鸡兔同笼问题
【教学内容】青岛五·四学制2011课标版五年级数学下册智慧广场《鸡兔同笼问题》及相关练习。
【教学目标】
1.
掌握运用画图法、列表法、假设法等多种方法解决“鸡兔同笼”问题。
2.
经历自主探究解决问题的过程，培养逻辑推理能力，养成多方面思考问题、多方法解决问题的习惯。
3.
了解我国古代数学文化，增强民族自豪感。
【教学重点】经历自主探究解决问题的过程，掌握运用画图法、列表法、假设法等多种方法解决“鸡兔同笼”问题。
【教学难点】掌握假设法，能运用假设法解决数学问题。
【教学准备】多媒体课件、8个小鸡面具、8个兔子面具。
【教学过程】
课前互动：
师：同学们，上课前老师想问大家一个问题，你们在生活中有见过鸡和兔子吗？谁能跟大家讲讲，鸡有什么特征？兔子有什么特征？
学生回答后教师总结：一只鸡有一个头、两只脚，一只兔子有一个头、四只脚，我们今天研究的问题也是跟这两种动物密切相关。
1、创设情境，引出问题
1.课件展示古代《孙子算经》中的主题图，抛出约一千五百年前的数学趣题“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
2.提出问题：这是我国古代的一道数学趣题，谁能用自己的语言描述一下？
3.呈现问题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？这也是我们今天要探究的“鸡兔同笼”问题。（板书：鸡兔同笼问题）
尝试解决，交流想法。
【设计意图：情境图的展示，一方面借助古代数学问题让学生感知我国古代数学文化的源远流长，激发学生的民族自豪感和爱国激情；另一方面，让学生经历猜测结果、尝试调整的过程，激发学生探究问题的兴趣，为下一环节做铺垫。】
2、新知探究，解决问题
（1）感受化繁为简的必要性
谈话交流：
同学们，刚才在解决这道古代数学问题的时候，大家猜了好几组数据，都猜不对，这是为什么呢？
什么情况下你们觉得比较容易猜对呢？
数太大了不容易猜对，数小一些是不是就会比较容易解决呢？
教师尝试将问题进行修改，化繁为简，改成“笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？”
（2）方法展示，解决问题
1.
画图法
师：对于这个问题，老师有几种方法跟大家分享。首先我们可以尝试通过画图来求出答案，大家有没有什么想法呢？
引导学生先画8个头表示有8只动物，但是具体不知道哪只是鸡，哪只是兔子，可以先给它们各画上2只脚，如下图所示：
学生自主探究，发现这样画出了一共只有16只脚，还少了10只脚，于是可将10只脚补在其中5只动物里边，如下图所示：
图中4只脚的表示兔子，2只脚的表示鸡，即可得出答案：兔子有5只，鸡有3只。
师：同学们，这种方法还是比较麻烦，我们再探索其他方法吧！
2.
列表法
师：同学们，这里一共只有8只动物，数量比较少，我们能否尝试将所有可能存在的情况列举出来呢？
学生探究后进行汇报，将所有情况列成表格，课件出示：
师：同学们，这种方法叫做列表法，虽然能得出我们想要的答案，但还是太麻烦了。接下来，老师将为大家分享一种新的、简便的方法。
3.
假设法
师：我们需要请8位同学帮忙，全部假设成“鸡”。
学生通过角色扮演，发现如果8只全部假设成鸡，只有2×8＝16只脚，比实际少了26-16=10只脚，说明里边有一些是兔子，被我们误认为鸡。而在角色扮演中，我们发现，一只兔子被误认为鸡，则会少算4-2=2只脚，我们一共少算了10只脚，10里面有5个2，所以有10÷2=5只是兔子，另外的8-5=3只是鸡。
学生再类比相关的方法，将所有动物假设成“兔”，再次解决这个问题。
学生完成后，教师引导学生将假设法的两种思路与同桌互相分享，并对结果进行验证。
教师肯定“假设法”的简便性，并鼓励学生运用“假设法”解决其他相关问题。
【设计意图：让学生在自主尝试解决问题的过程中，初步经历假设一组数据算出脚数，与题中条件相对照，然后再做调整，直至寻找到正确答案的过程。教师组织有层次的汇报和交流，意在让学生逐步清晰地认识到：总脚数的差里面有几个2（兔和鸡的脚数差），就是要把几只鸡调整成兔（或者把几只兔调整成鸡）。有了这样的感悟，对假设法的探究就水到渠成，对假设法的本质也会理解得更加深刻。】
3、回顾引入，巩固练习
笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？
4、快乐提升，提高能力
我们刚刚用“假设法”解决鸡兔同笼问题，那么下面的问题大家能解决吗？
银云小学停车场有三轮车和小轿车共7辆，总共有25个轮子。请求出三轮车和小轿车各多少辆？
【设计意图：先将鸡和兔的数量进行增加，巩固、加深学生对鸡兔同笼问题的理解。再将“鸡和兔”变成“三轮车和小轿车”，通过对比、变式等形式，练习设计突出层层递进，训练学生将掌握的解题方法在解决新问题时实现自主迁移，拓宽学生对“鸡兔同笼”问题的认识，为后续学习奠定基础。】
5、总结收获
同学们，这节课你收获了什么？
【设计意图：引导学生回顾本节课的内容，梳理所要探究的知识点，强化解决鸡兔同笼问题的方法，鼓励学生多方向思考，学会灵活采用不用方法解决不同问题。】
6、布置作业
同学们，请大家回家思考并解答以下问题：
蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种昆虫共18只、118条腿、20对翅膀，请问每种昆虫各几只？
【设计意图：引导学生利用课余时间进行学习，不仅能使学生巩固所学的知识，还有利于培养学生善于思考的好习惯，让学生的思考、探究意识不局限于课堂，还延伸到课后。】
板书设计：
鸡兔同笼问题
全部假设成鸡：
全部假设成兔子：
2×8＝16（只）
4×8=32（只）
26-16=10（只）
32-26=6（只）
4-2=2（只）
4-2=2（只）
兔子：10÷2=5（只）
鸡：6÷2=3（只）
鸡：8-5=3（只）
兔子：8-3=5（只）
答：鸡有3只，兔子有5只。鸡兔同笼教学设计
教学
目标
1.知识与技能：了解“鸡兔同笼”问题,感受古代数学问题的趣味性；
2.过程与方法：理解并掌握画图法、列表法、假设法、方程法解决问题,在解决问题的过程中培养逻辑推理能力,增强应用意识和实践能力；
3.情感、态度与价值观：经历自主探究解决问题的过程,体验解决问题策略的多样性。
重点
难点
重点：经历自主探究解决问题的过程,掌握运用画图法、列表法、假设法、方程法解决“鸡兔同笼”问题；
难点：假设法中的推理过程，用假设法、方程法解决实际问题。
教学准备
希沃课件；展台
板书
设计
鸡兔同笼
1.列表法
2.画图法
3.假设法
4.方程法
教
学
过
程
设计意图
教师指导
学生活动
从学生熟悉的鸡和兔入手，直接引出课题。
让学生经历猜想的过程，激发学生解决问题的欲望。
重点引导学生观察表格中数据的特点，寻找规律,渗透有序思考的思想。
渗透数形结合的思想。
渗透假设法的逻辑推理思想。
体会列方程的关键是找出等量关系。
体会化繁为简的数学方法。
让学生感受假设法和方程法是解决鸡兔同笼的一般方法。
让学生感知鸡兔同笼问题的数学模型。
谈话引入，揭示课题
同学们，鸡和兔你们熟悉吗？谁能用数学语言描述一下它们各自的特点？
今天，我们就一起来研究与它们有关的数学问题。
板书：鸡兔同笼
鸡兔同笼是什么意思呢？
那么鸡和兔在同一笼子里，需要我们解决什么问题呢？
二、自主探究，解决问题
1.出示问题：笼子里有若干鸡和兔，从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只?
2.分析题意:学生自由读题,从题目中你们都知道了哪些数学信息?
(尤其是隐藏的信息：鸡有2只脚,兔子有4只脚)
3.让学生大胆猜想，兔子有几只，鸡有几只？
4.探究新知
那么,笼子里到底有几只鸡,几只兔子呢,可能都是鸡或者都是兔子吗?学生解决问题。
（1）学生先独立思考，找到答案后可以和你的小组成员讨论，互相说一说你是怎样想的？
（2）学生汇报展示：
预设1：用列表法解决问题
引导学生通过计算，一步一步调整，最后找到正确答案。观察表格并发现规律：兔子每增加一只，鸡就减少一只，脚就增加两只。兔子每减少一只，鸡就增加一只，脚就减少两只。无论怎样变化，鸡和兔的总只数都是8。
师小结：“列表法”，不重复，不遗漏，有序思考。
预设2：用画图法解决问题
引导学生通过画图，观察：当脚数与实际的脚数相比，少了就应该将鸡换成兔；当脚数与实际的脚数相比，多了就应该将兔换成鸡。
师小结：“画图法”，清晰明了，能有效解决实际问题。
预设3：用假设法解决问题
引导学生用算式把过程记录下来：假设全是鸡
8×2＝16（只）
26－16＝10（只）
4－2＝2（只）
兔：10÷2＝5（只）
鸡：8－5＝3（只）
师引导学生重点理解：4-2=2（一只兔比一只鸡多的脚数）10÷2＝5（要求把多少只鸡换成兔），为了更好的理解，课件演示假设法的过程。
假设全是兔，学生独立列式计算。
预设4：用方程法解决问题
找出等量关系，列方程解答。
三、巩固练习，拓展提升
1.同学们真的很厉害，其实大家刚刚解决的是大约1500年前一道有趣的类型题，原题是出自《孙子算经》，题目是这样的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
（1）说一说这题目是什么意思？
（2）说说这道题与例题有什么区别？
师及时小结：遇到新问题时时常把大数据改为小数据来研究，数学上叫做化繁为简。从简单入手找出规律,再来尝试解决这个问题。
（3）学生汇报解决的办法。
对比画图法、列表法、假设法和方程法的优缺点：数目比较小时,用列表法。数目比较大时,列表法和画图法计算量大,就有局限性,比较麻烦,假设法和方程法是解决鸡兔同笼的一般方法。
1.一个停车场里停有四轮小汽车和两轮摩托车共24辆。如果这些车共有86个轮子，那么停车场里有几辆小汽车和几辆摩托车？
师及时小结:在日常生活中,我们要善于抓住数学的本质解决问题,鸡兔同笼问题里的鸡不仅仅代表鸡,兔也不仅仅代表兔,
我们不只局限算鸡和兔的只数问题上，只要能用“鸡兔同笼”问题来解答的问题都可以统一叫做“鸡兔同笼”问题。
学生独立解答，全班交流，提醒学生进行验证。
四、课堂总结，升华主题
通过这节课的学习，你有什么收获？
学生描述鸡和兔各自的特点
解释鸡兔同笼的意思
自由读题
说说从题中获得的数学信息。
猜想兔子有几只？鸡有几只？
独立思考，把自己的想法写下来。
四人小组讨论，交流自己的想法。
分享自己的想法：展台展示，并给全班同学讲解自己的方法。
观察表格，发现规律。
说说画图法的优点
倾听老师的讲解，并结合动画演示，理解假设法的推理过程。
找出题中的等量关系。
齐读原题
翻译原题
说说与例题有什么区别？
指名学生上黑板作答并讲解，其余学生在练习本上作答。
说说这道题与鸡兔同笼的有什么关系？
独立解答。
口头验证。
谈一谈本节课的收获。智慧广角——鸡兔同笼问题
【教学目标】
1.学生了解“鸡兔同笼”问题，掌握用列举法、画图法和假设法解决问题，初步形成解决此类问题一般性策略。
2.过自主探索、合作交流，让学生经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的过程，使学生体会代数方法的一般性。
3.学生感受古代数学问题的趣味性，体会到“鸡兔同笼”问题在生活中的广泛应用，提高学习数学的兴趣。
【教学重点】
尝试用不同的方法解决鸡兔同笼问题，对假设法有所了解和体验，并使学生体会假设方法
解决此类问题的优越性。
【教学难点】
在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力。
【教学准备】
PPT、视频
【教学过程】
1、
创设情境（直接板书：鸡兔同笼）
1．同学们，你们喜欢大黄蜂吗？（喜欢）瞧，它来了。（播放大黄蜂变身视频）
大黄蜂酷不酷（酷），大黄蜂是集技术于一身的英雄，刚才为我们带来了一场精彩绝伦的视觉盛宴，接下来，他和他的小伙伴摩托车，为我们带来了一场智力风暴演出，看，他们已经在停车场准备好了。谁能读一下这道题目？
二、学习新知：
1．列举法
师：这是一道什么题目？（解决问题）在做解决问题的题目时，我们需要知道两方面的内容（一、已知条件，二、需要求的问题是什么？）。那么谁能回答一下，这道题的已知条件是什么，所要求的问题是什么？
生：已知条件：小汽车有四个轮子，摩托车有两个轮子，一共有24辆车，且有86个轮子。
问题：小汽车和摩托车分别有几辆？
师：遇到这样的问题，谁有办法解决呢？当找不到有效的办法时，可以根据已知条件进行假设列举，请同学们看大屏幕。
师：从小汽车是24辆，摩托车是0辆开始列举，并填表格。（师范例小汽车是24辆，摩托车是0辆时及小汽车是23辆，摩托车是1辆时，如何求得一共有多少个轮子？）
师：由这个表格，我们发现当小汽车减少一辆，摩托车增加一辆时，车轮总数发生怎样的改变？
生：减少了两个车轮。
师：谁能最快，不用计算，把剩下的表格填完整？（生速达完整，师及时给予鼓励）
（生发现符合题意的答案，小汽车19辆，摩托车5辆）
师：像这样用列举的方法解决问题，我们就把这种方法叫做列举法（列表法）。
2．画图法
师：这道问题仅仅可以用这样列举的方法解决吗？我们接下来共同研究画图法解决问题。
（师出示课件）用小长方形表示车体，用小圆表示车轮。假设全是小汽车时，一共是96个车轮（画出图形）。当减少一辆小汽车，增加一辆摩托车时，车轮总数减少两个。以此类推，当车轮减少10个时，满足条件，这样求得的小汽车数是19辆，摩托车数是5辆。（师演示讲解，生配合）。用这样画图的方式解决问题的方法就叫做画图法。
3．假设法
师：我们已经学会了两种解决问题的方法，他们是什么呢？
生：列举法、画图法。
师：如果一共有5000辆车，或是一万个车轮时，我们还能很快速的解决问题吗？（不能）
接下来，老师和大家一同来研究下一个方法—-假设法。
（出示课件）
师：当假设24辆车全是小汽车，应该有多少个车轮呢？
生：24×4=96（个）
师：问题得到解决，谁能概括总结，你是如何解决这个问题的？
（生答师补充）
师：谁能列出求摩托车有多少辆的综合算式？
生：（4×24-86）÷（4-2）
师：像这样解决问题的方法就叫做假设法。讲到这里，有的同学就很疑惑，是否可以假设全是摩托车呢？答案是肯定的。
（出示课件）
师：当假设24辆车全是摩托车时，老师列出了5个小问题，现在小组合作，看哪个小组能最快的找到解决问题的方法，列出算式并解答。
（生讨论，汇报）
师：请同学列出如何求小汽车的辆数的综合算式。
生：（86-2×24）÷（4-2）（师给予肯定并鼓励）
4.感知《鸡兔同笼》是一个经典题目
师：现在你学会用假设法解决问题了吗？现在回顾一下，你学会了几种方法解决问题呢？（三种）它们是？
生：列举法、画图法、假设法。
师：你最喜欢用什么方法呢？
讲到这里有些同学会有疑问，老师刚刚讲的是小汽车与摩托车的故事，与题目《鸡兔同笼》有什么关系呢？请同学们观看下面的视频，你就明白啦。（播放另一段视频）
5.练习
（1）小组讨论，并用假设法解决练习题（求蜘蛛与蛐蛐的只数，再一次感受鸡兔同笼问题，不仅仅是鸡与兔子的问题。
（2）生讨论，汇报。
6.谈谈这节课的收获。
（生总结师补充）
7.作业
教材30页
自主练习第2题、第3题。
8板书设计：
鸡兔同笼
假设24辆车全是小汽车。
？小汽车4个车轮
共24辆车
4×24=96（个）
96-86=10（个）
？摩托车2个车轮
共86个车轮
4-2=2（个）
摩托车10÷2=5（辆）
小汽车24-5=19（辆）
答：有5辆摩托车，19辆小汽车。
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