湖南省株洲县五中11-12学年高二上学期第三次月考（数学理）

株洲县五中2012届高二上学期第三次月考
数学卷（理）
说明：1、考试时间是120分钟，满分150分；
2、试题分为两部分，选择填空题部分和解答题部分；
3、请将选择填空题部分填入解答题部分的答题卡上。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1、“”是“”的 ( ）
A．充分而不必要条件　　　 　B．必要而不充分条件
C．充要条件　　　　　　　　 D．既不充分也不必要条件
2、抛物线 的准线方程是 ( ）
A． B． C． D．
3、已知且，则下列各式中成立的是 （ ）
A． B． C． D．
4、已知向量，若向量与向量互相垂直，则的值是 ( ）
A． B．2 C． D．
5、如下图，已知记则当的大致图象为 （ ）
6、已知为正实数，且成等差数列，成等比数列，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
7、已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线的交点连线也过焦点 ，则椭圆的离心率为 ( ）
A. B． C． D．
8、设函数则 ( )
A．在区间内均有零点。
B．在区间内均无零点。
C．在区间内有零点，在区间内无零点。
D．在区间内无零点，在区间内有零点。
二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，满分35分）。
9、函数的递增区间是 。
10、直线与双曲线有且只有一个公共点，但直线与双曲线不相切，则实数的值是 。
11、已知分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若，, A+C=2B,则sinC= 。
12、正四棱锥中，为顶点在底面上的射影，且，则直线与平面所成角的大小等于 。
13、已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是 。
14、如图空间四边形各边以及的长都是1，点分别是的中点，则= 。
15、给出下列四个命题：
①命题“”的否定是“”；
②是方程的根；
③，曲线表示双曲线；
④的递减区间为。
其中真命题为 （填上所有正确的序号）
三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．
16、（本题满分12分）
已知双曲线中心在原点，焦点坐标是，并且双曲线的离心率为。
（1）求双曲线的方程；
（2）椭圆以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点，求椭圆的方程。
17、（本题满分12分）
数列的前项和为，且，试求：
（1）的值；
（2）数列的通项公式；
（3）的值。
18、（本题满分12分）
如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中
（1）求证：；
（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）求到平面PAD的距离
19、（本题满分13分）
已知命题：直线与抛物线至少有一个公共点；命题：函数
在上单调递减。若“”为假，“”为真，求实数的取值范围。
20、（本题满分13分）
已知函数。
（1）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；
（2）当时，对任意的恒成立，求的取值范围；
21、（本题满分13分）
已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆相内切。
(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；
(2)设直线: y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.
参考答案
1—8题：BDBCCCAD
9—10题：和，，，，，，①④。
16、解：
由条件知，， ，
所以
…………….6分
…………12分
17、解：（1），，。…………………………3分
（2）由题设知
所以 。
又，所以…………………………7分
1
故数列的通项公式为
…………………………8分
（3）由（2）知，数列是首项为，公比为，项数为的等比数列。
所以…………………………12分
18、解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
（1）证明 设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，∴
又， ∴ ∴∴
∴ ， 即。…………………………4分
（2）解 设平面PAD的法向量是，
∴ 取得，又平面的法向量是∴ ， ∴。…………8分
（3）解 ∴到平面PAD的距离。…12分
19、解：真则： 化简整理得：，由得
。………………………………………………………………………………4分
真则：在上有 ，解得。…8分
因为“”为假，“”为真，则和一真一假
所以
故实数的取值范围是……………………………………………………12分
20、解解：（Ⅰ）当时………………2分
在上递增，在上递减
所以在0和2处分别达到极大和极小，由已知有
且，因而的取值范围是. …………………………4分
（Ⅱ）当时，即
可化为，记
则 …………………………8分
记则，
在上递减，在上递增.
从而上递增
因此故 ………………………… 13分
21、解：解：（1）圆M：(x－2)2+x2=64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R=8.
∵|AM|=4设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r= |CA|，且|CM|=R－r，
即|CM+|CA|=8>|AM|， ……3分
∴圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，
设其方程为(a>b>0)，则a=4，c=2，
∴b2=a2－c2=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为.
……5分
(2)由消去y 化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2－48=0，
设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1+x2=.
△1=(8km)2－4(3+4k2) (4m2－48)>0. ① ……7分
由消去y 化简整理得：(3－k2)x2－2kmx－m2－12=0，
设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3+x4=.
△2=(－2km)2+4(3－4k2) (m2+12)>0. ② ……9分
∵，∴ (x4－x2 )+ (x3－x1) =0，即x1+x2= x3+x4，
∴，∴2km=0或，
解得k=0或m=0， ……11分
当k=0时，由①、②得，
∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1，0，1，2，3；
当m=0时，由①、②得，
∵k∈Z，∴k=－1，0，1.
∴满足条件的直线共有9条. ……13分
A
y
o
x
D
y
o
x
y
o
x
C
y
o
x
B
O
D
C
E
A
B