6.3利用导数解决实际问题 课堂小练习（含解析）

6.3利用导数解决实际问题
1.一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
2.某工厂要围建一个面积为的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁(墙壁足够长),其他三边需要砌新的墙壁,若使所用的材料最省,则堆料场的长和宽应分别为( )
A.32m,16m B.30m,15m C.64m,8m D.36m,18m
3.已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件
4.家报刊推销 员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0. 8元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出 400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸（ ）
A.215 份 B.350 份 C.400 份 D.250 份
5.把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与高的比为( )
A. B. C. D.
6.某银行贷款年利率为,按月计息利率为,小王计划向银行贷款元,已知贷款利息按复利计算(即每期的利息并入本金,在下一期中一起计息),设按年计息与按月计息两种贷款方式一年后的还款总额(本金、利息之和)分别为,则的大小关系是_____________.
7.某厂生产某种产品件的总成本(单位:万元),产品单价(单位:万元)的平方与产品件数成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为________件时总利润最大.
8.由曲线，直线所围成的封闭的图形面积为_________.
9.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且,假设该容器的建造费用仅与其表面积有关,已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为千元,设该容器的建造费用为千元.
(1)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2)求该容器的建造费用最小时的.









答案以及解析
1.答案：C
解析：绕较长的底旋转一周得到的几何体是粮仓形，下面是底面半径为4，高为2的圆柱，上面是底面半径为4，高为3的圆锥，
所以，所得几何体的体积为.
2.答案：A
解析：要使材料最省,则新砌的墙壁的总长度应最短.设堆料场宽为,则长为,因此新墙总长,则.令,解得(舍去).故当时,取得最小值,此时长为.
3.答案：C
解析：,令得或(舍去).
当时,,
当时,,
则当时,y有最大值.
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件,故选C.
4.答案：C
解析：
设每天从报社买进x(，)份报纸时， 每月所获利润为y元，具体情况如下表.
数量/份
单价/元
金额/元
买进
2
卖出
3
退回
0.8
∵在上单调递增，
∴当时，y取得最大值8 700.
即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润 为8 700元.故选C.
5.答案：C
解析：设圆柱高为，即长方形的宽为x，
则圆柱底面周长即长方形的长为，
∴圆柱底面半径，
∴圆柱的体积，
∴，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，函数无实际意义.
∴时，体积最大，
此时底面周长为，
该圆柱底面周长与高的比为.
6.答案：
解析：按年计息:,按月计息:,则.令,,又时,,所以,故.
7.答案：225
解析：设产品单价为,因为产品单价的平方与产品件数成反比,所以(其中为非零常数).又因为生产100件这样的产品单价为50万元,所以,故.
记生产件产品时,总利润为,
所以.
则,
由得;
由得,
故函数在上单调递增,在上单调递减.
因此当时,取最大值.
即产量定为225件时,总利润最大.
8.答案：
解析： 依题意,由解得，
∴封闭的图形面积为.
故答案为：.

9.答案：(1)设容器的容积为,由题意知,
又,故.
由于,因此,
整理得,故.
所以建造费用,
因此,.
(2)由1得,.
由于,所以,
当时, .
令,则,
所以
① 当,即 时,
当时, ;
当时, ;
当时, ;
所以是函数的极小值点,也是最小值点.
② 当,即时,
当时, ,函数单调递减,
所以是函数的最小值点.
综合所述,
当时,建造费用最小时;
当时,建造费用最小时 .