1.1等腰三角形（第4课时）(含答案）

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北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明
1.1
等腰三角形
第4课时
等腰三角形4
【知识清单】
1.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
3.推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【经典例题】
例题1、如图在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，连接AO，AO恰好平分∠BAC，
若∠BOC=60°，试判断△BOC的形状.
【考点】等边三角形的判定；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据AB=AC，∠1=∠2，
可得△ABO≌△ACO，进而可得BO=CO，又因为∠BOC=60°，可以判定△BOC是等边三角形.
【解答】在△ABO和△ACO中,
∵，
∴△ABO≌△ACO(SAS
),
∴OB=OC，
又∵∠BOC=60°，
∴△BOC是等边三角形.
【点评】本题考查了等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质．熟悉和理解有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形判定是解决此题关键是．
例题2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AB交BC于D，AD=6cm，求△ABC的面积．
【考点】?勾股定理、
等腰三角形的性质、
含30度角的直角三角形性质.
【分析】由AB=AC，∠BAC=120°，得出∠B=∠C=30°，∠BAD=90°；易证得∠DAC=∠C=30°，即CD=AD=6cm．Rt△ABD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=2AD=12cm；由此可求得BC的长，进而利用勾股定理求得BC边上的高AE的长度，问题得到解决.
【解答】过点A作AE⊥BC，垂足为点E.
∵AB=AC，
∴点E是BC的中点，BE=EC，
∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵AB⊥AD，
∴BD=2AD=2×6=12(cm)，
∵∠BAC=120°，∠BAD=90°，
∴∠DAC=∠BAC∠BAD=120°90°=30°，
∴∠DAC=∠C，∴DC=AD=6cm
∴BC=BD+DC=12+6=18(cm)．
∴BE=EC=9(cm)，
在Rt△ABE中，∠B=30°，
∴AB=2AE，
设AE=x，则AB=2x,由勾股定理，得，
AE2+BE2=AB2，∴x2+92=(2x)2,
解得x=(cm)，∴AE=(cm)
∴△ABC的面积为(cm)2.
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质和判定，求出BD、CD的长度和△ABC底边上的高是解决问题的关键．
【夯实基础】
1、下列说法不正确的是(
)
A．有两个角均为60度的三角形是等边三角形
B．有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形
C．底角为60度的等腰三角形是等边三角形
D．有一个角为60度的三角形是等边三角形
2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，∠C=30°，BD=2，则DC的长为(
)
A．8
B．6
C．
4
D．3
3、如图，已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，OP=5cm，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1P2的长为(
)
A．cm
B．cm
C．
5cm
D．cm
4、如图，点D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且BD=AF=CE，则△DEF为(
)
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．
等腰三角形
D．等边三角形
5、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=2∠B，AD平分∠CAB，交BC于点D，若BD=8，
则CD的长为
.
6、如图△ABC是等边三角形，CD是AB边上的中线，延长CB到E，使BE=BD.则ED与AC的位置关系是
.
7、如图，点P是等边三角形△ABC内部一点，∠APB:∠BPC:∠CPA=4:5:6，则以线段AP、BP、CP为边的三角形三个角的比是
.
8、如图，△ABC是等边三角形，D为AC上的一点，
∠ABD=∠ACE，BD=CE．试说明AE∥BC．
9、如图，在△ABC中，AB=AC=BD+DC，且∠ADB=90°∠BDC，
求∠ABD的度数.
【提优特训】
10、已知在一个角为30°的等腰三角形中，腰长为2cm，则这个三角形一腰上的高为(
)
A．1
B．
C．1或
D．或2
11、如图，点D为等边△ABC内一点DB=DA，BP=BA，∠PBD=∠CBD，则∠BPD的度数为(
)．
A．20°
B．30°
C．
45°
D．60°
12、如图，△ABC是边长为6的等边三角形，被一平行于BC的长方形所截，AB被截成三等分，
则图中阴影部分的面积为(
)
A．
B．4
C．3
D．2
13、如图，点P是等边三角形△ABC内部一点，AP:BP:CP=3:4:5,则∠APB的度数为(
)
A．150°
B．135°
C．
120°
D．100°
14、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，AD=2，AB=3，则DB的长是
.
15、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，BC=1，则AC的长为
.
16、下列命题：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②含有30°的直角三角形三边的比为1::2③等边三角形的三条高线的交点、三条中线的交点、三条角平分线的交点是同一点；④等边三角形内部一点到三边的距离之和等于一边上的中线的长度.其中正确的是
.(填序号)
17、如图所示，已知△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是2cm/s，点Q运动的速度是4cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：(1)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为直角三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．
18、如图,在△ABC中，AB=AC，∠C=60°，点D、E是边BC上的点，∠DAE=30°，若BD=1cm，EC=2cm,.求：(1)DE的长；(2)
△ABC的面积.
【中考链接】
19、(2020?山东烟台)
如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
?
【问题解决】
?如图1，若点D在边BC上，求证：??+??=??；
?
【类比探究】
?
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
参考答案
1、D
2、B
3、C
4、D
5、4
6、垂直
7、3:5:7
10、C
11、B
12、A
13、A
14、
15、
16、①②③④
8、如图，△ABC是等边三角形，D为AC上的一点，∠ABD=∠ACE，BD=CE．试说明AE∥BC．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
在△ABD和△ACE中，
∵，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠ACB=∠CAE，
∴AE∥BC．
9、如图，在△ABC中，AB=AC=BD+DC，且∠ADB=90°∠BDC，求∠ABD的度数.
证明：延长CD到E，使DE=BD，
∴CE=CD+DE=CD+BD=AC=AB，
∴BD
=
DE，
∵∠ADB=90°∠BDC，
∴2∠ADB=180°∠BDC，
∴2∠ADB+∠BDC
=180°，
∵∠ADB+∠ADE+∠BDC=180°
∴2∠ADB=∠ADB+∠ADE，
∴∠ADB=∠ADE.
在△ABD和△AED中，
∵，
∴△ABD≌△ADE(SAS)，
∴AC=AE，∠ABD=∠E，
∴AC=AE=CE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠ABD=∠E=60°.
17、如图所示，已知△ABC是边长为12cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是2cm/s，点Q运动的速度是4cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：(1)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为直角三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．
解：(1)①当点Q到达点C时，即△BPQ为直角三角形．
理由如下：
∵AB=AC=BC=12cm，∴当点Q到达点C时，BP=6cm，
∴点P为AB的中点．
∴QP⊥BA(等边三角形三线合一的性质)．
∴4t=12,
解得t=3s时，△BPQ是直角三角形．
②当PQ⊥BC时，即△BPQ为直角三角形．
理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴PB=2BQ，
∴12-2t=2×4t，
解得t=1.2s．
∴当t=1.2时，△BPQ是直角三角形．
(2)假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，
∴BP=PQ=BQ，
∴12-2t=4t，
解得t=2s．
∴当t=2s时，△BPQ是个等边三角形．
18、如图,在△ABC中，AB=AC，∠C=60°，点D、E是边BC上的点，∠DAE=30°，若BD=1cm，EC=2cm,.求：(1)DE的长；(2)
△ABC的面积.
解：(1)∵AB=AC，∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠BAC=∠C=60°，
将△AEC绕着点A顺时针到△的位置，
连接，，过点作垂直CB的延长线于点G，
　=AE，∠=∠C=60°，∠AB=∠EAC，
=EC=2cm,
∵∠BAC
=60°，∠DAE=30°，
∴∠BAD+∠EAC=∠BAC-∠DAE=60°-30°=30°，
∴∠AD=
∠BAD
+∠AB
=∠BAD+∠EAC=30°，
∴∠AD=
∠EAD；
在△AD和△EAD中，
∵，
∴△AD≌△EAD(SAS)，
∴D=ED.
∵∠=∠C=60°，
∴∠，
∴,
在Rt△中，,则，
∴GB=
cm，
∴cm，
∵BD=1cm，
∴GD=GB+BD=1+1=2
cm，
在Rt△中，
cm，
DE=cm；
(2)
由(1)的结果可得，
BC=BD+DE+EC=1++2=(3+)cm.
∵△ABC是等边三角形，
∴△ABC的面积为
19、(2020?山东烟台)
如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
?
【问题解决】
?如图1，若点D在边BC上，求证：??+??=??；
?
【类比探究】
?
如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【问题解决】证明：在CD上截取CH=CE，如图1所示：
?∵△ABC是等边三角形，
?
∴∠ECH=60°，
?∴△CEH是等边三角形，
?
∴EH=EC=CH，∠CEH=60°，
?
∵△DEF是等边三角形，
?∴DE=FE，∠DEF=60°，
?
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°，
?
∴∠DEH=∠FEC，
?在△DEH和△FEC中，
?∵，
∴△DEH≌△FEC(SAS)，
∴DH=CF，
?∴CD=CH+DH=CE+CF，
∴CE+CF=CD；
?【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
?∴∠A=∠B=60°，
?过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
?
∵GD∥AB，
∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，
?∴∠GDC=∠DGC=60°，
?
∴△GCD为等边三角形，
?
∴DG=CD=CG，∠GDC=60°，
?
∵△EDF为等边三角形，
?
∴ED=DF，∠EDF=∠GDC=60°，
?∴∠EDG=∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
∵
?∴△EGD≌△FCD(SAS)，
?
∴EG=FC，?
∴FC=EG=CG+CE=CD+CE．
第18题图
第19题图1
例题1图
第17题图
第6题图
第8题图
第18题图
第9题图
第3题图
第18题图
第8题图
第2题图
第19题图2
例题2图
第9题图
第4题图
第5题图
第7题图
第9题图
第12题图
第13题图
第11题图
例题2图
第15题图
第14题图
第17题图
第19题图1
第19题图2
第19题图1
第19题图2
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