1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 课堂小练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 课堂小练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 356.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-02 21:04:10 | ||
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文档简介
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
1.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为若去除所有为1的项,依次构成数列则此数列的前55项和为（ ）
A. B. C. D.
2.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由数字构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.
从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a，则a的值为( )
A. B. C. D.
3.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”.
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )
A. B.
C. D.
4.杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡(1623----1662)是在1654年发现这一规律的,比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年。下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了,这又是我国数学史上的一个伟大成就。如图所示,在“杨辉三角”中,从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则此数列前16项和为( )
A.120 B.163 C.164 D.165
5.杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他1261年所著的一书中，辑录了如图所示的角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶约公元1050年贾宪的释锁算术并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图：基于上述规律，可以推测，当时，从左往右第22个数为______．
6.将三项式展开,当时,得到以下等式:
观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的,缺少的数记为0)的和,第k行共有个数,若在的展开式中, 项的系数为75,则实数的值为__________.
7.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和。现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第行各数字的和为，如，，，，，……，则_____________．
8.如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第行的第2个数为_____．
9.已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，
(1)求；
(2)求展开式中的一次项的系数．
答案以及解析
1.答案：A
解析：记数列为则在杨辉三角中，第3行出现中的1项，第4行出现中的2项，第5行出现中的3项,,第n行出现中的项，设第55项出现在第行则解得第55项出现在第12行从右向左数第2个.又在“杨辉三角”中，第n行的数字之和为从第二行起每一行再减去2个1，前55项的和为故选A.
2.答案：C
解析：观察数表中每一行的数，第1行共1010个数，第1个数是：第2行共1009个数，第1个数是；第3行共1008个数，第1个数是；第4行共1007个数，第1个数是；…第1010行共1个数，这个数是。
3.答案：B
解析：由题意得，数表的第一行有2016个数，第二行有2015个数所以最后一行有1个数，最后一行为第2016行.数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4第2015行公差为.第一行的第一个数为，第二行的第一个数为，第三行的第一个数为第n行的第一个数为，第2016行只有数，故选B.
4.答案：C
解析：由由题意及杨辉三角的特点可得: ,故选C.
5.答案：253
解析：当时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,31,61,101,151,211,281,361,451,551,661,781,911,1051，
1201,1361,1531,1711,1901,2101,2311,253，故所求数字为253.
6.答案：1
解析：根据题意可得广义杨辉三角第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,
故的展开式中, 项的系数为,得
故答案为1.
7.答案：2
解析：由图②可得：，，，，，，，，…，由此可以发现：第一行个，即第行有个，第二行个，即第行有个，第四行个，即第行有个，第八行个，即第行有个，…，因为，所以第行有个，即第行的数全为奇数，由杨辉三角形的特点可得第行应为个奇数，即.
8.答案：
解析：
9.答案：(1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得，解得.
(2)由(1)知，展开式的第项为
令得.
此时，所以展开式中的一次项的系数为.
1.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为若去除所有为1的项,依次构成数列则此数列的前55项和为（ ）
A. B. C. D.
2.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由数字构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.
从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a，则a的值为( )
A. B. C. D.
3.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”.
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为( )
A. B.
C. D.
4.杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡(1623----1662)是在1654年发现这一规律的,比杨辉要迟393年,比贾宪迟600年。下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了,这又是我国数学史上的一个伟大成就。如图所示,在“杨辉三角”中,从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则此数列前16项和为( )
A.120 B.163 C.164 D.165
5.杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他1261年所著的一书中，辑录了如图所示的角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶约公元1050年贾宪的释锁算术并绘画了“古法七乘方图”，故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”，杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图：基于上述规律，可以推测，当时，从左往右第22个数为______．
6.将三项式展开,当时,得到以下等式:
观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的,缺少的数记为0)的和,第k行共有个数,若在的展开式中, 项的系数为75,则实数的值为__________.
7.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和。现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第行各数字的和为，如，，，，，……，则_____________．
8.如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第行的第2个数为_____．
9.已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，
(1)求；
(2)求展开式中的一次项的系数．
答案以及解析
1.答案：A
解析：记数列为则在杨辉三角中，第3行出现中的1项，第4行出现中的2项，第5行出现中的3项,,第n行出现中的项，设第55项出现在第行则解得第55项出现在第12行从右向左数第2个.又在“杨辉三角”中，第n行的数字之和为从第二行起每一行再减去2个1，前55项的和为故选A.
2.答案：C
解析：观察数表中每一行的数，第1行共1010个数，第1个数是：第2行共1009个数，第1个数是；第3行共1008个数，第1个数是；第4行共1007个数，第1个数是；…第1010行共1个数，这个数是。
3.答案：B
解析：由题意得，数表的第一行有2016个数，第二行有2015个数所以最后一行有1个数，最后一行为第2016行.数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4第2015行公差为.第一行的第一个数为，第二行的第一个数为，第三行的第一个数为第n行的第一个数为，第2016行只有数，故选B.
4.答案：C
解析：由由题意及杨辉三角的特点可得: ,故选C.
5.答案：253
解析：当时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,31,61,101,151,211,281,361,451,551,661,781,911,1051，
1201,1361,1531,1711,1901,2101,2311,253，故所求数字为253.
6.答案：1
解析：根据题意可得广义杨辉三角第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,
故的展开式中, 项的系数为,得
故答案为1.
7.答案：2
解析：由图②可得：，，，，，，，，…，由此可以发现：第一行个，即第行有个，第二行个，即第行有个，第四行个，即第行有个，第八行个，即第行有个，…，因为，所以第行有个，即第行的数全为奇数，由杨辉三角形的特点可得第行应为个奇数，即.
8.答案：
解析：
9.答案：(1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得，解得.
(2)由(1)知，展开式的第项为
令得.
此时，所以展开式中的一次项的系数为.