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向量减法运算及其几何意义
一、选择题
1．若是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．在平行四边形中，等于（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，已知是一正六边形，是它的中心，其中，，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量是单位向量，点是的中点，点为任意一点，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在四边形中，设，，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
6．下列各式：
①；
②；
③；
④.
其中结果为零向量的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．若是△内一点，，则是△的（
）
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
8．平面内有三点，设，，若，则有（
）
A．三点必在同一直线上
B．△必为等腰三角形且为顶角
C．△必为直角三角形且
D．△必为等腰直角三角形
9．若菱形的边长为，则________．
10．梯形中，，与交于点，则__________．
11．已知，，则的取值范围是__________．
三、解答题
12．化简：
（1）；（2）.
13．已知△为等腰直角三角形，，为斜边的中点，，.求证：（1）；（2）.
14．如图所示，为△的外心，为垂心，求证：.
答案解析
1.
B
【解析】由向量的减法知，故选B.
2．D
【解析】
，又，故选D.
3．D
【解析】．
4．A
【解析】
由于，，故选A.
5．B
【解析】
.
6．D
【解析】
①；②；③；④.
7．B
【解析】由得，而表示的是以为邻
边的平行四边形对角线所在的向量，结合图形易得是△的重心．
8.【答案】C
【解析】如图，作，则为平行四边形，从而，
．∵，∴，
∴四边形是矩形，∴△为直角三角形，且．
9．
【解析】
由于，则.
10．
【解析】
．
11．
【解析】
∵，且，，
∴.当与同向时，；
当与反向时，.∴的取值范围为．
12．（1）（2）
【解析】
（1）.
（2）.
13．详见解析
【解析】证明：如图，在等腰△中，由是斜边的中点，有，.
（1）在△中，.于是由，得.
（2）因为，所以．从而由，得.
14．
【解析】证明：作直径，连接，则，
由题意可知，，，，，
∴
，
即
∴，故四边形是平行四边形．
∴，又
∴.
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向量加法运算及其几何意义
一、选择题
1．为四边形所在平面上一点，，
则为（
）
A．四边形对角线交点
B．的中点
C．的中点
D．边上一点
2．若，则（
）
A．一定可以构成三角形
B．都是非零向量时可以构成一个三角形
C．一定不可以构成一个三角形
D．都是非零向量时也可能无法构成三角形
3．下列各式不恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，，分别是△三边，，的中点，则下列等式不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．(
)
A．
B．
C．
D．
6．向量、均为非零向量，则下列说法不正确的是(
)
A．若向量与反向，且，则向量与的方向相同
B．若向量与反向，且，则向量与的方向相同
C．若向量与同向，则向量与的方向相同
D．若向量与的方向相同或相反，则的方向必与、之一的方向相同
7．已知，，是非零向量，则，，，，中，与向量相等的个数为(
)
A．
B．
C．3
D．2
8．已知，，则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．若向量，满足，，则的最小值是__________．
10．如图，已知△是直角三角形且，则下列结论中正确的是________．
①；②；
③；④.
11．已知点是△的重心，则________.
三、解答题
12．求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．
13．一艘船以的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成角，求水流速度和船实际速度．
14．点，，分别是△的三边，，的中点，求证：
（1）；
（2）．
答案解析
1．B
【解析】∵，，，
∴，∴．∴点为线段的中点．故选B．
2．D
【解析】
，则都是非零向量且不共线时可以构成一个三角形，而共线时不能构成三角形，故选D．
3．D
【解析】由向量的运算法则可知：正确；正确；正确；只有、同向时成立，所以D不恒成立．故选D．
4．B
【解析】由加法的三角形法则可得，，，，，故选B．
5．B
【解析】由向量加法的运算法则可知.
6．B
【解析】对于B，向量与的方向相同，故选B.
7.
A
【解析】依据向量加法的交换律及结合律可知，每个向量式均与相等，故选A.
8．A
【解析】∵，∴，，∴.
9．
【解析】
，，异向共线时，取最小值为.
10．①②③④
【解析】
①正确，以，为邻边作，又，所以为矩形，所以，
所以；②正确，；
③正确，；④正确，由勾股定理知.
11．
【解析】
如图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，延长到点，使，则，，∴.
12．详见解析
【解析】证明：要证明三个向量首尾相连构成三角形，只要证明三个向量的和为即可．如图所示：设△的三边对应的向量为，，，那么，设、、分别为三边，，的中点，
于是中线对应的向量分别为，
，，
∴，∴，
故三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．
13．水流速度大小为，船实际速度为
【解析】如图所示，表示水流速度，表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度，
表示船实际航行的速度，，．
∵四边形为矩形，
∴，，
∴水流速度大小为，船实际速度为.
14．【解析】证明：（1）由向量加法的三角形法则得，，
同理可得，，∴.
（2）由向量加法的三角形法则得，，
同理可得，，，
∴左边，
，
①
∵点，，分别是△的三边，，的中点，
∴，代入①得，左边，
又∵，∴左边右边，故等式成立．
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向量数乘运算及其几何意义
一、单选题
1．设，是两个不共线的向量，若向量共线，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．设是任一向量，是单位向量，且，则下列表达式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知向量，，，则（
）
A．、、三点共线
B．、、三点共线
C．、、三点共线
D．、、三点共线
4．设是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是（
）
A．的方向的方向相反
B．
C．与方向相同
D．
5．已知关于的方程，则（
）
A．
B．
C．
D．无解
6．如图，在△中，，是上的一点，若，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知△的三个顶点，，及平面内一点，且，则（
）
A．在△内部
B．在△外部
C．在边上或其延长线上
D．在边上
8．如图，为线段外一点，若中任意相邻两点的距离相等，，，用，表示，其结果为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．若向量，，则________．
10．已知平面内，，，四点，其中，，三点共线，且，则__________.
三、解答题
11．已知点是线段上的一点，点P是任意一点，，
若，则等于
．
12．计算：（1）；
（2）；
（3）．
13．已知△中，点是点关于点的对称点，点是线段的一个靠近的三等分点，设．
（1）用向量与表示向量,；
（2）若，求证：、、三点共线．
14．设，分别是梯形的对角线与的中点.
（1）试用向量法证明：；
（2）若，求的值．
答案解析
1．D
2．D
【解析】对于A，当时，没有意义，错误．对于B，C，D，当时，选项B，C，D都正确；当时，由可知，与同向或反向，且，故B，C不全面，选D．
3．B
【解析】
∵，∴、、三点共线．故选B．
4．C
【解析】对于A，与方向相同或相反，因此不正确；对于B，时，，因此不正确；对于C，因为，所以与同向，正确；对于D，是实数，是向量，不可能相等．故选C．
5．B
【解析】
∵，∴，∴，∴=．
6．A
【解析】∵点在上，则存在实数使.
∴.
∵，∴，∴,
∴解得，故A正确.
7．D
【解析】∵，∴，∴在边上，故选D.
8．B
【解析】设的中点为，则也是的中点，
由向量的中点公式可得，同理可得，
，
故，故选B.
9．
【解析】
.
10．
【解析】
∵，，三点共线，∴存在使.
∴，∴，
∴，，∴.
11．
【解析】∵，∴，
即，∴，
∵，∴解得.
12．
【解析】（1）原式
．
（2）原式．
（3）原式．
13．
【解析】（1）∵∴，
.
（2）证明：∵
∴与平行，又∵与有公共点，∴、、三点共线.
14．
【解析】（1）证明：∵为的中点，∴，
又为的中点，∴.
∴，
又向量与共线，∴可设向量，则，
∴①，又梯形中，，∴，
∴，即.
（2）∵向量与反向，且，所以，即，代入①式得，∴．
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平面向量运算综合训练
一、单选题
1．已知向量，其中不共线，则与的关系为（）
A．不共线
B．共线
C．相等
D．无法确定
2．下列命题中，正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．对于任意向量，有
D．对于任意向量，有
3．设是平面上给定的4个不同的点，则使成立的点的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．4
4．已知为平面上四点，且，实数，则（）
A．点在线段上
B．点在线段上
C．点在线段上
D．四点一定共线
5．下列命题中是真命题的是（）
①对任意两向量，均有；
②对任意两向量，与是相反向量；
③在△ABC中，；
④在四边形ABCD中，
A．①②③
B．②④
C．②③④
D．②③
6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．在直角三角形中，斜边的长为2，是平面内一点，点满足，则__________.
8．已知是直角三角形且，则在下列结论中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）
①；②；
③；④.
9．已知是不共线的向量，且.若三点共线，则__________.
三、解答题
10．如图所示，为的外心，为垂心，求证：.
11．已知两个非零向量不共线，.
（1）证明：三点共线；
（2）试确定实数，使与共线.
12．如图,在△ABC中,E为边AC的中点,试问在边AC上是否存在一点D,使得?若存在,说明点D的位置;若不存在,请说明理由.
答案解析
1．B
【详解】
因为，
，∴，∴与共线.故选B.
2．D
【详解】
对于选项A，若，结论不一定成立，A错；
对于选项B，模相等的向量方向不一定相同或相反B错；
对于选项C若非零向量与方向相反，则，C错；
D正确，故选D
3．B
【详解】
解：设中点为B,C;BC中点为F,
，M=F
故选B．
4．B
【详解】
由题意得，即，又，所以点在线段上，故选B.
5．D
【详解】
①是假命题.∵当时，，∴该命题不成立.
②是真命题∵，∴与是相反向量.
③是真命题.
④是假命题∵，
∴，∴该命题不成立.故选D.
6．B
【详解】
如图，可知
=，选B.
7．1
【详解】
如图，
取边的中点，连接，则，，所以，即，因此.
8．①②③④
【详解】
如图，
以为邻边作，因为，所以为矩形，所以，所以，故①正确；
②正确，；
③正确，；
④正确，由勾股定理知.
故答案为①②③④.
9．1
【详解】
若三点共线，则共线，所以存在实数使得，则.因为不共线，所以，且，消去，得.
10．
【详解】
证明：如图，作直径，连接，
则，.
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴.
又∵，
∴.
11．
【详解】
（1）因为，
所以，
，
所以，即与共线.
又因为与有公共点，所以三点共线.
（2）因为为非零向量且不共线，所以.
若与共线，则必存在唯一实数，使，整理是.
因此，解得，或，
即存在实数，使与共线，此时；或存在实数，使与共线，此时，因此都满足题意.
12．D点为AC上靠近C的一个三等分点
【详解】
假设存在点D,使得.
由,
得=,
所以,
即.
又,所以,
即在AC上存在一点D,使,且D点为AC上靠近C的一个三等分点.
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