2．4 正态分布
内 容 标 准
学 科 素 养
1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小．3.会用正态分布去解决实际问题.
通过数据分析提升数学建模数学运算
授课提示：对应学生用书第45页
[基础认识]
知识点一 正态曲线与正态分布
知识梳理 1.正态曲线
函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．正态分布
如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．
正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
知识点二 正态曲线的性质
知识梳理 正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈R有以下性质：
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.
知识点三 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
知识梳理 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.
由P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997
4，知正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内．而在此区间以外取值的概率只有0.002
6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
[自我检测]
1．若正态分布密度函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )
A．μ＝3，σ＝2
B．μ＝－3，σ＝2
C．μ＝3，σ＝
D．μ＝－3，σ＝
答案：D
2．若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤a)＝P(X＞a)，则a的值为( )
A．0
B．μ
C．－μ
D．σ
答案：B
3．已知随机变量X服从正态分布N(2,1)，则P(X≤1)＝________.
答案：0.158
7
授课提示：对应学生用书第46页
探究一 正态曲线的图象的应用
[阅读教材P74练习1]某地区数学考试的成绩X服从正态分布，其密度曲线如图所示，成绩X位于区间(52,68]的概率是多少？
解析：由密度曲线知，均值μ＝60，
P(52＜x≤68)＝P(60－8＜x≤60＋8)＝0.682
6.
[例1] 如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．
[解析] 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20.由＝，解得σ＝.
于是该正态分布密度函数的解析式是
f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
方法技巧 利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．
跟踪探究 1.某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是( )
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
解析：本题考查μ，σ的意义以及它们在正态曲线中的作用．由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A.
答案：A
探究二 利用正态分布的对称性求概率
[阅读教材P75习题2.4B组2题]若X～N(5,1)，求P(6＜X＜7)．
解析：由题意知μ＝5，σ＝1
P(6＜X＜7)＝P(5＜X＜7)－P(5＜X＜6)＝(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9.
[例2] 设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)；(3)P(X＞5)．
[解析] 因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682
6.
(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，
所以P(3＜X≤5)＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]
＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]
＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)]
＝×(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9.
(3)P(X＞5)＝P(X≤－3)＝[1－P(－3＜X≤5)]＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)]＝0.022
8.
方法技巧 利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)．
②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．
(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682
6、0.954
4、0.997
4求解．
延伸探究 本例条件不变，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，求c的值．
解析：因为X服从正态分布N(1,22)，所以对应的正态曲线关于x＝1对称．又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，因此＝1，即c＝1.
跟踪探究 2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝( )
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
解析：∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.
∵P(ξ＜4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0＜ξ＜4)＝0.6.∴P(0＜ξ＜2)＝0.3.故选C.
答案：C
3．设ξ～N(1,1)，试求：
(1)P(0＜ξ≤2)；
(2)P(2＜ξ≤3)；
(3)P(ξ≥3)．
解析：∵ξ～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1.
(1)P(0＜ξ≤2)＝P(1－1＜ξ≤1＋1)
＝P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682
6.
(2)∵P(2＜ξ≤3)＝P(－1＜ξ≤0)，
∴P(2＜ξ≤3)＝[P(－1＜ξ≤3)－P(0＜ξ≤2)]
＝[P(1－2＜ξ≤1＋2)－P(1－1＜ξ≤1＋1)]
＝[P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)]
＝×(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9.
(3)∵P(ξ≥3)＝P(ξ≤－1)，
∴P(ξ≥3)＝[1－P(1－2＜ξ≤1＋2)]
＝[1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]
＝×(1－0.954
4)＝0.022
8.
探究三 正态分布的实际应用
[阅读教材P75习题2.4A组2]商场经营的某种包装的大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2
kg的概率是多少？
解析：设商场经营的某种包装的大米质量为x
kg.
由题意知X～N(10,0.12) μ＝10，σ＝0.1，
∴P(9.8＜X≤10.2)＝P(10－0.2＜X＜10＋0.2)＝0.954
4，
∴任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2
kg的概率为0.954
4.
[例3] 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20,4)．若这批零件共有5
000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22
mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26
mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
[解析] (1)∵X～N(20,4)，
∴μ＝20，σ＝2，
∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22
mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在24～26
mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%.因此尺寸在24～26
mm间的零件大约有5
000×2.15%≈108(个)．
方法技巧 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
跟踪探究 4.在某次考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该班同学成绩在80～85分的有17人，该班同学成绩在90分以上的有多少人？
解析：∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85，
∴成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%，成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%，设该班有x人，则x·34.13%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%，即有50×2.28%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．
授课提示：对应学生用书第47页
[课后小结]
(1)理解正态分布的概念和正态曲线的性质．
(2)正态总体在某个区间内取值的概率求法
①熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．
②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．
a．正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
b．P(X＜a)＝1－P(X≥a)，
P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)，
若b＜μ，则P(X＜μ－b)＝.
[素养培优]
因对正态曲线的对称性认识不够而致错
已知X～N(μ，σ2)，且P(X＞0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝________.
易错分析：对正态分布的正态曲线的对称性理解不到位而致误，充分认识P(X＜a)＋P(X≥a)＝1这一结论．考查数据分析、数学运算的学科素养．
自我纠正：因为P(X＞0)＋P(X≥－4)＝1，
又P(X＜－4)＋P(X≥－4)＝1.
所以P(X＞0)＝P(X＜－4)．
因此正态曲线的对称轴为x＝－2.所以μ＝－2.
答案：－2
PAGE2．3.2 离散型随机变量的方差
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.
利用数据分析提升数学建模和数学运算
授课提示：对应学生用书第42页
[基础认识]
知识点一 方差、标准差的定义及方差的性质
前面我们学习了离散型随机变量的均值，它代表随机变量取值的平均水平．那么怎样刻画离散型随机变量的稳定性呢？
要从两名同学中挑出一名同学，代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩纪录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为：
X1
5
6
7
8
9
10
P
0.03
0.09
0.20
0.31
0.27
0.10
第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为：
X2
5
6
7
8
9
P
0.01
0.05
0.20
0.41
0.33
应该派哪名同学参赛？
提示：通过计算两名同学环数X的均值相等．
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平．通过样本数据偏离均值的程度来刻画他们成绩的稳定性即方差．
知识梳理 1.方差及标准差的定义
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)方差：D(X)＝(xi－E(X))2pi；
(2)标准差：.
2．方差与标准差的意义
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
3．方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)．
知识点二 两点分布与二项分布的方差
知识梳理
X
X服从两点分布
X～B(n，p)
D(X)
p(1－p)(其中p为成功概率)
np(1－p)
[自我检测]
1．设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
答案：C
2．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)等于( )
A.
B.
C.
D．5
答案：A
授课提示：对应学生用书第43页
探究一 求离散型随机变量的方差
[阅读教材P66例4]随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X的均值、方差和标准差．
题型：求离散型随机变量的均值、方差、标准差
方法步骤：(1)先求出随机变量X的分布列；
(2)再求出E(X)；
(3)由方差的计算公式求出D(X)·.
[例1] 袋中有5个大小相同的小球，其中有1个白球、4个黑球，每次从中任取一球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止．求取球次数X的均值和方差．
[解析] 取球次数X是一个随机变量，X的所有可能取值是1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝＝0.2，
P(X＝2)＝×＝0.2，
P(X＝3)＝××＝0.2，
P(X＝4)＝×××＝0.2，
P(X＝5)＝××××＝0.2.
∴随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
∴E(X)＝1×0.2＋2×0.2＋3×0.2＋4×0.2＋5×0.2＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
D(X)＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.
方法技巧 求离散型随机变量的方差的类型及解决方法
(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，先求均值，再求方差．
(2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下：
①若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识先求得分布列，然后转化成(1)中的情况．
(4)对于已知D(X)求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
跟踪探究 1.袋中有大小相同的四个球，编号分别为1,2,3,4，每次从袋中任取一个球，记下其编号．若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球．
(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；
(2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差．
解析：(1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A.
易知第一次取到偶数球的概率为＝，
第二次取球时袋中有三个奇数，
所以第二次取到奇数球的概率为，
而这两次取球相互独立，
所以P(A)＝×＝.
(2)若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1,3,3,4的四个球；
若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1,2,3,3的四个数．
所以X的可能取值为3,5,6,7.
所以P(X＝3)＝×＝，
P(X＝5)＝×＋×＝，
P(X＝6)＝×＋×＝，
P(X＝7)＝×＝.
所以X的分布列为：
X
3
5
6
7
P
均值E(X)＝3×＋5×＋6×＋7×＝，
方差D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.
探究二 两点分布与二项分布的方差
[阅读教材P69习题2.3B组1改编]抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差．
解析：抛掷两枚骰子至少有一枚5点或一枚6点的概率P＝，
由题意知X～B(30，)，
∴E(X)＝30×＝，D(X)＝30××＝.
[例2] 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物，某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，均值E(ξ)为3，标准差为.
(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
[解析] 由题意知，ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1，…，n.
(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，从而n＝6，p＝.
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
6
P
(2)记“需要补种沙柳”为事件A，
则P(A)＝P(ξ≤3)，
得P(A)＝＋＋＋＝，
或P(A)＝1－P(ξ＞3)
＝1－＝，
所以需要补种沙柳的概率为.
方法技巧 解决此类问题第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．
跟踪探究 2.某厂一批产品的合格率是98%.
(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；
(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．
解析：(1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.
ξ服从两点分布，且P(ξ＝0)＝0.02，
P(ξ＝1)＝0.98，
所以D(ξ)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.019
6.
(2)用X表示抽得的正品数，
则X～B(10,0.98)，
所以D(X)＝10×0.98×0.02＝0.196，
标准差为≈0.44.
探究三 离散型随机变量的方差的应用
[阅读教材P67例5]有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
表1
甲单位不同职位月工资X1/元
1
200
1
400
1
600
1
800
获得相应职位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1
表2
乙单位不同职位月工资X2/元
1
000
1
400
1
800
2
200
获得相应职位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
题型：离散型随机变量的均值和方差的实际应用
方法步骤：(1)由分布列求出E(X1)，D(X1)，E(X2)，D(X2)；
(2)比较E(X1)与E(X2)的大小，
D(X1)与D(X2)的大小；
(3)根据所需选择结论．
[例3] 为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．
[解析] (1)依据题意知，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，
解得a＝0.1.
∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，
∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
∴ξ，η的分布列分别为：
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
∵E(ξ)＞E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．
又∵D(ξ)＜D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．
∴甲的射击技术好．
方法技巧 1.解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．
2．均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值偏离于均值的平均程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰当的判断．
跟踪探究 3.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
ξ
0
1
2
3
P
0.3
0.3
0.2
0.2
η
0
1
2
P
0.1
0.5
0.4
试评定两个保护区的管理水平．
解析：甲保护区的违规次数ξ的均值和方差分别为
E(ξ)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；
D(ξ)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.
乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为
E(η)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；
D(η)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
因为E(ξ)＝E(η)，D(ξ)＞D(η)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定．
授课提示：对应学生用书第44页
[课后小结]
(1)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离均值的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散．
(2)求离散型随机变量X的均值、方差的步骤
①理解X的意义，写出X的所有可能的取值；
②求X取每一个值的概率；
③写出随机变量X的分布列；
④由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．
特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X)．
[素养培优]
错用方差的性质致错
已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝________.
A．6
B．8
C．18
D．20
易错分析：易将方差性质记成D(aξ＋b)＝aD(ξ)导致选A.考查数学运算的学科素养．
自我纠正：∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.故选C.
答案：C
PAGE2．3 离散型随机变量的均值与方差
2．3.1 离散型随机变量的均值
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．2.掌握离散型随机变量的均值的性质、两点分布与二项分布的均值．3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题.
利用数据分析提升数学建模提高数学运算
授课提示：对应学生用书第39页
[基础认识]
知识点一 离散型随机变量的均值
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率．但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征．例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分，那么如何求离散型随机变量的均值呢？
已知某射手射击所得环数X的分布列为：
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
在n次射击之前，根据分布列估计n次射击的平均环数．
根据射手射击所得环数X的分布列，我们可以估计在n次射击中，预计n次射击的平均环数是多少？
提示：P(X＝4)×n＝0.02n次得4环，
P(X＝5)×n＝0.04n次得5环，
P(X＝6)×n＝0.06n次得6，环
P(X＝7)×n＝0.09n次得7环，
P(X＝8)×n＝0.28n次得8环，
P(X＝9)×n＝0.29n次得9环，
P(X＝10)×n＝0.22n次得10环．
故在n次射击中总环数大约为：4×0.02n＋5×0.04n＋6×0.06n＋7×0.09n＋8×0.28n＋9×0.29n＋10×0.22n＝(4×0.02＋5×0.04＋6×0.06＋7×0.09＋8×0.28＋9×0.29＋10×0.22)n，
从而预计n次射击的平均环数约为4×0.02＋5×0.04＋…＋10×0.22＝8.32.
知识梳理 离散型随机变量的均值
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：若X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为：
Y
ax1＋b
ax2＋b
…
axi＋b
…
axn＋b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)·pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，
即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
知识点二 两点分布与二项分布的均值
知识梳理 1.若X服从两点分布，则E(X)＝p；
2．若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.
[自我检测]
1．已知一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则每射击3次中靶次数X的均值为( )
A．0.8
B．0.83
C．3
D．2.4
答案：D
2．已知随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
a
则E(X)＝________，E(2X－1)＝________.
答案：
授课提示：对应学生用书第40页
探究一 求离散型随机变量的均值
[阅读教材P68习题2.3A组4题]现要发行10
000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1
000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1
000元的彩票5张，1张彩票可能中奖金额的均值是多少元？
解析：
1张彩票可能中奖金额X的取值为0,2,10,50,100,1
000
P(X＝0)＝0.854
5，P(X＝2)＝0.1，P(X＝10)＝0.03，
P(X＝50)＝0.01，
P(X＝100)＝0.005，P(X＝1
000)＝0.000
5.
∴中奖金额X的分布列为：
X
0
2
10
50
100
1
000
P
0.854
5
0.1
0.03
0.01
0.005
0.000
5
1张彩票中奖金额的均值为0×0.854
5＋2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1
000×0.000
5＝2.
[例1] 从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值．
[解析] 由题意知X的可能取值为2,3,4,5.
当X＝2时，表示前2次取的都是红球，
∴P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球，∴P(X＝3)＝＝；
当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，∴P(X＝4)＝＝；
当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，∴P(X＝5)＝＝.
∴X的分布列为：
X
2
3
4
5
P
∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4.
方法技巧 求离散型随机变量X的均值的步骤
(1)根据X的实际意义，写出X的全部取值；
(2)求出X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)利用定义求出均值．
跟踪探究 1.袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值．
解析：X的所有可能取值为5,6,7,8.
X＝5时，表示取出1个红球3个白球，
此时P(X＝5)＝＝；
X＝6时，表示取出2个红球2个白球，
此时P(X＝6)＝＝；
X＝7时，表示取出3个红球1个白球，
此时P(X＝7)＝＝；
X＝8时，表示取出4个红球，
此时P(X＝8)＝＝.
所以X的分布列为：
X
5
6
7
8
P
所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
探究二 离散型随机变量均值的性质
[阅读教材P68习题2.3A组1题]已知随机变量X的分布列为
X
－2
1
3
P
0.16
0.44
0.40
求E(X)，E(2X＋5)．
解析：由题意得E(X)＝－2×0.16＋1×0.44＋3×0.40＝1.32，
E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝7.64.
[例2] 已知随机变量X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
[解析] (1)由随机变量分布列的性质，得
＋＋＋m＋＝1，解得m＝.
(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(3)法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，
得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3
＝2×－3＝－.
法二：因为Y＝2X－3，
所以Y的分布列如下：
X
－7
－5
－3
－1
1
P
所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
方法技巧 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b(其中a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．
跟踪探究 2.已知随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
P
由Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，求a的值．
解析：由X的分布列得E(X)＝1×＋2×＋×3＝1＋＝.
∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2，
∴a＝－5，解得a＝－3.
探究三 两点分布、二项分布的均值
[阅读教材P61例1、例2](1)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
(2)一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项．其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值．
题型：两点分布、二项分布的均值
方法步骤：(1)根据题意，确定随机变量X服从两点分布或二项分布．
(2)由两点分布及二项分布均值的计算公式得出随机变量的均值．
[例3] 某运动员的投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮一次时命中次数X的均值；
(2)求重复投篮5次时，命中次数Y的均值．
[解析] (1)投篮一次，命中次数X的分布列为
X
0
1
P
0.4
0.6
，则E(X)＝p＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)．
则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
方法技巧 1.若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p(p为成功概率)．
2．若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，直接代入求解，从而避免了烦杂的计算过程．
跟踪探究 3.春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用ξ表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
(1)随机变量ξ的分布列；
(2)随机变量ξ的均值．
解析：(1)这是4次独立重复试验，
故ξ～B，即有P(ξ＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4.
(2)E(ξ)＝4×＝.
探究四 离散型随机变量均值的应用
[阅读教材P63例3]根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60
000元，遇到小洪水时要损失10
000元．为保护设备，有以下3种方案．
方案1：运走设备，搬运费为3
800元．
方案2：建保护围墙，建设费为2
000元，但围墙只能防小洪水．
方案3：不采取措施．
试比较哪一种方案好．
题型：离散型随机变量的均值的应用
方法步骤：(1)方案1无论有无洪水都损失3
800元，求出方案2和方案3的损失费用X的分布列．
(2)分别求出三种方案损失费用的均值，比较三个均值的大小，确定哪个方案好．
[例4] 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
[解析] (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，
P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为：
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
方法技巧 解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列；(3)利用公式求出相应概率．
跟踪探究 4.某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．令ξ表示该公司的资助总额．
(1)写出ξ的分布列；
(2)求E(ξ)．
解析：(1)ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30.
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝10)＝，P(ξ＝15)＝，P(ξ＝20)＝，P(ξ＝25)＝，P(ξ＝30)＝.
故ξ的分布列为：
ξ
0
5
10
15
20
25
30
P
(2)E(ξ)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＝15.
授课提示：对应学生用书第42页
[课后小结]
(1)求离散型随机变量均值的步骤：
①确定离散型随机变量X的取值；
②写出分布列，并检查分布列的正确与否；
③根据公式求出均值．
(2)若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．
[素养培优]
在求离散型随机变量的均值时因审题不清而致错
某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行．每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为.
(1)求选手甲可进入决赛的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试写出X的分布列，并求X的均值．
易错分析：选手进入决赛有多种形式，要分清楚累计答对三题可分答了3题、4题或5题三种情况．若不能审清题意，则可能致错．考查数学抽象、逻辑推理及数学运算的学科素养．
自我纠正：(1)选手甲答3题进入决赛的概率为3＝，
选手甲答4题进入决赛的概率为C×2××＝，
选手甲答5题进入决赛的概率为C×2×2×＝.
所以选手甲可进入决赛的概率为＋＋＝.
(2)依题意，X的可能取值为3,4,5，
则有P(X＝3)＝3＋3＝，
P(X＝4)＝C×2××＋C×2××＝，
P(X＝5)＝C×2×2×＋C×2×2×＝，因此，有
X
3
4
5
P
E(X)＝3×＋4×＋5×＝.
PAGE2．2.3 独立重复试验与二项分布
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解n次独立重复试验的模型．2.理解二项分布(重、难点).3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.
利用数学抽象提升数学建模和数学运算
授课提示：对应学生用书第36页
[基础认识]
知识点一 独立重复试验
(1)观察下面的试验，分析它们有什么共同特点？
①重复抛掷质地均匀的硬币10次，观察是否出现正面向上．
②重复抛一颗骰子10次观察是否出现1点．
③姚明罚球一次命中的概率为0.8，他在练习罚球时，投篮4次恰好全部命中．
提示：①每次试验是在同样的条件下重复进行的；
②各次试验中的事件是相互独立的；
③每次试验都只有两种结果，发生与不发生；
④每次试验某事件发生的概率是相同的．
(2)投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q＝1－p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？出现2次针尖向上呢？3次呢？
提示：连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验．用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，用B1表示事件“仅出现1次针尖向上”，则B1＝(A123)∪(1A23)∪(1
2A3)．由于事件A12
3，1A23和1
2A3彼此互斥，由概率加法公式得P(B1)＝P(A12
3)＋P(1A23)＋P(1
2A3)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p.因此，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是3q2p.
用B2表示事件“出现2次针尖向上”．
则P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)
＝p2q＋p2q＋p2q＝3p2q，
P(B3)＝P(A1A2A3)＝p3.
用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“连续掷一枚图钉3次，出现k次针尖向上”．可以发现P(Bk)＝Cpkq3－k(k＝0、1、2、3).
知识梳理 1.独立重复实验的定义
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复实验．
2．独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.
知识点二 二项分布
知识梳理 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
思考 二项分布与两点分布有何关系？
提示：两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式．
[自我检测]
1．有以下试验：
①掷一枚质地均匀的硬币5次；
②某人连续投篮3次；
③袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，不放回地从中摸3次；
④袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，有放回地摸3次．
其中为独立重复试验的是________．(只填序号)
答案：①②④
2．将一枚质地均匀的硬币掷5次，恰好有3次正面朝上的概率为________．
答案：
授课提示：对应学生用书第37页
探究一 独立重复试验的判断
[阅读教材P58练习1]生产一种产品共需5道工序，其中1至5道工序的生产合格率分别为96%,99%,98%,97%,96%.现从成品中任意抽取1件，抽到合格品的概率是多少？
解析：各道工序都合格等价于产品是合格品，这5道工序是相互独立的．
因此抽到合格品的概率为P＝P1×P2×P3×P4×P5＝96%×99%×98%×97%×96%＝0.867.
[例1] 判断下列试验是不是独立重复试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
[解析] (1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验．
(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．
(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．
方法技巧 独立重复试验的判断依据
(1)要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行．
(2)每次试验相互独立，互不影响．
跟踪探究 1.下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标．
其中是独立重复试验的是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
解析：①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是独立重复试验．
答案：D
探究二 独立重复试验的概率
[阅读教材P57例4]某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，
(1)恰有8次击中目标的概率；
(2)至少有8次击中目标的概率．
(结果保留两个有效数字)
题型：独立重复试验的概率
方法步骤：(1)先确定该试验是独立重复试验；
(2)由独立重复试验中概率的计算公式P(A)＝Cpk(1－p)n－k得出所求事件的概率．
[例2] 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5(相互独立)．
(1)求至少3人同时上网的概率；
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3.
[解析] (1)至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即p＝1－C×(0.5)6－C×(0.5)1×(0.5)5－C×(0.5)2×(0.5)4＝.
(2)至少4人同时上网的概率为
C×(0.5)4×(0.5)2＋C×(0.5)5×(0.5)1＋C×(0.5)6＝＞0.3.
至少5人同时上网的概率为
C×(0.5)5×(0.5)1＋C×(0.5)6＝＜0.3.
∴至少5人同时上网的概率小于0.3.
方法技巧 解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点
(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验；
(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并集．
(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算．
跟踪探究 2.甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局．
(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？
(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？
解析：(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P＝2＋C×××＝.
(2)甲前三局胜；或甲第四局胜，而前三局仅胜两局；或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则
P＝3＋C×2××＋C×2×2×＝.
探究三 二项分布
[阅读教材P58练习2]将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数X的分布列．
解析：由题意得X～B(5，)．
∴P(X＝0)＝C()5＝，
P(X＝1)＝C5＝，
P(X＝2)＝C5＝＝，
P(X＝3)＝C5＝＝，
P(X＝4)＝C5＝，
P(X＝5)＝C5＝.
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
P
[例3] 已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；
(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
[解析] (1)由题意，得随机变量X可能取值为0,1,2,3，
则X～B.
即P(X＝0)＝C03＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝C3＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，
因此所求概率为P＝C3×3×＝.
方法技巧 1.当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2．解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
跟踪探究 3.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列．
解析：由题意可知X～B，
所以P(X＝k)＝Ck·3－k，
k＝0,1,2,3.
即P(X＝0)＝C×0×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
授课提示：对应学生用书第38页
[课后小结]
(1)独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
(2)如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k.此概率公式恰为[(1－p)＋p]n展开式的第k＋1项，故称该公式为二项分布公式．
[素养培优]
二项分布与超几何分布的关系
(1)从6名男生和4名女生中，随机选出3名学生参加一项竞技测试，试求选出的3名学生中女生人数ξ的分布列．
解析：由题意得ξ＝0,1,2,3.ξ服从参数为N＝10，M＝4，n＝3的超几何分布．
P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，
P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝＝.
故ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
(2)甲、乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0,1,2,3则甲赢，若最后一位出现6,7,8,9则乙赢，若最后一位出现4,5是平局．玩三次，记甲赢的次数为随机变量X，求X的分布列．
解析：由题意得X＝0,1,2,3.
P(X＝0)＝C×0.63＝0.216，
P(X＝1)＝C×0.4×0.62＝0.432，
P(X＝2)＝C×0.42×0.6＝0.288，
P(X＝3)＝C×0.43＝0.064.
故X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
点评 超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点．课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是废品，无放回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从超几何分布的．而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型．若将超几何分布的概率模型改成：若有N件产品，其中M件是废品，有放回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从二项分布的．在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化．
超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解．在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的．下面通过例子说明一下两者的区别．
PAGE2.2.2 事件的相互独立性
内 容 标 准
学 科 素 养
1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.
利用数据分析提升数学建模及数学运算
授课提示：对应学生用书第34页
[基础认识]
知识点 相互独立事件的概念及性质
知识梳理 1.相互独立事件的概率
设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
2．相互独立事件的性质
如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
[自我检测]
1．坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球用A1表示第1次摸得白球，A2表示第2次摸得白球则A1与A2是( )
A．互斥事件
B．相互独立事件
C．对立事件
D．不相互独立事件
答案：D
2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是( )
A.
B.
C.
D.
答案：A
授课提示：对应学生用书第34页
探究一 相互独立事件的判断
[阅读教材P55练习1]分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，“2枚结果相同”为事件C，A，B，C中哪两个相互独立？
解析：P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＋＝.
∵P(AB)＝＝P(A)·P(B)，
∴A与B相互独立；
∵P(AC)＝＝P(A)·P(C)，
∴A与C相互独立；
∵P(BC)＝＝P(B)·P(C)，
∴B与C相互独立．
[例1] 判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[解析] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A与B相互独立．
方法技巧 三种方法判断两事件是否具有独立性
(1)直接法：直接判定两个事件发生是否相互影响；
(2)定义法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立；
(3)条件概率法：当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
跟踪探究 1.甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
解析：对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．
答案：A
2．从一副扑克牌(52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽得J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？
(1)A与B.
(2)C与A.
解析：P(A)＝＝，P(B)＝＝.事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．
(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件．
探究二 求相互独立事件的概率
[阅读教材P55练习3]天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：
(1)甲、乙两地都降雨的概率；
(2)甲、乙两地都不降雨的概率；
(3)其中至少一个地方降雨的概率．
解析：设“甲地降雨”为事件A，“乙地降雨”为事件B.
则P(A)＝0.2，P(B)＝0.3.
(1)甲、乙两地都降雨为事件AB，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.2×0.3＝0.06.
(2)甲乙两地都不降雨为事件
，
∴P(
)＝P()·P()＝0.8×0.7＝0.56.
(3)甲、乙两地至少一个地方降雨为事件(AB)∪(A)∪(B)，
∴P[(AB)∪(A)∪(B)]＝P(AB)＋P(A)＋P(B)＝0.06＋0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.44.
[例2] 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
[解析] 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(
)＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
方法技巧 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件
.
(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋
.
延伸探究 (1)在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
(2)若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．
解析：(1)恰有一列火车正点到达的概率为
P3＝P(A
)＋P(B)＋P(
C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
(2)事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
跟踪探究 3.甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和，求两人破译时，以下事件发生的概率；
(1)两人都能破译的概率；
(2)恰有一人能破译的概率；
(3)至多有一人能破译的概率．
解析：记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”．
(1)两个人都破译出密码的概率为
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)恰有一人破译出密码分为两类：甲破译出乙破译不出，乙破译出甲破译不出，
即A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
(3)至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，
∴其概率为1－P(AB)＝1－＝.
探究三 相互独立事件的综合应用
[阅读教材P54例3]某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖中以下事件的概率：
(1)都抽到某一指定号码；
(2)恰有一次抽到某一指定号码；
(3)至少有一次抽到某一指定号码．
题型：相互独立事件的综合应用
方法步骤：(1)设“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A.“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B.
(2)分析所求事件与A、B的关系，并用A、B及相关事件表示出所求事件．
(3)由概率的计算公式求出所求事件的概率．
[例3] 计算机考试分理论考试与实际操作两部分进行，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率．
(3)用X表示甲、乙、丙三人计算机考试获合格证书的人数，求X的分布列．
[解析] (1)记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则
P(A)＝×＝，
P(B)＝×＝，
P(C)＝×＝，
因为P(C)＞P(B)＞P(A)，所以丙获得合格证书的可能性大．
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则
P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝.
(3)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝2)＝P(D)＝，
P(X＝3)＝××＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)－P(X＝3)＝1－－－＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
方法技巧 求较复杂事件概率的一般步骤如下
(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
跟踪探究 4.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
(1)求学生小张选修甲的概率；
(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
(3)求ξ的分布列．
解析：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，
则
解得
所以学生小张选修甲的概率为0.4.
(2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.
当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选，
所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A的概率为0.24.
(3)根据题意，知ξ可能的取值为0,2，P(ξ＝0)＝0.24.根据分布列的性质，知P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)＝0.76.
所以ξ的分布列为：
ξ
0
2
P
0.24
0.76
授课提示：对应学生用书第36页
[课后小结]
(1)相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
判断方法
一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响
两个事件不可能同时发生，即AB＝?
概率公式
A与B相互独立等价于P(AB)＝P(A)·P(B)
若A与B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立
(2)相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)·P(B)，就是说，两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积．
[素养培优]
因混淆独立事件和互斥事件而致错
设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率．
易错分析：独立事件是指两事件发生不互相影响，而互斥事件是指两事件不可能同时发生，若混淆则会致误．考查直观想象、数学建模的学科素养．
自我纠正：在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件A发生，只有B发生即事件B发生．
∵A和B相互独立，∴A与，和B也相互独立．
∴P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝，①
P(B)＝P()·P(B)＝[1－P(A)]·P(B)＝.②
①－②得P(A)＝P(B)．③
联立①③可解得P(A)＝P(B)＝.
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.
PAGE2.2 二项分布及其应用
2．2.1 条件概率
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解条件概率的定义．2.掌握条件概率的计算方法．3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
利用数学抽象发展数学建模提升数学运算
授课提示：对应学生用书第32页
[基础认识]
知识点 条件概率
(1)三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？
提示：如果三张奖券分别用X1，X2，Y表示，其中Y表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有六种可能：X1X2Y，X1YX2，X2X1Y，X2YX1，YX1X2，YX2X1.用B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则B仅包含两个基本事件：X1X2Y，X2X1Y.由古典概型计算概率的公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为P(B)＝＝.
(2)如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
提示：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有X1X2Y，X1YX2，X2X1Y和X2YX1.而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是X1X2Y和X2X1Y.由古典概型计算概率的公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为，即.
知识梳理 1.条件概率
条件
设A，B为两个事件，且P(A)＞0
含义
在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
记作
P(B|A)
读作
A发生的条件下B发生的概率
计算公式
(1)事件个数法：P(B|A)＝(2)定义法：P(B|A)＝
2.条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1.
(2)如果B和C是两个互斥的事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
[自我检测]
1．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为( )
A. B. C. D.
答案：C
2．某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上或周五晚上值班的概率为________．
答案：
授课提示：对应学生用书第32页
探究一 求条件概率
[阅读教材P53例1]在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
题型：求事件的概率及条件概率
方法步骤：(1)先计算出不放回地依次抽2次的试验结果总数；
(2)分别计算出第1次抽到理科题和两次都抽到的试验结果总数；
(3)由概率的计算公式得出所求概率．
[例1] 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？
[解析] 由题意得球的分布如下：
E型玻璃球
F型玻璃球
总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计
6
10
16
设A＝{取得蓝球}，B＝{取得蓝色E型玻璃球}．
法一：∵P(A)＝，P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝.
法二：∵n(A)＝11，n(AB)＝4，
∴P(B|A)＝＝.
方法技巧 求条件概率P(B|A)的关键就是抓住事件A为条件和A与B同时发生这两点，公式P(B|A)＝＝既是条件概率的定义，也是求条件概率的公式，应熟练掌握．
跟踪探究 1.集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下．
(1)求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率；
(2)求乙抽到偶数的概率；
(3)集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲乙两人各从A中任取一球．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．
解析：(1)设“甲抽到奇数”为事件C，
“乙抽到的数比甲抽到的数大”为事件D，
则事件C包含的基本事件总数为C·C＝15个，
事件CD同时发生包含的基本事件总数为5＋3＋1＝9个，
故P(D|C)＝＝.
(2)在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝.
(3)甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个．所以P(B|A)＝＝.
探究二 条件概率的性质及应用
[阅读教材P53例2]一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
题型：互斥事件的条件概率
方法步骤：(1)不超过2次就按对包含“第1次按对”和“第1次没按对，第2次按对”两事件的和事件；
(2)分别求出“第1次按对”和“第1次没按对，第2次按对”的概率；
(3)由互斥事件概率的计算公式得出所求概率．
[例2] 在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
[解析] 记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，可知P(D)＝P(A∪B∪C)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝＋＋＝，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，
P(E|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋＝＋＝.
故获得优秀成绩的概率为.
方法技巧 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．
跟踪探究 2.在一个袋子中装有除颜色外其他都相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸2个球，求在摸出的第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
解析：法一：设“摸出的第一个球为红球”为事件A，“摸出的第二个球为黄球”为事件B，“摸出的第二个球为黑球”为事件C，则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.
∴P(B|A)＝＝＝＝，
P(C|A)＝＝＝.
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
故所求的条件概率为.
法二：∵n(A)＝1×C＝9，n[(B∪C)∩A]＝C＋C＝5，
∴P(B∪C|A)＝.故所求的条件概率为.
授课提示：对应学生用书第33页
[课后小结]
(1)条件概率：P(B|A)＝＝.
(2)概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系：P(AB)表示在样本空间Ω中，计算AB发生的概率，而P(B|A)表示在缩小的样本空间ΩA中，计算B发生的概率．用古典概型公式，则P(B|A)＝，P(AB)＝.
[素养培优]
1.因把基本事件空间找错而致错
一个家庭中有两名小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一名小孩是女孩，问另一名小孩是男孩的概率是多少？
易错分析：解决条件概率的方法有两种，第一种是利用公式P(B|A)＝.第二种为P(B|A)＝，其中找对基本事件空间是关键．考查数学建模的学科素养．
自我纠正：法一：一个家庭的两名小孩只有4种可能：{两名都是男孩}，{第一名是男孩，第二名是女孩}，{第一名是女孩，第二名是男孩}，{两名都是女孩}．由题意知这4个事件是等可能的，设基本事件空间为Ω，“其中一名是女
孩”为事件A，“其中一名是男孩”为事件B，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}．
∴P(AB)＝＝，P(A)＝.
∴P(B|A)＝＝＝.
法二：由方法一可知n(A)＝3，n(AB)＝2.
∴P(B|A)＝＝.
2．“条件概率P(B|A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同
袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．
易错分析：本题错误在于P(AB)与P(B|A)的含义没有弄清，P(AB)表示在样本空间S中，A与B同时发生的概率；而P(B|A)表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率．考查数学建模的学科素养．
自我纠正：P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝×＝.
PAGE2．1.2 离散型随机变量的分布列(一)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．2.了解分布列对于刻画随机现象的重要性．3.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.
利用数据分析提升数学建模
授课提示：对应学生用书第26页
[基础认识]
知识点 离散型随机变量的分布列
上节课学习了离散型随机变量的概念．那么随机变量的变化规律怎样描述呢？掷一枚骰子，所得点数为X，则X可取哪些数字？X取不同的值时，其概率分别是多少？你能用表格表示X与P的对应关系吗？
提示：x＝1,2,3,4,5,6，概率均为.
X与P的对应关系为：
X
1
2
3
4
5
6
P
知识梳理 1.离散型随机变量的分布列的概念
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
2．离散型随机变量的分布列的性质
(1)pi≥0，i＝1,2,3，…，n；(2)i＝1.
[自我检测]
1．设随机变量X的分布列为( )
X
－1
0
1
P
p
则p等于
A．0
B.
C.
D．不确定
答案：B
2．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)等于( )
X
－1
0
1
P
a
b
c
A.
B.
C.
D.
答案：D
授课提示：对应学生用书第27页
探究一 离散型随机变量分布列的性质
[阅读教材P49习题2.1
A组4题]某同学求得一离散型随机变量的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
0.2
0.3
0.15
0.45
试说明该同学的计算结果是否正确．
解析：因为分布列中各概率之和0.2＋0.3＋0.15＋0.45＝1.1＞1，
所以该同学的计算结果不正确．
[例1] 设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P；
(3)求P.
[解析] (1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
得a＝.
(2)∵P＝k(k＝1,2,3,4,5)，
∴P＝P＋P＋P(X＝1)
＝＋＋＝.
(3)当＜X＜时，只有X＝，，时满足，故P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
方法技巧 应熟悉分布列的基本性质：若随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，取这些值的概率为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n，则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.此外，利用分布列的性质检验所求分布列的正误，是非常重要的思想方法；(3)一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
跟踪探究 1.若离散型随机变量的分布列为：
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
试求出离散型随机变量X的分布列．
解析：由已知可得9c2－c＋3－8c＝1，
∴9c2－9c＋2＝0，∴c＝或.
检验：当c＝时，9c2－c＝9×2－＝＞0,3－8c＝3－＝＞0；
当c＝时，9c2－c＝9×2－＞1,3－8c＝3－＜0(不适合，舍去)．
故c＝.
故所求分布列为：
X
0
1
P
探究二 求离散型随机变量的分布列
[阅读教材P49练习2题]抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列．
解析：正面向上的次数X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝×＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝.
∴X的分布列为：
X
0
1
2
P
[例2] 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．
(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．
[解析] 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有C＝10(种)情况．
(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A)＝＝，即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.
(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
故X的分布列为：
X
0
1
2
P
方法技巧 求离散型随机变量的分布列关键有三点
(1)随机变量的取值；
(2)每一个取值所对应的概率；
(3)所有概率的和是否为1，可用来检验．
跟踪探究 2.袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列．
解析：X的可能取值为1,2,3,4,5，则
第1次取到白球的概率为P(X＝1)＝，
第2次取到白球的概率为P(X＝2)＝＝，
第3次取到白球的概率为P(X＝3)＝＝，
第4次取到白球的概率为P(X＝4)＝＝，
第5次取到白球的概率为P(X＝5)＝＝.
所以X的分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
探究三 离散型随机变量的分布列的综合应用
[阅读教材P50习题2.1
B组1题]老师要从10篇课文中随机抽3篇让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；
(2)他能及格的概率．
解析：(1)设从10篇课文中随机抽3篇该同学能背诵的篇数为X.则X可取0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
(2)该同学能及格，表示他能背诵2篇或3篇，故概率为
P(x≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
[例3] 为了搞好世界大学生夏季运动会的接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：cm)．
若身高在175
cm以上(包括175
cm)定义为“高个子”，身高在175
cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．
[解析] (1)根据茎叶图，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人．
用事件A表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件表示“没有‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－＝1－＝.因此，至少有1人是“高个子”的概率是.
(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
因此，ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
方法技巧 求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题：(1)求出ξ的所有取值；(2)求出ξ取每一个值时的概率．
跟踪探究 3.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测1件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测1件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
解析：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)X的所有可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.
故X的分布列为：
X
200
300
400
P
授课提示：对应学生用书第28页
[课后小结]
(1)离散型随机变量的分布列，不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值，而且能清楚地看到每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．
(2)一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
[素养培优]
1.忽视分布列的性质致错
设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
(1)求q的值；
(2)求P(ξ＜0)，P(ξ≤0)．
易错分析：忽视分布列中Pi≥0.
导致计算出q＝1±的错误
考查数学运算及数据分析的学科素养．
自我纠正：(1)由分布列的性质得，1＞1－2q≥0,1＞q2≥0，
＋(1－2q)＋q2＝1，
所以q＝1－.
(2)P(ξ＜0)＝P(ξ＝－1)＝，
P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)
＝＋1－2
＝－.
2．因随机变量的取值错误而致错
盒中装有大小相同的12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的(用过的球即为旧的)，从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列．
易错分析：随机变量X的取值是最基础的一步，也是关系求分布列是否正确的关键一步，本题若把原题意中盒中旧球个数误认为取出旧球个数，则本题将一错到底．
自我纠正：从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，也可能是2个旧的1个新的，1个旧的2个新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球的个数可能是3,4,5,6，即X的可能取值为3,4,5,6.
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝.
所以X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
PAGE2．1.2 离散型随机变量的分布列(二)
内 容 标 准
学 科 素 养
1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法作用．2.理解两点分布和超几何分布.
利用数学抽象提升数学建模和数学运算
授课提示：对应学生用书第29页
[基础认识]
知识点一 两点分布
在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当地定义随机变量．例如，如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否不少于1
000小时，那么就可以定义如下的随机变量：Y＝与电灯泡的寿命X相比较，随机变量Y的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易．
200件产品中，有190件合格品、10件不合格品，现从中随机抽取一件，若规定X＝求X的分布列．
提示：P(X＝1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，
∴X的分布列为：
X
1
0
P
像这样随机变量的值只有0和1的分布称为两点分布．
知识梳理 两点分布随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
1－p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
思考：两点分布中，随机变量的值域是什么？
分布列P(X＝2)＝0.4，P(X＝3)＝0.6是否为两点分布．
提示：{0,1} 不是两点分布．
知识点二 超几何分布
在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求：
取到的次品数X的分布列．
解析：X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝.
因此X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，M≤N，n≤N，N，m、n∈N
.
知识梳理 超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N
，则称分布列
X
0
1
…
m
P
…
为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
对超几何分布的三点说明
(1)超几何分布的模型是不放回抽样．
(2)超几何分布中的参数是M，N，n.
(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成．
[自我检测]
1．设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去表示1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于( )
A．0
B.
C.
D.
答案：C
授课提示：对应学生用书第30页
探究一 两点分布
[阅读教材P47例1]在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列．
题型：两点分布
方法步骤：(1)写出X的取值0,1；
(2)写出X取各个值时的概率；
(3)列出分布列．
[例1] 一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用X＝0表示“两个球全是白球”，用X＝1表示“两个球不全是白球”，求X的分布列．
[解析] (1)由题意知P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，
所以X的分布列为：
X
0
1
P
(2)由题意知P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝，
所以X的分布列为：
X
0
1
P
方法技巧 两点分布的两个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)由对立事件的概率求法可知：P(X＝0)＋P(X＝1)＝1.
跟踪探究 1.随机变量ξ服从两点分布，且P(ξ＝1)＝0.8，η＝3ξ－2，则P(η＝－2)＝________.
解析：当η＝－2时，ξ＝0，
所以P(η＝－2)＝P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝0.2.
答案：0.2
探究二 超几何分布
[阅读教材P50习题2.1
A组6题改编]学校要从30名候选人中选10名同学组成学生会，其中某班有4名候选人．假设每名候选人都有相同的机会被选到，求该班被选到的人数X的分布列．
解析：X的取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝，
P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝，
P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝.
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
[例2] 一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．
(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率．
(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．
[解析] (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P＝＝.
(2)由题意知X＝0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
方法技巧 求解超几何分布问题的注意事项
(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布．
(2)在超几何分布公式中P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}．这里N是产品总数，M是产品中次品数，n是抽样的样品数．
(3)如果随机变量X服从超几何分布，只要代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值．
(4)当超几何分布用表格表示较繁杂时，可用解析式法表示．
延伸探究 1.在例2的条件下，记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列．
解析：由题意η＝0,1，服从两点分布，又P(η＝1)＝＝，所以η的分布列为：
η
0
1
P
2.将例2的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”其他条件不变，结果又如何？
解析：(1)取出3个球颜色都不相同的概率P＝＝.
(2)由题意知X＝0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
跟踪探究 2.某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
解析：(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.
(2)根据题意，知X的所有可能取值为1,2,3.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P
探究三 分布列的综合应用
[阅读教材P48例3]在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．
题型：超几何分布中某事件的概率
方法步骤：(1)设摸出红球个数为x，则x服从超几何分布；
(2)由中奖规则知中奖概率就是x≥3时的概率，从得求出P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)即可．
[例3] 袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球．用X表示取出的3个小球的最大数字．
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的概率分布列．
[解析] (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.
(2)由题意，X所有可能的取值是2,3,4,5.
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝.
所以随机变量X的概率分布列为：
X
2
3
4
5
P
方法技巧 1.在求某些比较难计算的事件的概率时，我们可以先求随机变量取其他值时的概率，再根据概率之和为1的性质即可解决问题．
2．在解决含有“至少”“至多”的问题时，利用对立事件进行求解不失为一种好方法．
跟踪探究 3.某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的分布列，并求他至多试开3次的概率．
解析：ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝.
因此ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P
由分布列知P(ξ≤3)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＋＝.
授课提示：对应学生用书第31页
[课后小结]
(1)两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量．
(2)超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：P(X＝k)＝求出X取不同值k时的概率．
[素养培优]
1.随机变量的取值不正确致误
从4张编号1,2,3,4的卡片中任意取出两张，若ξ表示这两张卡片之和，请写出ξ的分布列．
易错分析：审题不仔细得出ξ的取值为2,3,4,5,6,7,8致误．
考查数据分析和数学运算的学科素养．
自我纠正：ξ的取值为3,4,5,6,7.
P(ξ＝3)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝5)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝，
P(ξ＝7)＝＝.
∴ξ的分布列为：
ξ
3
4
5
6
7
P
2.忽视分布列中各随机变量的概率之和为1致错
如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，那么此时“立体”的体积V＝0)．
(1)求V＝0的概率；
(2)求V的分布列．
易错分析：求分布列时忽视了各随机变量的概率之和为1致错．考查数学运算．
自我纠正：(1)从6个点中随机选取3个点总共有C＝20种取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC＝12(种)，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝＝.
(2)V的所有可能取值为0，，，，，因此V的分布列为：
V
0
P
PAGE2．1 离散型随机变量及其分布列
2．1.1 离散型随机变量
内 容 标 准
学 科 素 养
1.会分析随机变量的意义，知道随机变量与函数的区别与联系．2.能区分离散型与非离散型随机变量，能举出离散型随机变量的例子．3.能理解随机变量所表示的试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.
利用数学抽象提升数学建模
授课提示：对应学生用书第24页
[基础认识]
知识点一 随机变量
(1)掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？
提示：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不是数字，但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上．
(2)在一块地里种10棵树苗，成活的棵数为x，则x可取哪些数字？
提示：x可取0,1,2,3，…，10.
知识梳理 1.随机变量的定义
在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数学表示，数字随着试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
2．随机变量常用字母X，Y，∈，η，…表示．
3．随机变量与函数的关系
相同点
随机变量和函数都是一种一一对应关系
区别
随机变量是随机试验的结果到实数的一一对应，函数是实数到实数的一一对应
联系
随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
知识点二 离散型随机变量
知识梳理 1.定义：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．
2．特征：(1)可用数字表示．(2)试验之前可以判断其出现的所有值．(3)在试验之前不能确定取何值．(4)试验结果能一一列出．
[自我检测]
1.已知6件同类产品中有2件次品，4件正品，从中任取1件，则可以作为随机变量的是( )
A．取到的产品个数
B．取到的正品个数
C．取到正品的概率
D．取到次品的概率
答案：B
2．一个口袋内装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个蓝球，从中任取3个，用X表示所取球中红球的个数，则X的所有可能取值为________．
答案：1,2,3
授课提示：对应学生用书第25页
探究一 随机变量的概念
[阅读教材P45练习1改编]下列随机试验的结果能否用随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值．
(1)抛掷两枚骰子，所得点数之和；
(2)某足球队在5次点球中射进的球数；
(3)任意抽取一瓶某种标有2
500
ml的饮料，其实际量与规定量之差．
解析：(1)能用随机变量表示，可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
(2)能用随机变量表示，可能取值为0,1,2,3,4,5.
(3)能用随机变量表示，可能取值为－2
500≤x≤2
500.
[例1] 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由：
(1)北京国际机场候机厅中某天的旅客数量；
(2)2019年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2018年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
(4)体积为1
000
cm3的球的半径长．
[解析] (1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间是在某一区间内的任意一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)当球的体积为1
000
cm3时，半径为定值，不是随机变量．
方法技巧 1.随机变量的取值是将随机试验的结果数量化；
2．随机变量的取值对应于某随机试验的某一次随机事件；
3．有些随机试验的结果不具有数量关系，但我们仍可以用数量表示它；
4．对随机变量的所有可能取值都要明确，不能重复也不能遗漏．
在一次随机试验中，随机变量的取值实质上是随机试验的结果所对应的数，且这个数所有可能的取值是预先知道的，但不知道究竟会出现哪一个．
跟踪探究 1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
(2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数(最上面的数字)；
(3)某个人的属相随年龄的变化；
(4)在标准状况下，水在0
℃时结冰．
解析：(1)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．
(2)投一颗骰子出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)属相是出生时便定的，不随年龄的变化而变化，不是随机变量．
(4)标准状况下，在0
℃时水结冰是必然事件，不是随机变量．
探究二 离散型随机变量的判定
[阅读教材P49习题2.1
A组1题]下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，则写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数；
(2)在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，某同学可能取得的成绩．
解析：(1)能用离散型随机变量表示．
设能遇到的红灯个数为X，它可能取值为0,1,2,3,4,5.
事件{x＝0}表示5个路口遇到的都不是红灯．
事件{x＝1}表示5个路口其中1个路口遇到红灯．
其余4个路口都不是红灯．
事件{x＝2}表示5个路口，其中2个路口遇到红灯，其余3个路口都不是红灯．
事件{x＝3}表示5个路口，其中3个路口遇到红灯，其余2个路口都不是红灯．
事件{x＝4}表示5个路口，其中4个路口遇到红灯，其余1个路口不是红灯．
事件{x＝5}表示5个路口全部遇到红灯．
(2)能用离散型随机变量表示
X＝
则X是一个离散型随机变量，可能的值为1,2,3,4,5.
事件{x＝1}表示该同学取得的成绩为不及格．
事件{x＝2}表示该同学取得的成绩为及格．
事件{x＝3}表示该同学取得的成绩为中．
事件{x＝4}表示该同学取得的成绩为良．
事件{x＝5}表示该同学取得的成绩为优．
[例2] 下面给出四个随机变量：
①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；
②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；
③某网站未来1小时内的点击量；
④一天内的温度η.
其中是离散型随机变量的为( )
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
[解析] ①收费站在未来1小时内经过的车辆数X有限且可一一列出，是离散型随机变量；同理③也是；而②④都是不可一一列出的连续变化的数，不符合离散型随机变量的定义．
[答案] C
方法技巧 “三步法”判定离散型随机变量
(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量．
(2)由条件求解随机变量的值域．
(3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．
跟踪探究 2.指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由：
(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(3)某林场中的树木最高达30
m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差．
解析：(1)是离散型随机变量．因为只要取出一张，便有一个号码，所以被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(2)是离散型随机变量．因为从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球．所以所含白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．
(3)不是离散型随机变量．因为林场中树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列出，所以不是离散型随机变量．
(4)不是离散型随机变量．因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，所以不是离散型随机变量．
探究三 用随机变量表示随机试验的结果
[例3] 写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.
[解析] (1)设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4，…，11.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3.
X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
方法技巧 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．
跟踪探究 3.写出下列随机变量X可能取的值，并说明随机变量X＝4所表示的随机试验的结果．
(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为X；
(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为X.
解析：(1)X的所有可能取值为2,3,4，…，10.其中X＝4表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大编号为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片上的编号分别为1和4,2和4,3和4.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中X＝4表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．
授课提示：对应学生用书第26页
[课后小结]
(1)所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．
(2)写随机变量表示的结果，要看三个特征：①可用数来表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值；③在试验之前不能确定取值．
[素养培优]
随机变量中因忽略题目中的条件而致错
小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、第二关各有两个必答题．如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1
000元，3
000元，6
000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否互不影响，用X表示小王所获奖品的价值，写出X的可能取值．
易错分析 (1)对题目背景理解不准确：比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的．
(2)忽略题目中的条件：不重复得奖，最高奖不会超过6
000元．
自我纠正：X的可能取值为0,1
000,3
000,6
000.
X＝0表示“第一关就没有通过”；
X＝1
000表示“第一关通过而第二关没有通过”；
X＝3
000表示“第一关通过、第二关通过而第三关没有通过”；
X＝6
000表示“三关都通过”．
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