17.2勾股定理的逆定理(2)课件(共25张PPT)

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名称 17.2勾股定理的逆定理(2)课件(共25张PPT)
格式 zip
文件大小 4.9MB
资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2022-01-14 09:00:44

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文档简介

(共25张PPT)
人教版
八年级数学上
17.2勾股定理的逆定理(2)
学习目标
1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.(重点)
2.将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题.(难点)
回顾旧知
思考:前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识,你能说出它们的内容吗?
a2+b2=c2
(a,b为直角边,c斜边)
Rt△ABC,∠C是直角
勾股定理
勾股定理的逆定理
a2+b2=c2
(a,b为较短边,c为最长边)
Rt△ABC,且∠C是直角.
情境导入
在军事和航海上经常要确定方向和位置,从而常需要使用一些数学知识和方法,其中勾股定理的逆定理经常会被用到,这节课让我们一起来学习吧.
勾股定理的逆定理的应用
1
2
例1
如图,某港口P位于东西方向的海岸线上.
“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
N
E
P
Q
R
勾股定理的逆定理的应用
思考1
认真审题,弄清已知是什么?要解决的问题是什么?
1
2
N
E
P
Q
R
16×1.5=24
12×1.5=18
30
“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知,如图.
思考2
由于我们现在所能得到的都是线段长,要求角,由此你联想到了什么?
实质是要求出两艘船航向所成角.
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理的应用
解:根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,由勾股定理的逆定理知:∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
知识点拨:解决实际问题的步骤:?构建几何模型(从整体到局部);?标注有用信息,明确已知和所求;?应用数学知识求解.
勾股定理的逆定理的应用
例2
一个零件的形状如图1,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗?
C
A
B
D
C
A
B
D
3
4
5
12
13
图1
图2
勾股定理的逆定理的应用
在△BCD中,
由勾股定理的逆定理知△BCD
是直角三角形,∠DBC是直角.
因此,这个零件符合要求.
解:在△ABD中,
由勾股定理的逆定理知△ABD
是直角三角形,∠A是直角.
C
A
B
D
3
4
5
12
13
小试牛刀
1.A、B、C三地的两两距离如图所示,A地在B地的正东方向,C在B地的什么方向?
A
B
C
5cm
12cm
13cm
解:∵
BC2+AB2=52+122=169,
AC2
=132=169,
∴BC2+AB2=AC2,
由勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形,∠B=90°.
答:C在B地的正北方向.
小试牛刀
2.如图,是一农民建房时挖地基的平面图,按标准应为长方形,他在挖完后测量了一下,发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格?
解:∵AB=DC=8m,AD=BC=6m,
∴AB2+BC2=82+62=64+36=100.
又∵AC2=92=81,
∴AB2+BC2≠AC2,
由勾股定理的逆定理知∠ABC≠90°,
∴该农民挖的不合格.
勾股定理和勾股定理逆定理的综合应用
例3
如图,四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,
AD=13,求四边形ABCD的面积.
解析:连接AC,把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度,再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
勾股定理和勾股定理逆定理的综合应用
解:连接AC.
A
D
B
C
3
4
13
12
在Rt△ABC中,由勾股定理知
在△ACD中,AC2+CD2=52+122=169=AD2,
由勾股定理的逆定理知△ACD是直角三角形,
且∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
知识点拨:
四边形问题对角线是常用的辅助线,它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时,它与勾股定理是“黄金搭挡”,经常配套使用.
1、如图,四边形ABCD中,AB⊥AD,已知AD=3cm,AB=4cm,CD=12cm,BC=13cm,求四边形ABCD
的面积.
解:连接BD.
在Rt△ABD中,
由勾股定理得
BD2=AB2+AD2,
∴BD=5m.
又∵
CD=12cm,BC=13cm,

BC2=CD2+BD2,由勾股定理的逆定理知△BDC是直角三角形.
∴S四边形ABCD=SRt△BCD-SRt△ABD=
BD?CD-
AB?AD
=
×(5×12-3×4)=24
(cm2).
C
B
A
D
小试牛刀
2.如图,在△ABC中,AB=17,BC=16,BC边上的中线AD=15,试说明:AB=AC.
解:∵BC=16,AD是BC边上的中线,
∴BD=CD=
BC=8.
∵在△ABD中,AD2+BD2=152+82=172=AB2,
由勾股定理的逆定理知△ABD是直角三角形,即∠ADB=90°.
∴△ADC是直角三角形.
在Rt△ADC中,由勾股定理知
∴AB=AC.
小试牛刀
综合演练
1.
医院、公园和超市的平面示意图如图所示,超市在医院的南偏东25°的方向,且到医院的距离为300m,公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m,则公园在医院的北偏东
的方向.

医院
公园
超市

65°
综合演练
2.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中摆放方法正确的是
(  )
A.
B.
C.
D.
D
综合演练
3.如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海,晚上10时28分,我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近,便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向,经检测,AC=10海里,BC=8海里,AB=6海里,若该船只的速度为12.8海里/时,则可疑船只最早何时进入我领海?


P
A
B
C
Q
D
分析:根据勾股定理的逆定可得△ABC是直角三角形,然后利用勾股定理的逆定理及直角三角形的面积公式可求PD,然后再利用勾股定理便可求CD.
综合演练
解:∵AC=10,AB=6,BC=8,∴AC2=AB2+BC2,
由勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形.
设PQ与AC相交于点D,根据三角形面积公式有
BC·AB=
AC·BD,
即6×8=10BD,解得BD=
在Rt△BCD中,由勾股定理知
又∵该船只的速度为12.8海里/时,
6.4÷12.8=0.5(小时)=30(分钟),
∴需要30分钟进入我领海,即最早晚上10时58分进入我领海.


P
A
B
C
Q
D
综合演练
4.如图,在四边形ABCD中,AC⊥DC,△ADC的面积为30
cm2,DC=12
cm,AB=3cm,BC=4cm,求△ABC的面积.
解:

S△ACD=30
cm2,DC=12
cm.

AC=5
cm.
又∵
由勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形,
∠B是直角.

D
C
B
A
综合演练
5.如图,△ABC中,AB=AC,D是AC边上的一点,CD=1,BC=
5
,BD=2.(1)求证:△BCD是直角三角形;(2)求△ABC的面积.
解:(1)证明:∵CD=1,BC=
5
,BD=2,
∴CD2+BD2=BC2,
由勾股定理的逆定理知△BDC是直角三角形;
(2)解:设腰长AB=AC=x,
在Rt△ADB中,∵AB2=AD2+BD2,
∴x2=(x-1)2+22,
解得
用到了方程的思想
综合演练
解:设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm,
∵周长为36cm,即AB+BC+AC=36cm,
∴3x+4x+5x=36,解得x=3.
∴AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm.∵AB2+BC2=AC2,
由勾股定理的逆定理知△ABC是直角三角形,
过3秒时,BP=9-3×2=3(cm),BQ=12-1×3=9(cm),
在Rt△PBQ中,由勾股定理得
6.如图,在△ABC中,AB:BC:CA=3:4:5且周长为36cm,点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动,点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动,如果同时出发,则过3s时,求PQ的长.
课堂小结
本节课你运用勾股定理的逆定理解决哪些问题?
1、航海问题中的方位角问题
2.不规则图形的面积问题
课后作业
教材34页习题17.2第3、4、6题.
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