3.4.1 圆周角和圆心角的关系 课件（共25张PPT）
文档属性
| 名称 | 3.4.1 圆周角和圆心角的关系 课件（共25张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-01 19:57:37 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
第4节 圆周角和圆心角的关系
（第1课时）
第三章 圆
2020-2021北师大版九年级数学下册
1 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2 理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.（重点）
3 了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.（难点）
学习目标
如图，在足球射门的游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠BAC）有关．当球员在B、D、E三点射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？在这三点射门的效果一样吗？
新课导入
圆周角的定义
知识点一
问题 指出图中的圆心角，你知道∠BAC是什么角吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．如：∠ACB．
探究新知
圆周角定义：顶点在圆上，两边分别与圆相交的角叫做圆周角.
A
B
C
O
判断一个角是否为圆周角，关键是看这个角是否具备圆周角的两个特征：
(1)角的顶点在圆上；
(2)角的两边都与圆相交，二者缺一不可．
连接OC，如图所示.
∵ BC=BD，∴∠ BOC= ∠ BOD=50° .
∴∠ A= ∠ BOC= ×50° =25° .
解：
例1 如图所示，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=BD， 若
∠ BOD=50°，求∠ A 的度数.
例题讲解
总结：圆周角定理是将圆心角与圆周角进行转化，因此求一个圆周角的度数时，我们可以求同弧所对圆心角的度数.
圆周角和圆心角的关系
知识点二
如图，∠AOB = 80°.
（1）请你画出几个 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流.
在图中改变∠AOB 的度数，你能得到的结论还成立吗？
议一议
B
O
A
如图,观察 所对的圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系 说说你的想法,并与同伴交流.
想一想：
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理的证明：
已知：如图, ∠ C是 所对的圆 周角， ∠ AOB是
所对的圆心角.
求证： ∠ C= ∠ AOB
证明：(1)圆心O在∠ C的一条边上，如图 (1).
∵ ∠ AOB是△AOC的外角，∴ ∠ AOB = ∠A + ∠C.
∵ OA = OC，∴ ∠ A= ∠C.
∴ ∠ AOB = 2∠C,
即 ∠C= ∠ AOB.
如图，A，B，C，D是同一圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°，则∠D＝_____．
例2
由圆周角定理的推论1可知
∠C＝∠A＝40°，由三角形的外角性质得
∠D＝∠1－∠C
＝68°－40°
＝28°.
解析：
28°
例题讲解
总结：本题应用转化思想，利用“同弧所对的圆周角相等”
将已知角转化为与要求的角在同一个三角形中的角，然后利用三角形的外角性质求解．
圆周角和弧的关系
知识点二
想一想
在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
B
C
D
E
A
O
所以 ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC .
根据圆周角定理，
同弧或等弧所对的圆周角相等.
例3 如图，OA，OB，OC 都是⊙O的半径，∠AOB = 2∠BOC，∠ACB 与∠BAC 的大小有什么关系？为什么？
A
C
B
O
例题讲解
解：∠ACB = 2∠BAC ，
理由：
而∠AOB = 2∠BOC，
∴ ∠ACB = 2∠BAC .
A
C
B
O
1 如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( )
A．26° B．30°
C．32° D．64°
课堂练习
2 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为5 cm，则圆心O到弦CD的距离为( )
A. cm B．3 cm
C．3 cm D．6 cm
3 如图，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( )
A．12.5° B．15°
C．20° D．22.5°
4 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( )
A.
B．3
C．2
D．4
5 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( )
A．AD＝2OB B．CE＝EO
C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
6 如图，在⊙O中，∠O = 50°，求∠A的度数.
(1)概念（圆周角）；
(2)定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；
(3)推论：同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等. 相等的圆周角所对的弧相等；
圆周角和圆心角的关系
课堂小结
谢谢聆听
第4节 圆周角和圆心角的关系
（第1课时）
第三章 圆
2020-2021北师大版九年级数学下册
1 理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2 理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.（重点）
3 了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.（难点）
学习目标
如图，在足球射门的游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠BAC）有关．当球员在B、D、E三点射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？在这三点射门的效果一样吗？
新课导入
圆周角的定义
知识点一
问题 指出图中的圆心角，你知道∠BAC是什么角吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．如：∠ACB．
探究新知
圆周角定义：顶点在圆上，两边分别与圆相交的角叫做圆周角.
A
B
C
O
判断一个角是否为圆周角，关键是看这个角是否具备圆周角的两个特征：
(1)角的顶点在圆上；
(2)角的两边都与圆相交，二者缺一不可．
连接OC，如图所示.
∵ BC=BD，∴∠ BOC= ∠ BOD=50° .
∴∠ A= ∠ BOC= ×50° =25° .
解：
例1 如图所示，AB 是⊙ O 的直径， 弦BC=BD， 若
∠ BOD=50°，求∠ A 的度数.
例题讲解
总结：圆周角定理是将圆心角与圆周角进行转化，因此求一个圆周角的度数时，我们可以求同弧所对圆心角的度数.
圆周角和圆心角的关系
知识点二
如图，∠AOB = 80°.
（1）请你画出几个 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
（2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流.
在图中改变∠AOB 的度数，你能得到的结论还成立吗？
议一议
B
O
A
如图,观察 所对的圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系 说说你的想法,并与同伴交流.
想一想：
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
圆周角定理的证明：
已知：如图, ∠ C是 所对的圆 周角， ∠ AOB是
所对的圆心角.
求证： ∠ C= ∠ AOB
证明：(1)圆心O在∠ C的一条边上，如图 (1).
∵ ∠ AOB是△AOC的外角，∴ ∠ AOB = ∠A + ∠C.
∵ OA = OC，∴ ∠ A= ∠C.
∴ ∠ AOB = 2∠C,
即 ∠C= ∠ AOB.
如图，A，B，C，D是同一圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°，则∠D＝_____．
例2
由圆周角定理的推论1可知
∠C＝∠A＝40°，由三角形的外角性质得
∠D＝∠1－∠C
＝68°－40°
＝28°.
解析：
28°
例题讲解
总结：本题应用转化思想，利用“同弧所对的圆周角相等”
将已知角转化为与要求的角在同一个三角形中的角，然后利用三角形的外角性质求解．
圆周角和弧的关系
知识点二
想一想
在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
B
C
D
E
A
O
所以 ∠ABC = ∠ADC = ∠AEC .
根据圆周角定理，
同弧或等弧所对的圆周角相等.
例3 如图，OA，OB，OC 都是⊙O的半径，∠AOB = 2∠BOC，∠ACB 与∠BAC 的大小有什么关系？为什么？
A
C
B
O
例题讲解
解：∠ACB = 2∠BAC ，
理由：
而∠AOB = 2∠BOC，
∴ ∠ACB = 2∠BAC .
A
C
B
O
1 如图，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( )
A．26° B．30°
C．32° D．64°
课堂练习
2 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为5 cm，则圆心O到弦CD的距离为( )
A. cm B．3 cm
C．3 cm D．6 cm
3 如图，A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( )
A．12.5° B．15°
C．20° D．22.5°
4 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( )
A.
B．3
C．2
D．4
5 如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( )
A．AD＝2OB B．CE＝EO
C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
6 如图，在⊙O中，∠O = 50°，求∠A的度数.
(1)概念（圆周角）；
(2)定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；
(3)推论：同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等. 相等的圆周角所对的弧相等；
圆周角和圆心角的关系
课堂小结
谢谢聆听