3.3 垂径定理 课件（共24张PPT）

第3节 垂径定理
第三章 圆
2020-2021北师大版九年级数学下册
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
学习目标
1 等腰三角形是轴对称图形吗？
2 如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？
3 如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？
新课导入
垂径定理
知识点一
问题 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
37m
7.23m
探究新知
●O
A
B
C
D
M└
（2）① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
条件
③AM=BM,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
结论
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
解：（1）此图是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线
例1 已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M. 求证：AM=BM，AC =BC，AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
O
C
D
M
A
B
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.
⌒
⌒
AC =BC.
∴AD =BD，
⌒
⌒
从而∠AOD=∠BOD.
例题讲解
垂径定理
·
O
A
B
C
D
P
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AP=BP,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD =BD.(结论)
推导格式：
注意：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
如图所示，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 ，BD= ，则AB 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
例2
B
总结：利用垂径定理求线段的长的方法：
垂径定理是解决有关圆的计算、证明问题常用的知识. 求线段长时，一般把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解，即用“垂径定理＋勾股定理”求解.
例题讲解
垂径定理的推论
知识点二
是，对称轴是直径CD所在的直线
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平
分AB的直径CD， 交AB于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
O
C
D
M
A
B
CD⊥AB，AC=BC，AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
·
O
A
B
C
D
注意：
圆的两条直径是互相平分的.
推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，
(2)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O中，
垂径定理的本质是:
知二得三
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
例3 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是
弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，
垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
● O
C
D
E
F
┗
例题讲解
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
例4 已知：⊙O中弦AB∥CD,
求证：AC＝BD.
⌒
⌒
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直弦的直径平分弦所对的弧）
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
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⌒
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⌒
⌒
例题讲解
1 如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错误的是(　　)
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.
D．△OCE≌△ODE
课堂练习
2 如图，已知⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D.要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是(　　)
A．AD＝BD
B．OD＝CD
C．∠CAD＝∠CBD
D．∠OCA＝∠OCB
3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则BD的度数为(　　)
A．25°
B．30°
C．50°
D．65°
︵
4 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为(　　)
A.
B．3
C．2
D．4
5 如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
·
O
A
B
E
C
D
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径;作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
课堂小结
谢谢聆听