26.4圆周角
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(共21张PPT)
回 忆
1.什么叫圆心角
.
O
A
B
顶点在圆心的角叫圆心角
2. 圆心角、弧、弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
∠ AOB叫弧AB所对的圆心角
探 究
.
O
A
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C 观察得到的∠ACB有什么特征？
C
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
B
如图中的∠ACB
∠ACB叫做弧AB所对的圆周角
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P
不是
是
不是
不是
顶点不在圆上。
顶点在圆上，两边和圆相交。
两边不和圆相交。
有一边和圆不相交。
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？
你能画出几种情况？
你能证明你的发现（即同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半）吗？
同弧所对的圆心角与圆周角有什么关系呢？ 用量角器量一量，你有什么发现？
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
分析论证
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
A
B
C
O
∵ OA=OC
∴∠A=∠C
又 ∠BOC=∠A＋∠C
∴∠BOC=2∠A
即∠A= ∠BOC
分析论证
你能证明第2种情况吗？
A
B
C
O
D
提示：作射线AO交⊙O于D。转化为第1种情况
证明：由第1种情况得
即∠BAC= ∠BOC
∠BAD＝ ∠ BOD
∠CAD＝ ∠ COD
∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD
分析论证
你能证明第3种情况吗？
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得
即∠BAC= ∠BOC
∠BAD＝ ∠ BOD
∠CAD＝ ∠ COD
∠CAD－∠BAD＝ ∠ COD－ ∠BOD
A
B
C
O
D
问题解决：
综上所述：同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
即∠BAC= ∠BOC
问题２
如图，在⊙O中，∠BAC 、∠BDC、∠BEC
哪些是圆周角？
A
C
B
O
D
E
分别是哪条弧所对的圆周角？
由此你能得出什么结论？
∠BAC 与∠BDC大小有何关系？为什么？
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半。
练习： 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
D
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
∠1＝∠4
∠2＝∠7
∠3＝∠6
∠5＝∠8
解：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：
∠C1、∠C2、∠C3的度数是 。
A
B
O
C1
C2
C3
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB是 。
90°
180°
探究与思考：
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°
A
C
B
O
D
2、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°
C
A
B
P
B
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A、70°； B、110°；
C、90°； D、120°
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 。
A
C
B
O
D
E
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
2
练一练
5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。
A
C
B
D
F
·
O
∴△ABC是锐角三角形
解：（1）AB=AC。
理由：连接AD
又∵DC=BD，∴AB=AC。
（2）△ABC是锐角三角形。
由（1）知，∠B=∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 °
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
观察思考：
在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．
问题探讨：
问题1
如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？
用量角器量一下，有什么发现？
问题２
如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置
D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的
视角相同吗？
相等。都等于∠BOC的一半。
回 忆
1.什么叫圆心角
.
O
A
B
顶点在圆心的角叫圆心角
2. 圆心角、弧、弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
∠ AOB叫弧AB所对的圆心角
探 究
.
O
A
问题：将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C 观察得到的∠ACB有什么特征？
C
顶点在圆上
两边都与圆相交
这样的角叫圆周角。
B
如图中的∠ACB
∠ACB叫做弧AB所对的圆周角
问题探讨：
判断下列图形中所画的∠P是否为圆周角？并说明理由。
P
P
P
P
不是
是
不是
不是
顶点不在圆上。
顶点在圆上，两边和圆相交。
两边不和圆相交。
有一边和圆不相交。
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？
你能画出几种情况？
你能证明你的发现（即同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半）吗？
同弧所对的圆心角与圆周角有什么关系呢？ 用量角器量一量，你有什么发现？
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
分析论证
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠BAC)的一边(BA)上时,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系.
A
B
C
O
∵ OA=OC
∴∠A=∠C
又 ∠BOC=∠A＋∠C
∴∠BOC=2∠A
即∠A= ∠BOC
分析论证
你能证明第2种情况吗？
A
B
C
O
D
提示：作射线AO交⊙O于D。转化为第1种情况
证明：由第1种情况得
即∠BAC= ∠BOC
∠BAD＝ ∠ BOD
∠CAD＝ ∠ COD
∠BAD＋∠CAD＝ ∠ BOD＋ ∠COD
分析论证
你能证明第3种情况吗？
证明：作射线AO交⊙O于D。
由第1种情况得
即∠BAC= ∠BOC
∠BAD＝ ∠ BOD
∠CAD＝ ∠ COD
∠CAD－∠BAD＝ ∠ COD－ ∠BOD
A
B
C
O
D
问题解决：
综上所述：同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
即∠BAC= ∠BOC
问题２
如图，在⊙O中，∠BAC 、∠BDC、∠BEC
哪些是圆周角？
A
C
B
O
D
E
分别是哪条弧所对的圆周角？
由此你能得出什么结论？
∠BAC 与∠BDC大小有何关系？为什么？
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半。
练习： 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
D
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
C
∠1＝∠4
∠2＝∠7
∠3＝∠6
∠5＝∠8
解：
问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：
∠C1、∠C2、∠C3的度数是 。
A
B
O
C1
C2
C3
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
问题2： 若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB是 。
90°
180°
探究与思考：
练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，
则∠AOC等于（ ）
A、50°； B、80°；
C、90°； D、100°
A
C
B
O
D
2、如图，△ABC是等边三角形，
动点P在圆周的劣弧AB上，且不
与A、B重合，则∠BPC等于（ ）
A、30°； B、60°；
C、90°； D、45°
C
A
B
P
B
练一练
3、如图，∠A=50°， ∠AOC=60 °
BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（ ）
A、70°； B、110°；
C、90°； D、120°
B
4、如图，△ABC的顶点A、B、C
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
则⊙O的半径是 。
A
C
B
O
D
E
C
A
B
O
解：连接OA、OB
∵∠C=30 ° ，∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ，∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2，即半径为2。
2
练一练
5、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合。
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由。
A
C
B
D
F
·
O
∴△ABC是锐角三角形
解：（1）AB=AC。
理由：连接AD
又∵DC=BD，∴AB=AC。
（2）△ABC是锐角三角形。
由（1）知，∠B=∠C＜90 °
连接BF，则∠AFB=90 °，∴∠A＜90 °
∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
观察思考：
在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．
问题探讨：
问题1
如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系？
用量角器量一下，有什么发现？
问题２
如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置
D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的
视角相同吗？
相等。都等于∠BOC的一半。