2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市香坊区八年级上学期期末数学试卷（五四学制） （Word版 含解析）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市香坊区八年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（共10小题）.
1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+a2＝a4
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a6
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（　　）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
5．如果分式中的x、y都扩大到原来的2倍，那么下列说法中，正确的是（　　）
A．分式的值不变
B．分式的值缩小为原来的
C．分式的值扩大为原来的2倍
D．分式的值扩大为原来的4倍
6．正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了24cm2，则这个正方形原来的面积是（　　）
A．15cm2 B．25cm2 C．36cm2 D．49cm2
7．下列说法正确的是（　　）
A．如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形
8．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
9．某校组织540名学生去外地参观，现有A，B两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆．设A型客车每辆坐x人，根据题意可列方程（　　）
A．﹣＝6 B．﹣＝6
C．﹣＝6 D．﹣＝6
10．如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE交DC于点F，下列结论：①CD＝BE；②FA平分∠DFE；③∠BFC＝120°；④＝．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二.填空题（共10小题）.
11．在2020年，新型冠状病毒威胁着人类的健康，一种新型冠状病毒的直径大约是120纳米，也就是0.00000012米，将0.00000012用科学记数法表示为　 　．
12．使分式有意义的x的取值范围为　 　．
13．化简﹣3的结果为　 　．
14．把多项式4mx2﹣my2因式分解的结果是　 　．
15．若am＝2，an＝5，则am﹣n＝　 　．
16．如图，△ABC中，点P、点Q是边BC上的两个点，若BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠PAC的度数为　 　°．
17．若a+b＝7，ab＝12，则a2+b2的值为　 　．
18．如图，△ABC中，AB＝AC，BH⊥AC，垂足为点H，BD平分∠ABH，点E为BH上一点，连接DE，∠BDE＝45°，DH：CH＝3：2，BE＝10，则CH＝　 　．
19．等腰△ABC中，腰AB的垂直平分线交AC于点D，若∠A＝40°，则∠DBC的度数为　 　．
20．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE＝DF，∠BAG＝∠ABC＝45°，BC+AG＝20，AE＝2EF，则AF＝　 　．
三、解答题（共计60分）
21．计算：
（1）（x3）2?（﹣2x2y3）2；
（2）（a﹣3）（a+3）+（2a+1）2．
22．先化简，再求值：÷（﹣），其中x＝20200+2﹣2．
23．如图，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点为格点，线段AB的两个端点均在格点上．
（1）画出以AB为底的等腰△ABC，点C在格点上，且△ABC的面积为10；
（2）画出△ABC中AB上的高CD，点D在AB上，点E在AC上，满足CE＝AC，请在CD上找一点F，使得点F到点A，点E的距离和最小．（保留作图痕迹）
24．已知：等边△ABC，点D为AC上一点，DF⊥BC，垂足为点F，点E为BC延长线上一点，分别连接DB、DE，AD＝CE．
（1）如图1，AD≠CD，求证：BF＝EF；
（2）如图2，点G为BC中点，连接DG，若AD＝CD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有是△DFG面积二倍的三角形．
25．某商厦利用8000元的资金购进一批运动服，面市后供不应求．于是，商厦再次利用17600元购进同样的运动服，第二批购进的数量是第一批购进数量的2倍，且每套运动服的进价比第一批多4元，商厦销售运动服时每套的预售价都是58元．
（1）求第一批运动服的进价为每套多少元？
（2）按预售价销售一段时间后，根据市场的实际情况，商厦决定将剩余部分运动服打五折销售，要使销售这两批运动服的总利润不少于6300元，商厦打折销售的该运动服至多为多少套？
26．已知：△ABC中，AB＝AC，点H为BC中点，连接AH，点D为AB上一点，连接CD交AH于点F，点E为BH上一点，连接DE，∠AFD＝∠ACB+∠BDE．
（1）如图1，求证：CD⊥DE；
（2）如图2，过点B作AC的平行线，交DE的延长线于点G，连接CG，DH，若BD＝DH，求证：BG+AC＝CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P为CG上一点，CP＝CA，连接PH，若∠BAC＝120°，PH＝6，∠PHB+∠ADF＝90°，求线段CD的长．
27．在平面直角坐标系中，直线AC分别与x轴、y轴交于点A、C，直线BC交x轴于点B，交y轴于点C，OC＝3OA，OB＝OC，△ABC的面积为24．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，点E为OC上一点，连接AE并延长至点D，分别连接BD，BE，延长BE交AC于点K，若BK⊥AC，BD＝AC，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为第一象限内一点，分别连接FB、FE、FD，点G为OB上一点，连接DG，DG＝DB，BF∥DG，∠DFB＝∠BEF+90°，延长DF交x轴于点M，求点M的坐标．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
2．下列运算正确的是（　　）
A．a6÷a2＝a3 B．a2+a2＝a4
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a6
解：A、a6÷a2＝a4，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a2+a2＝2a2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a3）2＝a6，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝3，不符合题意；
C、＝2，不符合题意；
D、＝，不符合题意．
故选：A．
4．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（　　）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
解：①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；
②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；
综合上述：三角形的周长是17，
故选：C．
5．如果分式中的x、y都扩大到原来的2倍，那么下列说法中，正确的是（　　）
A．分式的值不变
B．分式的值缩小为原来的
C．分式的值扩大为原来的2倍
D．分式的值扩大为原来的4倍
解：把分式中的x、y都扩大到原来的2倍，
则原式可变为：＝＝，
故分式的值扩大为原来的2倍．
故选：C．
6．正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了24cm2，则这个正方形原来的面积是（　　）
A．15cm2 B．25cm2 C．36cm2 D．49cm2
解：设正方形的边长是xcm，根据题意得：（x+2）2﹣x2＝24，
解得：x＝5．
则这个正方形原来的面积是25cm2，
故选：B．
7．下列说法正确的是（　　）
A．如果两个三角形全等，则它们是关于某条直线成轴对称的图形
B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形
C．等边三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形
D．一条线段是关于经过该线段中点的中线成轴对称的图形
解：A、如果两个三角形全等，则它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，所以选项A不正确；
B、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，所以选项B正确；
C、三角形的中线是线段，而对称轴是直线，应该说等边三角形是关于一条边上的中线所在直线成轴对称的图形，所以选项C不正确；
D、一条线段是关于经过该线段中垂线成轴对称的图形，所以选项D不正确；
故选：B．
8．如图（1），在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（　　）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣b2，
图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
9．某校组织540名学生去外地参观，现有A，B两种不同型号的客车可供选择．在每辆车刚好满座的前提下，每辆B型客车比每辆A型客车多坐15人，单独选择B型客车比单独选择A型客车少租6辆．设A型客车每辆坐x人，根据题意可列方程（　　）
A．﹣＝6 B．﹣＝6
C．﹣＝6 D．﹣＝6
解：由题意可得：﹣＝6，
故选：B．
10．如图，以△ABC的边AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE交DC于点F，下列结论：①CD＝BE；②FA平分∠DFE；③∠BFC＝120°；④＝．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解：过点A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，过点C作CH⊥BE于H，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ADC和△ABE中，
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠AEB＝∠ACD，故①正确
∵△ADC≌△ABE，
∴AM＝AN，
∵AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，
∴AF平分∠DFE，故②正确，
∵∠AEB＝∠ACD，
∴∠AEC+∠ACE＝120°＝∠AEB+∠BEC+∠ACE，
∴∠ACF+∠BEC+∠ACE＝120°，
∴∠BFC＝120°，故③正确，
∴∠DFE＝120°，
∴∠DFA＝∠EFA＝60°＝∠CFE，
∵AN⊥BE，CH⊥EF，
∴∠FAN＝∠FCH＝30°，
∴AF＝2FN，AN＝FN，FC＝2FH，HC＝FN，
∴AN＝AF，HC＝FC，
∴＝＝，故④正确，
故选：A．
二.填空题（每小题3分，共计30分）
11．在2020年，新型冠状病毒威胁着人类的健康，一种新型冠状病毒的直径大约是120纳米，也就是0.00000012米，将0.00000012用科学记数法表示为　1.2×10﹣7　．
解：0.00000012＝1.2×10﹣7，
故答案为：1.2×10﹣7．
12．使分式有意义的x的取值范围为　x≠﹣2　．
解：当分母x+2≠0，即x≠﹣2时，分式有意义．
故填：x≠﹣2．
13．化简﹣3的结果为　　．
解：原式＝2﹣
＝．
故答案为：．
14．把多项式4mx2﹣my2因式分解的结果是　m（2x+y）（2x﹣y）　．
解：原式＝m（4x2﹣y2）＝m（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：m（2x+y）（2x﹣y）
15．若am＝2，an＝5，则am﹣n＝　　．
解：∵am＝2，an＝5，
∴am﹣n＝am÷an＝．
故填．
16．如图，△ABC中，点P、点Q是边BC上的两个点，若BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠PAC的度数为　90　°．
解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．
又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ＝30°，
∴∠PAC＝∠PAQ+∠QAC＝60°+30°＝90°，
故答案为：90．
17．若a+b＝7，ab＝12，则a2+b2的值为　25　．
解：∵a+b＝7，ab＝12，
∴a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝72﹣2×12
＝25．
故答案为：25．
18．如图，△ABC中，AB＝AC，BH⊥AC，垂足为点H，BD平分∠ABH，点E为BH上一点，连接DE，∠BDE＝45°，DH：CH＝3：2，BE＝10，则CH＝　4　．
解：延长DE交BC于F，
∵AB＝AC，
设∠A＝2α，则∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α，
∵BH⊥AC，
∴∠HBC＝90°﹣∠ACB＝α，
∠A+∠ABH＝90°，
∵BD平分∠ABH，
∴∠DBH＝∠ABH＝45°﹣α，
∴∠DBF＝45°﹣α+α＝45°，
∴∠BDF＝∠DBF＝45°，∠DFB＝∠DFC＝90°，
∴DF＝BF，
∵∠DFB＝∠DHB＝90°，
∴∠CDF＝∠EBF，
在△BEF和△DCF中，
，
∴△BEF≌△DCF（AAS），
∴BE＝CD＝CH+DH＝10，
∵DH：CH＝3：2，
∴CH＝4．
故答案为：4．
19．等腰△ABC中，腰AB的垂直平分线交AC于点D，若∠A＝40°，则∠DBC的度数为　30°或60°　．
解：当∠A是顶角时，如图1，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝＝70°，
∵AB的垂直平分线MN交边AC于点D，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝70°﹣40°＝30°，
当∠A是底角时，如图2，
∵AB＝BC，∠A＝40°，
∴∠C＝∠A＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∵AB的垂直平分线MN交边AC于点D，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBA＝100°﹣40°＝60°，
故答案为30°或60°．
20．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE＝DF，∠BAG＝∠ABC＝45°，BC+AG＝20，AE＝2EF，则AF＝　12　．
解：延长AF、BC，交于点H，如图：
∵AF⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠BAH＝90°，∠AHB＝90°﹣∠ABC＝45°，
∴△ABH为等腰直角三角形，
∴AH＝AB，
∵∠BAH＝90°，∠BAG＝45°，∠AHB＝45°，
∴∠GAE＝∠BAG＝∠AHB＝45°，
∵AC⊥BD，
∴∠ABG+∠BAC＝90°，
∵∠BAC+∠HAC＝∠BAH＝90°，
∴∠ABG＝∠HAC，
在△ABG和△HAC中，
，
∴△ABG≌△HAC（ASA），
∴AG＝HC，
BH＝BC+CH＝BC+AG＝20，
在等腰直角三角形△ABH中，AH＝AB，∠BAH＝90°，由勾股定理得：
AB2+AH2＝BH2，
∴AB＝AH＝20，
∵AE＝2EF，
∴设EF＝x，则AE＝2x，
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴∠AEG＝∠HFC，
∵∠AHB＝∠GAE＝45°，
∴∠AGE＝135°﹣∠HFC＝∠FCH，
在△AGE和△HCF中，
，
∴△AGE≌△HCF（AAS），
∴FH＝AE＝2x，
∴AH＝AE+EF+FH＝5x＝20，
解得：x＝4，
∴AF＝AE+EF＝3x＝12，
故答案为：12．
三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．计算：
（1）（x3）2?（﹣2x2y3）2；
（2）（a﹣3）（a+3）+（2a+1）2．
解：（1）原式＝x6?4x4y6
＝4x10y6．
（2）原式＝a2﹣9+4a2+4a+1
＝5a2+4a﹣8．
22．先化简，再求值：÷（﹣），其中x＝20200+2﹣2．
解：÷（﹣）
＝÷
＝
＝，
当x＝20200+2﹣2＝1+＝，原式＝＝．
23．如图，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点为格点，线段AB的两个端点均在格点上．
（1）画出以AB为底的等腰△ABC，点C在格点上，且△ABC的面积为10；
（2）画出△ABC中AB上的高CD，点D在AB上，点E在AC上，满足CE＝AC，请在CD上找一点F，使得点F到点A，点E的距离和最小．（保留作图痕迹）
解：（1）如图，△ABC即为所求作．
（2）如图，线段CD，点F即为所求作．
24．已知：等边△ABC，点D为AC上一点，DF⊥BC，垂足为点F，点E为BC延长线上一点，分别连接DB、DE，AD＝CE．
（1）如图1，AD≠CD，求证：BF＝EF；
（2）如图2，点G为BC中点，连接DG，若AD＝CD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有是△DFG面积二倍的三角形．
【解答】证明：作DM∥BC交AB于M，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∴∠DCE＝120°，
∵DM∥BC，
∴∠AMD＝60°，
∴∠BMD＝120°，△AMD为等边三角形，
∴AD＝DM＝AM，
∵AD＝CE，
∴DM＝EC，
∴AB﹣AM＝AC﹣AD，
∴MB＝DC，
在△BMD和△DCE中，
，
∴△BMD≌△DCE（SAS），
∴BD＝DE，
而DF⊥BC，
∴BF＝EF；
（2）∵AD＝CD，△ABC是等边三角形，
∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴BC＝2CD，
∵∠ACB＝60°，DF⊥BC，
∴∠CDF＝30°，
∴CD＝2CF，
∴BC＝4CF，BF＝3CF，
∵G是BC中点，
∴BG＝GC＝2CF＝AD＝CE，
∴△DGC，△DBG，△DCE的面积是△DFG面积的二倍．
25．某商厦利用8000元的资金购进一批运动服，面市后供不应求．于是，商厦再次利用17600元购进同样的运动服，第二批购进的数量是第一批购进数量的2倍，且每套运动服的进价比第一批多4元，商厦销售运动服时每套的预售价都是58元．
（1）求第一批运动服的进价为每套多少元？
（2）按预售价销售一段时间后，根据市场的实际情况，商厦决定将剩余部分运动服打五折销售，要使销售这两批运动服的总利润不少于6300元，商厦打折销售的该运动服至多为多少套？
解：（1）设第一批运动服的进价为每套x元，则第二批运动服的进价为每套（x+4）元，
依题意得：×2＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意．
答：第一批运动服的进价为每套40元．
（2）第一批购进运动服的数量为8000÷40＝200（套），
第二批购进运动服的数量为200×2＝400（套）．
设商厦打折销售的该运动服为m套，
依题意得：58（200+400﹣m）+58×0.5m﹣8000﹣17600≥6300，
解得：m≤100．
答：商厦打折销售的该运动服至多为100套．
26．已知：△ABC中，AB＝AC，点H为BC中点，连接AH，点D为AB上一点，连接CD交AH于点F，点E为BH上一点，连接DE，∠AFD＝∠ACB+∠BDE．
（1）如图1，求证：CD⊥DE；
（2）如图2，过点B作AC的平行线，交DE的延长线于点G，连接CG，DH，若BD＝DH，求证：BG+AC＝CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P为CG上一点，CP＝CA，连接PH，若∠BAC＝120°，PH＝6，∠PHB+∠ADF＝90°，求线段CD的长．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，H为BC的中点，
∴∠B＝∠ACB，AH⊥BC，
∴∠CHF＝90°，
∵∠DEC＝∠BDE+∠B，
∴∠DEC＝∠BDE+∠ACB，
∵∠AFD＝∠ACB+∠BDE，
∴∠AFD＝∠DEC，
∵∠CFH＝∠AFD，
∴∠DEC＝∠CFH，
∵∠CFH+∠DCE＝90°，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝180°﹣（∠DCE+∠DEC）＝90°，
∴CD⊥DE；
（2）证明：由（1）得，∠AHB＝90°，
∵BD＝DH，
∴∠DBH＝∠DHB，
∴90°﹣∠DBH＝90°﹣∠DHB，
∴∠DAH＝∠DHA，
∴DH＝AD，
∴BD＝AD，
如图2，延长GD交CA的延长线于M，
∵BG∥AC，
∴∠M＝∠BGD，∠DAM＝∠DBG，
∴△DBG≌△DAM（AAS），
∴DG＝DM，AM＝BG，
由（1）知，CD⊥DE，
∴CG＝CM，
∴CG＝CM＝AM+AC＝BG+AC；
（3）解：如图3，
延长GD交CA的延长线于M，连接AP交CD于Q，连接BP交DG于N，连接DP，延长PH交CD于K，连接AK，在DC上取一点R，使DR＝HK，
由（2）知，∠DAM＝∠DBG，BD＝AD，
∵CP＝CA，
∴CD⊥AP，CD平分AP，
∴AD＝DP，∠CQP＝90°，
∵BD＝AD＝DP，
∴∠DBP＝∠DPB，∠DPA＝∠DAP，
∵∠ABP+∠APB+∠BAP＝180°，
∴∠DBP+∠DPB+∠DPA+∠DAP＝180°，
∴∠APB＝90°，
∴∠CQP＝∠APB，
∴CD∥PB，
∴∠HBP＝∠HCK，∠HPB＝∠HKC，
∵BH＝CH，
∴△HKC≌△HPB（AAS），
∴HK＝PH＝6，CK＝PB，
∴PK＝PH+HK＝6+6＝12，
∵点K在CD上，
∴AK＝PK＝12，
∵∠AHK+∠PHB＝180°﹣∠AHB＝90°，
∵∠PHB+∠ADF＝90°，
∴∠AHK＝∠ADF，
∵AD＝AH，DR＝HK，
∴△ADR≌△AHK（SAS），
∴AR＝AK，∠DAR＝∠HAK，
∴QR＝QK，∠DAR+∠RAF＝∠HAK+∠RAF，
∴∠DAF＝∠RAK，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠DAF＝∠BAC＝60°，
∴△ARK是等边三角形，
∴KR＝AK＝12，
∵AP⊥CD，
∴RQ＝KR＝6，
∴DQ＝DR+RQ＝6+6＝12，
∵∠CDG＝90°，
∴∠CDE＝∠CQP，
∴MG∥AP，
∴∠APB+∠DNP＝180°，
∴∠DNP＝90°，
∵BD＝DP，
∴BN＝NP，
∵MG∥AP，
∴∠NDP＝∠QPD，
∵∠DNP＝∠CQP＝90°，DP＝DP，
∴△NDP≌△QPD（AAS），
∴DQ＝PN＝12，
∴PB＝2PN＝2DQ＝24，
∴CK＝PB＝24，
∴CD＝DR+KR+CK＝6+12+24＝42，
即线段CD的长为42．
27．在平面直角坐标系中，直线AC分别与x轴、y轴交于点A、C，直线BC交x轴于点B，交y轴于点C，OC＝3OA，OB＝OC，△ABC的面积为24．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，点E为OC上一点，连接AE并延长至点D，分别连接BD，BE，延长BE交AC于点K，若BK⊥AC，BD＝AC，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为第一象限内一点，分别连接FB、FE、FD，点G为OB上一点，连接DG，DG＝DB，BF∥DG，∠DFB＝∠BEF+90°，延长DF交x轴于点M，求点M的坐标．
解：（1）如图1中，
∵OB＝OC，OC＝3OA，
∴AB＝OA+OB＝4OA，
∵△ABC的面积为24，
∴?AB?OC＝24，
∴?4OA?3OA＝24，
∴OA＝2，
∴A（﹣2，0）．
（2）如图2中，过点D作DH⊥OB于H．
∵∠AOC＝90°，
∴∠ACO+∠CAO＝90°，
∵BK⊥AC，
∴∠AKB＝90°，
∴∠CAO+∠ABK＝90°，
∴∠ACO＝∠ABK，
∵∠AOC＝∠BOE，OC＝OB，
∴△CAO≌△BEO（ASA），
∴AC＝BE，OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AEO，
∵∠DHA＝∠COA＝90°，
∴DH∥OC，
∴∠ADH＝∠AEO＝∠OAE，
∵BD＝AC，
∴BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠BED﹣∠OAE＝∠BDE﹣∠AHD，
即∠BDH＝∠EBO，
∵∠DHB＝∠EOB＝90°，
∴△DHB≌△BOE（AAS），
∴DH＝OB＝3OA＝3×2＝6，BH＝OE＝OA＝2，
∴OH＝OB﹣BH＝6﹣2＝4，
∴D（4，6）．
（3）如图3中，延长KB交DM的延长线于N，过点D作DH⊥OB于H．
∵DG＝DB，
∴∠DGB＝∠DBG，
由（1）（2）可知∠DBG＝∠BEO，∠BEO＝∠CAO，
∴∠DGB＝∠CAO，
∴AC∥GD，
∵BF∥DG，
∴BF∥AC，
∴∠FBK+∠BKC＝180°，
∴∠FBK＝180°﹣90°＝90°，
设∠FEB＝α，则∠EFB＝90°﹣α，
∵∠DFB＝∠BEF+90°，
∴∠DFB＝90°+α，
∴∠BFN＝90°﹣α，
∴∠N＝α，
∴∠FEN＝∠N，
∴EF＝FN，
∵∠FBE＝90°，
∴FB⊥EN，
∴EB＝BN，
∴BD＝BE＝BN，
∴∠BED＝∠BDE，∠BDN＝∠N，
∵∠BED+∠EDN+∠N＝180°，即∠BED+∠BDE+∠BDN+∠N＝180°，
∴∠BDE+∠BDN＝90°，即∠EDN＝90°，
∵∠OAE＝∠AEO，∠OAE+∠AEO＝90°，
∴∠OAE＝∠AEO＝45°，
∴∠DMA＝90°﹣45°＝45°，
∴AD＝DM，
∵DH⊥AM，
∴AH＝HM＝2+4＝6，
∴OM＝OH+HM＝4+6＝10，
∴M（10，0）．