人教版数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定2 学案

27.2.1相似三角形的判定2
学习目标
会运用“三边成比例的两个三角形相似”判定两个三角形相似；
会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似。
回顾旧知
如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3.求：
的值；
BC的值.
三、自学探究（1）
自学探究，要求：动手操作，小组交流讨论；
探究：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍.度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有相同的结论.
可以发现，这两个三角形相似.我们可以利用上面的定理进行证明.
如图，在△ABC和△A＇B＇C＇中，==，求证△ABC∽△A＇B＇C＇.
?证明：在线段Ａ＇Ｂ＇（或它的延长线）上截取Ａ＇D＝ＡＢ，过点Ｄ作ＤＥ∥Ｂ＇Ｃ＇，交Ａ＇Ｃ＇于点Ｅ．根据前面的定理，可得△Ａ＇ＤＥ∽△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇．
∴
又==,A＇D=AB,
∴.
∴DE=BC,A＇E=ＡＣ.
∴△A＇DE≌△ABC.
∴ABC≌△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇．
由此，我们得到利用三边判定三角形相似的定理（图27.2-7）：
∵
∴△ABC∽△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇
三边成比例的两个三角形相似．
巩固练习
如图，△ABC中，点D,E,F,分别是AB,BC,CA的中点，求证：△ABC∽△DEF.
四、自学探究（2）.自学以下内容：要求：熟练记忆！
类似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？事实上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理（图27.2-8）：
,∠A=∠Ａ＇
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　△ABC∽△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
怎样证明这个定理呢？它的证明思路与证明前面定理的思路类似.先用同样的方法作一个与△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇相似的三角形，再用相似三角形对应边成比例和已知条件证明所作三角形与△ABC全等.
对于△ABC和△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇，如果，∠B=∠B＇，这两个三角形一定相似吗？试着画画看.
根据下列条件，判断△ABC与△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇是否相似，并说明理由：
AB＝4cm,BC=6cm,AC=8cm，
A＇Ｂ＇=12cm,Ｂ＇Ｃ＇=18cm,Ａ＇Ｃ＇=24cm；
（2）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，
∠A＇=120°，Ａ＇Ｂ＇=3cm,Ａ＇Ｃ＇=6cm.
∵,
(2),
,
∴.
,
又∠A=∠A＇,
∴△ABC∽△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇.
∴,
∴△ABC∽△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇.
巩固练习.
根据下列条件，判断△ABC与△Ａ＇Ｂ＇Ｃ＇是否相似，并说明理由：
∠A=40°，AB=8cm,AC=15cm,
∠A＇=40°，Ａ＇Ｂ＇=16cm,Ａ＇Ｃ＇=30cm;
(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,
Ａ＇Ｂ＇=16cm,Ｂ＇Ｃ＇=12.8cm,Ａ＇Ｃ＇=25.6cm.
图中的两个三角形是否相似？为什么？
五、课堂小结：同桌互查本节课内容，熟练记忆！
六、当堂达标
如图，在平行四边形ABCD中，AB=10,AD=6,E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（
）.
A.5
B.8.2
C.6.4
D.1.8
如图，点D在△ABC内，连接BD并延长到点E，连接AD，AE，若∠BAD=20°，
，则∠EAC=
.
如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（
）
4.已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD?=PD?AD.
求证：△ADC∽△CDP.