§3 解三角形的实际应用举例
内 容 标 准
学 科 素 养
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部或顶部不可到达的物体高度测量的问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.3.能够根据题意建立数学模型，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，画出示意图，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解.
深化数学建模加强数形结合提升数学运算注重函数方程
授课提示：对应学生用书第44页
[基础认识]
知识点一 测量中的常用概念
知识梳理 1.基线
(1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．
(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．坡角与坡度
坡面与水平面所成的二面角叫做坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度，如图所示，α为坡角，坡比i＝＝tan
α.
3.仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角(如图所示)．
4．铅直平面
铅直平面是指与水平面垂直的平面．
知识点二 角度的有关概念
思考并完成以下问题
1．如何用方向角的含义表示下列两图中的m°角与n°角？
提示：图①的m°角描述为北偏西m°，图②的n°角描述为南偏东n°.
2．下列两图中的130°角与200°角是什么含义？
提示：图③的方位角为130°；图④的方位角为200°.
知识梳理
1．视角
观察物体的两端，视线张开的夹角叫做视角，如图所示．
2．方位角与方向角
(1)方位角
从正北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α，如图所示．
方位角的取值范围为0°＜α＜360°．
(2)方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角．如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图所示．
思考： 结合教材P58例1，你认为求距离问题的关键是什么？
提示：(1)基线的选取要恰当．
(2)选定或创建的三角形要确定．
(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定．
[自我检测]
1．海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C岛间的距离是( )
A．10
海里
B.
海里
C．5
海里
D．5
海里
解析：如图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10.由正弦定理，得＝，解得BC＝5(海里)．故选D.
答案：D
2．(2019·临汾高一检测)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60
m，则树的高度为( )
A．(30＋30)m
B．(30＋15)m
C．(15＋30)m
D．(15＋15)m
解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，
∠APB＝15°，AB＝60，
sin
15°＝sin(45°－30°)
＝sin
45°cos
30°－cos
45°sin
30°＝.
由正弦定理得：＝，
∴PB＝＝30(＋)，∴树的高度为PBsin
45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.
答案：A
3．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时风向是北偏东30°，风速是20
km/h，水的流向是正东，流速是20
km/h.若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.
解析：如图，∠AOB＝60°.
由余弦定理，
得OC2＝202＋202－2×20×20cos
120°＝1
200，
故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.
答案：60° 20
授课提示：对应学生用书第45页
探究一 测量距离问题
[阅读教材P58例1及解答]
题型：测量距离(长度)问题
方法步骤：①抽象到△ABC中；
②求内角∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′；
③利用余弦定理求出BC的长．
[例1] 如图，一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走，开始在A处，经观察，在河的对岸有一参照物C，与学生前进方向成30°角，学生前进200
m后到达点B，测得该参照物与前进方向成75°角．
(1)求点A与参照物C的距离；
(2)求河的宽度．
[解题指南] 根据图形，先由已知求出∠ACB，再利用正弦定理求得AC的长度，最后在直角三角形中求出河的宽度．
[解析] (1)由已知，得∠ABC＝105°，∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.在△ABC中，由正弦定理，得＝，所以AC＝＝100(＋1)(m)，即点A与参照物C的距离为100(＋1)m.
(2)河的宽度为ACsin
30°＝100(＋1)×＝50(＋1)(m)，即河的宽度为50(＋1)m.
方法技巧 测量距离问题的类型
测量距离问题分为三种类型：两点间不可到达又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达，解决此类问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
如图，点B为不可到达点，求A，B的距离的具体解题步骤是：
(1)取基线AC(尽量长)，且使AB，AC不共线；
(2)测量AC，∠BAC，∠BCA；
(3)利用正弦定理解△ABC，得AB＝＝.
跟踪探究 1.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为12n
mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°的方向上，距离为8
n
mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°的方向，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
解析：(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，由正弦定理，得AD＝＝＝24(n
mile)．
即A处与D处的距离为24
n
mile.
(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos
30°，解得CD＝8(n
mile)．
即灯塔C与D处的距离为8
n
mile.
探究二 测量高度问题
[阅读教材P58例2及解答]
题型：测量高度问题
方法步骤：①在△BCD中求出角∠BD1C1＝120°；
②求∠C1BD1＝15°；
③由正弦定理求出BC1＝(18＋6)m；
④利用三角函数定义求出A1B＝18＋6.
⑤求出烟囱高AB＝A1B＋A1A≈29.89(m)．
[例2] 如图，地平面上有一旗杆OP，为了测量它的高度h，在地面上选一基线AB，AB＝20
m，在A点测得P点的仰角∠OAP＝30°，在B点测得P点的仰角∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h(结果精确到1
m)．
[解题指南] 旗杆OP垂直于地面，所以△AOP和△BOP都是直角三角形，则用h表示OA，OB；在△AOB中，可利用余弦定理构造方程，求出旗杆的高度h.
[解析] 在Rt△AOP中，OA＝OP＝h，
在Rt△BOP中，OB＝OP＝h，
在△AOB中，根据余弦定理，得
AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos
60°，
即202＝(h)2＋h2－2×h×h×，所以h2＝≈176，得h≈13，所以旗杆的高度约为13
m.
延伸探究 1.(1)在本例中，若将条件“∠AOB＝60°”改为“∠AOB＝0°”，则结论如何？
(2)在本例中，若将条件“∠AOB＝60°”改为“∠AOB＝180°”，则结论如何？
解析：(1)如图，
在△ABP中，
∠APB＝15°，
由正弦定理，得
＝，
所以BP＝＝＝10(＋)(m)．
在Rt△BOP中，OP＝BPsin
45°＝10(＋)×≈27(m)，
所以此时旗杆的高度约为27
m.
(2)如图，
在Rt△AOP中，
OA＝＝h.
在Rt△BOP中，OB＝＝h，
由OA＋OB＝AB，得h＋h＝20，所以h＝≈7(m)，
所以此时旗杆的高度约为7
m.
方法技巧 测量高度问题的解题思路
对于底部不能到达或者无法直接测量的物体高度问题，常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所测量物体的高度．如图所示
其一般步骤总结为
跟踪探究 2.如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200
m，在点C和点D测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.
[解题指南] 先在Rt△ABC和Rt△ABD中，用AB表示BC和BD，再在△BCD中，由余弦定理建立方程，求得AB.
解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，设AB＝h，则BC＝h，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200
m.
探究三 测量角度问题
[阅读教材P62A组第3题]如图为一角槽示意图，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并量得AB＝85
mm，BC＝78
mm，AC＝32
mm，则α＝______，β＝________(精确到0.1°)
解析：在△ABC中，AB＝85，BC＝78，AC＝32，由余弦定理得
cos
A＝＝≈0.397
9，所以A≈66.5°，所以α≈23.5°.
cos
B＝＝≈0.926
5.
所以B≈22.1°，所以β≈67.9°.
答案：23.5° 67.9°
[例3] 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10
n
mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9
n
mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21
n
mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．
[解题指南] 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，再解三角形．
[解析] 如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°.设舰艇靠近渔轮所需的时间为t
h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos
120°，即212t2＝102＋81t2－2×10×9t×，整理，得360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为h.此时AB＝14，BC＝6.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以sin∠CAB＝＝＝，
即∠CAB≈21.8°.
故舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行，需
h才能靠近渔轮．
延伸探究 2.本题中其他条件不变，将“渔轮向小岛靠拢的速度”改为“10
n
mile/h”，将“我海军舰艇的速度”改为“10
n
mile/h”，求舰艇的航向和靠近渔轮所需要的时间．
解析：如图所示，
设所需时间为t
h，
则AB＝10t，CB＝10t.
在△ABC中，由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
即(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos
120°，
整理，得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．
舰艇需1
h靠近渔轮．此时AB＝10，BC＝10.
在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以sin∠CAB＝＝＝.
所以∠CAB＝30°，所以舰艇航行的方位角为30°＋45°＝75°，靠近渔轮需要1
h.
方法技巧 解决测量角度问题的注意点
(1)明确方位角和方向角的含义；
(2)分析题意，明确已知条件和所求问题，并根据题意画出正确的示意图，这是最关键的一步；
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．
体现了数形结合与方程的数学思想方法．
跟踪探究 3.地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离他40
m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40
m，达到点B.试确定此时目标参照物P相对于他的方位角以及他与目标参照物P的距离．
[解题指南] 画出图形，在三角形中，利用正弦定理求出内角的大小以及边的长度，从而确定相应的方位角以及距离．
解析：如图，在△PAB中，∠PAB＝30°，PA＝40
m，AB＝40
m.
由余弦定理，
得PB＝
＝＝40(m)．
因为AB＝40
m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P相对于该测绘人员的方位角为180°－120°＝60°，且目标参照物P与他的距离为40
m.
授课提示：对应学生用书第47页
[课后小结]
(1)运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．
(2)空间中的测量问题通常都是通过射影化归为平面内的测量问题．
(3)正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：
①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；
③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
[素养培优]
对实际情况理解偏差致误
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50
m/min.在甲出发2
min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1
min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130
m/min，山路AC长为1
260
m，经测量，cos
A＝，cos
C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
易错分析 解此类问题一般会用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的关系．方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁．尤其第(2)问中求“乙在缆车上与甲的距离最短”，“甲出发2
min”后乙才出发，都是不可忽视的关键．所设变量时间t是以甲为主还是以乙为主，又会带来不一样的运算过程．考查数学建模、数形结合，函数与方程思想，提升数学运算能力．
自我纠正 (1)在△ABC中，因为cos
A＝，cos
C＝，
所以sin
A＝，sin
C＝，所以sin
B＝sin
[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin
Acos
C＋cos
Asin
C＝×＋×＝.由正弦定理＝，
得AB＝·sin
C＝×＝1
040(m)，所以索道AB的长为1
040
m.
(2)假设乙出发t
min后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t
m，所以由余弦定理，得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．由于0≤t≤，即0≤t≤8，因此当t＝时，乙在缆车上与甲的距离最短．
PAGE§2 三角形中的几何计算
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握利用正、余弦定理解决与三角形有关的几何计算问题.2.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题.3.掌握综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题的方法.
严密逻辑推理提升数学运算函数方程思想
授课提示：对应学生用书第41页
[基础认识]
知识点一 三角形的面积公式
预习教材P54－55，思考并完成以下问题
如图，在△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha，hb和hc.
(1)你能用△ABC的边角分别表示ha，hb，hc吗？
提示：ha＝bsin
C＝csin
B.
hb＝csin
A＝asin
C.
hc＝bsin
A＝asin
B.
(2)你能用边a与高ha表示△ABC的面积吗？
提示：S△ABC＝aha＝absin
C＝acsin
B.
知识梳理 已知△ABC中，a，b，c所对的角分别为A，B，C，其面积为S，则S＝absin__C＝bcsin__A＝casin__B．
变形探究
三角形面积公式的其他形式：
(1)S△ABC＝，其中R为△ABC的外接圆半径；
(2)S△ABC＝2R2sin
Asin
Bsin
C，其中R为△ABC的外接圆半径；
(3)S△ABC＝(a＋b＋c)r，其中r为△ABC的内切圆半径；
(4)S△ABC＝，其中p＝.
知识点二 三角形中的常用结论
知识梳理 三角形中常用的结论．
(1)a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b.
(2)a－b＜c，b－c＜a，a－c＜b.
(3)A＋B＋C＝π.
(4)a＞bA＞Bsin
A＞sin
B.
(5)a＝bA＝B.
(6)A为锐角cos
A＞0a2＜b2＋c2；
A为钝角cos
A＜0a2＞b2＋c2；
A为直角cos
A＝0a2＝b2＋c2.
(7)sin(A＋B)＝sin
C，cos(A＋B)＝－cos
C.
(8)sin
＝cos
，cos
＝sin
.
(9)三角形中最大内角的取值范围是，最小内角的取值范围是.
[自我检测]
1．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为( )
A.
B.
C.
D．2
解析：S△ABC＝AB·ACsin
A＝sin
60°＝.故选B.
答案：B
2．△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为( )
A．20
B．25
C．55
D．49
解析：由bcsin
A＝220，∴c＝55.
又a2＝b2＋c2－2bccos
A＝2
401.∴a＝49.故选D.
答案：D
3．等腰△ABC中，顶角A＝120°，腰长AB＝1，则底边BC长为________．
解析：易知∠B＝∠C＝30°，
由正弦定理知：＝，∴BC＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第41页
探究一 与长度有关的问题
[阅读教材P54例1及解答]如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°.求BD的长．
题型：与长度有关的问题．
方法步骤：①利用正弦定理求sin
∠ABC.
②利用补角性质求sin
∠BAD.
③利用正弦定理求BD的长．
[例1] 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
[解题指南] 由余弦定理求得BD，再由正弦定理求出BC的值．
[解析] 在△ABD中，设BD＝x，则
BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
即142＝x2＋102－2·10x·cos
60°，
整理得x2－10x－96＝0，
解得x1＝16，x2＝－6(舍去)
由正弦定理得＝，
∴BC＝·sin
30°＝8.
方法技巧 与长度有关的问题解决方法
解与长度有关的问题时，常常将正弦定理、余弦定理结合在一起用，通常会遇到两种情况：
(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之；
(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
跟踪探究 1.设P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B，C的距离分别是1，2，3，求正方形ABCD的边长．
解析：设边长是x(1＜x＜3)，∠ABP＝α，则∠CBP＝90°－α，
在△ABP中，由余弦定理得：cos∠ABP＝＝，
同理在△CBP中，cos∠CBP＝，
由∠ABP＋∠CBP＝90°得：
cos2∠ABP＋cos2∠CBP＝1，即有：＋＝1，
解上式，得所求的边长为.
探究二 与面积有关的问题
[阅读教材P56A组第6题]如图，△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，B的平分线交过点A且与BC平行的线于D，求△ABD的面积．
[解题指南] 求△ABD的面积，只需求出其底和高的长度即可．
[解析] 作BC边上的高AE(图略)，则AE＝2.
S△ABC＝BC·＝2×2×＝2.
∵BM平分∠ABC，设M为BD与AC的交点．
∴＝＝.
则＝.
且S△BCM＋S△ABM＝S△ABC＝2.
∴S△BCM＝，S△BAM＝.
∵BC∥AD，∴∠CBD＝∠ADB，∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD＝3.
∵BC∥AD，∴△ADM∽△BCM，
∴＝＝.
得S△ADM＝S△BCM＝.
∴S△ABD＝S△ADM＋S△ABM＝＋＝3.
[例2] (2015·高考全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin
Asin
C.
(1)若a＝b，求cos
B.
(2)若B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
[解题指南] (1)根据正弦定理将sin2B＝2sin
Asin
C变为b2＝2ac，再利用余弦定理求出cos
B．(2)利用勾股定理及b2＝2ac求出c，然后确定△ABC的面积．
[解析] (1)因为sin2
B＝2sin
Asin
C，由正弦定理得b2＝2ac，因为a＝b，所以a＝2c.
由余弦定理得cos
B＝＝＝＝.
(2)因为B＝90°，所以a2＋c2＝b2，又b2＝2ac，所以a2＋c2＝2ac，即a＝c＝，所以S△ABC＝××＝1.
延伸探究 1.本例条件“sin2B＝2sin
Asin
C”换为“sin2B＝sin
Asin
C”，试求cos
B的最小值．
解析：因为sin2B＝sin
A·sin
C，由正弦定理得b2＝ac，
故cos
B＝＝－＝－，
因为(a－c)2≥0，所以a2＋c2≥2ac，
故cos
B≥1－＝.
所以cos
B的最小值为.
2．若把本例条件“sin2
B＝2sin
Asin
C”改为“sin2
B＝sin
A·sin
C”．(2)中的“B＝90°”改为“B＝60°”，其他条件不变，试求△ABC的面积．
解析：因为sin2B＝sin
Asin
C，由正弦定理得b2＝ac，
因为cos
B＝cos
60°＝＝＝－＝，
所以a2＋c2＝2ac，即(a－c)2＝0，故a＝c，
又因为b2＝ac，所以a＝b＝c＝，
所以S△ABC＝a2＝×()2＝.
方法技巧 求解与三角形面积有关的平面图形面积的技巧
(1)若平面图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
(2)若所给图形为平面三角形，则需运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式S＝absin
C或S＝bcsin
A或S＝acsin
B进行求解．
跟踪探究 2.(2019·中山高一检测)在△ABC中，内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin
B＝2sin
A，求△ABC的面积．
解析：(1)由余弦定理得，a2＋b2－ab＝4，
又因为△ABC的面积等于，
所以absin
C＝，得ab＝4.
联立方程组解得a＝2，b＝2.
(2)由正弦定理，已知条件化为b＝2a，
联立方程组解得a＝，b＝.
所以△ABC的面积S＝absin
C＝.
探究三 三角形中的综合计算问题
[阅读教材P55例3及解答]如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC＝1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．
(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC的面积y表示成θ的函数；
(2)求四边形OPDC面积的最大值．
题型：三角形中的综合计算问题
方法步骤：①利用余弦定理求出PC的长．
②用θ表示出面积的函数y.
③利用三角函数有界性求出ymax.
[例3] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos(B－C)－1＝4cos
Bcos
C.
(1)求cos
A的值；
(2)若a＝3，求△ABC面积的最大值．
[解题指南] (1)将已知条件运用两角和与差的余弦公式进行变形整理，化简为关于cos
A的表达式，进而求出cos
A的值；(2)运用三角形面积公式结合三角恒等变换求最值．
[解析] (1)由已知，得2cos
Bcos
C＋2sin
Bsin
C－1＝4cos
Bcos
C，所以2cos
Bcos
C－2sin
Bsin
C＝－1，
即2cos(B＋C)＝－1，因此－2cos
A＝－1，故cos
A＝.
(2)由(1)得A＝.因为a＝3，所以由正弦定理，得
＝＝＝＝2，
从而b＝2sin
B，c＝2sin
C，于是△ABC的面积S＝bcsin
A＝×2sin
B·2sin
C·sin
＝3sin
Bsin
C.
因为A＝，所以B＋C＝，于是C＝－B，
且0＜B＜，
因此S＝3sin
Bsin
＝3sin
B·＝sin
2B＋sin2B＝sin
2B＋－cos
2B＝＋＝sin
＋.
因为0＜B＜，所以－＜2B－＜，故当2B－＝，即B＝时，△ABC的面积S取最大值.
延伸探究 3.在本例(2)中，若条件不变，求△ABC的周长的取值范围．
解析：由(1)得A＝.因为a＝3，所以由正弦定理，得
＝＝＝＝2，
从而b＝2sin
B，c＝2sin
C，
于是△ABC的周长L＝a＋b＋c＝3＋2sin
B＋2sin
C＝2(sin
B＋sin
C)＋3.
因为A＝，所以B＋C＝，于是C＝－B，
且0＜B＜.
因此L＝2＋3
＝2＋3＝6
＋3＝6sin
＋3.
因为0＜B＜，所以＜B＋＜，
所以6＜6sin＋3≤9，
即△ABC的周长的取值范围是(6，9]．
方法技巧 三角形中综合计算的应对策略
(1)解决与面积有关的三角形的综合问题时，应选取适当的面积公式，结合正、余弦定理及三角恒等变换的知识，将问题转化为求函数的最值或范围，进而予以解决．
(2)解题时要注意：
①合理利用正、余弦定理对边角关系进行转换；
②合理利用三角恒等变形；
③注意函数、方程思想的应用．
跟踪探究 3.(2015·高考四川卷)已知A，B，C为△ABC的内角，tan
A，tan
B是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0(p∈R)的两实根．
(1)求C的大小；
(2)若AB＝3，AC＝，求p的值．
解析：(1)tan
A，tan
B是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0的两实根，可得：tan
A＋tan
B＝－p，tan
A·tan
B＝1－p，所以tan(A＋B)＝＝＝－，则A＋B＝120°，由三角形内角和为180°可知，C＝60°.
(2)在△ABC中，由正弦定理可得，＝，
求得sin
B＝，则tan
B＝1.
又tan
C＝，由三角形内角和为180°及诱导公式可知tan
A＝－tan(B＋C)，解得tan
A＝2＋，将tan
A，tan
B代入tan
A＋tan
B＝－p，解得p＝－－1.
授课提示：对应学生用书第43页
[课后小结]
(1)对于三角形中的几何计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．求三角形的面积的问题，先观察已知什么，尚缺什么，用正弦定理和余弦定理算出需要的元素，就可以求出三角形的面积．证明三角恒等式的关键是用正、余弦定理实现边角转化．
(2)许多问题既可用正弦定理也可用余弦定理解决，甚至可以两者兼用，当一个公式求解受阻时要及时考虑其他公式形式．
(3)解三角形问题除了应用正、余弦定理外，也经常用到内角和定理以及三角变换公式中的平方关系、两角和与差的正、余弦公式等．
[素养培优]
忽视角的取值范围致错
已知△ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)·sin
B，求△ABC面积的最大值．
易错分析 求三角形面积的取值时，我们一般先求出面积与三角形的边(或角)之间的函数关系式(注意消元)，再利用三角函数的有界性、二次函数等方法来求面积的最值．其中角的范围至关重要，它往往隐含在题目中，不深入挖掘很容易出错．考查函数与方程思想的应用和数学运算的学科素养．
自我纠正 由已知等式整理得
2Rsin
Asin
A－2Rsin
Csin
C＝(a－b)sin
B，
即asin
A－csin
C＝(a－b)sin
B.
利用正弦定理化简a2－c2＝ab－b2，
即a2＋b2－c2＝ab.
∴cos
C＝＝＝，
∵C为三角形内角，∴C＝45°，
∵＝2R，∴c＝2Rsin
C＝R.
∴a2＋b2－2R2＝ab.
∴2R2＋ab＝a2＋b2≥2ab.
即ab≤.
则S＝absin
C＝ab≤·.
则Smax＝R2.
此时a＝b取得“＝”.
PAGE1.2 余弦定理
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形.2.理解用向量法证明余弦定理的过程，逐步学会用向量法解决具体问题.3.通过发现和证明余弦定理的过程，培养观察、分析、归纳、猜想、抽象概括等逻辑思维能力.
提升数学运算灵活公式变形严密逻辑推理
授课提示：对应学生用书第38页
[基础认识]
知识点一 余弦定理
预习教材P49－51，思考并完成以下问题
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.
(1)如果C＝90°，如何求AB边的长？
提示：利用勾股定理求AB的长，即c2＝a2＋b2.
(2)设＝a，＝b，＝c.怎样用向量的线性运算表示？
提示：＝－＝a－b.
(3)在问题2的前提下，如何用向量的数量积表示AB边的长？
提示：|c|2＝c·c
＝(a－b)·(a－b)
＝|a|2－2a·b＋|b|2
＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos
C，
∴c2＝a2＋b2－2abcos
C.
(4)你能用同样的方法表示BC、AC的长吗？请你写出结论．
提示：能．结论：a2＝b2＋c2－2bccos
A，b2＝a2＋c2－2accos
B.
知识梳理 余弦定理
文字语言
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
符号语言
a2＝b2＋c2－2bccos__A，b2＝a2＋c2－2accos__B，c2＝a2＋b2－2abcos__C.
知识点二 余弦定理的推论
思考并完成以下问题
如果已知△ABC的三边长a，b，c，能否分别求出三个内角A、B、C的值？
提示：能．用余弦定理变形可得公式．
知识梳理 余弦定理的推论
cos
A＝，
cos
B＝，
cos
C＝．
思考：1.勾股定理和余弦定理有什么联系和区别？
提示：当三角形是直角三角形时，余弦定理和勾股定理是统一的，也就是说勾股定理是余弦定理的特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理指出了直角三角形中三边之间的平方关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．
2．△ABC中，分别指出在下列条件下，角C是什么角(在直角、锐角、钝角中选择)．
(1)a2＋b2＝c2.
(2)a2＋b2＞c2.
(3)a2＋b2＜c2.
提示：(1)由勾股定理的逆定理，可知角C是直角．
(2)由c2＝a2＋b2－2abcos
C，得cos
C＝＞0，所以可得，角C是锐角．
(3)由(2)中的方法，同理可得，角C是钝角．
[自我检测]
1．三角形的两边AB、AC的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－，则三角形的第三边长为( )
A．52
B．2
C．16
D．4
解析：由条件可知cos
A＝－，
则BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos
A
＝52＋32－2×5×3×＝52，
∴BC＝2.
答案：B
2．(2019·郑州高一检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B为( )
A.
B.
C.或
D.或
解析：本题主要考查余弦定理．
cos
B＝＝＝，则B＝.故本题正确答案为A.
答案：A
3．(2019·郑州高一检测)在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cos
B＝________．
解析：∵△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，
∴由余弦定理，得cos
B＝＝＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第39页
探究一 已知两边及一角解三角形
[阅读教材P50例4及解答]如图所示，有两条直线AB和CD相交成80°角，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OA、OC方向出发，速度分别是4
km/h，4.5
km/h，3小时后两人相距多远(结果精确到0.1
km)?
题型：已知两边及一角解三角形
方法步骤：①计算△OPQ两边长，OP＝12，OQ＝13.5.
②利用余弦定理求PQ的长．
[例1] (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a；
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、C和边a.
[解题指南] (1)已知两边及其夹角，可直接利用余弦定理求出第三条边；(2)已知两边及一边的对角，可利用余弦定理求解，也可利用正弦定理求解．
[解析] (1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos
A＝32＋(2)2－2×3×2cos
30°＝3，所以a＝.
(2)法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos
B，得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos
30°，即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，由正弦定理，得sin
A＝＝＝1，∴A＝90°，
∴C＝60°.
法二：由b＜c，B＝30°，b＞csin
30°＝3×＝知本题有两解．由正弦定理，得sin
C＝＝＝，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理，得a＝＝＝6；当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.
方法技巧 已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)．
跟踪探究 1.(1)在△ABC中，AB＝5，BC＝1，tan
B＝，则AC＝________；
(2)在△ABC中，cos
A＝，a＝4，b＝3，则c＝________．
解析：(1)由tan
B＝，得cos
B＝.
由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
B＝52＋12－2×5×1×＝18，所以AC＝3.
(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos
A，即16＝9＋c2－6×c，整理得5c2－18c－35＝0，解得c＝5或c＝－(舍去)，故c＝5.
答案：(1)3 (2)5
探究二 已知三边解三角形
[阅读教材P50例5及解答]图中是公元前400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数，，，…的图形，试计算图中线段BD的长度及∠DAB的大小(长度精确到0.1，角度精确到1°)．
题型：已知三边解三角形．
方法步骤：①在△BCD中利用余弦定理求BD.
②在△ABD中利用余弦定理求∠DAB.
[例2] (1)在△ABC中，若a2＋b2＋ab＝c2，则角C＝________；
(2)在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求各内角的度数．
[解题指南] (1)根据已知条件结合余弦定理的变形求解；(2)先由三边的比值设出三边的长度，再利用余弦定理的变形求解．
[解析] (1)由a2＋b2＋ab＝c2，得a2＋b2－c2＝－ab.由余弦定理，得cos
C＝＝＝－，故C＝120°.
(2)由a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，
b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)．
由余弦定理的推论，
得cos
A＝＝＝，
∴A＝45°.
cos
B＝＝＝，∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
[答案] (1)120° (2)见解析
延伸探究 本例(2)中，将条件变为“三角形的三条边长分别为2，，＋1”，求其最大角与最小角之和．
解析：因为＋1＞＞2，所以最大角与最小角所对的边分别为＋1，2.设长为的边所对的角为θ，由余弦定理，得cos
θ＝＝，所以θ＝60°，故最大角与最小角之和为180°－60°＝120°.
方法技巧 已知三角形的三边解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦值，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角；
(2)利用余弦定理求出三个角的余弦值进而求出三个角．
跟踪探究 2.(2019·桂林高一检测)在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
解析：根据题意，由于△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，
∴cos
B＝＝＝，因为0°＜B＜180°，则可知B等于60°，选C.
答案：C
探究三 判断三角形的形状
[例3] 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos
Asin
B＝sin
C，确定△ABC的形状．
[解题指南] 可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可以把边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．
[解析] 法一：利用边的关系来判断：
由正弦定理得＝，由2cos
Asin
B＝sin
C，
有cos
A＝＝.
又由余弦定理，得cos
A＝，
所以＝，即c2＝b2＋c2－a2，
所以a2＝b2，所以a＝b.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，
又因为a＝b，所以4b2－c2＝3b2，
从而b2＝c2，所以b＝c.
综合以上分析，得a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形．
法二：利用角的关系来判断：
因为A＋B＋C＝180°，所以sin
C＝sin(A＋B)，
又因为2cos
Asin
B＝sin
C，
所以2cos
Asin
B＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B，
所以sin(A－B)＝0，
又因为A，B都是三角形的内角，所以A＝B.
又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
得(a＋b)2－c2＝3ab，
所以a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得cos
C＝＝＝，
又0°＜C＜180°，所以C＝60°，综上得△ABC为等边三角形．
方法技巧 判断三角形形状的思路
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题．一般有两条思考路线：①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：
①△ABC为直角三角形a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2.
③△ABC为钝角三角形a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.
④若sin
2A＝sin
2B，则A＝B或A＋B＝.
跟踪探究 3.(2019·宝山高一检测)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
解析：由正弦定理知：
＝＝＝2R，
∴sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝，
∵sin2A＋sin2B＜sin2C，∴a2＋b2＜c2.
由余弦定理可得：
cos
C＝＜0，则C为钝角，
故△ABC为钝角三角形．故选A.
答案：A
授课提示：对应学生用书第40页
[课后小结]
(1)利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题
①已知两边和夹角，解三角形．
②已知三边求三角形的任意一角．
(2)余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
①如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．
②如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角．
③如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角．
(3)对所给条件进行变形，主要有两种途径：
①化边为角．
②化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换．
[素养培优]
忽视分类讨论及三角形中的隐含条件致误
在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，求边c的取值范围．
易错分析 在三角形中，当解决边和角的范围问题时，首先要考虑到三角形中的隐含条件，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；然后要注意对问题的分类讨论，当三角形是钝角三角形时，其最大内角必为钝角．考查逻辑推理、分类讨论的学科素养．
自我纠正 因为a＝1，b＝2，所以1＜c＜3.
若角B是钝角，则cos
B＜0，
即＜0，解得1＜c＜；
若角C是钝角，则cos
C＜0，
即＜0，
解得＜c＜3.
综上，边c的取值范围是(1，)∪(，3).
PAGE§1 正弦定理与余弦定理
1.1 正弦定理
内 容 标 准
学 科 素 养
1.学会通过观察，推导，比较，由特殊到一般地归纳出正弦定理并进行定理证明.2.理解并掌握运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.3.掌握运用正弦定理与三角形其他知识解决综合应用问题.
提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象
授课提示：对应学生用书第35页
[基础认识]
知识点一 正弦定理
预习教材P45－48，思考并完成以下问题
在任意三角形中，有大边对大角，小边对小角，能否得到这个边角关系的准确量化？
(1)如图，在Rt△ABC中，，，分别等于什么？三者有什么关系？
提示：联系正弦函数的定义，
＝c，＝c，＝c，三者相等．
(2)在一般锐角三角形中，＝＝还成立吗？
提示：成立．
(3)如图，若△ABC中的角B为钝角，如何验证，，的关系？
提示：构造直角三角形．
设AB边上的高为CD，如图
根据三角函数的定义，有
CD＝asin(π－B)
＝asin
B
CD＝bsin
A，
所以asin
B＝bsin
A
得到＝，同理得到＝，
故＝＝.
知识梳理
变形探究
设△ABC的外接圆的半径为R，则
(1)＝＝＝2R.
(2)a＝2Rsin
A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R为△ABC外接圆的半径)．
(3)sin
A＝，sin
B＝，sin
C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
(4)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin
A∶sin
B∶sin
C.
(5)＝＝＝.
(6)asin
B＝bsin
A，asin
C＝csin
A，bsin
C＝csin
B.
思考：正弦定理对任意三角形都适用吗？
提示：都适用．
知识点二 解三角形
知识梳理 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
思考：任意给出三角形的三个元素，用正弦定理都能求出其它元素吗？
提示：不一定，已知三角形的三个角A，B，C，则不能确定其他各边的大小，因为这些三角形是相似的．
[自我检测]
1．在△ABC中，a＝3，A＝30°，B＝15°，则c＝( )
A．1
B.
C．3
D.
解析：C＝180°－30°－15°＝135°，
c＝＝＝3.应选C.
答案：C
2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin
B＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：由正弦定理＝，知sin
B＝＝＝.故选A.
答案：A
3．在△ABC中，若a＝2bsin
A，则B＝________．
解析：由正弦定理得sin
A＝2sin
B·sin
A，∵sin
A≠0，∴sin
B＝.又0＜B＜180°，∴B＝60°或120°.
答案：60°或120°
授课提示：对应学生用书第36页
探究一 已知两角及一边解三角形
[阅读教材P46例1及解答]某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如教材图2－4)，其一角已破损．现测得如下数据：BC＝2.57
cm，CE＝3.57
cm，BD＝4.38
cm，B＝45°，C＝120°，为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01
cm)．
题型：已知两角及一边解三角形．
方法步骤：①根据A＋B＋C＝180°，求角A.
②根据正弦定理＝，求边AC.
③根据正弦定理＝，求边AB.
[例1] 在△ABC中，A＝30°，C＝105°，a＝10，求三角形中其他的边和角．
[解析] ∵A＝30°，C＝105°，∴B＝180°－30°－105°＝45°.
∵＝＝，
∴b＝＝＝10，
c＝＝＝5＋5.
∴B的大小为45°，b，c的长分别为10，5＋5.
延伸探究 1.将本例中“C＝105°”改为“B＝105°”，解这个三角形．
解析：由三角形内角和知C＝45°.
又sin
B＝sin
105°＝.
由正弦定理＝得
b＝＝＝5(＋)．
同理c＝＝＝10.
∴C的大小为45°，b，c的长为5(＋)，10.
2．将本例中的“A＝30°”改为“B＝30°”，解这个三角形．
解析：由三角形内角和知A＝45°，
∵sin
C＝sin
105°＝，
根据正弦定理＝
得c＝＝＝5(＋1)，
同理b＝＝＝5.
∴A的大小为45°，b，c的长分别为5，5(＋1)．
方法技巧 1.此类问题的结果为唯一解．在三角形内角和定理使用中，第三个角唯一，所以使用正弦定理求出另两边也必定唯一．
2．解决已知两角及一边类型的解题方法是：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
跟踪探究 1.在△ABC中，tan
A＝，cos
B＝，若最长边为1，则最短边长为( )
A.
B.
C.
D.
解析：由tan
A＝＝，sin2A＋cos2A＝1，
解得sin
A＝，cos
A＝.同理，由cos
B＝，
sin2B＋cos2B＝1，解得sin
B＝，
在△ABC中，sin
C＝sin(π－(A＋B))＝sin(A＋B)＝sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝，由此可得C＞A＞B，c为最长边，b为最短边．由正弦定理：＝，解得b＝.
故本题正确答案为D.
答案：D
探究二 已知两边与其中一边的对角解三角形
[阅读教材P46例2及解答]台风中心位于某市正东方向300
km处，正以40
km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250
km范围内将会受其影响．如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间(结果精确到0.1
h)?
题型：已知两边及一边对角解三角形．
方法步骤：①根据题意绘出草图△ABC.
②根据正弦定理得到sin
C＝0.848
5.
③用计算器计算出角C.C1≈121.95°，C2＝58.05°.
④分别求出a1＝79.83
km，a2＝344.4
km.
⑤分别求出台风到达时间t1≈2.0(h)，t2≈8.6(h)
⑥计算出影响持续时间t2－t1≈6.6(h)
[例2] (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin
B＋sin
A(sin
C－cos
C)＝0，a＝2，c＝，则C＝( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 由题意得
sin(A＋C)＋sinA(sin
C－cos
C)＝0，
sin
Acos
C＋cos
Asin
C＋sin
Asin
C－sin
Acos
C＝0.
即sin
C(sin
A＋cos
A)＝sin
Csin＝0，
所以A＝，由正弦定理＝得＝，
即sin
C＝，得C＝.
[答案] B
(2)在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，求A，B，b.
[解析] 因为＝，所以sin
A＝＝.
因为c＞a，所以C＞A，所以A＝.
所以B＝，b＝＝＝＋1.
延伸探究 3.若把本例(2)中C＝改为A＝，其他条件不变，求C，B，b.
解析：因为c·sin
A＝×＝＜2，所以sin＜2＜，即c·sin
A＜a＜c，所以本题有两解．
因为＝，所以sin
C＝＝.
所以C＝或.当C＝时，B＝，b＝＝＋1.
当C＝时，B＝，b＝＝－1.
方法技巧 1.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．
2．已知两边及一边对角解三角形解的个数．
(1)代数角度
由正弦定理得sin
B＝，
①若＞1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．
②若＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．
③若＜1，则满足条件的三角形个数为1或2.
(2)几何角度
图形
关系式
解的个数
A为锐角
①a＝bsin
A；②a≥b
一解
bsin
A＜a＜b
两解
a＜bsin
A
无解
A为钝角或直角
a＞b
一解
a≤b
无解
探究三 三角形面积公式的应用
[阅读教材P48例3及解答]如图，
在△ABC中，＝(x，y)，＝(u，v)．
求证：△ABC的面积S＝|xv－yv|.
题型：三角形面积公式的应用．
方法步骤：①利用并化简面积S＝||·||sin
A.
②向量坐标表示＝(x，y)，＝(u，v)．
③向量坐标运算并化简得结论．
[例3] 在△ABC中，B＝，cos
A＝，b＝.
(1)求sin
C的值．
(2)求△ABC的面积．
[解题指南] (1)先利用三角形内角和定理用A表示C，再利用两角差正弦公式求sin
C.
(2)利用正弦定理求出a的值，然后由公式S△ABC＝absin
C计算可得．
[解析] (1)因A，B，C都是三角形内角，又cos
A＝，
所以sin
A＝，
又因为C＝π－－A＝－A，
所以sin
C＝sin＝cos
A＋sin
A＝.
(2)由正弦定理得，a＝＝＝.
所以△ABC的面积S△ABC＝absin
C＝×××＝.
方法技巧 三角形面积公式的应用
对于求三角形的面积问题，常见情形有：
(1)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦定理求出某两边及其夹角，再利用三角形的面积公式进行求解；
(2)若所给图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形转化为求三角形的面积．
跟踪探究 2.在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝8，则△ABC的面积等于( )
A．32
B．16
C．32或16
D．32或16
解析：由正弦定理，得sin
B＝＝＝，又b＞a，所以B＞A，所以B＝60°或120°.所以C＝90°或30°.当C＝90°时，S△ABC＝absin
C＝32；当C＝30°时，S△ABC＝absin
C＝16.
答案：D
探究四 判断三角形的形状
[例4] 在△ABC中，已知acos
B＝bcos
A，试判断△ABC的形状．
[解析] 由正弦定理：
得sin
Acos
B＝sin
Bcos
A，
由sin
Acos
B＝cos
Asin
B，sin(A－B)＝0，
因为A，B为△ABC的内角，
则A－B＝0，A＝B.
即△ABC为等腰三角形．
方法技巧 1.判断三角形形状的两种途径
(1)利用正弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
2．用正弦定理进行边角互化的两种方法
延伸探究 4.将例4中的条件改为“＝＝”判断三角形的形状．
解析：由正弦定理得
＝＝，
又＝＝，
两式相除得1＝tan
B＝tan
C.
又0＜B＜π，0＜C＜π，
所以B＝C＝45°，所以A＝90°，
所以△ABC为等腰直角三角形.
授课提示：对应学生用书第38页
[课后小结]
对正弦定理的认识
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．
(4)正弦定理与三角形的外接圆的半径结合起来，可实现三角形的边与角的互化．
(5)正弦定理可用来求解两类三角形：一是已知三角形的两角(或其三角函数)和一边；二是已知三角形两边及一边的对角(或其三角函数值)，第一种情况三角形只有一解，第二类情况可能一解、两解或无解．
[素养培优]
1．不理解三角形解的情况与条件的关系致误
(2019·潍坊模拟)在△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两组解，则x的取值范围是( )
A．a＞2
B．c＜2
C．2＜x＜
D．2＜x≤
易错分析 对两组解存在的条件理解不清，只认为a＜b即可，或理解为a＞b，即可．考查逻辑推理、数学运算的学科素养．
自我纠正 选C，当asin
B＜b＜a时，
△ABC有两组解．
已知b＝2，B＝60°，a＝x，
如果△ABC有两组解，
那么x应满足xsin
60°＜2＜x，则2＜x＜.
2．忽视边或角的大小关系致误
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝，a＝，b＝1，则A＝( )
A.
B.
C.或
D.
易错分析 忽视条件中a与b的大小关系和作用，只盲目得到一种结果，错选A或B，考查数学运算及分类讨论思想．
自我纠正 选C.在△ABC中，由正弦定理得sin
A＝＝＝，因为b＜a，所以A＞B＝，
又A∈(0，π)，所以A＝或.
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