3.4.2 圆周角和圆心角的关系 课件（共22张PPT）

第4节 圆周角和圆心角的关系
（第2课时）
第三章 圆
2020-2021北师大版九年级数学下册
1 理解圆内接四边形的定义.（重点）
2 掌握圆周角定理的2个推论的内容. （重点）
3 会熟练运用推论解决问题.（难点）
学习目标
特征：
①角的顶点在圆上.
②角的两边都与圆相交.
圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
●O
B
A
C
D
E
新课导入
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即∠ABC= ∠AOC.
2 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
直径所对的圆周角是直角
知识点一
如图，BC 是⊙O 的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？
B
C
O
A
解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°
证明：∵BC为直径
∴∠BOC=180°
∴
探究新知
观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？
B
C
A
O
解：弦BC是直径。连接OC、OB
∵∠BAC=90°
∴∠BOC=2∠BAC=180°
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线。
推论 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
A
B
C
O
B
C
A
O
几何语句：
∵BC为直径
∴∠BAC=90°
几何语句：
∵∠BAC=90°
∴BC为直径
如图所示，已知经过原点的⊙ P 与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，点C 是弧AB 上一点，则∠ ACB 的度数是（ ）
A. 80° B. 90° C. 100° D. 无法确定
例1
连接AB，如图所示.
∵∠ AOB=90°，
∴ AB 是⊙ P 的直径.
∴∠ ACB=90°.
解：
B
例题讲解
（1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？
A
B
C
O
D
解：∠BAD与∠BCD互补
∵AC为直径
∴∠ABC=90°,∠ABC=90°
∵∠ABC+∠BCD+∠ABC+∠BAD=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
议一议
(2)如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？
A
B
C
O
D
解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立连接OB，OD
∵
（圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半）
∵∠1+∠2=360°
∴∠BAD+∠BCD=180°
∴∠BAD与∠BCD互补
1
2
圆内接四边形及其对角的性质
知识点二
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆。
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
圆内接四边形的对角互补。
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形
∴∠BAD+∠BCD=180°
（圆内接四边形的对角互补）
如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB＝100°，则∠ACB的度数为(　　)
A．35°　　B．40° C．50° D．80°
例2
要求∠ACB的度数，即需要求出∠AOB的度数(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)，这样就产生辅助线AO，BO，如图，连接AO，BO.在小圆中，∠AOB是圆内接四边形AOBD中∠ADB的对角，因此∠AOB＝180°－∠ADB＝180°－100°＝80°，所以∠ACB＝ ∠AOB＝40°.
解析：
B
例题讲解
例3 如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD一定是矩形. 故选B.
例题讲解
1 下列多边形中一定有外接圆的是(　　)
A．三角形　　
B．四边形　　
C．五边形　　
D．六边形
课堂练习
2 下列命题中，不正确的是(　　)
A．矩形有一个外接圆 B．弦的垂直平分线一定平分弦所对的弧
C．菱形有一个外接圆 D．任何一个三角形都有一个外接圆
3 在圆内接四边形ABCD中，若∠A＝70°，则∠C等于(　　)
A．20° B．30° C．70° D．110°
4 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC的度数是(　　)
A．75°　　　
B．60°　　　
C. 45°　　　
D．30°
5 如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为(　　)
A.
B.
C.
D.
6 如图，已知经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于点A，B，C是劣弧OB上一点，
则∠ACB等于(　　)
A．80° B．90°
C．100° D．无法确定
2 圆内接四边形的角的“两种关系”：
(1)对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．
1 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
课堂小结
谢谢聆听