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第24章 圆
§24.1. 2 垂直于弦的直径
问 题 情 景：
学校后勤刘师傅最近遇到一件麻烦事,因为我校一处圆形下
水道破裂,他准备更换新管道,但只量得污水水面AB宽60cm,
水面至管道顶部距离CE为10cm,你能帮助刘师傅计算出他
应该准备内径多大的管道吗 (根据题意画出图形,如下图)
想一想？
O
C
A
B
E
分析:已知弦长和弓形高怎样求半径
问题:弦长、弓形高和半径有怎样的关系？
操 作 探 究：
1、拿出所剪的圆，沿着圆的任意一条直线对折，重复
做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
O
圆是轴对称图形，任何一条直
径所在直线都是它的对称轴。
操 作 探 究：
2、在⊙O中，作一条弦AB，再作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。1）折一折，它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
O
A
B
C
D
E
AE = BE，
AC = BC ，AD = BD
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求证：
在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
已知：
动脑筋
在⊙O中，作一条弦AB，再作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E。1）折一折，它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
O
C
D
E
AE = BE，
AC = BC ，AD = BD
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⌒
⌒
求证：
在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
已知：
证明：
连结OA、OB，则OA=OB。
∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴。
∴当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。
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因此：
AE = BE，
AC = BC ，AD = BD
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O
C
D
A
B
E
AE = BE，
AC = BC ，AD = BD
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求证：
在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
已知：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理：
A
D
B
C
O
E
A
D
B
C
E
O
图 1
图 2
O
C
D
A
B
E
AE = BE，
AC = BC ，AD = BD
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⌒
⌒
⌒
求证：
在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
已知：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理：
条件：
1、CD为直径
2、CD⊥AB
3、CD平分弦AB
4、CD平分弧ACB
5、CD平分弧ADB
结论：
O
C
D
A
B
E
AE = BE，
AC = BC ，AD = BD
⌒
⌒
⌒
⌒
求证：
在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
已知：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理：
条件：
结论：
1、过圆心
2、垂直于弦
3、平分弦
4、平分弦所对的劣弧
5、平分弦所对的优弧
一条直线满足：
O
C
D
A
B
条件：
结论：
一条直线满足：
操 作 探 究：
3、在⊙O中，作一条弦AB，再过
弦的中点E作直径CD，你有什么
发现？你能得到什么结论？
1、过圆心
2、垂直于弦
5、平分弦所对的优弧
3、平分弦
4、平分弦所对的劣弧
推论：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
知二推三
例 1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
O
A
B
E
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，则OE=3cm, AE=BE.
∵AB=8cm∴AE=4cm
在Rt⊿AOE中, 有OA= OE + AE = 3 + 4 =5(cm)
2
2
2
2
∴⊙O的半径为5cm
练习
应 用 举 例：
口决：半径半弦弦心距，化为勾股最容易。
例2、如图，在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证：AC = BD
A
B
C
D
O
E
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE = BE, CE = DE
∴AE － CE = BE － DE
即 AC = BD
辅助线：作垂直于弦的直径。
即作从圆心作与弦垂直的线段。
练习
变 换
A
B
C
D
O
1、如图1，在⊙O中, AB是 弦, OC = OD。
求证：AC = BD
(1)
A
B
C
D
O
2、如图2，在⊙O中, CD是
弦, OA = OB。
求证：AC = BD
(2)
2.已知：如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB,OE⊥AC,D、E为垂足。求证：ADOE为正方形。
O
A
B
C
D
E
练习
1. 在半径为50mm的⊙O中，有长50mm的弦AB。计算：
（1） 点O与AB的距离；
（2）∠AOB的度数。
O
A
B
§24.1.2 知识小结
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
一、圆的轴对称性
二、垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。(知二推三)
三、方法小结
1、辅助线：作垂直于弦的直径,即垂线段
2、口决：半径半弦弦心距，化为勾股最容易。
