2.3 数学归纳法
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
提升数学运算增强逻辑推理拓深直观想象
授课提示：对应学生用书第44页
[基础认识]
知识点
1．对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.试验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？
提示：成立．
2．能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？
提示：不能，上面的等式只对n取1到50的正整数成立．
知识梳理 (1)数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N
)时命题成立；
②(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N
)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
(2)数学归纳法的框图表示
思考：1.数学归纳法中两个步骤的作用及关系是怎样的？
提示：步骤①是命题论证的基础，步骤②是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不可，如果只有步骤①缺少步骤②，则无法判断n＝k(k＞n0)时命题是否成立；如果只有步骤②缺少步骤①这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤②就没有意义了．
2．试体会数学归纳法与归纳推理的区别与联系．
提示：区别：归纳推理是一种推理方法，作用是提出猜想，但是不能确定猜想是否正确；数学归纳法是一种演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的证明过程．
联系：与正整数有关的命题，一般需要先由归纳推理得出猜想，再用数学归纳法证明猜想是正确的；用数学归纳法证明命题时，两个步骤缺一不可，且步骤(2)中必须用到归纳假设．
[自我检测]
1．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为( )
A．1＋a
B．1＋a＋a2
C．1＋a＋a2＋a3
D．1＋a＋a2＋a3＋a4
解析：等式“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”左端和式中a的次数由0次依次递增．当n＝k时，最高次数为(2k＋1)次，用数学归纳法证明，在验证n＝1时，左端的计算所得项为1＋a＋a2＋a3.
答案：C
2．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N
)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由此可知对于任何n∈N
，等式都成立．
上述证明，错误是________．
解析：本题中第二步假设n＝k时等式成立，证明n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用假设条件，这与数学归纳的要求不符．
答案：未用归纳假设
授课提示：对应学生用书第44页
探究一 用数学归纳法证明等式
[例1] 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N
)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N
)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.
那么当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．
根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N
都成立．
方法技巧 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形．
跟踪探究 1.求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N
)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，
右边＝＝，左边＝右边．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时等式成立，
即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
＋
＝＋
＝＋＋…＋＋.
即当n＝k＋1时，等式也成立．
综合(1)，(2)可知，对一切n∈N
，等式成立．
探究二 用数学归纳法证明不等式
[例2] 求证：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N
)．
[证明] (1)当n＝2时，
左边＝＋＋＋＝.
故左边＞右边，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N
)时，命题成立，
即＋＋…＋＞，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋
＝＋＋…＋＋＞＋.(
)
法一：(分析法)
下面证(
)式≥，
即＋＋－≥0，
只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0，
只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0，
只需证9k＋5≥0，显然成立．
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
法二：(放缩法)
(
)式＞＋＝，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N
均成立．
延伸探究 把本例改为求证＋＋＋…＞.(n∈N
)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝＞，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，不等式成立，
即＋＋＋…＞，
则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋
＝＋＋＋…＋＋＋－＞＋＋－，
∵＋－
＝
＝＞0，
∴＋＋＋…＋＋＋－＞＋＋－＞，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
由(1)(2)知对于任意正整数n，不等式成立．
方法技巧 用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n＞m(m为正整数)，则n0＝m＋1.
(2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
跟踪探究 2.用数学归纳法证明： ＜n＋1(n∈N
)
证明：①当n＝1时，左边＝，右边＝2，＜2成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，结论成立，即＜k＋1成立．
则当n＝k＋1时，左边＝＝＜＝＜k＋2，
∴n＝k＋1时，不等式也成立．
由①②可知，
＜n＋1(n∈N
)．
探究三 归纳——猜想——证明
[例3] 若不等式＋＋＋…＋＞对一切正整数n都成立．
(1)猜想正整数a的最大值；
(2)并用数学归纳法证明你的猜想．
[解析] (1)当n＝1时，＋＋＝＝，即＞，所以a＜26，而a是正整数，所以猜想a的最大值为25.
(2)证明：下面用数学归纳法证明＋＋＋…＋＞.
①当n＝1时，已证．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时不等式成立，即＋＋＋…＋＞.
那么当n＝k＋1时，
＋＋＋…＋＋＋＋
＝＋
＞＋
＝＋
＞＋
＝＋
＝，
即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据①②，可知对任意n∈N
，都有＋＋＋…＋＞.所以正整数a的最大值为25.
方法技巧 1.“归纳—猜想—证明”的一般环节
2．“归纳—猜想—证明”的主要题型
(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和．
(2)由一些恒成立的等式、不等式改编的探究性问题，及求使命题成立的参数值问题．
(3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题．
跟踪探究 3.考察下列各式
2＝2×1
3×4＝4×1×3
4×5×6＝8×1×3×5
5×6×7×8＝16×1×3×5×7
你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？
解析：由题意得，2＝2×1,3×4＝4×1×3,4×5×6＝8×1×3×5,5×6×7×8＝16×1×3×5×7，…，
猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5…·(2n－1)，
下面利用数学归纳法进行证明．
(1)当n＝1时，猜想显然成立；
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，猜想成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，
那么当n＝k＋1时，
(k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3)·…·2(k＋1)
＝(k＋1)(k＋2)·…·2k·(2k＋1)·2
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k＋1)
＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]
所以当n＝k＋1时猜想成立．
根据(1)(2)可知对任意正整数猜想均成立.
授课提示：对应学生用书第46页
[课后小结]
在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：
(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.
(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；
(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．
[素养培优]
抓不住数学归纳法的精髓而致误
易错案例：用数学归纳法证明：
＋＋…＋＝(n∈N
)．
易错分析：利用数学归纳法解决问题，主要把握好n的选用，以及由n＝k到n＝k＋1时的添加(改变)量，否则很容易出错致误．考查数学运算、逻辑推理等核心素养．
自我纠正：证明：①当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝，
左边＝右边，等式成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时，等式成立．
即＋＋…＋＝，
当n＝k＋1时，
左边＝＋＋…＋＋
＝＋
＝
＝
＝，
右边＝＝，
左边＝右边，等式成立．
即对所有n∈N
，原式都成立.
PAGE2.2.2 反证法
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.
加强数学运算严格逻辑推理提高直观想象
授课提示：对应学生用书第41页
[基础认识]
知识点 反证法
王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”
本故事中王戎运用了什么论证思想？
提示：运用了反证法思想．
知识梳理 (1)定义：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
(2)反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
思考：1.反证法的思维过程是怎样的？
提示：否定结论?推演过程中引出矛盾?否定假设肯定结论，即否定——推理——否定(经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的否定，即肯定原命题)．
反证法的证明过程可以用以下框图表示：
→→
2．反证法的证明步骤是怎样的？
提示：用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．这个过程包括下面三个步骤：
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；
(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．
即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．
[自我检测]
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D．三角形中三个角都是直角或钝角
解析：“至多有一个”的否定是“至少有两个”．
答案：B
2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么直线c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
解析：假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．
答案：C
3．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A＝∠B＝90°不成立．
②所以一个三角形中不能有两个直角．
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确顺序的排列为________．
解析：反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．
答案：③①②
授课提示：对应学生用书第42页
探究一 用反证法证明否定性命题
[例1] 已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
[证明] 假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，则a＝b＝c＝d＝0，
这与已知条件ad－bc＝1矛盾．
故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
方法技巧 (1)用反证法证明否定性命题的适用类型：结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
(2)用反证法证明数学命题的步骤
跟踪探究 1.已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．
证明：假设，，成等差数列，则2＝＋，
∴4b＝a＋c＋2.①
∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②
由②得b＝，代入①式，
得a＋c－2＝(－)2＝0，
∴a＝c，从而a＝b＝c，
这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，
∴假设不成立．故，，不成等差数列．
探究二 用反证法证明“至多、至少”问题
[例2] 已知a，b，c∈(0,2)，求证：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
[证明] 假设(2－a)b，(2－b)c，
(2－c)a都大于1.
因为a，b，c∈(0,2)，
所以2－a＞0,2－b＞0,2－c＞0.
所以≥＞1.
同理≥＞1，
≥＞1.
三式相加，得
＋＋＞3，
即3＞3，矛盾．
所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1.
延伸探究 已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
∵a，b，c都是小于1的正数，
∴1－a,1－b,1－c都是正数．
∴≥＞＝.
同理，＞，＞.
三式相加，得＋＋＞，
即＞，显然不成立．
∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
方法技巧 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如：
结论词
反设词
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x0成立
至少有n个
至多有n－1个
p或q
綈p且綈q
至多有n个
至少有n＋1个
p且q
綈p或綈q
跟踪探究 2.用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．(不考虑重根)
证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f(α)＝f(β)＝0.
因为α≠β，不妨设α＜β，又函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)＜f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，
所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．
探究三 用反证法证明唯一性命题
[例3] 用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．
[证明] 由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.又b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．
方法技巧 “唯一性”问题是数学中的常见问题，常见的词语有“唯一”“有且只有一个”“仅有一个”等．这类问题通常既要证明“存在性”，又要证明“唯一性”．证明“存在性”一般比较简单，多数采用直接证明的方法，但“唯一性”的证明需要用反证法，通常可假设“存在两个……”或“至少有两个”等，再经过推理论证，得出矛盾.
授课提示：对应学生用书第43页
[课后小结]
用反证法证题要把握三点
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的；
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法；
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．
[素养培优]
反设错误或不全面致误
易错案例：已知x，y∈R，且x2＋y2＝0.求证：x，y全为零．
易错分析：在利用反证法证明时，关键是熟练掌握常用词语的否定，如“全是”的否定是“不全是”．对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的．考查直观想象、逻辑推理等核心素养．
自我纠正：证明：假设x，y不全为零，则有以下三种可能：
(1)x＝0，y≠0，则x2＋y2＞0，与x2＋y＝0矛盾；
(2)x≠0，y＝0，则x2＋y2＞0，与x2＋y＝0矛盾；
(3)x≠0，y≠0，则x2＋y2＞0，与x2＋y2＝0矛盾．
故假设不成立，则x，y全为零.
PAGE2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点；2.用综合法、分析法解决问题.
加强数学运算严格逻辑推理提高直观想象
授课提示：对应学生用书第39页
[基础认识]
知识点一 综合法
阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？
已知a，b＞0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
证明：因为b2＋c2≥2bc，a＞0，所以a(b2＋c2)≥2abc.
又因为c2＋a2≥2ac，b＞0，所以b(c2＋a2)≥2abc.
因此a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.
提示：利用已知条件a＞0，b＞0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．
知识梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
(2)综合法的框图表示
→→→…→
(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)
知识点二 分析法
阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？
已知a，b＞0，求证：≥.
证明：要证≥，
只需证a＋b≥2，
只需证a＋b－2≥0，
只需证(－)2≥0，
因为(－)2≥0显然成立，所以原不等式成立．
提示：从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．
知识梳理 (1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
(2)分析法的框图表示
→→→…→
思考：1.综合法有哪些特点？
提示：(1)综合法是从原因推导出结果的思维方式，从“已知”“看”“可知”，逐步推出“未知”，其由因导果逐步推理的过程，实际上是寻找已知条件的必要条件．
(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理等，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明．
(3)用综合法证明题目，证明步骤严谨、逐层递进、步步为营、条理清晰、形式简洁、易于表达推理的思维过程．
2．分析法的特点有哪些？
提示：(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其推理过程是一步步寻求使结论成立的充分条件．
(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定理、定义、公理等．
3．比较综合法与分析法，有哪些区别与联系？
提示：
综合法
分析法
推理方向
顺推，由因导果
递推，执果索因
解题思路
探路较难，易生枝节
容易探路，利于思考(优点)
表述形式
形式简洁，条理清晰(优点)
叙述烦琐，易出错
思考的侧重点
侧重于已知条件提供的信息
侧重于结论提供的信息
联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用．
[自我检测]
1．设0＜x＜1，则a＝，b＝x＋1，c＝中最大的是( )
A．a
B．b
C．c
D．随x取值不同而不同
解析：∵0＜x＜1，∴1＋x＞2＝＞，∴只需比较1＋x与的大小．∵1＋x－＝＝－＜0.∴1＋x＜，故c最大．
答案：C
2．要证－＜－成立，只需证( )
A．(－)2＜(－)2
B．(－)2＜(－)2
C．(＋)2＜(＋)2
D．(－－)2＜(－)2
解析：欲证－＜－，只需证＋＜＋，只需证(＋)2＜(＋)2.
答案：C
3．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且a2＋b2－c2＝ab，则角C的值为________．
解析：cos
C＝＝＝.
∵0＜C＜π，∴C＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第40页
探究一 综合法的应用
[例1] 在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，求证：acos2＋cos2≥b.
[证明] 因为a，b，c成等比数列，
所以b2＝ac.
因为左边＝＋
＝(a＋c)＋(acos
C＋ccos
A)
＝(a＋c)＋
＝(a＋c)＋b≥＋
＝b＋＝b＝右边，
所以acos2＋ccos2≥b.
方法技巧 综合法证明问题的步骤
跟踪探究 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．
证明：(1)数列是等比数列；
(2)Sn＋1＝4an.
证明：(1)∵当n≥2时，an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
∴＝2·.
又当n＝1时，S1＝a1＝1，a2＝·S1＝3，故S2＝1＋3＝4，也满足＝2·.
∴数列是以2为公比的等比数列．
(2)由(1)知＝4·，且an＝Sn－1(n≥2)，
于是Sn＋1＝4(n＋1)·＝4an(n≥2)．
又a1＝1，S2＝4＝4a1，适合上式．
因此对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.
探究二 分析法的应用
[例2] 当a＋b＞0时，求证： ≥(a＋b)．
[证明] 要证
≥(a＋b)，
只需证2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，
即证a2＋b2≥2ab.
因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
所以≥(a＋b)成立．
方法技巧 分析法证题的思路与步骤
分析法证明命题“若A成立，则B成立”的思路与步骤是：要证明(或为了证明)B成立，只需证明A1成立(A1是B成立的充分条件)，
只需证明A2成立(A2是A1成立的充分条件)，
……
只需证明Ak成立(Ak是Ak－1成立的充分条件)，
只需证明A成立(A是Ak成立的充分条件)．
∵A成立，∴B成立．
说明：对于一些含有分式、根式、对数式、指数式的不等式(或等式)的命题不便于用综合法证明时，常常考虑用分析法证明．
跟踪探究 2.求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．
证明：设圆和正方形的周长为L，故圆的面积为π2，正方形的面积为2，则本题即证π2＞2.
要证π2＞2，即证＞，即证＞，即证4＞π，
因为4＞π显然成立，所以π2＞2.故原命题成立．
探究三 分析法与综合法的综合运用
[例3] △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
[证明] 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
即证＋＝3，
即证＋＝1.
即证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
即证c2＋a2＝ac＋b2.
因为△ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2cacos
60°，
即b2＝c2＋a2－ac.
所以c2＋a2＝ac＋b2成立，命题得证．
延伸探究 本例改为求证：＞.
证明：要证＞，
只需证a＋b＋(a＋b)c＞(1＋a＋b)c，
即证a＋b＞c.
而a＋b＞c显然成立，
所以＞.
方法技巧 实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者综合使用分析法与综合法，即从“未知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径．
跟踪探究 3.已知sin
α＋cos
α＝1，求证sin6α＋cos6α＝1.
证明：∵sin6α＋cos6α
＝(sin2α)3＋(cos2α)3
＝(sin2α＋cos2α)(sin4α－sin2αcos2α＋cos4α)
＝sin4α＋2sin2αcos2α＋cos4α－3sin2αcos2α
＝(sin2α＋cos2α)2－3sin2αcos2α
＝1－3sin2αcos2α.
∴要证sin6α＋cos6α＝1，只需证sin2αcos2α＝0.
将sin
α＋cos
α＝1两边平方，得2sin
αcos
α＝0，
∴sin2αcos2α＝0，∴sin6α＋cos6α＝1.
授课提示：对应学生用书第41页
[课后小结]
(1)综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因．
(2)分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”“只需证”“即证”等词语．
(3)在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．
[素养培优]
分析法证明过程不规范致误
用分析法证明：
若a＞0，则 ＋2≥a＋＋.
易错分析：从条件入手直接证明不等式较困难时，常用分析法寻求使结论成立的充分条件，但一定要注意对所要证明的结论是以“分析”的语气对待的．因而证明格式上应体现出“分析”探讨性(“要证……，只要证……”)，而非直接肯定结论．考查逻辑推理数学运算等核心素养．
自我纠正：证明：要证＋2≥a＋＋，
∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证2≥2，
只需证a2＋＋4＋4≥a2＋＋2＋2＋2
只需证≥，
只需证：a2＋≥，
即证：a2＋≥2.它显然成立．
∴原不等式成立.
PAGE2.1.2 演绎推理
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解演绎推理的意义；2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.
加强直观想象提升数学运算严密逻辑推理
授课提示：对应学生用书第37页
[基础认识]
知识点一 演绎推理
分析下面几个推理，找出它们的共同点．
(1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；
(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．
提示：问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理．
知识梳理 演绎推理的概念
定义
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理
特点
由一般到特殊的推理
知识点二 三段论
所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？
提示：分为三段．
大前提：所有的金属都能导电．
小前提：铜是金属．
结论：铜能导电．
知识梳理 三段论的基本模式
一般模式
常用格式
大前提
已知的一般原理
M是P
小前提
所研究的特殊情况
S是M
结论
根据一般原理，对特殊情况做出的判断
S是P
思考：1.演绎推理有哪些特点？
提示：(1)演绎推理的前提是一般性原理，演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别的、特殊的事实．
(2)在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是正确的．因而，演绎推理是数学中用于严格证明的工具．
(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．
2．使用“三段论”，应注意哪些问题？
提示：(1)为了方便，在运用“三段论”推理时，常常采用省略大前提的表达方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的“三段论”，把前一个“三段论”的结论作为下一个“三段论”的前提．
(2)“三段论”推理的结论正确与否，取决于两个前提以及推理形式是否正确．在大前提、小前提及推理形式都正确的情况下，得到的结论一定正确．
[自我检测]
1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数越过50人
C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
解析：A中，两条直线平行，同旁内角互补大前提，∠A与∠B是两条直线的同旁内角小前提，∠A＋∠B＝180°结论，符合演绎推理的定义，而B、D答案符合归纳推理的定义，C答案符合类比推理的定义．
答案：A
2．指数函数y＝ax(a＞1)是R上的增函数，y＝2|x|是指数函数，所以y＝2|x|是R上的增函数．以上推理( )
A．大前提错误
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．正确
解析：根据题设条件，该推理形式正确．但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误．
答案：B
3．把“函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________；
小前提：________；
结论：________.
解析：本题考查演绎推理的三段论，根据演绎推理的三段论形式写出即可．
答案：二次函数图象是抛物线
y＝x2＋x＋1是二次函数
y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线
授课提示：对应学生用书第37页
探究一 演绎推理与三段论
[例1] 将下列演绎推理写成“三段论”的形式：
(1)一切偶数都能被2整除，0是偶数，所以0能被2整除；
(2)三角形的内角和是180°，等边三角形是三角形，故等边三角形的内角和是180°；
(3)循环小数是有理数，0.33是循环小数，所以0.33是有理数．
[解析] (1)一切偶数都能被2整除，…………………………大前提
0是偶数，…………………………小前提
所以0能被2整除．…………………………结论
(2)三角形的内角和是180°，…………………………大前提
等边三角形是三角形，…………………………小前提
故等边三角形的内角和是180°.
…………………………结论
(3)循环小数是有理数，…………………………大前提
0．33是循环小数，…………………………小前提
所以0.33是有理数．…………………………结论
方法技巧 (1)用“三段论”的形式写演绎推理的过程，关键是要明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般的原理，在演绎推理中往往可以省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有具备了大前提、小前提、结论才是完整的“三段论”．一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
(2)判断“三段论”形式的演绎推理是否正确，一般从以下三个方面入手：①判断大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；②判断小前提是否正确，注意小前提必须在大前提的范围内；③判断推理过程是否正确．
跟踪探究 1.判断下列推理的结论的正误，并分析产生错误的原因：
(1)整数是自然数，…………………………大前提
－3是整数，…………………………小前提
所以－3是自然数．…………………………结论
(2)常函数的导函数为0，…………………………大前提
函数f(x)的导函数为0，…………………………小前提
所以f(x)为常函数．…………………………结论
(3)无限不循环小数是无理数，…………………………大前提
＝0.333
33…是无限不循环小数，…………………………小前提
所以是无理数．…………………………结论
解析：(1)结论是错误的，原因是大前提错误．大前提应改为非负整数是自然数．
(2)结论是错误的，原因是推理形式错误．大前提指出的一般的原理中结论为“导函数为0”，因此演绎推理的结论也应为“导函数为0”．
(3)结论是错误的，原因是小前提错误.＝0.333
33…是循环小数，而不是无限不循环小数．
探究二 演绎推理在代数中的应用
[例2] 设函数f(x)＝，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
[解析] 若函数对任意实数恒有意义，则
函数定义域为R，…………………………大前提
因为f(x)的定义域为R，…………………………小前提
所以x2＋ax＋a≠0恒成立．…………………………结论
所以Δ＝a2－4a＜0，所以0＜a＜4.
即a的取值范围为(0,4)，f(x)的定义域为R.
延伸探究 若本例条件不变，求函数f(x)的单调递增区间．
解析：∵f′(x)＝，
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2－a.
∵0＜a＜4，∴当0＜a＜2时，2－a＞0.
∴在(－∞，0)和(2－a，＋∞)上，f′(x)＞0.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞)．
当a＝2时，f′(x)≥0恒成立，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
当2＜a＜4时，2－a＜0，
∴在(－∞，2－a)和(0，＋∞)上，f′(x)＞0，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞)．
综上所述，当0＜a＜2时，
f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2－a，＋∞)；
当a＝2时，f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当2＜a＜4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2－a)，(0，＋∞)．
方法技巧 应用演绎推理解决的代数问题
(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
(3)三角函数的图象与性质．
(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．
(5)不等式的证明．
跟踪探究 2.已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)内为增函数．
证明：对于任意x1，x2∈I，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I内是增函数．大前提
设x1，x2是(－1，＋∞)内的任意两实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－＝ax1－ax2＋－＝ax1－ax2＋.
∵a＞1，且x1＜x2，∴ax1＜ax2，x1－x2＜0.
又x1＞－1，x2＞－1，∴(x1＋1)(x2＋1)＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．…………………………小前提
故函数f(x)在(－1，＋∞)内为增函数．…………………………结论
探究三 演绎推理在几何中的应用
[例3] 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF，写出三段论形式的演绎推理．
[证明] 因为同位角相等，两直线平行，…………………………大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，…………………………小前提
所以FD∥AE.
…………………………结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，…………………………大前提
DE∥BA，且FD∥AE，…………………………小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．…………………………结论
因为平行四边形的对边相等，…………………………大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边，…………………………小前提
所以ED＝AF.
…………………………结论
方法技巧 (1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论．
(2)大前提可省略：在几何证明问题中，第一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
跟踪探究 3.在梯形ABCD中，如图，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠ABC.
证明：∵等腰三角形两底角相等，…………………………大前提
△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，…………………………小前提
∴∠1＝∠2.
…………………………结论
∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，…………………………大前提
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，…………………………小前提
∴∠1＝∠3.
…………………………结论
∵等于同一个角的两个角相等，…………………………大前提
∠2＝∠1，∠3＝∠1，…………………………小前提
∴∠2＝∠3，即CA平分∠BCD.
…………………………结论
同理可证BD平分∠ABC.
授课提示：对应学生用书第39页
[课后小结]
(1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．
(2)合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理．
(3)合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明．
[素养培优]
忽视大前提或小前提致误
易错案例：已知2sin2α＋sin2β＝3sin
α.求sin2α＋sin2β的取值范围．
易错分析：演绎推理的前提与结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找出正确的大(或小)前提，如本题中大前提是sin2α∈[0,1]．sin2β∈[0,1]，若误认为sin
α∈R，显然会谬以千里．考查直观想象、逻辑推理等核心素养．
自我纠正：由2sin2α＋sin2β＝3sin
α，得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sin
α＝－2＋，且sin
α≥0.
因为0≤sin2β≤1，sin2β＝3sin
α－2sin2α，所以0≤3sin
α－2sin2α≤1，解得sin
α＝1或0≤sin
α≤.
令y＝sin2α＋sin2β，当sin
α＝1时，y＝2；
当0≤sin
α≤时，0≤y≤.
故sin2α＋sin2β的取值范围是∪{2}.
PAGE2．1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；2.了解合情推理在数学发现中的作用.
加强直观想象提升数学运算严密逻辑推理
授课提示：对应学生用书第34页
[基础认识]
知识点一 归纳推理
(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．
以上属于什么推理？
提示：属于归纳推理．
知识梳理 归纳推理
(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．
知识点二 类比推理
科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？
提示：类比推理．
知识梳理 类比推理
(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．
(2)特征：由特殊到特殊的推理．
知识点三 合情推理
归纳推理和类比推理有何区别与联系？
提示：区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．
联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．
知识梳理 合情推理
(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理，通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．
(2)推理的过程
→→→
思考：1.归纳推理有哪些特点？
提示：(1)归纳推理是由几个已知的特殊对象，归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围．如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等．
(2)由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．
(3)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么得到的一般性结论也就越可靠．
(4)归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
2．类比推理有哪些特点？
提示：(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，即以原有认识作基础，类比出新的结果．
(2)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理同归纳推理一样也不能作为数学证明的工具．
(3)如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．
3．合情推理有哪些特点？
提示：(1)合情推理的根据是已有的事实和正确的结论(包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验等．
(2)合情推理的结论往往超越了前提所界定的范围，仅仅是一种猜想，既可能为真，也可能为假．
(3)在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；合情推理不能作为数学证明的工具，但常常能为我们提供证明的思路和方向．
[自我检测]
1．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为( )
A．白色
B．黑色
C．白色可能性大
D．黑色可能性大
解析：三个白色、两个黑色，依次类推，出现以5为周期的重复现象，所以第36颗珠子相当于新一轮的第一颗，故为白色．
答案：A
2．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面积公式S扇等于( )
A.
B．
C.
D．不可类比
解析：类比三角形的面积公式S＝，则扇形的面积公式为S＝＝.
答案：C
3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
解析：面积涉及两个变量，故面积比为边长比的平方；体积涉及到三个变量，故体积比是边长比的立方．
答案：1∶8
授课提示：对应学生用书第35页
探究一 归纳推理
[例1] (1)观察下列等式：
1＋1＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，
…
照此规律，第n个等式可为________．
(2)已知f(x)＝，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N
)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N
)的表达式为________．
[解析] (1)本题主要考查数字的推理，由(1＋1)，(2＋1)(2＋2)；(3＋1)(3＋2)(3＋3)，可以推理出第n个等式的等号左边式子为(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)，
由2×1,22×1×3,23×1×3×5，可以推理出第n个式子的等号右边式子为2n×1×3×5×…×(2n－1)．
(2)f1(x)＝，f2(x)＝f1[f1(x)]＝
＝＝；
f3(x)＝f2[f2(x)]＝
＝＝；…
猜想fn(x)＝.
[答案] (1)(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)
(2) fn(x)＝
延伸探究 在本例(2)中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x)(x∈N
)的表达式．
[解析] ∵f(x)＝，∴f1(x)＝.
又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，
∴f2(x)＝f(f1(x))＝＝，
f3(x)＝f(f2(x))＝＝，
f4(x)＝f(f3(x))＝＝.
因此，可以猜想fn(x)＝.
方法技巧 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法
①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；
③提炼出等式(或不等式)的综合特点；
④运用归纳推理得出一般结论．
(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．
①通过已知条件求出数列的前几项或前n项和；
②根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解；
③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．
跟踪探究 1.已知正项数列{an}满足Sn＝，求出a1，a2，a3，a4，并推测正项数列{an}的通项公式．
解析：令n＝1，有S1＝，即a1＝，化简可得a－1＝0，因为a1＞0，所以a1＝1；
令n＝2，有S2＝，即a1＋a2＝，化简可得a＋2a2－1＝0，因为a2＞0，所以a2＝－1；
令n＝3，有S3＝，即a1＋a2＋a3＝，化简可得a＋2a3－1＝0，因为a3＞0，所以a3＝－；
令n＝4，有S4＝，即a1＋a2＋a3＋a4＝，化简可得a＋2a4－1＝0，因为a4＞0，所以a4＝2－.
因为a1＝1＝－，a2＝－1＝－，a3＝－，a4＝2－＝－，归纳猜测正项数列{an}的通项公式为an＝－.
[例2] 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n(n∈N
)个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2
B．8n－2
C．6n＋2
D．8n＋2
[解析] 观察易知第1个“金鱼”图需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图比第1个“金鱼”图多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图比第2个“金鱼”图多的部分需要火柴棒6根……由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第(n－1)个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列{an}，易求得通项公式为an＝6n＋2(n∈N
)．
[答案] C
方法技巧 归纳推理在图形中的应用策略
通过一组平面图形或空间图形的变化规律，研究其一般性结论，通常需将图形问题数字化，展现数学之间的规律、特征，然后进行归纳推理．解答该类问题的一般策略是：
跟踪探究 2.图(1)是棱长为1的小正方体，图(2)，(3)是由这样的小正方体摆放而成的．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、第3层……将第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题：
(1)按照要求填表：
n
1
2
3
4
…
Sn
1
3
6
…
(2)S10＝________；
(3)Sn＝________(n∈N
)．
解析：第1层：1个；第2层：3个，即(1＋2)个；第3层：6个，即(1＋2＋3)个；第4层：10个，即(1＋2＋3＋4)个……
由此猜想，第n层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上n，所以Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝(n∈N
)，S10＝55.
答案：(1)10 (2)55 (3)
探究二 类比推理
[例3] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论：设等比数列{bn}的前n项积
Tn，则T4，________，________，成等比数列．
[解析] 设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)．
在等比数列{bn}中，通过类比，有T4，，，成等比数列．
证明如下：
易知T4＝b1b2b3b4，T8＝b1b2…b8，T12＝b1b2…b12，T16＝b1b2…b16，所以＝b5b6b7b8，＝b9b10b11b12，＝b13b14b15b16，所以＝＝＝q16，因此T4，，，成等比数列．
[答案]
方法技巧 (1)类比推理的一般步骤
(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下
平面图形
空间图形
点
直线
直线
平面
边长
面积
面积
体积
三角形
四面体
线线角
面面角
跟踪探究 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．
解析：如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P?DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S＋S＋S成立．
授课提示：对应学生用书第36页
[课后小结]
(1)合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．
(2)合情推理的过程概括为
→→→
[素养培优]
归纳推理中找不准关系致误
易错案例：设平面内有n(n≥3，n∈N
)条直线，其中有且仅有两条直线相互平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，(1)求f(4)；(2)当n＞4时，用含n的代数式表示f(n)．
易错分析：在几何问题的归纳推理中探求相应的线段、交点、区域导数量的增加问题，其关键是寻找递推关系、考查直观想象、逻辑推理等核心素养．
自我纠正：
(1)如图，知f(4)＝5.
(2)f(3)＝2，f(4)＝5，
每增加1条直线，与前面的每条直线最多产生1个交点，而新增加的第n条直线，与前面的(n－1)条直线产生(n－1)个交点，
即f(n)－f(n－1)＝n－1.
当n＞4时，f(n)－f(n－1)＝n－1，
f(n－1)－f(n－2)＝n－2，
……
f(4)－f(3)＝3.
将以上各式相加可得，
f(n)－f(3)＝(n＋2)(n－3)．
因为f(3)＝2，所以f(n)＝(n＋2)(n－3)＋2.
化简整理，
得f(n)＝(n－2)(n＋1)(n＞4，n∈N
).
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