(共17张PPT)
第一课时
勾股定理的逆定理
张明、王华、.李强三位同学的家两两距离如图所示,张明的家在王华家的正东方向,那么李强的家在王华家的什么方向
李强家
王华家
张明家
5km
12km
13km
1.直角三角形有哪些性质
2.如何判断三角形是直角三角形
1.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？
古埃及人曾用下面的方法得到直角：
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
请同学们观察,这个请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗
下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
2.5，6，6.5； 6，8，10。
这三组数都满足
吗？
画出图形,它们都是直角三角形吗？
动手画一画
(((1
由上面几个例子你发现了什么吗 请以命题的
形式说出你的观点!
命题2
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
互逆命题
∵ ∠ C’=900
∴ A’B’2= a2+b2
∵ a2+b2=c2
∴ A’B’ 2=c2
∴ A’B’ =c
∵ 边长取正值
∴ △ ABC ≌△ A’B’C’（SSS）
∴ ∠ C= ∠ C’=90°
BC=a=B’C’
CA=b=C’A’
AB=c=A’B’
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠ C’=90°,B’C’=a, C’A’=b
在△ ABC和△ A’B’C’中
则 △ ABC是直角三角形（直角三角形的定义）
勾股定理的逆命题
A
C
B
A
′
B
′
C
′
证明：
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。且边C所对的角为直角。
a2 + b2 = c2
互逆命题
逆定理
定理
驶向胜利的彼岸
定理与逆定理
我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理；两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(4)全等三角形的对应角相等．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
熟能生巧
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17
厚积薄发
(2) a＝13 , b ＝15 , c＝14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82＝225＋64＝289
172＝289
∴ 152＋82＝172
∴这个三角形是直角三角形
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;
(2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ ;
(3) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
（4）a=5 b=12 c=13
____ _____
张明、王华、.李强三位同学的家两两距离如图所示,张明的家在王华家的正东方向,那么李强的家在王华家的什么方向
张明家
5km
12km
13km
李强家
王华家
李强的家在王华家的正北方
李
……
1、通过这一节课的学活动，你有哪些收获？
2、还存在什么疑惑？和老师同学交流一下。
1、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么
作业设计
必做题
1、课本第75页练习的第1、2题。
2、课本第76页习题的第1、2题。
3、请你写出三组勾股数
2、已知：在△ABC中，
∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，
a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）
求证：∠C=90°
选做题
X三步五环教学模式
《勾股定理的逆定理第一课时》教学设计及评析
教 材 义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级下册
设计理念 从日常生活的实际出发，让学生主动地进行探究学习。通过合作讨论、动手操作、交流经验、归纳总结等方式使学生理解逆定理内容。从而感受感受数学学习的兴趣和数学的魅力所，更好地理解数学定理的内容，体现“人人学有价值数学”的新课程理念。整个教学设计流程突出以学生为主体，以活动为主线，以灵活运用本节知识解决问题的设计理念。营造轻松高效的课堂氛围，使教师在教中乐。学生在乐中学。将教学活动有层次的展开。
学情分析 在学习本及节前，学生已经掌握了直角三角形的的一些性质和勾股定理的内容，能根据上节知识进行有关的证明和计算。在本节的教学中，基于上节的认知基础，探讨勾股定理逆定理的内容，理解并掌握命题、原命题、逆命题、定理、逆定理的内容和关系。能写出一个命题的逆命题，并判断它是否成立，从而养成良好的思维习惯。
知识分析 勾股定理的逆定理”一节，是在上节“勾股定理”之后，继续学习的一个直角三角形的判断定理，它是前面知识的继续和深化，勾股定理的逆定理是初中几何学习中的重要内容之一，是今后判断某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解题中，将有十分广泛的应用，同时在应用中渗透了利用代数计算的方法和证明几何问题的思想，为将来学习解析几何埋下了伏笔，所以本节也是本章的重要内容之一。课标要求学生必须掌握。
学习目标 知识与技能 1、理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理。2、掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形
过程与方法 1、通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成的过程2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方法的应用3、通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题
情感态度与价值观 1、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系2、在探究勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神
教学重点 勾股定理逆定理的应用
教学难点 勾股定理逆定理的证明
教学方法 “尝试指导，效果回授”教学法
学法指导 发现法、练习法、合作学习法。
教学资源 借助PPT软件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。
教学评价 1、在本节中，学生同教师和其他同学共同操作、相互启发、促进、交流，教师适时肯定、给予鼓励与表扬。2、评价方式为：（1）课堂提问；（2）练习反馈；（3）作品展评。
教学流程 活动流程 活动内容及目的
活动一 回顾反思，导入新课(3分钟) 激趣引入的同时揭示本节课题，帮助学生认识数学与生活的密切关系，激发其求知欲；故旧导新，帮助其发掘新知识点。
活动二 诱导尝试，探究新知(22分钟) 出示探究内容，引领学生探究发现、归纳规律，理解并掌握勾股定理的逆定理，及互逆命题和互逆定理。
活动三 变式训练，巩固新知(10分钟) 通过有梯次的四个训练题组，巩固新知，达到举一反三，触类旁通。
活动四 全课小结，内化新知(6分钟) 将知识归类细化，纳入已有的知识体系。
活动五 推荐作业，延展新知(4分钟) 分类推荐、分层要求，将探究兴趣由课内延伸到课外；及时捕捉学生学习状况，适时进行有效诊断评价、反馈补救、长善救失。
教 学 程 序
问题与情境 师生互动 媒体使用与教学评价
活动一创设情境，导入新课(3分钟)问题1：张明、王华、.李强三位同学的家两两距离如图所示,张明的家在王华家的正东方向,那么李强的家在王华家的什么方向 问题2：（1）直角三角形有哪些性质？（2）如何判断一个三角形是直角三角形？（问题1只作引发认知冲突，暂不要求学生计算，问题2要求学生口答。） 【教师活动】（1）出示问题（2）引导学生对问题1进行大胆猜想，学生各抒己见，教师不做解释，只记下学生答案，留下悬念。。（3）出示问题2（1），引导学生口答问题2中的1后，提名回答问题2中的2后板书本节课题。（4）关注并适时评价学生的表现。【学生活动】（1）阅读理解问题1，进行大胆猜想。（（2）独立尝试解决问题2，并交流共享。 【媒体使用】（1）出示问题1。（2）出示问题2。【赏 析】（1）问题1旨在揭示章课题；留下伏笔，帮助学生认识数学与生活的密切关系，激发其求知欲，使“课伊始，趣已生”。（2）问题2在于回顾以前就知，为本节课的教学做好铺垫，也为了揭示本节课题；帮助学生理清本节知识与本章知识乃至以前所学知识之间的关系；故旧引新，帮助其发掘新知固着点；同时，引发认知冲突，激发学生学习兴趣。
活动二 诱导尝试，探究新知(22分钟)（一）探寻规侓问题3：古埃及人用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？ 问题4：动手画一画，下面的三组数都是一个三角形的三边长，a、b、c。（1）2.5，6，6.5（2）6，8，10这三组数都满足 a2+b2=c2吗？画出图形，它们都是直角三角形吗？问题5：由上面几个例子你发现了什么吗 请以命题的形式说出你的观点!（二）归纳规律如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2那么这个三角形是直角三角形（三）探讨互逆命题、原命题、逆命题。问题：从上节学习的命题1和这节课学习的命题2中，想一想，什么是逆命题、原命题和互逆命题？归纳：如果两个命题的题设和结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做逆命题。（四）探讨勾股定理逆命题的证明。已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2求证:△ ABC是直角三角形（五）探讨什么是互逆定理？ 归纳：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 【教师活动】（1）根据学生活动进程依次出示问题3、4、5。（2）根据学生口答问题3，对学生的各种答案进行肯定。对问题4进行指导并讨论其结果。板书学生归纳规律问必要时进行适当地提醒。（3）指导学生探讨互逆命题、原命题、逆命题。并用文字表述出来。（4）引导学生对勾股定理的逆命题进行证明，板书其过程。（5）讲解并板书逆定理和互逆定理。 【学生活动】（1）学生口答问题3，学生分组做问题4并讨论其结果，思考并口述问题5。阅读课本回答（三）(五)中内容。（2）一名学生板书（四）中证明过程。（3）关注并评价同伴解决问题的方法。 【媒体使用】依次出示问题探讨一到五内容。【赏 析】（1）经历将实际问题转化为数学问题的过程，认识数学与实际的密切联系，体现“人人学有价值的数学”的课程理念。（2）理解勾股定理的逆定理的形成过程，经历“特殊——般”的认知过程帮助学生获得观察类比、归纳猜想的数学活动经验，培养学生清晰而有条理地表达自己的思考过程的能力和科学意识，进一步发展演绎推理能力。（3）让学生自探数学知识，自获数学结论，自由发表见解，自觉积累数学活动经验、建构新的认知结构，发展学生的数学探究能力，感受数学的严谨性和数学结论的确定性。
活动三 变式训练，巩固新知(10分钟)题组一（抢答）说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗 (1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．题组二（当堂运用）例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1) a＝15 , b ＝8 , c＝17(2) a＝13 , b ＝15 , c＝14题组三（反馈训练）下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ (2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ (3)a=5 b=12 c=13 ____ _____ ;(4) a:b:c=3:4:5 _____ _____ 题组四（点明主题、前后照应）张明、王华、.李强三位同学的家两两距离如前图所示,张明的家在王华家的正东方向,那么李强的家在王华家的什么方向 【教师活动】（1）出示题组一，提出答题要求，根据学生回答，适时评价学生的表现，用PPT展示确认，强调语言叙述的正确性。（2）出示题组二，学生做，教师讲解。（3）出示题组三，学生以组为单位布置任务；比赛看哪个小组完成的又对又快，引导学生对解答情况进行评价。（4）出示题组四，引导学生探求解题策略， 前后照应。【学生活动】（1）口答题组一（2）独立完成题组二，关注并评价同伴表现。（3）按要求独立完成题组三。，同桌做好之后互换检查，参与集体评价。（4）口答题组四。 【媒体使用】（1）出示题组一、二、三及其答案； （2）出示题组四【赏 析】（1）题组一是为了帮助学生理解命题与逆命题之间的关系，并能判断命题是否成立，培养学生的逻辑推理能力。（2）题组二、三目的在于使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大．②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值．③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形．题组一旨帮助学生理解命题与逆命题之间的关系。题组二三旨在应用勾股定理的逆定理。锻炼其克服困难的意志，发展学生的合作意识及数学表达能力；引用竞争机制，进一步激发学生学习的内驱力，使“课继续，趣更浓”； 题组四在呼应开头的同时，将学生的探究兴趣由课内延拓到课外，达到“课已终，趣未尽”的课堂期望。（3）多媒体的使用 有利于节时增效，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。
活动四 全课小结，内化新知(6分钟)（1）自主小结：①对自己——谈本节课有哪些收获？②对同伴——谈在学习本节内容时应注意什么？③对老师——谈本节课学习中还有哪些疑惑？（2）教师概括小结，重点强调：①本节课主要学习命题、原命题、逆命题、定理、逆定理的内容和关系。学习了勾股定理的逆定理及其证明。重点在于应运。②两点注意：a)在理解命题和逆命题的关系时，一个命题的原命题成立，但它的逆命题不一定成立。（如对顶角相等。）b) 由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。 【教师活动】引导学生自主小结的基础上，进行概括小结，教师应关注学生的表现，包括知识掌握情况、情绪状况等。【学生活动】按要求，进行自主小结，注意倾听同伴意见，反思梳整存在问题。 【媒体使用】（略）【赏 析】使所学知识条理化、系统化；让学生在交流中共享，在反思中提升。
活动五 推荐作业，深化新知(4分钟)必做题 1、课本第75页练习的第1、2题。2课本第76页习题的第1、2题。3、请你写出三组勾股数选作题：（1）、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么 （2）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1） 求证：∠C=90° 【教师活动】课件展示作业题【学生活动】按照要求自主完成作业 【媒体使用】【赏 析】随时搜集掌握评定学生尝试学习效果，及时回授评定的结果，以便有针对性地组织质疑和讲解，帮助学生克服思维障碍，补救知识或方法方面的漏洞。为使学生的主体作用得以有效发挥，尊重学生的个体差异，为不同学生的发展创造条件，作业层推荐、分类要求。
板书设计 勾股定理的逆定理证明过程 课题一、勾股定理的逆定理二、命题、原命题、互逆命题三、定理、逆定理、互逆定理四、注意：① ② 屏幕 【赏析】书写规范 重点突出。
学生练习
学生练习
课后总评
教学设计说明
本节内容是勾股定理的逆定理的第一课时，主要内容包括：勾股定理的逆定理及其应用，勾股定理的逆定理及其证明。其中勾股定理的逆定理及其应用是本节重点，勾股定理的逆定理及其证明是难点，勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法，同时向学生渗透“数形结合”的数学思想方法。
因为勾股定理的逆定理与勾股定理是互逆关系，在教学中，激趣引入、复习旧知后，让学生通过动手画、观察、归纳、推测等系列探究活动，得出勾股定理的逆命题，通过对比学习互逆命题、互逆定理。在证明勾股定理的逆定理时，我们经历了一个由一般到特殊的归纳探索过程。接着，通过四个变式练习来熟悉和掌握互逆命题和勾股定理的逆定理及其运用，突出重点。
本节课以学生为主，将教学活动分解为一系列的探究活动，让学生在解决问题的过程中经历知识的猜想、发生、发展、和形成的过程。将知识的发现权交给学生，让他们在获取知识的过程中，体验成功的喜悦，真正体现学生是学习的主人，教师只是学习的参与者、合作者、引导者，既重视基础知识和基本技能，又更关注知识的形成过程。
5km
12km
13km
