人教版九年级下册数学 28.2.2应用举例 同步习题 （word解析版）

28.2.2应用举例
同步习题
一．选择题
1．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（AC⊥BA）测得∠C＝50°，则A、B间的距离应为（　　）
A．15sin50°米
B．15cos50°米
C．15tan50°米
D．米
2．为美化环境，在△ABC空地上种植售价为a元/平方米的一种草皮，已知AB＝20m，AC＝30m，∠A＝150°，则购买草皮至少需要（　　）
A．450a元
B．225a元
C．150a元
D．300a元
3．某落地钟钟摆的摆长为0.5米，来回摆动的最大夹角为60°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为a米，最大高度为b米，则b﹣a等于（　　）
A．
B．﹣
C．+
D．﹣
4．如图是一长为50米的游泳池的纵切面，该游泳池的最浅处为1.2米，最深处为2.2米，底面为斜坡，则底面的坡度为（　　）
A．50
B．1：50
C．3：125
D．11：250
5．如图，在坡角为30°山坡上有一座信号塔AB，其右侧有有一堵防护墙CD，测得BD的长度是10米，当光线AC与水平地面的夹角为53°时，测得信号塔落在防护墙上的影子DE的长为12米，则信号塔AB的高度约为（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（　　）
A．16.5米
B．17.6米
C．18.5米
D．19.3米
6．为满足广大滑板爱好者的需求，某广场修建了一个小型滑板场，如图，爱好者们从A处滑下，经缓冲区EF之后，滑向C处，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，AB＝2CD，BD＝13m，缓冲区EF＝3m，斜坡轨道AE的坡度（或坡比）i＝1：2，斜坡轨道FC的坡角为37°，其中B、E、F、D在同一直线上，则AB的长度为（参考数据：tan37°≈0.75，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）（　　）
A．3.55m
B．3.75m
C．3.95m
D．4.15m
7．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中4位同学分别测得四组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB；④∠F，∠ADB，FB．其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（　　）
A．1组
B．2组
C．3组
D．4组
8．某车库出口安装的栏杆如图所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝1.18米，AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．
B．
C．
D．
9．如图，一个直角梯形的堤坝坡长AB为6米，斜坡AB的坡角为60°，为了改善堤坝的稳固性，准备将其坡角改为45°，则调整后的斜坡AE的长度为（　　）
A．3米
B．3米
C．（3﹣2）米
D．（3﹣3）米
10．将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图的形状，那么折痕PQ的长是（　　）
A．cm
B．cm
C．cm
D．2cm
二．填空题
11．已知两个斜坡，斜坡a的倾角为α，斜坡b的倾角为β，且斜坡a比斜坡b陡，则比较大小：tan
α　
　tan
β．
12．如图，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i＝　
　．坡面与水平面的夹角叫做　
　，记作α，有i＝　
　．显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．
13．某村计划挖1
500m长的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8m，下底宽1.2m，坡角为45°（如图所示），现计划在30天内完成，假如每个劳力每天能挖1m3土，那么每天需要　
　劳力，才能如期完成．
14．如图，起重机臂AC长60m，露在水面上的钢缆BC长30m，起重机司机想看看被打捞的沉船情况，在竖直平面内把起重机臂AC逆时针转动15°到AC'的位置，此时露在水面上的钢缆B'C'的长度是　
　．
15．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，后轮中心A与中轴轴心C连线与车架中立管BC所成夹角∠ACB＝72°，后轮切地面l于点D．为了使得车座B到地面的距离BE为90cm，应当将车架中立管BC的长设置为　
　cm．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.1）
三．解答题
16．如图是一个蔬菜种植大棚的示意图．其中，AB＝3m，BC＝6m，AA1＝28m，∠BCD＝45°，AB⊥BC，DE＝1m，面ADD1A1和DCC1D1都用钢架制成并用塑料薄膜覆盖．已知墙体及其他设备的造价为3200元，钢架及塑料薄膜的平均价格为50元/m2，修建一个这样的蔬菜大棚总造价为多少元（精确到1元）？
17．如图，人民公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm，宽30cm，为了方便残疾人，拟将台阶改为斜坡．设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现将斜坡BC的坡比定为1：8．求AC和BC的长．
18．如图1，一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A'B'C'D'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q．此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示请解决下列问题：
（1）CQ与BE的位置关系是　
　，BQ的长是　
　dm：
（2）求液体的体积；（提示：直棱柱体积＝底面积×高）
（3）若容器底部的倾斜角∠CBE＝α，求α的度数．（参考数据：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝）
参考答案
一．选择题
1．解：因为AC＝15米，∠C＝50°，在直角△ABC中tan50°＝，
所以AB＝15?tan50°米．
故选：C．
2．解：过C点作BA的垂线交BA的延长线于点D，
∴∠DAC＝30°．
又∵AC＝30m，
∴DC＝15m，
∴S△ABC＝AB?CD＝×20×15＝150（m2），
∴购买草皮需要150a元．
故选：C．
3．解：如上图所示，OA、OB为最大摆幅，OC为摆锤离地最低即和地面垂直时，
所以AD＝b，CE＝a，CF＝b﹣a，∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝30°．
作AF⊥OC与F，
则在△AOC中，OF＝OAcos30°＝，
∴CF＝b﹣a＝OC﹣OF＝﹣，
∵摆长为0.5米，∴OA＝0.5米，
∴OF＝，
∴b﹣a＝0.5﹣，
∴b﹣a＝（﹣）米．
故选：D．
4．解：因为水平距离为50米，则底面的坡度为＝1：50．
故选：B．
5．解：如图，过点D作DM⊥AB交AB的延长线于M，交AH于N．
在Rt△DBM中，∵∠BDM＝30°，BD＝10米，
∴BM＝BD＝5（米），DM＝BM＝5＝（米），
在Rt△DEN中，∵∠DNE＝53°，DE＝12米，
∴∠DEN＝90°﹣∠DNE＝90°﹣53°＝37°，
∴DN＝DE?tan37°＝12?tan37°＝12×0.75＝9米，
在Rt△AMN中，AM＝＝≈23.5（米），
∴AB＝AM﹣BM＝23.5﹣5＝18.5（米），
故选：C．
6．解：∵AB＝2CD，
∴设DC＝x，则AB＝2x，
∵tan37°≈0.75，
∴＝＝0.75，
则DF＝x，
∵斜坡轨道AE的坡度（或坡比）i＝1：2，
∴BE＝2AB＝4x，
故BD﹣EF＝BE+FD＝13﹣3＝4x+x，
解得：x＝，
故AB＝2×＝＝3.75（m）．
故选：B．
7．解：此题比较综合，要多方面考虑，
第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
第③组中设AC＝x，AD＝CD+x，AB＝，AB＝；
因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．
第④组中，在直角△DEF中已知条件中没有边，无法求得DF或EF或DE的长度，从而无法求得AB的长度；、
故选：C．
8．解：如图，延长BA、FE，交于点D，
∵AB⊥BC，EF∥BC，
∴BD⊥DF，即∠ADE＝90°，
∵∠AEF＝143°，
∴∠AED＝37°，
在Rt△ADE中，
∵sin∠AED＝，AE＝1.2米，
∴AD＝AEsin∠AED＝1.2×sin37°≈0.72（米），
则BD＝AB+AD＝1.18+0.72＝1.9（米），
故选：A．
9．解：作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，sin∠ABH＝，cos∠ABH＝，
则AH＝AB?sin∠ABH＝6×＝3，
∵∠E＝45°，
∴AE＝AH＝×3＝3，
故选：A．
10．解：如图，作PM⊥OQ，QN⊥OP，垂足为M、N，
∵长方形纸条的宽为2cm，
∴PM＝QN＝2cm，
∴OQ＝OP，
∵∠POQ＝60°，
∴△POQ是等边三角形，
在Rt△PQN中，PQ＝＝＝cm．
故选：B．
二．填空题
11．解：∵斜坡a的倾角为α，斜坡b的倾角为β，且斜坡a比斜坡b陡，
∴α＞β，
则tanα＞tanβ．
故答案为：tanα＞tanβ．
12．解：坡度＝铅垂高度：水平长度，∴i＝；
坡面与水平面的夹角叫做坡角；坡度也可以看作坡角的正切值，∴i＝tanα．
13．解：作AH⊥DC于H，BG⊥DC于G．
∵CD∥AB，
∴∠GCB＝45°．
又∵BG⊥CD，
∴BGC为等腰三角形．
∴GC＝BG＝0.8m．
同理，DH＝AH＝0.8m．
又∵AB∥CD，
∴四边形ABGH为矩形，HG＝AB＝1.2m．
∴CD＝CG+GH+HD
＝0.8+1.2+0.8＝2.8（m）．
∴水渠横截面积
S＝（2.8+1.2）×0.8＝1.6（m2）．
∴修整条水渠挖的土数量为
S?1500＝1.6×1500＝2400（m3）．
每天需挖土数量为2400÷30＝80（m3）．
每天安排劳力为80÷1＝80（名）．
即每天安排80名劳力才能如期完工．
故填80．
14．解：∵sin∠CAB＝＝＝，
∴∠CAB＝45°．
∵∠C′AC＝15°，
∴∠C′AB′＝60°．
∴sin60°＝＝，
解得：B′C′＝30．
故答案为30．
15．解：由题意可得：HE＝FC＝33cm，
故BH＝BE﹣HE＝90﹣33＝57（cm），
则sin72°＝＝≈0.95，
解得：BC≈60（cm）．
故答案为：60．
三．解答题
16．解：由题意可知，DE⊥BC，DF⊥AB，四边形ADD1A1和DCC1D1都是矩形，且AA1＝DD1＝CC1＝28m，
∵∠BCD＝45°，
∴DE＝CE＝1m，
∴DC＝m．
则四边形DCC1D1的面积为：DC×CC1＝×28＝28m2．
∵DE⊥BC，DF⊥AB，AB⊥BC，
∴四边形BFDE是矩形．
∴BF＝DE＝1m，DF＝BE＝BC﹣CE＝6﹣1＝5m，
∴AF＝AB﹣BF＝3﹣1＝2m．
∵AF＝2m，DF＝5m，DF⊥AB，
∴AD＝．
则四边形ADD1A1的面积为：AD×AA1＝×28＝28m2．
∴用钢材制成的两个面的面积为（28+28）m2．
∵墙体积其他设备的造价为3200元，钢架及塑料薄膜的平均价格为50元/m2，
∴蔬菜大棚的总费用为：3200+50×（28+28）≈12719元．
∴修建一个这样的蔬菜大棚总造价约为12719元．
17．解：设AC＝x，则根据题意可知：
60：（x+60）＝1：8，
解得x＝420，
即AC＝420cm，
根据勾股定理，得
BC＝＝60cm．
答：AC和BC的长为420cm，60cm．
18．解：（1）CQ∥BE，BQ＝＝3dm．
故答案为：平行，3．
（2）V液＝×3×4×4＝24（dm3）．
（3）∵CQ∥BE，
∴∠CBE＝∠BCQ，
∵在Rt△BCQ中，tan∠BCQ＝＝，
∴∠BCQ＝37°，
∴α＝∠BCQ＝37°．