2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测
1.3组合
一、选择题
1.在12件同类产品中,有10件是正品,2件是次品,从中任意抽出3件,则下列事件为必然事件的是(?
)
A.3件都是正品?????????????????B.至少有件是次品
C.3件都是次品?????????????????D.至少有件是正品
1.答案：D
解析：12件产品中,有2件次品,任取3件,必包含正品,因而事件:抽取的3件产品中,至少有一件是正品,为必然事件,故选D.
2.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(???)
A.192种??????
B.216种??????
C.240种??????
D.288种
2.答案：B
解析：若最左端排甲,其他位置共有
(种)排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有
(种)排法,所以共有
(种)排法。
3.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(???)
A.24?????????
B.48?????????
C.60?????????
D.72
3.答案：D
解析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.
4.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为(??
)
A.232????????B.252????????C.472????????D.484
4.答案：C
解析：分两种情况:①不取红色卡片,共有不同的取法(种);
②取红色卡片1张,有不同的取法(种),所以不同的取法有(种),故选C。
5.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有(??
)
A.144个??????B.120个??????C.96个???????D.72个
5.答案：B
解析：当五位数的万位上的数字为4时,个位上的数字可以是0,2,此时满足条件的偶数共有
(个);当五位数的万位上的数字为5时,个位上的数字可以是0,2,4,此时满足条件的偶数共有
(个),所以比40000大的偶数共有48+72=120(个),选B.
二、填空题
6.将三位老师分配到4所学校实施精准帮扶，若每位老师只去一所学校，每所学校最多去2人，则不同的分配方法有_________________种.(用数字作答)
6.答案：60
解析：根据题意，分2种情况讨论：
若三位老师去三所学校，则有种分配方法；
若两位老师去一所学校，另一位老师去一所学校，
则有种分配方法.
所以共有种不同的分配方法.
7.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是__________(用数字作答).
7.答案：210
解析：(1)三人分两组,则不同的站法为
(种);
(2)三人分三组,则不同的站法为
(种).
由分类加法计数原理可得,不同的站法种数是.
三、解答题
“渐升数”是指除最高数位上的数字外,其余每一个数字比其左边的数字大的正整数(如13456和35678都是五位“渐升数”).
1.求五位“渐升数”的个数;
2.如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列,求第120个五位“渐升数"
答案：
1.126;
2.36789
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1.4简单计数问题
一、选择题
1.将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数为(
)
A.24
B.28
C.32
D.36
1.答案：B
解析：第一类，先选1人得到两本语文书，剩下的3人各得本，有种；第二类，先选1人得到一本语文书和一本数学书，剩下的3人各得一本，有种；第三类，先选1人得到两本数学书，剩下的3人各得一本，有种，根据分类加法计数原理可得共有种方法，故选B.
2.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有(
)
A.24种
B.48种
C.96种
D.144种
2.答案：C
解析：由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有种方法，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有种方法，根据分步乘法计数原理知共有种编排方法，故选C.
3.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(
)
A.12种
B.18种
C.24种
D.36种
3.答案：D
解析：因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必须有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组,即2,1,1,有(种),再分配给3个人,有(种),所以不同的安排方式共有(种).
4.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中,任取2部进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
4.答案：B
解析：依题意得所求的概率,故选B.
5.某地区开展了7种不同类型的社会服务活动.其中有2种活动既在上午开展、又在下午开展,3种活动只在上午开展,2种活动只在下午开展.小王参加了2种不同的活动,且分别安排在上午、下午,那么不同安排方案的种数是(
)
A.12
B.16
C.18
D.24
5.答案：C
解析：若小王没参加既在上午开展、又在下午开展的2种活动,则有种方案;
若小王参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动之一,则有种方案;
若小王上午、下午都参加了既在上午开展、又在下午开展的2种活动,则有2种方案.
所以不同的安排方案共有(种).故选C.
二、填空题
6.用红、黄、蓝三种颜色中的两种或三种给如图的正五角星的内部（分割成六个不同部分）涂色，要求相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案的种数是_________.
6.答案：96
解析：先涂五角星中间的正五边形，有（种）方法，接着涂五角星的五个角，各有（种）方法，因此共有（种）方法.
7.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为_______________.
7.答案：112
解析：由分层抽样可得，应从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以不同的抽取方法共有种.
三、解答题
8.袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个球.
(1)若取出的球是两种颜色，则有多少种取法?
(2)若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种取法?
8.答案：（1）根据题意，袋中装有大小相同的4个红球和6个白球，从中取出4个，有种取法，
其中颜色相同的有2种情况：4个红球或4个白球.
若是4个红球，有种取法，
若是4个白球，有种取法，
则取出的球是两种颜色的取法有种.
（2）若取出的红球个数不少于白球个数，分3种情况讨论：
①4个全部是红球，有种取法；
②有3个红球，1个白球，有种取法；
③有2个红球，2个白球，有种取法.
一共有种取法.2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测
1.5二项式定理
一、选择题
1.的展开式中的系数为(
)
A.72
B.60
C.48
D.36
1.答案：C
解析：的展开式的通项公式为.令，得；令，得，舍去；令，得.故的展开式中的系数为，故选C.
2.若的展开式的常数项为48，则(
)
A.-2
B.-1
C.1
D.2
2.答案：C
解析：的展开式的常数项为，
，即，所以.故选C.
3.在的展开式中，项的系数为(
)
A.80
B.-80
C.-40
D.40
3.答案：B
解析：项的系数为.故选B.
4.的展开式中的系数为(
)
A.12
B.16
C.20
D.24
4.答案：A
解析：，相加的两个二项展开式的通项分别为与的系数为.故选A.
5.的展开式中的系数为(
)
A.10
B.20
C.40
D.80
5.答案：C
解析：由二项式定理得的展开式的通项为，由，解得，的展开式中的系数为，故选C.
二、填空题
6.的展开式中，的系数为_______．
6.答案：40
解析：
展开式的通项为
令，则，
所以的展开式中，的系数为
故答案为40.
7.的展开式中的系数是___________________.
7.答案：
解析：的展开式的通项公式为，令，则，所以展开式中含的项为，故的系数是.
三、解答题
8.在二项式的展开式中，
(1)求展开式中的第四项；
(2)求展开式中的常数项；
(3)求展开式中各项的系数和.
8.答案：（1）在二项式的展开式中，展开式的第四项为.
（2）二项式的展开式的通项为，由，可得常数项为1.
（3）在二项式的展开式中，令，可得展开式中各项的系数和为.2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测
2.1离散型随机变量及其分布列
一、选择题
1.一个袋中装有除颜色外完全相同的2个黑球和6个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(
)
A.取到的球的个数
B.取到红球的个数
C.至少取到1个红球
D.至少取到1个红球或1个黑球
1.答案：B
解析：A中叙述的结果是确定的，不是随机变量，B中叙述的结果可能是0,1,2，所以是随机变量.C和D叙述的结果也是确定的，故不是随机变量.
2.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述一次试验的成功次数，则等于(
)
A.0
B.
C.
D.
2.答案：C
解析：设失败率为p，则成功率为，由表示“试验失败”，表示“试验成功”，则X的分布列为
X
0
1
P
p
由，得，即.
3.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是(
)
A.2枚都是4点
B.1枚是1点，另1枚是3点
C.2枚都是2点
D.1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点
3.答案：D
解析：B,C中表示的随机试验的结果，随机变量的取值均为4，而D是代表的所有试验结果.故选D.
4.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(
)
A．
B．
C．
D．
4.答案：D
解析：设事件为“第一次抽到的是螺口灯泡”，事件为“第二次抽到的是卡口灯泡”，则，．则所求概率为．
5.口袋中有5只球,编号分别为从中任取3只球,以表示取出的球的最大号码,则的数学期望的值是(??
)
A.4??????????B.4.5????????C.4.75???????D.5
5.答案：B
解析：由题意知,
可以取3,4,5,
,,,
所以,故选B.
二、填空题
6.下列随机变量中不是离散型随机变量的有_____________.(填序号)
①某宾馆每天入住的旅客数量X；
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数X.
6.答案：②
解析：①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量.
7.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程,从该班中任选两名学生,他们选修不同课程的概率是__________.
7.答案：
解析：∵该班有名学生则从班级中任选两名学生共有种不同的选法又∵人选修A课程,另外人选修B课程∴他们是选修不同课程的学生的情况有:
,故从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率.
三、解答题
8.已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出此3球所得分数之和，求X的分布列.
8.答案：由题意得X所有可能的取值为3,4,5,6，且
，
.
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
P2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测
2.2超几何分布
一、选择题
1.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则(??
)
A.
B.
C.
D.
1.答案：D
解析：因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为，即旧球增加1个，所以取出的3个球中必有1个新球，2个旧球，所以，故选D.
2.有6个大小相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,有如下变量:
①表示取出的最大号码;
②表示取出的最小号码;
③?取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,
表示取出的4个球的总得分;
④表示取出的黑球个数.
以上四种变量中服从超几何分布的是(?
?)
A.①②???????B.③④???????C.①②④?????D.①②③④
2.答案：B
解析：由超几何分布的特征可知①②不服从超几何分布,
③④服从超几何分布,故选B
3.一只袋内装有个白球，个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了
个白球，下列概率等于的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.答案：D
解析：由超几何分布知
4.已知,随机变量的分布列如下所示.
0
当增大时,
(
)
A.增大,先减小后增大
B.减小,增大
C.增大,先增大后减小
D.减小,减小
4.答案：C
解析：解法一
易知,所以当增大时，增大.
又易知
，所以当在内增大时，先增大后减小，故选C.
解法二
易知,所以当增大时，增大.由随机变量的分布列得到随机变量的分布列，如下所示.
0
1
所以，
所以
，所以当在内增大时，先增大后减小，故选C.
5.某种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记,则的数学期望为(?
?)
A.100????????B.200????????C.300????????D.400
5.答案：B
解析：1000粒种子每粒不发芽的概率为0.1.
∴不发芽的种子数,
∴1000粒种子中不发芽的种子数的数学期望
(粒),
又每粒不发芽的种子需补种2粒,
∴需补种的种子数的数学期望
(粒).
二、填空题
6.已知
服从超几何分布且，则________．
6.答案：
解析：根据，可知服从超几何分布，
且，
则.
故答案为.
7.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为_________________.
7.答案：3
解析：设口袋中白球个数为x，由已知得取得白球个数的所有可能取值为0，1，2.则服从超几何分布，，
，
，
，
.
故口袋中白球的个数为3.
三、解答题
8.某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，某人只能答对10道题目中的6道，试求：
（1）他能答对抽到题目数的分布列；
（2）他能通过初试的概率.
8.答案：（1）设随机抽出的3道题目他能答对的道数为X，则服从超几何分布，X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
即
X
0
1
2
3
P
（2）要至少答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，即答对其中2道和答对3道，这两种情况是互斥的，根据（1）的计算可得.2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测
2.3条件概率与独立事件
一、选择题
1.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
1.答案：A
解析：根据题意，记“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，“目标被击中”为事件C，则.则在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为.故选A.
2.小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是(
)
A.0.2
B.0.3
C.0.4
D.0.5
2.答案：D
解析：记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B，则，，所以，故选D.
3.已知，则等于(
)
A.
B.
C.
D.
3.答案：C
解析：由乘法公式得，故选C.
4.某种疾病的患病率为，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为(
)
A．
B．
C．
D．
4.答案：A
解析：设事件血检呈阳性”，
“患该种疾病”，
依题意知
,由得故选A.
5.高一新生健康检查的统计结果:体重超重者占40％，血压异常者占15％，两者都有的占8％今任选一人进行健康检查，已知此人体重超重，他血压异常的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
5.答案：A
解析：记事件A表示体重超重，事件B表示血压异常.则故选A.
二、填空题
6.某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人.从中任选3名班干部参加学校的义务劳动.设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则_____________.
6.答案：
解析：根据题意，事件“男生甲被选中且女生乙被选中”发生的概率为，事件“男生甲被选中”发生的概率为..
7.某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为.设A为下雨，B为刮四级以上的风，则___________，__________.
7.答案：；
解析：由已知，，.
三、解答题
8.出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.
(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
(2)求这位司机在途中遇到红灯数X的均值与方差.
8.答案：(1)因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以.
(2)易知随机变量.
所以.2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测
2.4二项分布
一、选择题
1.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，则(
)
A.0.7
B.0.6
C.0.4
D.0.3
1.答案：B
解析：根据题意可知，X服从二项分布，即，因为，所以，解得或.又因为，，所以，所以，即，故选B.
2.某人射击一次命中目标的概率为，则此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
2.答案：B
解析：根据射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响，故此人射击6次，3次命中的概率为，恰有2次连续命中目标的概率为，
故此人射击6次，3次命中且恰有2次连续命中的概率为.故选B.
3.随机变量服从二项分布～，且则等于(
)
A.
B.
C.
1
D.
0
3.答案：B
解析：二项分布的期望，方差，解得。故本题正确答案为B
4.已知随机变量，若，则分别是(
)
A.
6和2.4
B.
4和5.6
C.
4和2.4
D.
6和5.6
4.答案：C
解析：由题意，知随机变量服从二项分布，，
方差，
又，，，．
故选C．
5.设随机变量X服从二项分布，则等于(
)
A.
B.
C.
D.
5.答案：A
解析：根据条件中所给的变量符合二项分布，写出变量取值不同时对应的概率公式，本题，代入公式得到要求的概率：.
二、填空题
6.若，则_______________.
6.答案：
解析：由题意得，，.
7.已知离散型随机变量,且,则=_________若,则_________.
7.答案：
解析：因为,,所以,解得,所以
又,所以
三、解答题
8.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示,水库年入流量(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制,并有如下关系:
年入流量
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
8.答案：(1)依题意,,
,
.
由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为.
(2)记水电站年总利润为(单位:万元).
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,
对应的年利润,.
②安装2台发电机的情形.
依题意,当时,一台发电机运行,此时,
因此;
当时,两台发电机运行,此时,
因此.
由此得的分布列如下:
4200
10000
0.2
0.8
所以,.
③安装3台发电机的情形.
依题意,当时,一台发电机运行,此时,
因此;
当时,两台发电机运行,此时,
因此;
当时,三台发电机运行,此时,
因此.
因此得的分布列如下:
3400
9200
15000
0.2
0.7
0.1
所以,.
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测
2.5离散型随机变量均值与方差
一、选择题
1.若随机变量X的分布列如表所示，且，则(
)
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.
B.7
C.5.61
D.6.61
1.答案：C
解析：由题可得，解得.
又由，解得，
所以方差，故选C.
2.设随机变量满足：，，若，则(
)
A．4
B．5
C．6
D．7
2.答案：A
解析：由题意可得：
，
解得：
，则：
.
本题选择A选项.
3.某班有14名学生数学成绩优秀，如果从该班随机找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则(
)
A.
B.
C.3
D.
3.答案：D
解析：因为，所以，则.
4.一批零件的次品率为，从这批零件中每次随机取一件，有放回地抽取10次，表示抽到的次品件数，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
4.答案：A
解析：由题意可得，抽到次品的件数符合二项分布，即,由二项
分布的期望公式可得.
5.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为.由此可以估计(
)
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
5.答案：B
解析：乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.
二、填空题
6.盒中有4个球，其中
1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为，则
，
.
6.答案：；1
解析：
由题意知，，(或)，所以.
7.已知随机变量，则___________，标准差_________.
7.答案：1；
解析：随机变量，
.
，
.
三、解答题
8.2019年,受非洲猪瘟影响,全国猪肉价格大幅上涨.10月份全国居民消费指数(CPI)同比上涨3.8%,创七年新高,其中猪肉价格成为推动居民消费指数上涨的主要因素之一.某学习调查小组为研究某市居民对猪肉市场的信心程度,对当地200名居民在未来一段时间内猪肉价格上涨幅度的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如图所示的频率分布直方图:
(1)求频率分布直方图中的值,并估算该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值;
(2)将猪肉价格上涨幅度预期值在和的居民分别定义为对市场"信心十
足型"和"信心不足型",现采用分层抽样的方法从样本中位于这两个区间的居民中随
机抽取6名,再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查,记表示这三人中"信心十
足型"的人数,求的分布列,数学期望与方差.
8.答案：(1)由直方图知,解得.
设该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为,则
所以该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为55%.
(2)由题意,样本中"信心十足型"型居民有人.
"信心不足型"型居民有人.
由分层抽样的定义可知"信心十足型"居民抽取4人,"信心不足型"居民抽取2人.
则X的可能取值为1,2,3,
,
,
,
故的分布列为
1
2
3
0.2
0.6
0.2
,
.2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测
2.6正态分布
一、选择题
1.已知随机变量X服从正态分布,且,则
(????)
A.0.1588?????
B.0.1587????
C.0.1586?????
D.0.1585
1.答案：B
解析：
2.已知函数,且则(
)
A.3
B.3或7
C.5
D.5或8
2.答案：B
解析：的图象关于对称,,即或7.
3.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X且.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为.则的值约为(
)
（参考数据：若，有，，?）
A.0.972
5
B.0.683
C.0.977
D.0.954
3.答案：C
解析：∵随机变量X服从正态分布，，根据正态曲线的对称性可得，故选C.
4.已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率大约为(
)
A.0.85
B.0.819
2
C.0.86
D.0.75
4.答案：B
解析：设运动员射击4次，击中目标的次数为X，则.
5.某工厂生产的零件外直径(单位：)服从正态分布，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为(
)
A.上午生产情况异常，下午生产情况正常
B.上午生产情况正常，下午生产情况异常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
5.答案：B
解析：由题意，某工厂生产的零件外直径服从正态分布，
根据原则可得，即，即生产的零件外直径在内是正常的.
又由从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，
所以可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B.
二、填空题
6.设随机变量服从正态分布,若，则___________.
6.答案：2
解析：∵，
，
∴，
解得，
故答案为：2.
7.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则均值______________.(结果用最简分数表示)
7.答案：
解析：用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，X的所有可能取值为0,1,2.
，
..
三、解答题
8.某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径(单位:)进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布.
(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
(2)如果钢管的直径X满足之间为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望.
(参考数据：若，则；；)
8.答案：(1)∵，而，.此事件为小概率事件，所以该质检员的决定有道理.
(2)因为，
由题意可知钢管直径满足为合格品，所以该批钢管为合格品的概率约为0.95.
所以在60根钢管中，合格品约57根，次品约3根，任意挑选3根，则次品数Y的可能取值为0，1，2，3.
.
则次品数Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
所以.2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测
3.1回归分析
一、选择题
1.设某大学的女生体重(单位:)与身高(单位:)具有线性相关关系,根据一组样本数据,用最小二乘法建立的回归方程为,则下列结论中不正确的是(??
)
A.与具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心
C.若该大学某女生身高增加,则其体重约增加
D.若该大学某女生身高为,则可断定其体重必为
1.答案：D
解析：由线性回归方程知,所以与具有正的线性相关关系的,故选项A正确;
由回归直线方程恒过样本点的中心知,选项B正确;
若该大学某女生身高增加,则由知其体重约增加,因此C选项正确;
若该大学某女生身高为,则可预测或估计其体重为,并不一定为,因此选项D不正确.故答案为D.
2.两个相关变量满足如下关系:
x
10
15
20
25
30
y
1003
1005
1010
1011
1014
两变量的回归直线方程为(
)
A.
B.
C.
D.
2.答案：A
解析：利用公式有,
,
所以回归直线方程为.
3.四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:
①y与x负相关且;
②y与x负相关且;
③y与x正相关且;
④y与x正相关且.
其中一定不正确的结论的序号是(?
?)
A.①②???????B.②③???????C.③④???????D.①④
3.答案：D
解析：由正负相关的定义知,①错,表达式表示的是正相关,④错,表达式表示的负相关,故①④一定错.选D.
4.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调査了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程,其中，据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(??
)
A.11.4万元
B.11.8万元
C.12.0万元
D.12.2万元
4.答案：B
解析：由题意知：，
.又，
∴，∴当时，.
5.对变量有观测数据得散点图①;对变量有观测数据,得散点图②,由这两个散点图可以判断(??
)
A.变量与正相关,与正相关
B.变量与正相关,与负相关
C.变量与负相关,与正相关
D.变量与负相关,与负相关
5.答案：C
解析：
由图(1)可知,
随的增大而减小,各点呈下降趋势,变量与负相关,
由图(1)可知,
随的增大而增大,各点呈上升趋势,变量与正相关,
二、填空题
6.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2．2
3．8
5．5
6．5
7．0
若由资料可知y对x呈线性相关关系，且线性回归方程为，其中已知，请估计使用年限为20年时，维修费用约为_________．
6.答案：24.68
解析：∵，
∴当时，，
故答案为24.68．
7.某药材公司与某枳壳种植合作社签订收购协议,根据协议,由该公司提供相关的种植技术标准和管理经验,并对标准园的枳壳成品按不低于当年市场价的价格进行订单式收购,形成“龙头企业+合作社+农户”的快速发展模式.该合作社对2016—2019年的收益情况进行了统计,得到如下所示的相关数据:
年份
2016
2017
2018
2019
年份代码x
1
2
3
4
收益y/万元
14
26
40
58
根据数据可求得y关于x的线性回归方程,为,则=___________
.
7.答案：14.6
解析：由题表知，.因为样本点的中心在回归直线上，所以，解得.
三、解答题
8.为助力湖北新冠疫情后的经济复苏,某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价,用不同的单价在平台试销,得到如下数据:
单价(元/件)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量(万件)
90
84
83
80
75
68
(1)根据以上数据,求关于的线性回归方程;
(2)若该产品成本是4元/件,假设该产品全部卖出,预测把单价定为多少时,工厂获得最大利润?
(参考公式:回归方程其中。
8.答案：（1），
.
,
,
,
,
所以回归直线方程为.
（2）设工厂获得的利润为万元，
则
，
所以该产品的单价定为8.25元时，工厂获得利润最大，最大利润为361.25万元.2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测
3.2独立性检验
一、选择题
1.下列说法:
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;
②设有一个回归方程,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;
③线性回归方程必过;
④在一个列联表中,由计算得是,则有的把握确认这两个变量间有关系.
其中错误的个数是(
)
本题可以参考独立性检验临界值表:
0.05
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.0
B.1
C.2
D.3
1.答案：B
解析：将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,每个数与平均数的差值不变,因而方差恒不变,故①正确;根据回归方程可知当x增加一个单位时,y平均减少5个单位,故②错误;线性回归方程必过样本点中心,故③正确;由于,所以判断“两个变量间有关系”的犯错的概率不超过,所以有的把握确认这两个变量有关系,故④正确.因而错误的只有②.
2.下列说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；
③设具有相关关系的两个变量的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越强；
④在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
以上错误结论的个数为(
)?
?
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
2.答案：C
解析：①根据方差公式，将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；②设一个线性回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位，故②不正确；③设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x和y之间的线性相关程度越弱，故③不正确；④在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故④正确．
其中错误的个数是2个．
故选C．
3.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(
)
A.若的观测值为，我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B.从独立性检验可知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有的可能患有肺病
C.若从统计量中求出有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误
D.以上三种说法都不正确
3.答案：C
解析：若的观测值为,我们有的把握认为吸烟与患肺病有关系，而不是在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故A不正确;从独立性检验可知有的把握认为吸烟与患肺病有关系时,并不是吸烟的人就有的可能患有肺病，故B不正确；若从统计量中求出有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误,C正确.故选C.
4.在一项中学生近视情况的调查中,某校男生150名中有80名近视,女生140名中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(?
?)
A.平均数与方差?????????????????????????
B.回归分析
C.独立性检验??????????????????????????
D.概率
4.答案：C
解析：在确定两个问题是否相关时，需进行独立性检验，故利用独立性检验的方法最有说服力.
故选C.
5.为考察某种药物预防疾病的效果,对100只某种动物进行试验,得到如下的列联表:
患病
未患病
合计
服用药
10
40
50
没服用药
20
30
50
合计
30
70
100
经计算,统计量的观测值.
已知独立性检验中统计量的临界值参考表为:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
则认为药物有效,犯错误的概率不超过(
)
A.
B.
C.
D.
5.答案：B
解析：由题意算得,,参照附表,可得在犯错误的概率不超过的前提下,认为药物有效.
二、填空题
6.某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示：
喜欢甜品
不喜欢甜品
总计
南方学生
60
20
80
北方学生
10
10
20
总计
70
30
100
根据表中数据,________95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”,(填“有”或“没有”)
附:
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
,其中.
6.答案：有
解析：根据表中数据,计算观测值.对照临界值知,有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异.
7.某学校社团为调查学生课余学习围棋的情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示，将日均学习围棋时间不低于40分钟的学生称为“围棋迷”.
根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料判断
(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“围棋迷”与性别有关.
非围棋迷
围棋迷
总计
男
女
10
55
总计
附:，其中.
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
7.答案：不能
解析：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“围棋迷”有人，
从而列联表如下所示:
非围棋迷
围棋迷
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
总计
75
25
100
将列联表中的数据代入公式计算，得的观测值，
因为，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“围棋迷”与性别有关.
三、解答题
8.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的和浓度（单位：），得下表：
32
18
4
6
8
12
3
7
10
（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150”的概率；
（2）根据所给数据，完成下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？
附：，
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
8.答案：（1）根据抽查数据，该市100天的空气中浓度不超过75，且浓度不超过150的天数为，因此，该市一天空气中浓度不超过75，且浓度不超过150的概率的估计值为.
（2）根据抽查数据，可得列联表：
64
16
10
10
（3）根据（2）的列联表得.
由于，故有99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测
1.2
排列
一、选择题
1.五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(可以不相邻)，那么不同的排法有(
)
A.24种
B.60种
C.90种
D.120种
1.答案：B
解析：B在A的左边和右边是对称的（只要一个站位后，交换位置就可左右交换），因此所求排法为种，故选B.
2.从1,3,5,7,9这五个数中,
每次取出两个不同的数作为,共可得到的不同值的个数是(
)
A.9??????????
B.10?????????
C.18?????????
D.20
2.答案：C
解析：从1,3,5,7,9中,每次取出两个不同的数作为,可以得到不同的差式共计个,但其中,,故不同的值只有
个.
3.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(??
)
A.144????????
B.120????????
C.72?????????
D.24
3.答案：D
解析：先把三把椅子隔开摆好,他们之间和两端有个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有
(种)放法,故选D。
4.某小型剧场要安排个歌舞类节目,
个小品类节目和个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是(??
)
A.72?????????B.120????????C.144????????D.168
4.答案：B
解析：分两类:第一类,歌舞类节目中间不穿插相声类节目,
有种排法;
第二类,歌舞类节目中间穿插相声类节目,有种排法.
根据分类加法计数原理,知共有种不同的排法.故选B.
5.记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法种数为(
)
A.240
B.360
C.480
D.720
5.答案：C
解析：先将4名志愿者排成一排，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，则不同的排法有种，故选C.
二、填空题
6.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为__________________.
6.答案：D
解析：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分2种情况讨论：①选出的4人中没有甲，即选出其他4人即可，有种参赛方案；②选出的4人中有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有种，则此时共有种参赛方案.综上，总共有种不同的参赛方案.
7.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有_______________种.
7.答案：20
解析：分三类：若甲在周一，则乙，丙有种排法；若甲在周二，则乙，丙有种排法；若甲在周三，则乙，丙有种排法.所以不同的安排方法共有种.
三、解答题
8.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.
(1)全体排成一行，其中男生必须排在一起；
(2)全体排成一行，男，女各不相邻；
(3)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(4)全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变.
8.答案：（1）捆绑法.将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他4名女生进行全排列，共有种.
（2）插空法.先排好男生，然后将女生插入其中的4个空位，共有种.
（3）位置分析法.先排最左边，除去甲外，有种，余下的6个位置全排有种，但应剔除甲不在最左边，乙在最右边的排法有种.则符合条件的排法共有种.
（4）定序排列.第一步，设固定甲，乙，丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲，乙，丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此，则，则共有840种排法.2020-2021学年高二数学北师大版选修2-3随堂检测
1.1.2
分步乘法计数原理
一、选择题
1.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(
)
A．12种
B．18种
C．24种
D．36种
1.答案：D
解析：把4项工作先分为3组，有一组有2项工作，另两组各1项工作，
则可分成的种数为种分法，
再把3组项目分配给3名志愿者，则种数为种，
则总的安排方式为种
故本题答案为D
2.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有(
)
A.18种
B.9种
C.6种
D.3种
2.答案：A
解析：由于1号球不放入1号盒子，则1号球可放入2，3，4号盒子，有3种选择，则2号球有3种选择，3号球还剩2种选择，4号球只有1种选择.根据分步乘法计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有种.故选A.
3.将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数为(
)
A.81
B.64
C.14
D.12
3.答案：B
解析：对于第一个小球有4种不同的放法，第二个小球也有4种不同的放法，第三个小球也有4种不同的放法，即每个小球都有4种不同的放法，根据分步乘法计数原理知共有种放法，故选B.
4.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(
)
A.10种
B.20种
C.25种
D.32种
4.答案：D
解析：每位同学都有2种选择，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有种，故选D.
5.阅读名著,品味人生是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一期间每周的星期一至星期五每天阅读半个小时中国四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》中的一种,每种至少阅读一次,则每周不同的阅读计划共有(
)
A.120种
B.240种
C.480种
D.600种
5.答案：B
解析：将周一至周五分为4组,每组至少1天,共有种分组方法;将四大名著安排到4组中,每组1种名著,共有种分配方法.
由分步乘法计数原理可得,不同的阅读计划共有(种).
二、填空题
6.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为__________________.
6.答案：D
解析：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分2种情况讨论：①选出的4人中没有甲，即选出其他4人即可，有种参赛方案；②选出的4人中有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有种，则此时共有种参赛方案.综上，总共有种不同的参赛方案.
7.甲、乙、丙3个班各有3，5，2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________________种推选方法.
7.答案：31
解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有种选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有种选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有种选法.综上，根据分类加法计数原理共有种推选方法.
三、解答题
8.设集合是坐标平面上的点，.
（1）P可以表示多少个平面上不同的点?
（2）P可以表示多少个第二象限的点?
（3）P可以表示多少个不在直线上的点?
8.答案：（1）分两步.第一步确定a，有6种方法；第二步确定b，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有个不同的点.
（2）分两步.第一步确定a，只能从-3，-2，-l中选，有3种方法；第二步确定b，只能从1,2中选，有2种方法，根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有个.
（3）分两步.第一步确定a，从集合M中的6个元素中任选一个，有6种方法；第二步确定b，从剩下的5个元素中任选一个，有5种方法，根据分步乘法计数原理，不在直线上的点共有个.
