a).
又∵该圆经过A，B两点，
∴|CA|＝|CB|.
∴＝，
解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，
kAB＝＝－1，
所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，
所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，
即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，
由得
即圆心为(1，1)，圆的半径为＝2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
确定圆的方程的方法：
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．
1．求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)；
(3)以点A(3，－2)，B(－5，4)为直径两端点的圆的方程．
[解] (1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)|AB|＝＝10.
∴半径r＝5.
又圆心坐标为，即(－1，1).
所以圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25.
点与圆的位置关系
【例2】 已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
[解] 因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，
所以圆的半径r＝＝5，
所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因为|P1C|＝＝＝2<5，
所以P1(－1，0)在圆内；
因为|P2C|＝＝5，
所以P2(1，－1)在圆上；
因为|P3C|＝＝6>5，
所以P3(3，－4)在圆外．
1．判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；
(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．
2．灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
2．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
[解] 由题意，点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
∴2a＋5≥0，∴a≥－.∵a≠0，
∴a的取值范围为∪(0，＋∞).
与圆有关的最值问题
[探究问题]
1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？
[提示] 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值．
2．若点P(x,
y)是圆C：(x－2)2＋(y＋2)2＝1上的任一点，如何求点P到直线x－y＝0的距离的最大值和最小值？
[提示] 可先求出圆心(2，－2)到直线x－y＝0的距离，再将该距离加上或减去圆的半径1，即可得距离的最大值和最小值．
【例3】 已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值．
思路探究：首先观察x、y满足的条件，其次观察所求式子的几何意义，求出其最值．
[解] 由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
1．本例条件不变，试求的取值范围．
[解] 设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点(x,
y)与点(0,
0)连线的斜率，
由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即≤，解得－≤k≤.
即的取值范围是.
2．本例条件不变，试求x＋y的最值．
[解] 令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有＝，解得b＝±－1，即最大值为－1，最小值为－－1.
3．本例条件不变，求圆上点P与A(－3，0)、B(0，－3)所围成的三角形的面积的最大值和最小值．
[解] |AB|＝＝3.
圆心(－1，0)到直线AB：y＝－x－3的距离为
d＝＝，
∵圆(x＋1)2＋y2＝的半径为，
∴点P到直线AB的距离的最大值和最小值分别为＋，－.
∴S△PAB的最大值和最小值分别为：
(S△ABP)max＝×3×＝，
(S△PAB)min＝×3×(－)＝.
与圆有关的最值问题的常见类型及解法：
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x,
y)和(a,
b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－
x＋截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x,
y)到定点(a,
b)的距离的平方的最值问题．
1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．
2．判断点(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系的方法：
假设点(x0，y0)与圆心的距离为d，则
d＞r?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?在圆外；
d＝r?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?在圆上；
d＜r?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?在圆内．
3．与圆有关的最值问题，常借助于所求式的几何意义，利用数形结合的思想解题，渗透着直观形象的数学素养．
1．圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方程为( )
A.x2＋(y－4)2＝25
B．x2＋(y＋4)2＝25
C.(x－4)2＋y2＝25
D．(x＋4)2＋y2＝25
A [由题意，圆的半径r＝＝5，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25.]
2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A.－1
B．1
C.3
D．－3
B [圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2).
由条件知，(－1，2)适合于方程3x＋y＋a＝0，
所以－3＋2＋a＝0解得a＝1，故选B.]
3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________．
(x＋2)2＋y2＝4 [由题意知，圆心是(－2，0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.]
4．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．
[0，1) [由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.]
5．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圆方程．
[解] 易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，
所以圆心是斜边AC的中点(2，2)，半径是斜边长的一半，
即r＝，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
PAGE4.1.2 圆的一般方程
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目
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1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2．会在不同条件下求圆的一般式方程．(重点)
1.
通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学核心素养．2.
通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学核心素养．
圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念：
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为．
思考：所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？
[提示] 不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆．
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A.(2，3)
B．(－2，3)
C.(－2，－3)
D．(2，－3)
D [－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).]
2．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为( )
A.k≤
B．k＝
C.k≥
D．k<
D [方程表示圆?1＋1－4k>0?k<.]
3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0
B．x＋y－1＝0
C.x－y－1＝0
D．x－y＋1＝0
D [由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.]
4．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．
[∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝＝，∴m＝.]
圆的一般方程的概念
【例1】 (1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( )
A.R
B．(－∞，1)
C.(－∞，1]
D．[1，＋∞)
(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(1)B (2)(－2，－4) 5 [(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞，1).故选B.
(2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．]
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
[解] (1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，
∴它不能表示圆．
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．
∴它不能表示圆．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，
∴它不能表示圆．
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，
∴它表示以为圆心，为半径的圆．
求圆的一般方程
【例2】 求经过两点A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
[解] 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2.①
又A(4，2)，B(－1，3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
待定系数法求圆的方程的解题策略：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
2．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程．
[解] 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心坐标为.
∵圆与x＋3y－26＝0相切于点B，∴·＝－1，
即E－3D－36＝0.①
∵(－2，－4)，(8，6)在圆上，
∴2D＋4E－F－20＝0，②
8D＋6E＋F＋100＝0.③
联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，
故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.
与圆有关的轨迹方程问题
[探究问题]
1．已知点A(－1，0),
B(1，0)，则线段AB的中点的轨迹是什么？其方程又是什么？
[提示] 线段AB的中点轨迹即为线段AB的垂直平分线，其方程为x＝0.
2．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？
[提示] 设M(x，y)，由题意有＝2，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
【例3】 点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．
思路探究：(1)→→
(2)→→→
[解] (1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y).
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
求轨迹方程的一般步骤：
(1)建立适当坐标系，设出动点M
的坐标(x，y)；
(2)列出点M
满足条件的集合；
(3)用坐标表示上述条件，列出方程；
(4)将上述方程化简；
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
[解] 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0).
∴①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．
标准方程
一般方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝y2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
过(0，0)
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程，体现数学运算的核心素养．
3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点
B．一个圆
C．一条直线
D．不存在
A [方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2).]
2．若a∈{－2，0，1，3}，则方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0表示的圆的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
C [由(3a)2＋a2－4＞0，得a＜1，满足条
件的a只有－2与0，所以方程x2＋y2＋3ax＋ay＋a2＋a－1＝0表示的圆的个数为2.]
3．圆心是(－3，4)，经过点M(5，1)的圆的一般方程为________．
x2＋y2＋6x－8y－48＝0 [只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程即可．]
4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________．
4 [由题意，知D＝－4，E＝8，r＝＝4，∴F＝4.]
5．已知圆心为C的圆经过点A(1，0)，B(2，1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程．
[解] 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵圆心C在y轴上，∴D＝0.
又∵A(1，0)，B(2，1)在圆上，
∴解得
所以所求的圆的一般方程为x2＋y2－4y－1＝0.
PAGE4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
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1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．2．会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．3．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．
通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养．
1．直线与圆有三种位置关系
位置关系
交点个数
相交
有两个公共点
相切
只有一个公共点
相离
没有公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
一个
零个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
思考：用“代数法”与“几何法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点？
[提示] “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．
1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A.相交
B．相切
C.相离
D．无法判断
B [圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1.
∵d＝r，∴直线与圆相切．选B.]
2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝( )
A.1
B．
C.
D．2
D [直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.]
3．圆心在原点上且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________．
x2＋y2＝2 [圆的半径就是原点到直线x＋y－2＝0的距离，
∴r＝d＝＝.
所以所求圆的方程为x2＋y2＝2.]
4．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．
4 [由已知圆心C(3，1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝＝，则弦长＝2＝4.]
直线与圆的位置关系
【例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
[解] 法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
(1)∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0时，即－即直线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离
d＝＝.
(1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，
即直线与圆有两个公共点；
(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
(3)当d>2时，即－即直线与圆没有公共点．
直线与圆位置关系判断的三种方法：
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
求实数m，使直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
[解] 圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心为(3，0)，半径为r＝2，
圆心到直线的距离d＝.
(1)若直线与圆相交，则d＜r，
即＜2，
解得m＜－2或m＞2.
(2)若直线与圆相切，则d＝r，
即＝2，
解得m＝－2或2.
(3)若直线与圆相离，则d＞r，
即＞2，
解得－2＜m＜2.
求圆的切线方程
【例2】 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
思路探究：→
[解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
1．本例中若将点“A(4，－3)”改为“A(2，1)”，则结果如何？
[解] 因为(2－3)2＋(1－1)2＝1，
所以点A(2，1)在圆上，从而A是切点，
又过圆心(3,
1)与点A的直线斜率为0，
故所求切线的方程为y＝1.
2．若本例的条件不变，求其切线长．
[解] 因为圆心C的坐标为(3，1)，
设切点为B，则△ABC为直角三角形，
|AC|＝＝，
又|BC|＝r＝1，
则|AB|＝＝＝4，
所以切线长为4.
圆的切线的求法：
(1)点在圆上时：
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程x＝x0或y＝y0.
(2)点在圆外时：
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0).由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
特别注意：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
直线与圆的相交问题
[探究问题]
1．已知直线l与圆相交，如何利用通过求交点坐标的方法求弦长？
[提示] 将直线方程与圆的方程联立解出交点坐标，再利用|AB|＝求弦长．
2．若直线与圆相交、圆的半径为r、圆心到直线的距离为d，如何求弦长？
[提示] 通过半弦长、弦心距、半径构成的直角三角形，如图所示，求得弦长l＝2.
【例3】 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
思路探究：法一：
法二：
[解] 法一：圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，
其圆心坐标为(0，1)，半径r＝.
点(0，1)到直线l的距离为d＝＝，
l＝2＝，所以截得的弦长为.
法二：设直线l与圆C交于A、B两点．
由得交点A(1，3)，B(2，0)，
所以弦AB的长为|AB|＝＝.
3．若本例改为“过点(2，0)的直线被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长为，求该直线方程”，又如何求解？
[解] 由例题知，圆心C(0，1)，半径r＝，又弦长为，
所以圆心到直线的距离
d＝＝＝.
又直线过点(2，0)，知直线斜率一定存在，
可设直线斜率为k，则直线方程为y＝k(x－2)，
所以d＝＝，解得k＝－3或k＝，
所以直线方程为y＝－3(x－2)或y＝(x－2)，
即3x＋y－6＝0或x－3y－2＝0.
求弦长常用的三种方法：
(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝.
1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．
2．判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数．两者相比较，前者较形象、直观，便于运算．
3．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A.过圆心
B．相切
C.相离
D．相交但不过圆心
D [圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x＋4y＋12＝0的
距离为d＝＝＜r＝3.又点(1，－1)不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D.]
2．若直线y＝x＋a与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为( )
A.2
B．±
C.1
D．±1
B [由题意得＝1，所以a＝±，故选B.]
3．求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．
[解] 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴＝5，
解得k＝或k＝－.
∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
PAGE4.2.2 圆与圆的位置关系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.理解圆与圆的位置关系的种类．(重点、易错点)2．掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
(重点、难点)
通过圆与圆的位置关系的推导，提升逻辑推理、直观想象、数学运算的数学学科素养．
1．圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含．
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、r2的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝r1－r2
0＜d＜|r1－r2|
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
一元二次方程
思考：将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
[提示] 两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．
1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为( )
A.相离 B．相交 C．外切 D．内切
B [圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝2．设r＞0，两圆C1：(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与C2：x2＋y2＝16不可能( )
A.相切
B．相交
C.内切或内含或相交
D．外切或相离
D [圆C1的圆心为(1，－3)，圆C2的圆心为(0，0)，圆心距d＝，于是d＝＜4＋r，但可能有d＝|4－r|或d＜|4－r|，故两圆不可能外切或相离，但可能相交、内切、内含．]
3．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．
0或±2 [圆心距d＝，又r1＝1，r2＝5.
当两圆外切时＝6，解得a＝±2.
当两圆内切时＝4，解得a＝0.]
4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．
x＋3y＝0 [(x－1)2＋(y－3)2＝20化为一般式为：x2＋y2－2x－6y－10＝0，①
又圆x2＋y2＝10，即x2＋y2－10＝0，②
①－②得：x＋3y＝0，即为直线AB的方程．]
圆与圆的位置关系的判断
【例1】 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？
[解] 将两圆的一般方程化为标准方程，
C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，
C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.
圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1；
圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)，
从而|C1C2|＝＝5.
当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切．
当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切．
当|－1|＜5＜1＋，
即14＜k＜34时，两圆相交．
当1＋＜5时，
即34＜k＜50时，两圆外离．
判断圆与圆的位置关系的一般步骤：
(1)将两圆的方程化为标准方程(若圆方程已是标准形式，此步骤不需要).
(2)分别求出两圆的圆心坐标和半径长r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系．
(5)根据大小关系确定位置关系．
1．圆A的方程为x2＋y2－2x－2y－7＝0，圆B的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，判断圆A和圆B是否相交．若相交，求过两交点的直线的方程；若不相交，说明理由．
[解] 圆A的方程可写为(x－1)2＋(y－1)2＝9，
圆B的方程可写为(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
∴两圆心之间的距离满足3－2＜|AB|＝＝2＜3＋2，
即两圆心之间的距离小于两圆半径之和且大于两圆半径之差，∴两圆相交．
圆A的方程与圆B的方程左、右两边分别相减得－4x－4y－5＝0，
即4x＋4y＋5＝0为过两圆交点的直线的方程．
两圆相切问题
【例2】 (1)以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程为________．
(2)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.
思路探究：??
(1)(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169 (2)2或－5 [(1)设所求圆的半径为r，则＝|8－r|，所以r＝3或r＝13，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169.
(2)C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1,
m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.]
处理两圆相切问题的两个步骤：
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
2．求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
[解] 已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
则圆心为C(1，0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0).
由题意，可得解得
或
即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
两圆相交的问题
【例3】 求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝所截得的弦长.
思路探究：??
[解] 设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B的坐标是方程组
的解，
两式相减得x＋y－1＝0.
因为A，B两点的坐标满足x＋y－1＝0，
所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，
即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，
圆C3的圆心为(1，1)，其到直线AB的距离d＝，由条件知r2－d2＝－＝，
所以直线AB被圆C3截得的弦长为2×＝.
1．本例条件不变，如何求圆C1与圆C2的公共弦长？
[解] 由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0，对于圆C1：x2＋y2＝1，该圆的圆心到直线x＋y－1＝0的距
离为d＝＝，由条件知r2－d2＝1－＝，所以公共弦长为2×＝.
2．本例中若将圆C3的方程“(x－1)2＋(y－1)2＝”改为“(x－1)2＋(y－1)2＝4”，其他条件不变，又如何求解呢？
[解] 由题意将圆C1与圆C2的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为x＋y－1＝0.圆C3的圆心为(1，1)，其到直线l的距离d＝＝，由条件知，r2－d2＝4－＝，
所以弦长为2×＝.
1．两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
1．判断两圆的位置关系的方法
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．
(2)依据圆心距与两圆半径的和或两圆半径的差的绝对值的大小关系．
2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．
1．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A.1条 B．2条 C．3条 D．4条
B [因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2.]
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A.x＋y＋3＝0
B．2x－y－5＝0
C.3x－y－9＝0
D．4x－3y＋7＝0
C [AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.]
3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________．
1 [将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1.]
4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，求圆C的方程．
[解] 设圆C的半径为r，
圆心距为d＝＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
PAGE4.2.3 直线与圆的方程的应用
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解直线与圆的位置关系的几何性质．(重点)2．会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题．(重点、难点)3．会用数形结合的数学思想解决问题．
通过学习直线与圆的方程的应用，提升数学建模、直观想象、数学运算的数学学科素养．
用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”
1．一涵洞的横截面是半径为5
m的半圆，则该半圆的方程是( )
A.
x2＋y2＝25
B.
x2＋y2＝25(y≥0)
C.
(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)
D.
随建立直角坐标系的变化而变化
D [在不同坐标系下，方程也不同．]
2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )
A.4 B．3 C．2 D．1
C [圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝＝<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C.]
3．已知点A(3，0)及圆x2＋y2＝4，则圆上一点P到点A距离的最大值和最小值分别是________．
5,
1 [圆的半径为2，圆心到点A的距离为3，结合图形可知，圆上一点P到点A距离的最大值是3＋2＝5，最小值是3－2＝1.]
直线与圆的方程的实际应用问题
[探究问题]
1．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？
[提示] 从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即－2＝－2.
2．已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．
[提示] 如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．
则点B到AC的距离为20千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2＝20(千米).
所以B城市处于危险区内的时间为t＝＝1(小时).
【例1】 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1
km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7
km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8
km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．
思路探究：→
→
[解] 以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.
因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为
＋＝1，即x＋y＝8.
当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为－1＝(4－1)km.
即DE的最短距离为(4－1)km.
求解直线与圆的方程的实际应用问题的四个步骤
(1)认真审题，明确题意．
(2)建立平面直角坐标系，用方程表示直线和圆，从而在实际问题中建立直线与圆的方程．
(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题．
(4)把代数结果还原为实际问题的解释．
1．如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2
m，水面宽12
m，当水面下降1
m后，水面宽为
________
m.
2 [如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．
设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).将点A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1
m后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0)，
将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，∴当水面下降1
m后，水面宽为2x0＝2(m).]
坐标法证明几何问题
【例2】 如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足．利用坐标法证明E是CD的中点．
[证明] 如图所示，以O为坐标原点，以直径AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设⊙O的半径为r，|OE|＝m，则⊙O的方程为
x2＋y2＝r2，设C(m，b1)，D(m，b2).
则有m2＋b＝r2，m2＋b＝r2，
即b1，b2是关于b的方程m2＋b2＝r2的根，
解方程得b＝±，
不妨设b1＝－，b2＝，
则CD的中点坐标为，
即(m，0).故E(m，0)是CD的中点，即E是CD的中点．
坐标法建立直角坐标系应坚持的原则：
(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴．
(2)充分利用图形的对称性．
(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称．
(4)关键点的坐标易求得．
2．如图所示，在圆O上任取C点为圆心，作一圆C与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆O交于E，F，且EF与CD相交于H.
求证：EF平分CD.
[证明] 以AB所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，
设|AB|＝2r，D(a，0)，则|CD|＝，
所以C(a，)，
所以圆O：x2＋y2＝r2，圆C：(x－a)2＋(y－)2＝r2－a2.
两方程作差得直线EF的方程为
2ax＋2y＝r2＋a2.
令x＝a，得y＝，所以H，
即H为CD的中点，所以EF平分CD.
1．直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学研究中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有用坐标法解决几何问题的意识，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：
2．利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题．
1．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是( )
A.[1－2，1＋2]
B．[1－，3]
C.[－1，1＋2]
D．[1－2，3]
D [数形结合，利用图形进行分析．由y＝3－得(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4，1≤y≤3)，它表示以(2，3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示，当直线与圆相切时有＝2，得b＝1－2；当直线过点(0，3)时，b＝3，故选D.]
2．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝12
m，拱高CD＝4
m，则拱桥的直径为________．
13
m [设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝，所以拱桥的直径为13
m．]
3．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1，2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．
[∵点A(1，2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为.]
4．某操场400
m跑道的直道长为86.96
m，弯道是两个半圆弧，半径为36
m，以操场中心为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，求弯道所在的圆的方程.
[解] 易知题干图中上半个弯道所在圆的圆心坐标为C(0，43.48)，其所在圆的半径为36，
故上半个弯道所在圆的方程是x2＋(y－43.48)2＝362.
同理下半个弯道所在圆的方程是x2＋(y＋43.48)2＝362.
PAGE4.3 空间直角坐标系
学
习
目
标
核
心
素
养
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．(重点)2．掌握空间两点间的距离公式．(重点、难点)
通过学习空间直角坐标系，提升直观想象、数学运算的数学学科素养．
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系的特征
①三条轴两两相交且互相垂直；
②有相同的单位长度．
(2)相关概念
坐标原点
O
坐标轴
x轴、y轴、z轴
坐标平面
xOy平面、yOz平面、xOz平面
(3)右手直角坐标系要求
右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．
2.
空间一点的坐标
其中x→横坐标，y→纵坐标，z→竖坐标．
思考：给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？
[提示] 是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．
3．空间两点间的距离公式
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,
0,
0)的距离
|OP|＝．
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离
|P1P2|＝．
思考：空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？
[提示] 适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．
1．下列点在x轴上的是( )
A.
(0.1，0.2，0.3)
B.
(0，0，0.001)
C.
(5，0，0)
D.
(0，0.01，0)
C [x轴上的点的纵坐标和竖坐标为0.]
2．点P(1，－2，5)到xOy平面的距离为( )
A.1
B．2
C.－2
D．5
D [点P(1，－2，5)在xOy平面上的射影是P′(1，－2，0)，则点P(1，－2，5)到xOy平面的距离为|PP′|＝5.]
3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是( )
A.－3或4
B．6或2
C.3或－4
D．6或－2
D [由题意得＝2，解得x＝－2或x＝6.]
4．在空间直角坐标系中，点(2，－1，3)关于y轴的对称点是________，关于平面yOz的对称点是________．
(－2，－1，－3) (－2，－1，3) [根据空间直角坐标系的特征，点(2，－1，3)关于y轴的对称点为(－2，－1，－3)，关于yOz平面的对称点为(－2，－1，3).]
求空间中点的坐标
【例1】 如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．
[解] 如图，过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1.
由|BM|＝2|MC1|，知|MM1|＝|CC1|＝，
|M1C|＝|BC|＝.
因为M1M∥DD1，所以M1M与z轴平行，点M1与点M的横坐标、纵坐标相同，点M的竖坐标为，所以M.
由N1为DM1的中点，知N1.
因为N1N与z轴平行，且|N1N|＝＝，
所以N.
求某点P的坐标的方法：
先找到点P在xOy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号与坐标轴同向为正，反向为负，即可得到相应的点P的坐标．
1．已知正四棱锥P?ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．
[解] 因为|PO|＝＝＝12，
所以各顶点的坐标分别为P(0，0，12)，
A，B，C，D.
空间中点的对称问题
【例2】 在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．
[解] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4).
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12).
求空间对称点的规律方法
设P(x，y，z)，则它的对称点如表
关于x轴对称
(x，－y，－z)
关于y轴对称
(－x，y，－z)
关于z轴对称
(－x，－y，z)
关于原点对称
(－x，－y，－z)
关于平面xOy对称
(x，y，－z)
关于平面yOz对称
(－x，y，z)
关于平面xOz对称
(x，－y，z)
2．求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标．
[解] 如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1，2，1).
过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，
则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2，1).
∴点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为
C(1，2，1)；点A(1，2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2，1).
空间中两点间的距离问题
[探究问题]
1．已知两点P(1，0，1)与Q(4，3，－1)，请求出P、Q之间的距离．
[提示] |PQ|＝＝.
2．上述问题中，若在z轴上存在点M，使得|MP|＝|MQ|，请求出点M的坐标．
[提示] 设M(0，0，z)，由|MP|＝|MQ|，得(－1)2＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(－1－z)2，∴z＝－6.∴M(0，0，－6).
【例3】 如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求线段MN的长度.
思路探究：→→
[解] 如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，
∵N为CD1的中点，∴N.
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，
∴M(1，1，2).由两点间距离公式，得
|MN|＝＝.
1．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤
2．空间直角坐标系中中点坐标公式
若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
则线段P1P2的中点坐标为.
3．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝________．
－5或7 [∵|AB|＝11，∴(6－4)2＋(2＋7)2＋(z－1)2＝112，化简得(z－1)2＝36，即|z－1|＝6，∴z＝－5或7.]
1．结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力．
2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．
3．在导出空间两点间的距离公式中体会转化化归思想的应用，突出了化空间为平面的解题思想．
1．点(2，0，3)在空间直角坐标系中的( )
A．y轴上
B．xOy平面上
C．xOz平面上
D．第一象限内
C [点(2，0，3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上．]
2．在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于xOy平面对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
A [点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．]
3．以棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为( )
A．
B．
C．
D．
B [由题图得A(0，0，0)，B1(1，0，1)，所以对角线的交点即为AB1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为.]
4．如图所示，V?ABCD是正四棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
[解] ∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.
∵O点是坐标原点，
∴C(1，1，0)，同样的方法可以确定B(1，－1，0)，A(－1，－1，0)，D(－1，1，0).
∵V在z轴上，∴V(0，0，3).
PAGE第4章
圆与方程
[巩固层·知识整合]
[提升层·题型探究]
求圆的方程
【例1】 求圆心在圆＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－都相切的圆的方程．
[解] 设圆心坐标为(a，b)，半径为r，
因为圆＋y2＝2在直线x＝－的右侧，且所求的圆与x轴和直线x＝－都相切，所以a＞－.
所以r＝a＋，r＝|b|.
又圆心(a，b)在圆＋y2＝2上，
所以＋b2＝2，联立
解得
所以所求圆的方程是＋(y－1)2＝1，
或＋(y＋1)2＝1.
采用待定系数法求圆的方程的一般步骤
(1)选择圆的方程的某一形式．
(2)由题意得a,
b,
r(或D,
E,
F)的方程(组).
(3)解出a,
b,
r(或D,
E,
F).
(4)代入圆的方程．
1．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y－29＝0相切，求圆的方程．
[解] 设圆心为M(m，0)(m∈Z)，
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，
所以＝5，即|4m－29|＝25，
因为m为整数，故m＝1，
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.
直线与圆的位置关系
【例2】 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
[解] (1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4,
－3).
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)如图，当圆心C(3,
－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，所以直线l的斜率为－，所以m＝－.
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5，
所以|AP|2＝|AC|2－|PC|2＝25－10＝15，
所以|AP|＝，所以|AB|＝2，
即最短弦长为2.
直线与圆位置关系的判断：
求出圆心到直线的距离d与r比较或由直线与圆联立方程组消去一个变量，得到一元二次方程，判断判别式△的符号
d＞r?相离?△＜0
d＝r?相切?△＝0
d＜r?相交?△＞0
2．已知圆C关于直线x＋y＋2＝0对称，且过点P(－2,
2)和原点O.
(1)求圆C的方程；
(2)相互垂直的两条直线l1，l2都过点A(－1,
0)，若l1，l2被圆C所截得弦长相等，求此时直线l1的方程．
[解] (1)由题意知，直线x＋y＋2＝0过圆C的圆心，设圆心C(a,
－a－2).
由题意，得(a＋2)2＋(－a－2－2)2＝a2＋(－a－2)2，解得a＝－2.
因为圆心C(－2，0)，半径r＝2，
所以圆C的方程为(x＋2)2＋y2＝4.
(2)由题意知，直线l1，l2的斜率存在且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，
所以l1：y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
l2：y＝－(x＋1)，即x＋ky＋1＝0.
由题意，得圆心C到直线l1，l2的距离相等，
所以＝，解得k＝±1，
所以直线l1的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.
圆与圆的位置关系
【例3】 已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2,
3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．
[解] (1)证明：把圆C1与圆C2都化为标准方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.
圆心与半径长分别为C1(－2，2)，r1＝；
C2(4，－2)，r2＝.
因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2，
所以圆C1与圆C2相切．
由得12x－8y－12＝0，
即3x－2y－3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程．
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为
x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.
点(2,
3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝.
所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0.
判断两圆位置关系的两种比较方法：
(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系，(其中R＞r)
d＞R＋r?外离，
d＝R＋r?外切，
R－r＜d＜R＋r?相交，
d＝R－r?内切，
0≤d＜R－r?内含．
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．
3．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A,
B两点，则线段AB的中垂线方程为________．
x＋y－3＝0 [AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2.
又C1(3，0)，C2(0，3)，所以C1C2所在直线的方程为x＋y－3＝0.]
空间中点的坐标及距离公式的应用
【例4】 如图，已知正方体ABCD?A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，试求|MN|的长．
[解] 由题意应先建立坐标系，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
因为正方体棱长为a，所以B(a，a，0)，A′(a，0，a)，C′(0，a，a)，D′(0，0，a).由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，所以M，O′.
因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N.
根据空间两点间的距离公式，
可得|MN|＝＝a.
求空间中坐标及两点间距离方法及注意点：
(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．
(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般来说，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．
4．如图所示，直三棱柱ABC?A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
[解] 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，
由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
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