北师大版八年级下册数学 1.1等腰三角形 同步练习（word版，含解析）

1.1等腰三角形
同步练习
一．选择题
1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，则∠C的度数不可能是（　　）
A．40°
B．55°
C．65°
D．70°
2．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（　　）
A．54°
B．60°
C．72°
D．76°
3．已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（　　）
A．4cm
B．6.5cm
C．6.5cm或9cm
D．4cm或6.5cm
4．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论不正确的是（　　）
A．AD⊥BC
B．EF＝FD
C．BE＝BD
D．AE＝AC
5．如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积是（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
6．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7
7．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠CHD的度数是（　　）
A．25°
B．35°
C．45°
D．55°
8．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，ED＝6，则DB+EC的值为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．9
9．如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE＝8，AD＝5，则AB等于（　　）
A．12
B．13
C．14
D．15
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，E，F是AD上的两点，且AE＝EF＝FD．若△ABC的面积为6cm2，则图中阴影部分的面积是（　　）cm2．
A．2
B．3
C．4.8
D．5
二．填空题（共5小题）
11．如图，△ABC中，点P、点Q是边BC上的两个点，若BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠PAC的度数为　
　°．
12．如图，△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．若AB＝11cm，△BCE的周长为17cm，则BC＝　
　cm．
13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k．若k＝2，则该等腰三角形的顶角为　
　度．
14．如图，B在AC上，D在CE上，AD＝BD＝BC，∠ACE＝25°，∠ADE＝　
　度．
15．如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A5B5A6的周长为　
　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，M，N为BC上两点，且∠BAM＝∠CAN，∠MAN＝∠AMN，求∠MAC的度数．
18．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
（1）若∠CAD＝α，求∠ACD的度数．
（2）在（1）的条件下，求∠BCF的大小；（用含α的式子表示）
（3）判断△ACF的形状，并说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：当∠A＝∠C时，∠C＝70°；
当∠A＝∠B＝70°时，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°；
当∠B＝∠C时，∠C＝∠B＝（180°﹣∠A）＝55°；
即∠C的度数可以是70°或40°或55°，
故选：C．
2．解：∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝36°，
∵BC∥AO，
∴∠BCA＝∠A＝36°，
∴∠BCO＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝72°．
故选：C．
3．解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），
∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；
②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．
则腰长为6.5cm．
故选：B．
4．解：∵△ABC是等边三角形，△AED是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD＝ED，∠EAD＝60°，
∵∠DAB＝∠DAC＝30°，
∴AD⊥BC，故①正确，∠EAB＝∠BAD＝30°，
∴AB⊥ED，EF＝DF，故②正确
∴BE＝BD，故③正确，
无法得出AC＝AE，故④错误；
故选：D．
5．解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADC═S△ABC＝×16＝8，
故选：B．
6．解：当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点点C的个数有6个；
使△ABC是以AB为腰的等腰三角形，这样的格点C有6个．
故选：C．
7．解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠BAC＝40°，
∴∠ACB＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝20°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
∴∠CHD＝∠CAD+∠ACE＝55°．
故选：D．
8．解：∵ED∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EGC＝∠GCB，
∵∠DBF＝∠FBC，∠ECG＝∠GCB，
∴∠DFB＝∠DBF，∠ECG＝∠EGC，
∴BD＝DF，CE＝GE，
∵FG＝2，ED＝6，
∴DB+EC＝DF+GE＝ED﹣FG＝6﹣2＝4，
故选：B．
9．解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴BD＝DE＝8，
∵AB＝AD+BD，
∴AB＝5+8＝13．
故选：B．
10．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴BD＝CD，
∵阴影部分的面积等于△ABC的面积的一半，
∵△ABC的面积6cm2，
∴阴影部分的面积＝3cm2．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．
又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠CAQ＝30°，
∴∠PAC＝∠PAQ+∠QAC＝60°+30°＝90°，
故答案为：90．
12．解：∵AB＝11cm，
∴AC＝AB＝11cm，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴AE+BE＝AC＝AB＝11cm，
∵△BCE的周长为17cm，
∴BC＝17﹣11＝6（cm）．
故答案为：6．
13．解：∵k＝2，
∴设顶角＝2α，则底角＝α，
∴α+α+2α＝180°，
∴α＝45°，
∴该等腰三角形的顶角为90°，
故答案为：90．
14．解：∵BD＝BC，∠ACE＝25°
∴∠BDC＝∠C＝25°
∴∠ABD＝50°
∵AD＝BD
∴∠A＝∠ABD＝50°
∴∠ADE＝∠A+∠C＝75°．
故填75．
15．解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
∴△A5B5A6的周长为48，
故答案为：48．
三．解答题
16．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠DAE＝∠BAD＝28°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝×（180°﹣28°）＝76°，
∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．
17．解：设∠BAM＝x°，则∠MAN＝∠BAC﹣2x°，
∵∠MAN＝∠AMN＝∠B+x°＝（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）+x°＝180°﹣2∠BAC+x°，
∴∠BAC﹣2x°＝180°﹣2∠BAC+x°，
∴∠BAC＝60°+x°，
∴∠MAC＝∠BAC﹣∠BAM＝60°．
18．解：（1）∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠CAD＝α，
∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝90；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：
∴∠DAG+∠ADG＝90°，
∵AD＝AC，
∴∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，
∵CF⊥AD于点E，
∴∠DCE+∠ADG＝90°，
∴∠DCE＝∠DAG＝∠CAD＝α，
即∠BCF＝α；
（3）△ACF是等腰三角形．
理由：∵∠B＝45°，AG⊥BC，
∴∠BAG＝45°，
∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，
∴∠BAC＝∠AFC，
∴AC＝FC，
∴△ACF是等腰三角形．