人教版数学九年级上册22.1.4二次函数教案

二次函数
一、求解析式
例1已知二次函数的图象与轴交于A（－2，0），B（3,0）两点，且函数有最大值2，求二次函数的解析式。
例2
已知二次函数的图像经过（3，0），（2，-3）两点，且以为对称轴，求这个二次函数的解析式。
变式题：
1.如图1，直线与抛物线交于轴上A点和另一点D，抛物线交轴于C点，且CD∥轴，求抛物线的解析式。
2.如图，已知二次函数，当取不同的值时，其图像构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是取三个不同值时二次函数的图像，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是（
）
A、
B、.
C、
D、
二、图形变换
例3
将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为
例4：抛物线与轴交于点A，B，A点在B点左边，抛物线在轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与轴交于点B，D，若直线与，共有3个不同的交点，则的取值范围是
。
变式题：
3.函数的图像是由抛物线经过怎样的平移得到的？
4.将抛物线绕它的顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式.
5.如图，抛物线的顶点为P（-2,2），与，若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P’（2，-2）处，点A的对应点为A’，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为
。
三、二次函数的最值
例5
在二次函数，当时，的取值范围是
。
变式题：
6.（1）在二次函数当，求
。
（2）在二次函数中，当时，
。
四、二次函数与几何的综合
例6
如图，抛物线两点，顶点M关于轴的对称点是
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线与此抛物线的另一个交点为C，求的面积；
（3）是否存在过点A、B两点的抛物线，其顶点P关于对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形，若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
变式题：
7、如图1所示，二次函数的图像与轴交于A，B两点，且A点的坐标为（-3,0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）.
（1）求抛物线的解析式和直线BD的解析式.
（2）如图2所示，过轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EFBD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a，如果不存在，请说明理由.
课内测试
1.已知二次函数的图像经过（3，0），（2，-3）两点，且以为对称轴，求这个二次函数的解析式
。
2.若抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围为
。
3.二次函数的图像如图所示，则函数值
A.
B.
C.
D.
4.已知抛物线的图像如图4所示.
（1）判断
（2）求；
（3）下列结论：①②，③，
④，
⑤.其中，正确的有
，请说明理由。
5.
在同一直角坐标系中，函数与的图像可能是（
）
6.已知二次函数的图像如图6所示，记。
则下列选项正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
7.如图，已知抛物线.我们约定：当任取一值时，对应的函数值分别为。若，取中较小值记为M；若记.下列判断：①当时，M=②当时，值越大，M的值越大；③使得M大于4的值不存在；④若，则
其中正确的有（
）
A.①②
B.
②③
C.
②④
D.
③④
8.已知抛物线与
（1）求抛物线与轴的另一个交点B的坐标.
（2）点D是抛物线与的交点，点C是抛物线上的另一点.已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9.求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标.
（3）点P是（2）中抛物线对称轴上的一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动.设点P运动的时间为t秒.
①当t为
秒时，的周长最小；当t为
秒时，是以AD为腰的等腰三角形（结果保留根号）.
②点P在运动过程中，是否存在一点P，使是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
9.如图所示，抛物线交于A，B两点（点B在点A的左侧），与，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是上的一个动点，设点P为（，过点P作的垂线交抛物线与点Q.
（1）求点A，B，C的坐标.
（2）当点P在线段OB上运动时，直线分别交BD，BC于点M，N.试探究为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由.
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
课外练习
1.点A（2，）、B（3，）是二次函数的图像上的两点，则为
（填“>”、“<”、”=”
）.
2.
将抛物线绕它的顶点旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式
3.若函数的图像与轴只有一个交点，那么的值为（
）
A.0
B.0或2
C.2或-2
D.0，2或-2
4.如图所示是抛物线图像的一部分，抛物线的顶点坐标A（1,3），与轴的一个交点B（4,0），直线与抛物线交于A,B两点，下列结论：
①②；③有两个相等的实数根；
④抛物线与的另一个交点是（-1,0）；⑤，其中正确的是（
）
A.
①②③
B.
①③④
C.
①③⑤
D.
②④⑤
5.如图5，抛物线与直线交于A，B两点，（1）A,B两点的坐标分别为
；（2）当x取值范围是
时，.
6.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线，则
,
=
.
7.如图7，一条抛物线与相交于A,B两点,其顶点P在折线C—D—E上移动，若点C,D,E的坐标分别为（-1,4）,（3,4）,（3,1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为(
)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
8.如图所示，对称轴为直线的抛物线经过A（-1,0），C（0,5）两点，与另一交点为B.已知M（0,1），E（a,0），F（a+1,0），点P是第一象限内的抛物线上的动点.
（1）求此时抛物线的解析式.
（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标.
（3）若是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形MEFP周长最小？请说明理由.
9.我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是
.
（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1,1）时，
；
当顶点坐标为（），
.
（2）继续探究，如果，且过原点的抛物线的顶点在直线上，请用含的代数式表示.
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点在直线上，横坐标依次为1,2，…，（为正整数，，分别过每个顶点的垂线，垂足记为点以线段为边向右作正方形，若这组抛物线中有一条经过点，求所有满足条件的正方形.
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