第3节 同底数幂的除法
(第1课时)
第一章 整式的乘除
2020-2021北师大版七年级数学下册
1.经历同底数幂除法运算性质的探索过程,理解同底数幂除法的运算性质; (重点)
2.理解零次幂和负整数指数幂的意义,并能进行负整数指数幂的运算;
3.会用同底数幂除法的运算性质进行计算.(难点)
学习目标
1.同底数幂的乘法:am·an=am+n(m、n都是正整数)
即:同底幂相乘,底数不变,指数相加。
2.幂的乘方:(am)n=amn(m、n都是正整数)
即:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
3.积的乘方:(ab)n=anbn(n是正整数)
即:积的乘方,等于积中各个因式分别乘方的积。
新课导入
同底数幂的除法法则
知识点一
某种病毒的直径是102纳米,多少个这种病毒能排成1毫米长?(1米=109纳米)
解:由题知,1毫米=106纳米,则需要病毒的个数为:
106÷102 =
因为104×102=106,所以106÷102=104
答:104个这种病毒能排成1毫米长.
探究新知
1.试一试:用你熟悉的方法计算:
(1) ____;
(2) ______;
(3) ______ .
2.总结
由上面的计算,我们发现
你能发现什么规律?
(1) _____;
(2) ______;
(3) _____ .
(m-n)个a
m个a
n个a
猜想:
同底数幂的除法法则:
条件:①除法; ②同底数幂.
结果:①底数不变; ②指数相减.
注意:
讨论为什么a≠0?m、n都是正整数,且m>n?
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
即
例1 计算:
(1) a7÷a4 ; (2) (-x)6÷(-x)3 ;
(3) (xy)4÷(xy) ;(4) b2m + 2÷b2 .
解:(1) a7÷a4 = a7-4 = a3 ;
(2) (-x)6÷(-x)3 = (-x)6-3 = (-x)3 = -x3 ;
(3) (xy)4÷(xy) = (xy)4-1 = (xy)3 = x3y3 ;
(4) b2m+2÷b2 =b2m + 2-2 =b2m.
例题讲解
例2 计算:(1)(-x)6÷(-x)3;(2)(x-y)5÷(y-x)2.
解:(1)原式=(-x)6-3=(-x)3=-x3;
(2)原式=(x-y)5÷(x-y)2=(x-y)5-2=(x-y)3.
总结:在(2)中运用整体思想解题.从整体来看以上各题都为同底数幂或可化为同底数幂的运算,在运算时要注意结构和符号.
例题讲解
同底数幂的除法法则的应用
知识点二
拓展:本法则也适用于多个同底数幂连除;底数可以是一个数,也可以是一个单项式或多项式.
易错警示:(1)底数不同时运用同底数幂的除法法则计算出现错误.
(2)在多个同底数幂乘除混合运算时,没按顺序进行计算出现错误.
例3 已知xm=9,xn=27,求x3m-2n的值.
解:x3m-2n=x3m÷x2n
=(xm)3÷(xn)2
=93÷272=1.
例题讲解
例4 计算:(1)[(a2)5·(-a2)3]÷(-a4)3;
(2)(a-b)3÷(b-a)2+(-a-b)5÷(a+b)4.
解:(1)原式=[a10·(-a6)]÷(-a12)=-a16÷(-a12)
= a16-12=a4;
(2)原式=(a-b)3÷(a-b)2-(a+b)5÷(a+b)4
=(a -b)-(a+b)=a-b-a-b=-2b.
例题讲解
零指数幂
知识点三
……
……
【同底数幂的除法法则】
【除法的意义】
1
1
1
结论:
……
任何不等于零的数的零次幂都等于1.
例5 计算: |-3|+(π-1)0.
解:原式=3+1=4.
总结:根据绝对值的意义、0指数幂的意义,先去掉绝对值
符号并完成幂的运算,再做加法运算.
例题讲解
例6 若(x-1)0=1,则x的取值范围是( )
A.x>1 B.x≥1
C.x≤1 D.x≠1
解:按由零指数幂底数不为0确定x的范围.
由题意得x-1≠0,因此x≠1,故选D.
D
例题讲解
负整数指数幂
知识点四
猜一猜,下面的括号内该填入什么数?你是怎么想的?
与同伴进行交流.
104 =10 000 , 10 ( ) =1 000,
10 ( ) =100 , 10 ( ) =10.
24 =16 , 2 ( ) =8,
2 ( ) =4 , 2 ( ) =2.
10 ( ) = 1 , 10 ( ) = ,
10 ( ) = , 10 ( ) = .
2 ( ) =1 , 2 ( ) = ,
2 ( ) = , 2 ( ) = .
……
……
结论:
……
【同底数幂的除法法则】
【除法的意义】
例7 计算:
解:原式=1-8-3+2=-8.
总结:对于底数是分数的负整数指数幂,我们可以将其转化
为这个数的倒数的正整数指数幂,即 .如
本例中 =3,这样就大大地简化了计算.
例题讲解
1 计算x6÷x2正确的结果是( )
A.3 B.x3
C.x4 D.x8
课堂练习
2 下列计算正确的是( )
A.a3+a2=a5 B.a3·a2=a5
C.(a3)2=a5 D.a6÷a2=a3
3 下列运算正确的是( )
A.m6÷m2=m3 B.3m2-2m2=m2
C.(3m2)3=9m6 D. m·2m2=m2
4 计算(π-3)0的结果是( )
A.0 B.1
C.3-π D.π-3
5 若(t-3)2-2t=1,则t可以取的值有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6 如果xm=3,xn=2,那么xm-n的值是( )
A.1.5 B.6 C.8 D.9
7 若7x=m,7y=n,则7x-y等于( )
A.m+n B.m-n
C.mn D.
2.同底数幂的除法法则
am ÷an = a m-n (a≠0,m、n都是正整数,且m>n)中的条件可以改为:
(a≠0,m、n都是正整数)
1.我们知道了指数有正整数,还有负整数、零.
a0 =1(a≠0),
a-p= ( a≠0 ,且 p为正整数).
课堂小结
谢谢聆听