北师大版数学九年级下册 第3章 《圆》高频考点专题练习一遍过（三）（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版数学九年级下册 第3章 《圆》高频考点专题练习一遍过（三）（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 197.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-31 15:58:24 | ||
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文档简介
《圆》高频考点专题练习一遍过（三）
1．△ABC中∠B＝90°，以B为圆心，AB为半径的⊙B交斜边AC于D，E为BC上一点使得DE＝CE．
（1）证明：DE为⊙B的切线；
（2）若BC＝8、DE＝3，求线段AC的长．
2．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝6，AC＝16．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
3．如图，已知△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，BC＝6，∠B＝30°，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．
（1）求证：FE是⊙O的切线．
（2）求AB的长．
4．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接DE，若AB＝AC＝13，BC＝10，求△CDE的面积．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F．⊙O是△BEF的外接圆，连接BD．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB＝BE，求证：△ABC≌△EBF．
（3）在（2）的条件下，当AB＝1时，求DEEF的值．
6．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB＝48，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD＝1：2，GF＝2，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．
7．如图，△ABC内接于半圆，圆心为O，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：DE＝AC；
（3）在（2）的条件下，若△DFG的面积为S，且DG＝a，GC＝b，试求△BCG的面积．（用a、b、s的代数式表示）
8．如图，△ABC中，AB＝AC，点O为BC中点，OD⊥AB于D，以OD为半径作⊙O交DO的延长线于点E，连接EC．
（1）证明：EC、AC都是⊙O的切线；
（2）若，求sin∠BAC的值．
9．如图所示：过圆外一点F作⊙O的两条切线FA、FD，AB是⊙O的直径，过O作OC∥AD，交FD的延长线于C，连CB，
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）过D点作DE⊥AB于E，交AC于P，求证：DP＝PE．
10．已知：如图，CA＝CB，且CA⊥CB，以AC为直径作半圆⊙O，点D为半圆⊙O上的一点，BD＝BC，连接OB，交线段CD于点P．
（1）求证：DP＝PC；
（2）连接AP，求tan∠OAP的值．
参考答案
1．（1）证明：连BD，得∠C＝∠CDE，
∠A＝∠ADB，而∠A+∠C＝90°．
所以∠CDE+∠ADB＝90°即BD⊥DE．
所以DE为切线．
（2）解：∵CE＝DE＝3，BC＝8，
∴BE＝5．
在Rt△BDE中，BD＝＝4，
∴Rt△ABC中AC＝＝．
2．（1）证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BC∥DE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF＝DE＝6，
∵OD⊥BC，
∴BC＝2CF＝12，
在Rt△ABC中，
AB＝．
3．（1）证明：连接OE．
∵EG⊥AC，
∴EG⊥OE．
又点E在⊙O上，
∴FE是⊙O的切线．解：过点O作OH⊥BE；（6分）
在Rt△BOH中，OB＝3，∠B＝30°，
∴cos30°＝．
∴BH＝．
∴BE＝2BH＝3．（7分）
∵EO∥AC，OB＝OC，
∴BE＝AE．
∴AB＝2BE＝6．（8分）
4．解：（1）连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC，
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．
（2）∵ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠DEC＝∠B，又∠C为公共角，
∴△CDE∽△CAB，
∵AB＝13，BC＝10，由（1）得AD⊥BC，
∴CD＝5，
∴AD＝12．
S△ABC＝BCAD＝×10×12＝60．
∵△CDE∽△CAB，
∴＝＝．
∴S△CDE：S△CAB＝25：169．
∴S△CDE＝60×＝．
5．解：（1）BD与⊙O相切，如图1，连接OB．
证明如下：∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB，
∵∠ABC＝90°，AD＝CD，
∴BD＝CD，
∴∠C＝∠DBC，
∵∠C＝∠BFE，
∴∠DBC＝∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF＝90°，∴∠DBC+∠CBO＝90°，
∴∠DBO＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠ADF＝90°，
∴∠C+∠A＝∠A+∠AFD＝90°，
∴∠C＝∠BFE，
在△ABC与△EBF中，，
∴△ABC≌△EBF；
（3）解：如图2，连接CF，
∵△ABC≌△EBF，
∴BC＝BF，
∵∠CBF＝90°，
∴CF＝BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，
∴BF＝+1，
∴BF＝BC＝+1，
∴EC﹣BC﹣BE＝，
∵∠CED＝∠BEF，∠CDE＝∠EBF，
∴△CED∽△FEB，
∴＝，
∴DEEF＝BEEC＝
6．解：（1）证明：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°．
又∵∠PAC＝∠PBA，∠ADC＝∠PBA，
∴∠PAC＝∠ADC，
∴∠CAD+∠PAC＝90°，
∴PA⊥OA．
又∵AD是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）由（1）知，PA⊥AD，
又∵CF⊥AD，
∴CF∥PA．
∴∠GCA＝∠PAC．
又∵∠PAC＝∠PBA，
∴∠GCA＝∠PBA．
又∵∠CAG＝∠BAC，
∴△CAG∽△BAC．
∴，
即AC2＝AGAB．
∵AGAB＝48，
∴AC2＝48．
∴AC＝4．
（3）设AF＝x，
∵AF：FD＝1：2，
∴FD＝2x．
∴AD＝AF+FD＝3x．
在Rt△ACD中，
∵CF⊥AD，
∴AC2＝AFAD，
即3x2＝48．
解得；x＝4．
∴AF＝4，AD＝12．
∴⊙O半径为6．
在Rt△AFG中，∵AF＝4，GF＝2，
∴根据勾股定理得：AG＝＝＝2，
由（2）知，AGAB＝48，
∴AB＝＝
连接BD，∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°．
在Rt△ABD中，
∵sin∠ADB＝，AD＝12，AB＝，
∴sin∠ADB＝．
∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴sin∠ACE＝．
7．解：如右图所示，
（1）∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∴∠CBA+∠BAC＝90°，
又∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB＝90°，
即∠BAM＝90°，
∴OA⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）连接OD交AC于H，
∵D是AC中点，
∴OD⊥AC，AH＝AC，
∵∠DOE＝∠AOH，∠OHA＝∠OED＝90°，OA＝OD，
∴△OAH≌△ODE，
∴DE＝AH＝AC；
（3）连接AD，
由（2）知△OAH≌△ODE，
∴∠ODE＝∠OAH，
又∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA﹣∠ODE＝∠OAD﹣∠OAH，
即∠FDA＝∠FAD，
∴FD＝FA，
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠FDA+∠GDF＝90°，∠DAF+∠DGF＝90°，
∴∠GDF＝∠DGF，
∴FG＝DF，
∴FG＝FA＝FD，
∴S△DGF＝S△ADG，
易证△BCG∽△ADG，
∴S△BCG：S△ADG＝（）2＝（）2，
∴S△BCG＝．
8．（1）证明：连接AO，并过O作OF⊥AC于F．
∵AB＝AC，O为BC中点，
∴OB＝OC，∠BAO＝∠CAO，
又∵OD＝OE，∠COE＝∠BOD，
∴△COE≌△BOD，
∴∠CEO＝∠BDO＝90°，
∴CE是⊙O的切线，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，∠BAO＝∠CAO，
∴OD＝OF，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：作CM⊥AD于M，设OD＝a，DA＝2a，
∵∠AOB＝90°，OD⊥AB，
∴△BOD∽△OAD，
∴BD：OD＝OD：DA，
∴BD＝a，
又∵AC、AB、CE是⊙O切线，
∴CF＝CE＝BD＝a，
∴AC＝AB＝2a+a＝a，CM＝DE＝2OD＝2a，
∴sin∠BAC＝＝＝．
9．（1）证明：连接DO，∵过圆外一点F作⊙O的两条切线FA、FD，AB是⊙O的直径，
∴DO⊥CF，
∵OC∥AD，
∴∠DOC＝∠ADO，∠COB＝∠ODA，
∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DOC＝∠COB，
∵BO＝DO，CO＝OC，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CDO＝∠CBO＝90°，
∴CB是⊙O的切线；
（2）证明：由切线长定理，
可设FA＝FD＝a，CD＝CB＝b（切线长定理），则CF＝a+b，
∵FA∥DE，所以DP：FA＝CD：CF，
即DP：a＝b：（a+b），
∴DP＝ab/（a+b）；
∵DE∥BC，所以PE：BC＝AP：AC＝DF：CF，
即PE：b＝a：（a+b），
∴PE＝ab/（a+b）；
∴DP＝PE．
10．解：（1）连接OD．
在△OBC和△OBD中，
，
∴△OBC≌△OBD，
∴∠DBO＝∠CBO，
又∵BD＝BC，即△BCD是等腰三角形，
∴DP＝PC；
（2）作PE⊥AC于点E．
设半径是r，则OC＝r，BC＝2r，
在直角△OBC中，OB＝＝r．
∵S△OBC＝OCBC＝OBPC，
∴PC＝＝＝r．
同理OP＝＝＝r．
PE＝＝＝r．
在直角△OPE中，OE＝＝＝r．
则AE＝r+r＝r．
则tan∠OAP＝＝＝．
1．△ABC中∠B＝90°，以B为圆心，AB为半径的⊙B交斜边AC于D，E为BC上一点使得DE＝CE．
（1）证明：DE为⊙B的切线；
（2）若BC＝8、DE＝3，求线段AC的长．
2．如图，已知AB、AC分别为⊙O的直径和弦，D为弧BC的中点，DE⊥AC于E，DE＝6，AC＝16．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求直径AB的长．
3．如图，已知△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，BC＝6，∠B＝30°，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．
（1）求证：FE是⊙O的切线．
（2）求AB的长．
4．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接DE，若AB＝AC＝13，BC＝10，求△CDE的面积．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F．⊙O是△BEF的外接圆，连接BD．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若AB＝BE，求证：△ABC≌△EBF．
（3）在（2）的条件下，当AB＝1时，求DEEF的值．
6．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AGAB＝48，求AC的长；
（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD＝1：2，GF＝2，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．
7．如图，△ABC内接于半圆，圆心为O，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：DE＝AC；
（3）在（2）的条件下，若△DFG的面积为S，且DG＝a，GC＝b，试求△BCG的面积．（用a、b、s的代数式表示）
8．如图，△ABC中，AB＝AC，点O为BC中点，OD⊥AB于D，以OD为半径作⊙O交DO的延长线于点E，连接EC．
（1）证明：EC、AC都是⊙O的切线；
（2）若，求sin∠BAC的值．
9．如图所示：过圆外一点F作⊙O的两条切线FA、FD，AB是⊙O的直径，过O作OC∥AD，交FD的延长线于C，连CB，
（1）求证：CB是⊙O的切线；
（2）过D点作DE⊥AB于E，交AC于P，求证：DP＝PE．
10．已知：如图，CA＝CB，且CA⊥CB，以AC为直径作半圆⊙O，点D为半圆⊙O上的一点，BD＝BC，连接OB，交线段CD于点P．
（1）求证：DP＝PC；
（2）连接AP，求tan∠OAP的值．
参考答案
1．（1）证明：连BD，得∠C＝∠CDE，
∠A＝∠ADB，而∠A+∠C＝90°．
所以∠CDE+∠ADB＝90°即BD⊥DE．
所以DE为切线．
（2）解：∵CE＝DE＝3，BC＝8，
∴BE＝5．
在Rt△BDE中，BD＝＝4，
∴Rt△ABC中AC＝＝．
2．（1）证明：如图，连接OD，BC；
∵AB为⊙O的直径，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴BC∥DE；
∵D为弧BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：设BC与DO交于点F，
由（1）可得四边形CFDE为矩形；
∴CF＝DE＝6，
∵OD⊥BC，
∴BC＝2CF＝12，
在Rt△ABC中，
AB＝．
3．（1）证明：连接OE．
∵EG⊥AC，
∴EG⊥OE．
又点E在⊙O上，
∴FE是⊙O的切线．解：过点O作OH⊥BE；（6分）
在Rt△BOH中，OB＝3，∠B＝30°，
∴cos30°＝．
∴BH＝．
∴BE＝2BH＝3．（7分）
∵EO∥AC，OB＝OC，
∴BE＝AE．
∴AB＝2BE＝6．（8分）
4．解：（1）连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC，
∵OA＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．
（2）∵ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠DEC＝∠B，又∠C为公共角，
∴△CDE∽△CAB，
∵AB＝13，BC＝10，由（1）得AD⊥BC，
∴CD＝5，
∴AD＝12．
S△ABC＝BCAD＝×10×12＝60．
∵△CDE∽△CAB，
∴＝＝．
∴S△CDE：S△CAB＝25：169．
∴S△CDE＝60×＝．
5．解：（1）BD与⊙O相切，如图1，连接OB．
证明如下：∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB，
∵∠ABC＝90°，AD＝CD，
∴BD＝CD，
∴∠C＝∠DBC，
∵∠C＝∠BFE，
∴∠DBC＝∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF＝90°，∴∠DBC+∠CBO＝90°，
∴∠DBO＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠ADF＝90°，
∴∠C+∠A＝∠A+∠AFD＝90°，
∴∠C＝∠BFE，
在△ABC与△EBF中，，
∴△ABC≌△EBF；
（3）解：如图2，连接CF，
∵△ABC≌△EBF，
∴BC＝BF，
∵∠CBF＝90°，
∴CF＝BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，
∴BF＝+1，
∴BF＝BC＝+1，
∴EC﹣BC﹣BE＝，
∵∠CED＝∠BEF，∠CDE＝∠EBF，
∴△CED∽△FEB，
∴＝，
∴DEEF＝BEEC＝
6．解：（1）证明：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°．
又∵∠PAC＝∠PBA，∠ADC＝∠PBA，
∴∠PAC＝∠ADC，
∴∠CAD+∠PAC＝90°，
∴PA⊥OA．
又∵AD是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）由（1）知，PA⊥AD，
又∵CF⊥AD，
∴CF∥PA．
∴∠GCA＝∠PAC．
又∵∠PAC＝∠PBA，
∴∠GCA＝∠PBA．
又∵∠CAG＝∠BAC，
∴△CAG∽△BAC．
∴，
即AC2＝AGAB．
∵AGAB＝48，
∴AC2＝48．
∴AC＝4．
（3）设AF＝x，
∵AF：FD＝1：2，
∴FD＝2x．
∴AD＝AF+FD＝3x．
在Rt△ACD中，
∵CF⊥AD，
∴AC2＝AFAD，
即3x2＝48．
解得；x＝4．
∴AF＝4，AD＝12．
∴⊙O半径为6．
在Rt△AFG中，∵AF＝4，GF＝2，
∴根据勾股定理得：AG＝＝＝2，
由（2）知，AGAB＝48，
∴AB＝＝
连接BD，∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°．
在Rt△ABD中，
∵sin∠ADB＝，AD＝12，AB＝，
∴sin∠ADB＝．
∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴sin∠ACE＝．
7．解：如右图所示，
（1）∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∴∠CBA+∠BAC＝90°，
又∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB＝90°，
即∠BAM＝90°，
∴OA⊥MN，
∴MN是⊙O的切线；
（2）连接OD交AC于H，
∵D是AC中点，
∴OD⊥AC，AH＝AC，
∵∠DOE＝∠AOH，∠OHA＝∠OED＝90°，OA＝OD，
∴△OAH≌△ODE，
∴DE＝AH＝AC；
（3）连接AD，
由（2）知△OAH≌△ODE，
∴∠ODE＝∠OAH，
又∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA﹣∠ODE＝∠OAD﹣∠OAH，
即∠FDA＝∠FAD，
∴FD＝FA，
∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠FDA+∠GDF＝90°，∠DAF+∠DGF＝90°，
∴∠GDF＝∠DGF，
∴FG＝DF，
∴FG＝FA＝FD，
∴S△DGF＝S△ADG，
易证△BCG∽△ADG，
∴S△BCG：S△ADG＝（）2＝（）2，
∴S△BCG＝．
8．（1）证明：连接AO，并过O作OF⊥AC于F．
∵AB＝AC，O为BC中点，
∴OB＝OC，∠BAO＝∠CAO，
又∵OD＝OE，∠COE＝∠BOD，
∴△COE≌△BOD，
∴∠CEO＝∠BDO＝90°，
∴CE是⊙O的切线，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，∠BAO＝∠CAO，
∴OD＝OF，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：作CM⊥AD于M，设OD＝a，DA＝2a，
∵∠AOB＝90°，OD⊥AB，
∴△BOD∽△OAD，
∴BD：OD＝OD：DA，
∴BD＝a，
又∵AC、AB、CE是⊙O切线，
∴CF＝CE＝BD＝a，
∴AC＝AB＝2a+a＝a，CM＝DE＝2OD＝2a，
∴sin∠BAC＝＝＝．
9．（1）证明：连接DO，∵过圆外一点F作⊙O的两条切线FA、FD，AB是⊙O的直径，
∴DO⊥CF，
∵OC∥AD，
∴∠DOC＝∠ADO，∠COB＝∠ODA，
∵AO＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DOC＝∠COB，
∵BO＝DO，CO＝OC，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CDO＝∠CBO＝90°，
∴CB是⊙O的切线；
（2）证明：由切线长定理，
可设FA＝FD＝a，CD＝CB＝b（切线长定理），则CF＝a+b，
∵FA∥DE，所以DP：FA＝CD：CF，
即DP：a＝b：（a+b），
∴DP＝ab/（a+b）；
∵DE∥BC，所以PE：BC＝AP：AC＝DF：CF，
即PE：b＝a：（a+b），
∴PE＝ab/（a+b）；
∴DP＝PE．
10．解：（1）连接OD．
在△OBC和△OBD中，
，
∴△OBC≌△OBD，
∴∠DBO＝∠CBO，
又∵BD＝BC，即△BCD是等腰三角形，
∴DP＝PC；
（2）作PE⊥AC于点E．
设半径是r，则OC＝r，BC＝2r，
在直角△OBC中，OB＝＝r．
∵S△OBC＝OCBC＝OBPC，
∴PC＝＝＝r．
同理OP＝＝＝r．
PE＝＝＝r．
在直角△OPE中，OE＝＝＝r．
则AE＝r+r＝r．
则tan∠OAP＝＝＝．