3 二倍角的三角函数
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系．2.能运用二倍角公式推导出半角公式，理解倍角公式和半角公式的内在联系、结构特点．3.熟练掌握二倍角的余弦公式及其变形．4.能用三角函数的相关公式解决三角函数的综合问题.
重点：1.二倍角的正弦、余弦、正切公式及其应用．2.半角公式的应用．难点：二倍角、半角公式的灵活应用.
授课提示：对应学生用书第64页
[自主梳理]
1．二倍角公式
2．半角公式
[双基自测]
1．sin
75°cos
75°的值等于( )
A.
B.
C.
D．1
解析：sin
75°cos
75°＝sin
150°＝.
答案：A
2．若x＝，则cos2x－sin2x的值等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：cos2x－sin2x＝cos
2x＝cos＝.
答案：D
3．已知tan
α＝－，则tan
2α等于( )
A.
B．－
C.
D．－
解析：tan
2α＝＝＝－.
答案：D
授课提示：对应学生用书第64页
探究一 利用倍角、半角公式求值
[典例1] (1)已知x∈(，)，sin(－x)＝－，求cos
2x的值；
(2)已知sin(90°＋θ)＝－，且180°＜θ＜270°，求tan.
[解析] (1)解法一 ∵sin(－x)＝－，x∈(，)，
∴－x∈(－，0)，cos(－x)＝，
∴cos
2x＝sin(－2x)＝sin[2(－x)]
＝2sin(－x)cos(－x)
＝2×(－)×＝－.
解法二 由已知条件得cos
x－sin
x＝－.
将此式两边平方得2sin
xcos
x＝，
∵sin
2x＝.
∴x∈(，)，∴2x∈(，π)．
∴cos
2x＝－＝－＝－.
(2)解法一 由sin(90°＋θ)＝－，
得cos
θ＝－，
∵180°＜θ＜270°，
∴90°＜＜135°，
∴tan
＜0，
∴tan＝－＝－ ＝－2.
解法二 由sin(90°＋θ)＝－，得cos
θ＝－，
∵180°＜θ＜270°，
∴sin
θ＜0，
∴sin
θ＝－ ＝－ ＝－，
∴tan
＝＝＝－2.
己知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
(1)先化简已知或所求式子；
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
1．已知锐角α，β，且tan
α＝2，cos
β＝，求：
(1)sin
2α；
(2)tan(2α－β)．
解析：(1)∵tan
α＝2，∴sin
2α＝2sin
αcos
α＝＝＝＝.
(2)∵tan
α＝2，∴tan
2α＝＝＝－.
∵cos
β＝，且β为锐角，
∴sin
β＝＝＝，
∴tan
β＝＝＝，
∴tan(2α－β)＝
＝＝.
探究二 利用倍角、半角公式化简与证明
[典例2] 化简：[－tan
](1＋tan
α·tan
)．
[解析] [－tan
](1＋tan
α·tan
)
＝(－)(1＋·)
＝(1＋)＝·＝.
化简三角函数的多种方法：
(1)考虑角不同而想到异角化同角法；(2)考虑角之间的相互关系而想到角变换法；(3)分式形式将分子、分母分别进行变形整理，提取公因式的约分法；(4)根式利用倍角公式去根号时要注意三角函数值的符号；(5)形如1＋cos
α化为2cos2
，1－cos
α化为2sin2
；(6)遇到asin
x＋bcos
x，引入辅助角化为Asin(x＋φ)的变换方法．这些是化简三角函数式的非常重要和常用的方法．对于解决三角函数的其他问题，如求值、证明等，都会用到这些常见方法．
2．求证：＝sin
2α.
证明：左边＝
＝＝
＝＝sincoscos
α
＝sin
αcos
α＝sin
2α＝右边．
∴原式成立．
探究三 三角恒等变换的应用
[典例3] 已知函数f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值及相应的x值．
[解析] f(x)＝2sin
xcos
x＋2cos2x－1
＝sin
2x＋cos
2x
＝2sin
(2x＋)．
(1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)由x∈[0，]可得≤2x＋≤.
所以，当2x＋＝，即x＝时，
f(x)取最大值，最大值为2.
首先利用倍角公式及两角和的正弦公式，将f(x)转化为只含一个角的三角函数的形式，即利用化归的思想转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的有关性质，注意使用整体代换的思想将ωx＋φ看成一个整体去讨论最值及单调性问题．
3．已知向量a＝(cos
x，cos
x)，b＝(sin
x，－cos
x)，记函数f(x)＝2a·b＋1，其中x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈(0，)，且f()＝，求cos
2α的值．
解析：(1)f(x)＝2(sin
xcos
x－cos2x)＋1＝sin
2x－cos
2x＝sin(2x－)，
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π，
(2)∵f()＝sin
α－cos
α＝，
∴1－2sin
αcos
α＝，
∴2sin
αcos
α＝，
∴(sin
α＋cos
α)2＝1＋2sin
αcos
α＝.
∵α∈(0，)，∴sin
α＋cos
α＝.
又cos
α－sin
α＝－，
∴cos
2α＝cos2α－sin2α＝(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)＝－.
给三角函数去绝对值符号时易错
[典例] 已知：＜α＜2π，化简 .
[规范解答]
＝ ＝
＝ .
因为＜α＜2π，所以＜＜π，所以cos＜0.
所以原式＝ ＝ ＝|sin|.
因为＜α＜2π，所以＜＜，所以sin＞0，所以原式＝sin.
[错因与防范] 给三角函数去绝对值符号时，要根据三角函数值的符号去绝对值符号，不可忽略．
PAGE2.3 两角和与差的正切函数
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.能利用两角和(或差)的正、余弦公式导出两角和(或差)的正切公式．2.掌握公式Tα±β及其变形式，并能利用这些公式解决化简、求值、证明等问题.
重点：两角和与差的正切公式及其应用．难点：两角和与差的正切公式的推导及变形应用.
授课提示：对应学生用书第62页
[自主梳理]
两角和与差的正切公式
[双基自测]
1．若α、β∈且tan
α＝，tan
β＝，则tan(α＋β)＝( )
A．－1 B．1 C. D．－
解析：tan(α＋β)＝＝＝1.
答案：B
2．若tan
α＝3，tan
β＝，则tan(α－β)等于( )
A．－3
B．－
C．3
D.
解析：tan(α－β)＝＝＝＝.
答案：D
3．tan
75°＝________.
解析：tan
75°＝tan(30°＋45°)＝
＝＝2＋.
答案：2＋
授课提示：对应学生用书第62页
探究一 利用两角和与差的正切公式求值
[典例1] 已知sin(π＋θ)＝－，tan
φ＝，并且θ是第二象限角，求tan(θ－φ)的值．
[解析] ∵sin(π＋θ)＝－sin
θ＝－，
∴sin
θ＝，又θ是第二象限角，
∴cos
θ＝－＝－，
∴tan
θ＝＝－，又tan
φ＝，
∴tan(θ－φ)＝＝＝－2.
若已知α，β的正弦、余弦的值，求α±β的正切的方法有两种：①是先求α±β的正弦、余弦而后应用商数关系；②是先求tan
α，tan
β，而后应用α±β的正切公式．若已知α，β的正切值，则直接应用正切公式求解即可．
1．求下列各式的值．
(1)；(2)；(3)tan
15°＋tan
30°＋tan
15°tan
30°.
解析：(1)原式＝tan(75°－15°)＝tan
60°＝.
(2)原式＝＝tan
45°＝1.
(3)原式＝tan(15°＋30°)(1－tan
15°tan
30°)＋tan
15°tan
30°＝1－tan
15°tan
30°＋tan
15°tan
30°＝1.
探究二 利用和与差的正切公式求角
[典例2] 已知tan
α＝，tan
β＝－2，且0<α<<β<π，
求(1)tan(α－β)的值．(2)角α＋β的值．
[解析] (1)若tan
α＝，tan
β＝－2，
所以tan(α－β)＝＝＝7.
(2)tan(α＋β)＝＝＝－1，因为0<α<<β<π，
所以<α＋β<，所以α＋β＝.
(1)求值．计算待求角的正切函数值．
(2)求范围．借助已知角的范围及题目隐含信息，求相关角的范围，注意角的范围越小越好．
(3)求角．借助角的范围及角的三角函数值求角．
2．已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且α，β∈(－π，π)，求α＋β的值．
解析：由韦达定理，
得tan
α＋tan
β＝－3，tan
αtan
β＝4，
∴tan(α＋β)＝＝＝.
又∵α，β∈(－π，π)，∴α＋β∈(－2π，2π)，
∴α＋β＝－π，－π，，π.
探究三 综合应用问题
[典例3] 在△ABC中，tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，且tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，判断△ABC的形状．
[解析] tan
A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)
＝＝＝－，
而0°＜A＜180°，∴A＝120°.
而tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝
＝＝.
而0°＜C＜180°，∴C＝30°.∴B＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
利用和差角公式判断三角形形状：
首先应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，其次注意三角形内角和A＋B＋C＝180°这一隐含条件的运用．
3．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝，
(2)tan
·tan
β＝2－同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
解析：假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝，(2)tan
tan
β＝2－同时成立．
由(1)得＋β＝，所以tan＝＝.
又因为tan
tan
β＝2－，
所以tan
＋tan
β＝3－.
因此tan
，tan
β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根．解该方程得x1＝1，x2＝2－.
若tan
＝1，则α＝，这与α为锐角矛盾．
所以tan
＝2－，tan
β＝1，所以α＝，β＝.
所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
给值求角中的易错误区
[典例] 已知tan(α－β)＝，tan
β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.
[解析] 由于tan
α＝tan[(α－β)＋β]＝
＝＝，且α∈(0，π)，
所以α∈
又由tan
β＝－，且β∈(0，π)，
得β∈(，π)，所以2α－β∈(－π，0)．
而tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1，
所以2α－β＝－π.
[答案] －
[错因与防范] (1)解答本题常会得到2α－β的值为，这样错误的结果，原因在于没能依据题设条件进一步缩小角α、β的范围，导致计算角2α－β的范围扩大而出错．
(2)为了防范类似的错误，应该
①树立函数择优意识
选择运算该角的哪个三角函数值，会直接影响角的解的个数，如本例选择公式Tα±β较方便快捷，且不易产生增解．
②注意题设隐含条件的挖掘
个别条件所附带的信息有时较为隐蔽，常依据需要对题设条件进一步挖掘，如本例要依据“tan(α－β)＝，tan
β＝－，且α，β∈(0，π)”来进一步限定角α，β的范围．
PAGE2 两角和与差的三角函数
2．1 两角差的余弦函数
2．2 两角和与差的正弦、余弦函数
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦公式，两角和的正弦、余弦公式．3.会利用公式解决简单的化简求值问题.
重点：两角和与差的正弦、余弦函数．难点：应用公式进行简单的恒等变换.
授课提示：对应学生用书第59页
[自主梳理]
1．两角和与差的余弦公式
Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.
2．两角和与差的正弦公式
Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.
Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
[双基自测]
1．计算sin
69°cos
9°－cos
69°sin
9°的结果等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：原式＝sin(69°－9°)＝sin
60°＝.
答案：D
2．cos
cos
－sin
sin
＝( )
A.
B.
C.
D．1
解析：cos
cos
－sin
sin
＝cos(＋)＝cos
＝，故选B.
答案：B
3．cos
15°＝________.
解析：cos
15°＝cos(45°－30°)＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°＝×＋×＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第60页
探究一 给角求值
[典例1] 求值：(1)sin
15°＋cos
15°；
(2)sin
119°sin
181°－sin
91°sin
29°.
[解析] (1)解法一 sin
15°＋cos
15°
＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)
＝sin
45°cos
30°－cos
45°sin
30°＋cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°＝×－×＋×＋×＝.
解法二 sin
15°＋cos
15°
＝
＝sin(15°＋45°)＝sin
60°＝.
(2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)sin
29°
＝cos
29°(－sin
1°)－cos
1°sin
29°
＝－(sin
29°cos
1°＋cos
29°sin
1°)
＝－sin(29°＋1°)＝－sin
30°＝－.
解此类题的关键是将非特殊角向特殊角转化，充分利用拆角、凑角的技巧转化为和、差角的正弦、余弦公式的形式，同时注意活用、逆用公式，“大角”利用诱导公式化为“小角”．
1．化简求值．
(1)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)；
(2)sin
14°cos
16°＋sin
76°cos
74°；
(3)求的值．
解析：(1)原式＝cos[(x＋27°)－(x－18°)]＝cos
45°＝.
(2)原式＝sin
14°cos
16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin
14°cos
16°＋cos
14°sin
16°
＝sin(14°＋16°)
＝sin
30°＝.
(3)原式＝
＝
＝＝.
探究二 给值求值
[典例2] 已知＜β＜α＜，cos
(α－β)＝，
sin(α＋β)＝－.求sin
2α的值．
[解析] ∵＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜，π＜α＋β＜.
∴sin(α－β)＝ ＝，
cos(α＋β)＝－ ＝－.
∴sin
2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×(－)＋×(－)
＝－.
1．给值求值问题主要有两类：一是直接利用公式展开后求值．二是变角求值．即将问题中的角表示成已知角的和或差整体求值．在计算中要注意根据角的取值范围确定三角函数值的符号．
2．常见的变角技巧：
2α＝(α＋β)＋(α－β)，
2β＝(α＋β)－(α－β)，
α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α等．
2．已知α，β为锐角，且sin
α＝，cos(α＋β)＝－，求cos
β的值．
解析：∵α为锐角，且sin
α＝，
∴cos
α＝ ＝ ＝.
又∵α，β为锐角，cos(α＋β)＝－，
∴＜α＋β＜π，
sin
(α＋β)＝ ＝＝.
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.
探究三 给值求角
[典例3] 已知α∈(0，)，β∈(－，0)且cos(α－β)＝，sin
β＝－，求α.
[解析] ∵α∈(0，)，β∈(－，0)，
∴α－β∈(0，π)．
∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝.
∵β∈(－，0)，sin
β＝－，
∴cos
β＝.
∴sin
α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos
β＋cos
(α－β)sin
β
＝×＋×()＝.
又∵α∈(0，)，∴α＝.
1．解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角．至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内．
2．选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是(0，)，则选正弦函数、余弦函数均可；若角的取值范围是(－，)，则选正弦函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数．
3．已知函数f(x)＝－cos
2xcos
＋sin
2xsin
.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若＜α＜β＜，f(α)＝，且f(β)＝，求角2β－2α的大小．
解析：(1)因为f(x)＝－cos
2xcos
＋sin
2xsin
，
所以f(x)＝cos
2xcos
＋sin
2xsin
＝cos(2x－)，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(α)＝，且f(β)＝，
所以cos(2α－)＝，cos(2β－)＝.
又＜α＜β＜，所以2α－，2β－∈(0，)，
所以sin(2α－)＝＝，
sin(2β－)＝＝，
所以cos(2β－2α)＝cos[(2β－)－(2α－)]＝cos(2β－)·cos(2α－)＋sin(2β－)sin(2α－)＝×＋×＝.
又＜α＜β＜，所以0＜2β－2α＜，
所以2β－2α＝.
整体思想的应用
[典例] 已知sin
αcos
β＝－，则cos
αsin
β的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
[解析] 设cos
αsin
β＝t，
由sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝－＋t，
得sin(α＋β)＝－＋t；
由sin
αcos
β－cos
αsin
β＝－－t，
得sin(α－β)＝－－t.
联立得
所以?－≤t≤.
[答案] D
[感悟提高] 整体思想在处理三角问题时，主要是指将角度、三角式子看成一个整体，在解题时不把它们拆开，也不一定解出，这将减少一些不必要的运算，从而使运算过程简单，快速地得到正确的解．
PAGE1 同角三角函数的基本关系
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2
α＋cos2
α＝1，＝tan
α.2.会利用这两个公式求三角函数式的值，化简三角函数式或证明三角恒等式.
重点：同角三角函数的基本关系．难点：利用基本关系式化简，求值，证明.
授课提示：对应学生用书第57页
[自主梳理]
同角三角函数的基本关系式
[双基自测]
1．下列各项中可能成立的一项是( )
A．sin
α＝且cos
α＝
B．sin
α＝0且cos
α＝－1
C．tan
α＝1且cos
α＝－1
D．α在第二象限时，tan
α＝－
答案：B
2．已知cos
α＝，且α是第四象限角，则sin
α等于( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：∵cos
α＝，且α为第四象限角，
∴sin
α＝－＝－ ＝－.
答案：D
3．已知sin
x＝，cos
x＝，且x∈(，2π)，则m＝________.
解析：由sin2x＋cos2x＝1，得()2＋()2＝1，解得m＝0或8.因为x∈(，2π)，所以sin
x＜0，cos
x＞0，当m＝0时，sin
x＝－，cos
x＝，符合题意；当m＝8时，sin
x＝，cos
x＝－，不符合题意．所以m＝0.
答案：0
授课提示：对应学生用书第57页
探究一 利用同角三角函数关系求值
[典例1] (1)若sin
α＝－，且α是第三象限角，求cos
α，tan
α的值；
(2)已知tan
α＝2，求的值．
[解析] (1)∵sin
α＝－，α是第三象限角，
∴cos
α＝－＝－＝－，tan
α＝＝－×(－)＝.
(2)解法一 ∵tan
α＝2，
∴＝＝＝－2.
解法二 ∵tan
α＝2，
∴sin
α＝2cos
α.
∴＝＝－2.
同角三角函数的基本关系最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求是一解还是两解，同时应体会方程思想的运用．
1．在△ABC中，tan
A＝，求sin
A和cos
A的值．
解析：由tan
A＝＝得sin
A＝cos
A，①
又sin2A＋cos2A＝1.②
由①②得cos2A＝.
又∵A∈(0，π)且
tan
A＝＞0.
∴A为锐角．
∴cos
A＝代入①得sin
A＝.
探究二 三角函数式的化简
[典例2] 化简tan
α ，其中α是第二象限角．
[解析] 因为α是第二象限角，
所以sin
α＞0，cos
α＜0.
故tan
α ＝tan
α
＝tan
α ＝·||＝·＝－1.
化简三角函数式的一般要求：
①函数种类最少；②项数最少；③函数次数最低；④能求值的求出值；⑤尽量使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式．
2．化简求值：
(1)
＋；
(2).
解析：(1)＋＝＋＝＋＝4.
(2)＝
＝＝1.
探究三 三角恒等式的证明
[典例3] 求证：＝.
[证明] 证法一 右边＝
＝
＝
＝
＝＝左边．
∴原等式成立．
证法二 左边＝＝，
右边＝＝＝
＝＝.
∴左边＝右边，原等式成立．
证法三 ∵tan
α－sin
α≠0，tan
α·sin
α≠0，
要证原等式成立，只要证tan2
α·sin2α＝tan2
α－sin2
α成立，
而tan2
α·sin2
α＝tan2
α(1－cos2
α)＝tan2
α－(tan
αcos
α)2＝tan2
α－sin2
α，
即tan2
α·sin2
α＝tan2
α－sin2
α成立，∴原等式成立．
证明三角恒等式，可以从左向右证，也可以从右向左证，可以证明两端等于同一个结果，对于含有分式的还可考虑应用比例的性质．同时还需要灵活运用“1”的代换及“切化弦”等解法技巧．
3．求证：＝.
证明：左边＝＝
＝＝＝右边，所以等式成立．
因忽略角的范围致误
[典例] 在△ABC中，已知sin
A＋cos
A＝，求tan
A的值．
[解析] 解法一 因为sin
A＋cos
A＝，①
所以(sin
A＋cos
A)2＝，
所以2sin
Acos
A＝－，
所以sin
Acos
A<0.
又因为0
A>0，cos
A<0，
所以sin
A－cos
A＝
＝＝.②
由①②，得sin
A＝，cos
A＝，
所以tan
A＝＝－2－.
解法二 因为sin
A＋cos
A＝，所以cos
A＝－sin
A.
又因为sin2A＋cos2A＝1，
所以sin2A＋2＝1.
整理，得4sin2A－2sin
A－1＝0，
解得sin
A＝或sin
A＝.又因为0A>0，
所以sin
A＝，cos
A＝－sin
A＝，
所以tan
A＝＝－2－.
[错因与防范] (1)本题易错解为tan
A＝－2±，原因在于忽略了三角形内角A的范围为(0，π)这个隐含条件，进而对sin
A，cos
A的符号判断出现错误．
(2)对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin
A>0这一条件．
一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin
α与cos
α，就有sin2α＋cos2α＝1，这一条件往往是解题的关键．
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