1 从位移、速度、力到向量
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.通过位移的概念，了解向量的实际背景．2.理解平面向量、零向量和单位向量的概念．3.理解向量的几何表示．4.理解向量共线及相等向量的含义.
重点：对向量的有关概念的认识与理解及向量的表示．难点：相等向量、共线向量的理解与应用.
授课提示：对应学生用书第33页
[自主梳理]
1．向量的概念及其表示
(1)向量的概念：既有大小，又有方向的量．
(2)向量的表示：
①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||.
②向量的表示
(3)向量的模：||(或|a|)表示向量的大小，即长度(也称模)．
2．与向量有关的概念
向量
定义
记法
零向量
长度为零的向量称为零向量
0
单位向量
与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量
a0
相等向量
长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量
向量a与b相等，记作a＝b
共线向量(平行向量)
如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．规定零向量与任一向量平行
a与b平行或共线，记作a∥b
[双基自测]
1．下列各量：①密度；②浮力；③温度；④拉力．其中是向量的有( )
A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
解析：由向量的概念知：浮力和拉力是向量，密度与温度是数量．
答案：C
2．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝( )
A．1
B.
C．2
D．2
解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，则||＝2||＝2.故选D.
答案：D
3.如图，＝，AC与BD相交于点O，则相等的向量是( )
A.与
B.与
C.与
D.与
解析：∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形．
∴AC与BD的交点O为BD中点，＝.
答案：D
授课提示：对应学生用书第34页
探究一 向量的概念
[典例1] 判断下列语句是否正确，并简要说明理由．
(1)若与是共线向量，则P，Q，M，N四点共线；
(2)共线的向量，若始点不同，则终点一定不同；
(3)若两个向量相等，则它们的始点和终点都相同；
(4)所有的单位向量都相等；
(5)||＝||.
[解析] (1)不正确．若与是共线向量，则直线MN与PQ可能重合也可能平行，故P，Q，M，N四点不一定共线．
(2)不正确．共线的向量，始点不同，终点也可能相同．如图中的和共线，它们的始点不同但终点相同．
(3)不正确．两个向量只要长度相等、方向相同就相等，和始点、终点的位置无关．
(4)不正确．所有的单位向量的长度均等于1，但它们的方向不一定相同，所以它们不一定相等．
(5)正确.与的长度均为线段AB的长度．
(1)零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联系和区别．
(2)理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：
只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．
1．给出下列几种说法：
①温度、速度、位移这些物理量都是向量；
②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
③向量的模一定是正数；
④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
⑤向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中，正确的序号是________．
解析：①错误，只有速度、位移是向量．
②错误．|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．
③错误.0的模|0|＝0.
④正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关．
⑤错误．当∥时，直线AB与CD也可能平行．
答案：④
探究二 向量的表示方法
[典例2] 一辆汽车从A点出发向西行驶了100
km到达B点，然后又改变方向向北偏西40°走了200
km到达C点，最后改变方向，向东行驶了100
km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
[解析] (1)向量，，如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，
又||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形的ABCD为平行四边形．
∴＝，∴||＝||＝200
(km)．
1．要能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型，数学建模是今后能力培养的主要方向，在日常学习中应注意积累经验．
2．要注意区分向量和向量的模．
2．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值．
解析：(1)所有的向量如图所示．
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值，为＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值，为＝.
∴||的最大值为，最小值为.
探究三 相等向量与共线向量
[典例3] 如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与的模相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
[解析] (1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有：，，，，，，.
(2)与的模相等的向量有：，，，，.
(3)与相等的向量有：，.
向量相等的辨别方法：
判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．
3.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则||＝________.
解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量相等的向量有，.
(2)因为||＝3，＝2，所以||＝6.
答案：(1)， (2)6
对向量的有关概念理解不准致误
[典例] 给出下列几种说法：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|≠|b|，则a≠b；
③若＝，则ABCD是平行四边形；
④平行四边形ABCD中，一定有＝；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确的有________(填所有正确说法的序号)．
[解析] ①错误．两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同．
②正确．
③错误．若＝，则A，B，C，D四个点有可能在同一条直线上．所以ABCD不一定是平行四边形．
④正确．平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC且有向线段与方向相同，所以＝.
⑤错误．若a∥b，b∥c，b＝0，则a与c不一定平行．
[答案] ②④
[错因与防范] (1)本题发生的错误是对向量的有关概念理解不正确或将向量与有向线段混淆，会对①④判断错误；混淆向量平行和直线平行，会导致对③④判断错误；忽视零向量与任意向量平行，会导致对⑤判断失误．
(2)解答向量的有关问题时，要紧扣向量的定义，从向量的大小和方向两个角度分析问题．共线向量和平行向量是同一概念，都是指方向相同或相反的向量．理解时要注意与平面几何中的“共线”“平行”的区别．要特别注意零向量与任意向量平行，忽视这一点就会出现错误．
PAGE2 从位移的合成到向量的加法
2．1 向量的加法
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解向量加法的法则及其几何意义．2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．
重点：1.向量的加法法则．2.向量的加法的几何意义．难点：向量的加法法则的应用及对几何意义的理解.
授课提示：对应学生用书第36页
[自主梳理]
向量加法
[双基自测]
1．对任意四边形ABCD，下列式子中不等于的是( )
A.＋
B.＋＋
C.＋＋
D.＋＋
答案：C
2．化简下列各式：
①＋＋；②(＋)＋＋；
③＋＋＋；④＋＋＋.
其中结果为0的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由向量加法的运算法则①④的结果为0.
答案：B
3.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝( )
A.
B.
C.
D.
答案：B
授课提示：对应学生用书第36页
探究一 向量的加法法则应用
[典例1] 若正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c.
(1)试作出向量a＋b＋c，并求出其模的大小；
(2)试作出向量＋＋，并求出其模的大小．
[解析] (1)根据平行四边形法则可知，
a＋b＝＋＝.
延长AC，在AC的延长线上作＝，
则a＋b＋c＝＋＝＋＝(如图所示)．
∴|a＋b＋c|＝||＝2＝2.
(2)如图所示，＋＝，延长BC至E，使CE＝BC，连接DE，由于＝＝，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴＝，∴＋＋＝＋＝＋＝，
∴|＋＋|＝||＝2.
(1)根据向量加法的三角形法则，必须平移向量使之首尾相连，那么起点与终点所确定的向量就是两个向量的和向量，推广到向量加法的多边形法则仍然适用．
(2)向量加法的平行四边形法则，必须平移向量使之共起点，以这两个向量为邻边作平行四边形，那么共起点的对角线表示的向量为两个向量的和向量．
1．已知向量a，b，c，如图，求作a＋b＋c.
解析：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，如图所示，则由向量加法的三角形法则，得＝a＋b，＝a＋b＋c.
探究二 向量的加法运算
[典例2] 设A，B，C，D是平面上的任意四点，试化简：
(1)＋＋；
(2)＋＋＋.
[解析] 根据向量的加法法则，得
(1)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝0＋0＝0.
向量加法运算口诀：
加法口诀：首尾相接，箭头从始点指向最后一个终点．
2.向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列问题：
(1)用a，d，e表示；
(2)用b，c表示；
(3)用a，b，e表示；
(4)用d，c表示.
解析：(1)＝＋＋＝a＋d＋e；
(2)＝＋＝－b－c；
(3)＝＋＋＝e＋a＋b；
(4)＝＋＝－c－d.
探究三 向量加法的应用
[典例3] 在长江某渡口上，江水以2
km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为2km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向．
[解析] 要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2，
依题意作出平行四边形，如图．
在Rt△ABC中，||＝|v1|＝2.
||＝|v2|＝2，
∴||＝|v|＝
＝＝4.
tan
θ＝＝＝.
∴θ＝60°.∴渡船实际航行的速度大小为4
km/h，方向为东偏北60°.
求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转化为数学问题求解．本题实际是向量在物理上的一个简单应用．先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判断ABCD为矩形．因此可以转化为解直角三角形的问题．
3．雨滴在下落一定时间后是匀速运动的，无风时雨滴下落的速度为2
m/s，现有东风且风速为2
m/s，那么雨滴将以多大的速度着地？这个速度的方向怎样？
解析：如图，表示无风时雨滴的下落速度，表示东风的风速．
由平行四边形法则，知有东风时雨滴的下落速度为＝＋.
又||＝2
m/s，||＝||＝2
m/s，
所以||＝＝4(m/s)，∠BCA＝60°.
故雨滴沿向下偏西，与地面成60°角的方向，以
4
m/s的速度着地．
未能正确理解向量加法致误
[典例] 小船以10
km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10
km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h.
[解析] 如图，设船在静水中的速度为|v1|＝10
km/h，河水的流速为|v2|＝10
km/h，小船实际航行速度为v0，则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，得(10)2＋102＝|v0|2，所以|v0|＝20
km/h，即小船实际航行速度的大小为20
km/h.
[答案] 20
[错因与防范] (1)解答本题，易将船的实际速度当成河水的流速与静水速度之和，导致得不到正确的实际航速关系式而出错．
(2)①向量的和一般不能直接用模作和；要注意向量的方向的合成，如本例中用两个速度不能直接作和；
②船在静水中的航行速度，水流的速度，船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方向不共线时不能直接求实际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求速度的大小．
PAGE2．2 向量的减法
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解向量减法的法则及其几何意义．2.能运用法则及其几何意义，正确作出两个向量的差.
重点：1.向量的减法法则．2.向量的减法的几何意义．难点：向量的减法法则的应用及对几何意义的理解.
授课提示：对应学生用书第38页
[自主梳理]
1．相反向量
与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(1)规定：零向量的相反向量仍是零向量；
(2)－(－a)＝a；
(3)a＋(－a)＝－a＋a＝0；
(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.
2．向量的减法
(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫作a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算，叫作向量的减法．
(2)几何意义：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝，如图所示．
(3)文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．
[双基自测]
1．在四边形ABCD中，则－＋＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：－＋＝＋－＝－＝.
答案：D
2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A.
B.
C.
D.
解析：由于D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，所以＝，因此，－＝－＝，故选D.
答案：D
3．下列四个式子中可以化简为的是( )
①＋－；②－；③＋；④－.
A．①④
B．①②
C．②③
D．③④
解析：因为＋－＝－＝＋＝，所以①正确，排除C，D；因为－＝，所以④正确，排除B，故选A.
答案：A
授课提示：对应学生用书第38页
探究一 向量减法的几何作用
[典例1] 如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－b，b－a，－a－b.
[解析] (1)作＝a，＝b，则＝a－b，＝b－a(如图①)．
(2)对于－a－b，有下列两种作法：
作法一：作＝－a，＝b，则＝－a－b(如图②)．
作法二：作＝a，＝b，再以，为邻边作?OACB，则＝－a－b(如图③)．
向量减法的实质是加法的逆运算，利用相反向量的定义就可以把减法化为加法．在用三角形法则进行向量的减法运算时，只要记住：连接两向量终点，箭头指向被减向量即可．
1．作图：
(1)如图①，已知向量a和a＋b，求作b；
(2)如图②，已知向量b和b－a，求作a.
解析：(1)取平面内任一点O，作＝a，＝a＋b，连接AB，则向量＝b为所求(图①)．
(2)在平面内任取一点O，作＝b，以B为终点，再作＝b－a，
连接OA，则＝a为所求(图②)．
探究二 向量减法的运算
[典例2] 化简：(－)－(－)．
[解析] 解法一 (－)－(－)
＝－－＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝0.
解法二 (－)－(－)
＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋＝0.
解法三 设O为平面内任意一点，连接OA，OB，OC，OD，则
(－)－(－B)＝－－＋
＝(－)－(－)－(－)＋(－)
＝－－＋－＋＋－＝0.
向量加减运算主要有两种解法：一是直接利用向量加减运算法则；二是引入点O，将各向量统一用，，，等表示，然后进行化简．
2．对于菱形ABCD，给出下列各式：
①＝；②||＝||；
③|－|＝|＋|；④|＋|＝|－|.
其中正确的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由菱形的性质，可知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以②正确，①错误；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，即③正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C.
答案：C
探究三 向量加减法综合问题
[典例3] 已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
[解析] 解法一 如图所示，＝＋＝a＋
＝a＋(－)
＝a＋c－b.
解法二 ＝＋＋＋
＝＋＋(＋)＝＋＋0.
＝＋(＋)＝a＋(－b＋a)
＝a－b＋c.
(1)关于向量的加法和减法，一种方法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．
(2)用几个向量表示某个向量问题的解题步骤是：第一步，观察向量位置；第二步，寻找(或作)有关的平行四边形或三角形；第三步，利用三角形或平行四边形法则找关系；第四步，化简结果．
3．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b，求证：
(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
证明：(1)如图，在等腰直角三角形ABC中，由M是斜边AB的中点，得||＝||，||＝||.
在△ACM中，＝－＝a－b.
于是由||＝||，得|a－b|＝|a|.
(2)＝＝a－b，
在△MCB中，＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b)．
从而由||＝||，得|a＋(a－b)|＝|b|.
向量加减法的几何意义应用中的误区
[典例] 已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A.＋＋＝0
B.－＋＝0
C.＋－＝0
D.－－＝0
[解析] 因为D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，
所以＝，＝，＝，＝，
所以＋＋＝＋＋＝0，故A成立．
－＋＝＋－＝＋＝≠0，故B不成立，
＋－＝＋＝＋＝≠0，故C不成立．
－－＝－＝＋≠0，故D不成立．
[答案] A
[错因与防范] (1)解答本题的过程中，若忽视利用几何图形的性质和相等向量的定义，则不能推出相等向量，从而导致推导变形无法进行；或因应用向量减法的几何意义时字母顺序出错而导致错误．
(2)解答以几何图形为背景的向量加减运算问题，首先应重视向量知识与平面几何知识的结合，利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量式的变形提供依据．其次，要记准向量减法的几何意义，根据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平移，共起点，两尾连，指被减．
PAGE3 从速度的倍数到数乘向量
3．1 数乘向量
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.掌握数乘向量的运算及其几何意义．2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线的判定定理和性质定理．3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
重点：1.向量数乘的意义及运算律的掌握．2.共线向量定理的应用．难点：利用共线向量定理解决几何图形问题.
授课提示：对应学生用书第40页
[自主梳理]
1．数乘向量
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.
(2)长度：|λa|＝|λ||a|.
(3)方向：|λa|的方向
2．λa的几何意义将表示向量a的有向线段伸长或压缩，当|λ|＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的|λ|倍．
3．数乘向量的运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a；(λ，μ∈R)
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(λ，μ∈R)
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.(λ∈R)
4．向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.
5．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性的运算，对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a＋λμ2b.
[双基自测]
1．4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b
B．a
C．a－6b
D．a－8b
解析：原式＝(4－3)a＋(－4－3－1)b＝a－8b.
答案：D
2．点C是线段AB的中点，则有＝λ，那么λ等于( )
A．0
B．1
C．2
D．－2
答案：C
3．点C在线段AB上，且＝，则＝______，＝______.
解析：∵＝，
∴AC＝AB，BC＝AB，
∴＝，＝－.
答案： －
授课提示：对应学生用书第41页
探究一 向量的线性运算
[典例1] (1)计算下列各式：
①3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)；
②(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．
(2)设x，y是未知向量．
①解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；
②解方程组
[解析] (1)①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7b＋c.
②原式＝a－b－a－b＋a＋b＝a＋b＝0×a＋0×b＝0.
(2)①原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，
即8x＝－5a＋3b，∴x＝－a＋b.
②把第一个方程的左、右两边同乘以－2，然后与第二个方程相加，得y＝－2a＋b，从而y＝－a＋b.
代入原来第二个方程得x＝－a＋b.
∴
向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并，向量字母就看作一般字母来运算．
1．计算：(1)3(6a＋b)－9(a＋b)；
(2)[(3a＋2b)－(a＋b)]－2(a＋b)；
(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
解析：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝(2a＋b)－a－b＝a＋b－a－b＝0.
(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
探究二 向量共线的判定及应用
[典例2] 设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)已知ka＋b和a＋kb共线，试确定实数k.
[解析] (1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线．
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
向量共线相关问题：
1．要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．
2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
2．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)将用e，f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
解析：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，
所以根据数乘向量的定义，知与同向，且||＝2||，
所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
探究三 向量在平面几何中的应用
[典例3] 如图，M、N分别是△ABC边AB、AC上的点，且AM∶MB＝1∶2，AN∶NC＝1∶2.
求证：MN＝BC，且MN∥BC.
[证明] ∵M、N分别是AB、AC上的点，且AM∶MB＝1∶2，AN∶NC＝1∶2，
∴＝，＝，
∴＝－＝(－)＝，
∴MN＝BC且MN∥BC.
向量数乘及向量共线在几何图形中需说明线段平行及相应线段成比例问题．
3.如图所示，已知＝3，＝3，求证：△OAB∽△OA′B′.
证明：∵＝＋＝3＋3＝3，
∴||＝3|OA|，||＝3||，||＝3||，即＝＝＝3，且与，与，与的方向分别相同，∴△OAB∽△OA′B′.
利用向量共线定理解决与共线相关的问题
[典例] (本题满分12分)如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，，，，；
(2)证明：B，E，F三点共线．
[解析] (1)如图所示，延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到四边形ABGC.2分
因为D是BC和AG的中点，
所以四边形ABGC是平行四边形，①
则＝＋＝a＋b，所以＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b).5分
因为F是AC的中点，所以＝＝b.
所以＝－＝(a＋b)－a
②
＝(b－2a).8分
＝－＝b－a＝(b－2a).9分
(2)证明：由(1)可知，＝(b－2a)，＝(b－2a)，③
所以＝，即，是共线向量，又因为它们有公共点B，所以B，E，F三点共线.12分
[规范与警示] (1)由中点联想到平行四边形，作辅助线得①处的结论是解答本题的关键；若在②处不能正确地利用向量的加减法以及已表示出的，则易出现运算错误，导致失分；若未能正确地表示出③处的结论，则无法证得结论，是又一易失分点．
(2)①在向量的加减运算中，需遵循平行四边形法则和三角形法则，在给出的图形中有时需要借助辅助线构造出相应的图形．
②对于常见图形中的基本量，要熟练应用三角形法则或平行四边形法则表示．
③利用向量共线定理可以证明三点共线，也可以求相关的参数的值，其基本的关系就是a＝λb(λ∈R，b≠0)
PAGE3．2 平面向量基本定理
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.了解平面向量基本定理及其意义．2.会用任意一组基底表示指定的向量，能应用平面向量基本定理解决(分析)一些实际问题.
重点：平面向量基本定理的意义及应用．难点：应用平面向量基本定理解决平面几何问题.
授课提示：对应学生用书第43页
[自主梳理]
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．对基底的理解
(1)基底的两个主要特征
①基底是两个不共线的向量；
②基底的选择是不唯一的．
(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
[双基自测]
1．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
解析：只要平面内一对向量不共线，就可以作为该平面向量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确，故选B.
答案：B
2．已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
解析：不共线的两个向量可以作基底．
答案：D
3．已知λ1＞0，λ2＞0，e1，e2是一组基底，且a＝λ1e1＋λ2e2，则a与e1________，a与e2________(填“共线”或“不共线”)．
解析：不妨设a与e1共线，则由a＝λ1e1＋λ2e2知λ2＝0与λ1＞0，λ2＞0矛盾，∴a与e1，e2都不共线．
答案：不共线 不共线
授课提示：对应学生用书第43页
探究一 对基底的理解
[典例1] 如图，设点O是?ABCD两对角线交点，下列向量组：
①与；②与；③与；④与.可作为该平面其他向量基底的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
[解析] ①与不共线；②＝－，
∴∥，即与共线；
③与不共线；④＝－，
∴∥，即与共线．
由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的基底．
[答案] B
两个向量能否作为基底，关键是看它们是否共线．此题中的向量是否共线，主要看它们所在的线段是否在一条直线上或是否平行．
1．已知e1，e2不共线，现有下列几组向量：
①a＝2e1，b＝2e2；
②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
其中a，b可以作基底的序号是________．
解析：不共线的两向量均可做基底．
所以知①④可以，②③共线不可做基底．
答案：①④
探究二 用基底表示向量
[典例2] 如图，△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边，上的点，且＝a，＝b，设与相交于P，用向量a，b表示.
[解析] ＝＋＝＋.
设＝m，＝n，
则＝＋m＝a＋m(b－a)
＝(1－m)a＋m
b，
＝＋n＝b＋n(a－b)
＝(1－n)b＋n
a.
∵a，b不共线，
∴?
∴＝a＋b.
用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时，要仔细观察所给图形，借助于平面几何知识和共线向量定理及平面向量基本定理解决．
2.如图，在△ABC中，已知M为BC边上一点，且满足＝＋，求△ABM与△ABC的面积之比．
解析：∵＝＋，
∴＝(－)＋(－)，
∴＋＝0，
∴＝3，
∴＝＝.
探究三 平面向量基本定理的应用
[典例3] 如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
[解析] (1)如图所示，延长AD到G，使＝2，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，
则＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a)．
(2)证明：由(1)知，＝，∴，共线．
又，有公共点B，
∴B，E，F三点共线．
只要是平面内的两个不共线向量，一定能作为一组基底，把向量用基底进行表示，证明三点共线问题转化为证明有公共点的两个向量共线解决．
3.如图，在△ABO中，＝，＝，AD与BC交于点M，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示.
(2)在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M.设＝p，＝q.求证：＋＝1.
解析：(1)因为B，M，C三点共线，
所以存在实数m，使得＝m＋(1－m)＝m·＋(1－m)＝ma＋(1－m)b.
又A，M，D三点共线，
所以存在实数n，使得＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.
由于a，b不共线，所以，
解得，
故＝a＋b.
(2)证明：因为E，M，F三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ)＝λpa＋(1－λ)qb.
结合(1)，易得，
消去λ，得＋＝1.
对平面向量基本定理理解不准确致误
[典例] 如图，在△ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC.AM与BN相交于点P，则AP∶PM＝( )
A．1∶4
B．4∶1
C．4∶5
D．5∶4
[解析] 设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.因为A，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ，使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μBN＝2μe1＋μe2.
故＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，
而＝＋＝2e1＋3e2，
由平面向量基本定理，得解得
所以＝，所以AP∶PM＝4∶1.
[答案] B
[错因与防范] (1)解答本题，常常因为对平面向量基本定理理解不准确，而导致不能正确地表示出，进而得出AP∶PM的错误结果．
(2)为避免可能出现上述错误，应注意以下两点：
①充分挖掘题目中的有利条件，利用等量关系列出方程(组)，如本例中由AM与BN相交，得到相应三点共线，即A，P，M与B，P，N分别共线．由共线定理得两个方程，然后求解．
②用基底表示向量也是用向量解决问题的基础．应根据条件灵活应用，通常以与待求向量密切相关的两个不共线向量作为基底．
PAGE4 平面向量的坐标
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．2.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
重点：1.平面向量坐标的定义及坐标表示．2.平面向量坐标表示的向量运算．难点：向量与坐标关系的理解.
授课提示：对应学生用书第45页
[自主梳理]
1．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，如图，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作＝a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得＝x
i＋yj，因此a＝x
i＋yj.
我们把实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)．
2．平面向量线性运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
类别
坐标运算
语言表述
向量的加法坐标表示
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差
向量的减法坐标表示
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
实数与向量积坐标表示
λa＝(λx1，λy1)
实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积
有向线段的坐标表示
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)
一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标
3.向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有x1y2－x2y1＝0.
(2)当a∥b且b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0时，有＝.即若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．
[双基自测]
1．给出下列说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误，易知①②④正确，故选C.
答案：C
2．若向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则向量2b＋a的坐标是( )
A．(3，－4)
B．(－3,4)
C．(3,0)
D．(－3，－4)
解析：2b＋a＝2(0，－1)＋(3,2)＝(0＋3，－2＋2)＝(3,0)．
答案：C
3．已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)且a∥b，则x等于________．
解析：∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.
答案：6
授课提示：对应学生用书第45页
探究一 平面向量的坐标运算
[典例1] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标．
[解析] a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；
a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；
3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．
1．向量的坐标运算主要是用加、减、数乘运算法则进行．
2．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．
1．已知点A(－1,2)，B(2,8)及＝，＝－.求点C，D和的坐标．
解析：∵A(－1,2)，B(2,8)，∴＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)，
＝＝(1,2)，＝－＝＝(1,2)．
则＝＋＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)，
＝＋＝－＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)．
∴C，D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
探究二 平面向量线性运算的坐标表示
[典例2] (1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，则＝________，＝________，＋＝________，－＝________，2＋＝________.
(2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(2，－3)，c＝(－3，－2)，则a－2b＝________，(2a－b)－(b－2c)＝________.
[解析] (1)因为A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)．
所以＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；
＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；
＋＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)；
－＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；
2＋＝2(3，－1)＋(－3,2)
＝(6，－2)＋＝.
(2)由a＝(－1,2)，b＝(2，－3)，c＝(－3，－2)，
得a－2b＝(－1,2)－2(2，－3)
＝(－1－4,2＋6)＝(－5,8)．
(2a－b)－(b－2c)＝2a－2b＋2c＝2(a－b＋c)
＝2(－1－2－3,2＋3－2)＝2(－6,3)＝(－12,6)．
[答案] (1)(3，－1) (－3,2) (0,1) (6，－3) (2)(－5,8) (－12,6)
(1)向量线性运算的坐标表示，实际上是相应坐标对应实数的加、减、乘运算．要注意三角形法则及平行四边形法则的应用．熟练掌握公式是解题的关键．
(2)若已知向量用坐标表示，则计算向量的结果仍用坐标表示．
2．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求点M，N的坐标及的坐标．
解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，
∴解得
(3)∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．
∴＝(9，－18)．
探究三 向量共线的坐标运算
[典例3] 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[解析] ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．
即(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以解得k＝λ＝－.
当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
因为λ＝－<0，所以ka＋b与a－3b反向．
两平面向量共线的条件有以下两种形式：
①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b(a≠0)的条件是x1y2－x2y1＝0；
②若a∥b(a≠0)，则b＝λa(λ为实数)．
3．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4,1)．
(1)若＝，求D点的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若向量ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
解析：(1)设D(x，y)．
因为＝，所以(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4,1)，
化为(1，－5)＝(x－4，y－1)，
所以解得
所以D(5，－4)．
(2)因为a＝＝(1，－5)，b＝＝(4,1)－(2，－2)＝(2,3)，
所以ka－b＝k(1，－5)－(2,3)＝(k－2，－5k－3)，
a＋3b＝(1，－5)＋3(2,3)＝(7,4)．
因为向量ka－b与a＋3b平行，
所以7(－5k－3)－4(k－2)＝0，解得k＝－.
向量共线的应用
[典例] (本题满分12分)在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0，5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
[解析] 设点C坐标为(xC，yC)，
因为点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，
所以＝(0,5)，＝(4,3)．
因为＝(xC，yC)＝＝，
所以点C.
同理点D.①2分
设点M的坐标为(x，y)，
则＝(x，y－5)而＝，
因为A，M，D三点共线，所以与共线．②
所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.③6分
而＝，＝＝，
因为C，M，B三点共线，所以与共线．②
所以x－4＝0，即7x－16y＝－20.③10分
解得
所以点M的坐标为.12分
[规范与警示] (1)在①处根据条件正确地得到两点坐标是成功解题的关键，也可能因解不出造成失分．在②处正确地运用了AD与BC交于点M的条件，否则无法继续求解造成失分．在③处正确地运用了向量共线的性质定理得到向量共线的坐标表示，否则将功败垂成．
(2)①解题时，准确地计算有关向量的坐标是正确答题的前提，如本例，只有正确地求出相应向量的坐标，才能顺利地完成解题；
②解题时，两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键，如本例，对两向量共线的坐标运算掌握不熟练将造成本题错解；
③在求点或向量的坐标时要注意方程思想的应用，如本例，充分应用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据，是解题的保证．
PAGE5 从力做的功到向量的数量积
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系．3.能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.
重点：1.平面向量数量积的含义与物理意义．2.数量积的性质及应用．难点：平面向量数量积中向量射影的理解.
授课提示：对应学生用书第47页
[自主梳理]
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图所示，作＝a，＝b，∠AOB＝θ
叫作向量a与b的夹角．
(2)范围：0°≤θ≤180°.
(3)当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
(4)规定零向量可与任一向量垂直．
2．射影
向量a在b方向上的射影为|a|cos
θ，向量b在a方向上的射影为|b|cos
θ.
3．向量的数量积
(1)定义：
已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把|a||b|cos
θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|·cos
θ.
(2)几何意义：
a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos
θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos
θ的乘积．
(3)性质：设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．
①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos
θ.
②若a⊥b，则a·b＝0；反之，若a·b＝0，则a⊥b.通常记作a⊥b?a·b＝0.
③|a|＝.
④cos
θ＝(|a||b|≠0)
⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|.
(4)运算律：
①a·b＝b·a(交换律)；
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)
[双基自测]
1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b等于( )
A．－3
B．－6
C．6
D．12
解析：a·b＝3×4×cos
135°＝3×4×(－)＝－6.
答案：B
2．已知向量a，b满足a·b＝2，|a|＝1，|b|＝4，则向量a、b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
解析：＝＝，∴a，b的夹角为.
答案：C
3．已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b方向上的射影是________．
解析：|a|cos
60°＝4×＝2.
答案：2
授课提示：对应学生用书第48页
探究一 向量数量积的运算
[典例1] 已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b，a·(a＋b)．
[解析] ①当a∥b时，若a与b同向，
则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos
0°＝3×6×1＝18，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27.
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos
180°＝3×6×(－1)＝－18，
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9－18＝－9.
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
∴a·b＝0，a·(a＋b)＝a2＝9.
③当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cos
60°＝3×6×＝9.
a·(a＋b)＝a2＋a·b＝18.
数量积运算时，一是要找准两向量的夹角，二是注意向量数量积的运算律的应用．
1．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，求：
(1)(a－b)2；
(2)a2－b2；
(3)a·a＋a·b；
(4)(3a－2b)·(a－2b)．
解析：a·b＝|a||b|cos
60°＝1×1×＝，
(1)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋1＝1.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝1－1＝0.
(3)a·a＋a·b＝|a|2＋a·b＝1＋＝.
(4)(3a－2b)(a－2b)＝3a2－8a·b＋4b2
＝3|a|2－8a·b＋4|b|2
＝3×1－8×＋4×1＝3.
探究二 向量模的问题
[典例2] 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)|a＋b|；
(2)|3a－4b|.
[解析] a·b＝|a||b|cos
θ＝4×2×cos
120°＝－4.
(1)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－4)＋22＝12，
∴|a＋b|＝2.
(2)∵|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
∴|3a－4b|＝4.
求满足条件的a的长度|a|时，通常利用|a|＝ ＝ 转化为求a2.
2．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a＋2b|.
解析：因为a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝25，
a·b＝|a||b|cos
θ＝5×5×cos
＝，
所以|a＋b|＝＝＝＝5.
|a＋2b|＝
＝＝
＝＝5.
探究三 向量的夹角与垂直
[典例3] 已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？
[解析] (1)∵a＋b＋c＝0，
∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|.
∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2.
∴a·b＝＝＝＝.
又∵a·b＝|a||b|cos
θ，∴＝3×5×cos
θ.
∵cos
θ＝，θ＝60°.
(2)∵(μ
a＋b)⊥(a－2b)，
∴(μa＋b)·(a－2b)＝0.
∴μ
a2－2b2－2μ
a·b＋a·b＝0.
∴9μ－2×25－2μ×＋＝0.∴μ＝－.
∴存在μ＝－，使得μ
a＋b与a－2b垂直．
1．求向量a，b的夹角θ有两步：第一步，利用公式cos
θ＝求cos
θ；第二步，根据θ∈[0，π]确定θ.而求cos
θ有两种情形，一种是求出a·b，|a|，|b|的值；另一种是得到a·b，|a|，|b|之间的关系分别代入公式计算．
2．两向量垂直?a·b＝0，即把垂直关系转化为数量积的运算问题解决．
3．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°.
(1)求|a＋b|的值；
(2)当实数x为何值时，xa－b与a＋3b垂直？
解析：(1)由已知得a·b＝|a|·|b|cos
60°＝3，
所以|a＋b|＝＝＝.
(2)因为xa－b与a＋3b垂直，
所以(xa－b)·(a＋3b)＝0，
即xa2＋(3x－1)a·b－3b2＝13x－30＝0，
所以x＝.
因数量积转化不等价致误
[典例] 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
[解析] 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
即2te＋2t2e1·e2＋7e1·e2＋7te<0，
因为|e1|＝2，|e2|＝1，且e1与e2的夹角为，
化简即得：2t2＋15t＋7<0，解得－7当夹角为π时，2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
可求得所以
所以所求实数t的范围是
∪.
[答案] ∪
[错因与防范] (1)解答本题常会出现错误的答案为.原因是不理解数量积的符号与向量夹角的关系，不等式“(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0”与“向量夹角为钝角”并不等价，其中还包含了共线且反向的情况．
(2)注意问题转换的等价性
数量积的符号同向量夹角的关系如下：对于非零向量a和b及其夹角θ，①a·b＝0?a⊥b；②a·b>0?θ为锐角或零角；③a·b<0?θ为钝角或平角．如本例应排除向量2te1＋7e2与e1＋te2共线且反向的特殊情形后才等价．
PAGE6 平面向量数量积的坐标表示
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积，向量的模及两个向量的夹角．2.能运用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．3.了解直线的方向向量的概念.
重点：应用向量数量积的坐标形式求夹角、模等有关问题．难点：数量积的准确计算及综合应用.
授课提示：对应学生用书第50页
[自主梳理]
1．平面向量数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
2．两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0_.
3．平面向量的模
(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
4．向量的夹角公式
设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos
θ＝＝.
5．直线的方向向量
由解析几何知，给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．
[双基自测]
1．若向量a＝(4,2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是( )
A．12
B．3
C．－3
D．－12
答案：D
2．设向量a＝(－1，2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a·b＝( )
A．－
B．－
C.
D.
答案：D
3．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________.
解析：|a|＝＝5，∴x2＝16，∴x＝±4.
答案：±4
授课提示：对应学生用书第50页
探究一 平面向量数量积的坐标运算
[典例1] 已知向量a＝(，－1)和b＝(1，)，若a·c＝b·c，试求模为的向量c的坐标．
[解析] 设c＝(x，y)，
则a·c＝(，－1)·(x，y)＝x－y，
b·c＝(1，)·(x，y)＝x＋y，
由a·c＝b·c及|c|＝，得
解得或
所以c＝(，)或c＝(－，－)．
涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想．值得注意的是，对于一些向量数量积坐标运算的问题，有时考虑其几何意义可使问题快速获解．
1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.
解析：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)，
∴a＝λb＝(λ，2λ)．
又∵a·b＝10，
∴1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2＞0.
∵λ＝2符合a与b同向条件，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，
∴(b·c)·a＝0·a＝0.
探究二 向量的模
[典例2] 设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
(1)求a－2b的坐标和模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
[解析] (1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
|a－2b|＝＝.
(2)a·b＝x1x2＋y1y2＝－6＋5＝－1，所以c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝＝.
求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法：
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
2．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线？
(2)ka－b的模等于？
解析：∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，
ka－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．
a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
(1)∵ka－b与a＋b共线．
∴k＋2－(－k)＝0，∴k＝－1.
(2)(ka－b)＝?＝，
化简，得k2＋2k－3＝0，解得k＝1或－3，
即当k＝1或－3时，ka－b的模等于.
探究三 向量的夹角与垂直
[典例3] 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
[解析] 设a与b的夹角为θ，
a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos
θ＝0，
所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，
所以cos
θ＜0且cos
θ≠－1，
所以a·b＜0，且a与b不反向．
由a·b＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为.
(3)因为a与b的夹角为锐角，
所以cos
θ＞0，且cos
θ≠1，
所以a·b＞0且a，b不同向．
由a·b＞0，得λ＞－，由a与b同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为∪(2，＋∞)．
1．向量数量积的坐标表示，可把向量的夹角问题转化为向量坐标的计算问题．但要注意a·b＞0(＜0)与夹角为锐(钝)角不是等价关系．
2．利用公式：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0来判断两向量垂直，使向量问题代数化，判断方法简捷、明了．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C三点的坐标分别为A(2，－1)，B(3,5)，C(m,3)．
(1)若⊥，求实数m的值；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m的取值范围．
解析：(1)由题意，有＝(1,6)，＝(m－2,4)，
由⊥，得·＝0，
即(m－2)×1＋4×6＝0，
解得m＝－22.
(2)若A，B，C三点能构成三角形，则A，B，C三点不共线，
即与不平行，
故1×4－6(m－2)≠0，解得m≠，即实数m的取值范围是(－∞，)∪(，＋∞)．
与数量积的坐标运算相关的综合问题的解法
[典例] (本题满分12分)已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．
(1)求使·取到最小值时的；
(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
[解析] (1)因为点C是直线OP上一点，所以向量与共线①，2分
设＝t，则＝(2t，t)．
＝－＝(1－2t,7－t)，
＝－＝(5－2t,1－t)，②4分
·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，6分
当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2).
…8分
(2)当＝(4,2)时，
＝(－3,5)，＝(1，－1)，
所以||＝，||＝，·＝－8，
所以cos∠ACB＝＝－.12分
[规范与警示] (1)在①处，由向量与共线建立关系式＝t，是正确解答本题的关键，易因想不到此关系造成失分．在②处，利用向量的线性运算得到，的坐标，是正确建立数量积“·”的函数关系的关键，也是失分点．
(2)①注意隐含条件的挖掘
对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件，如本例中“C是直线OP上的一点”隐含着“向量与共线”．
②注意函数思想在解决最值中的应用
涉及求解最值的问题，常常先通过题设建立函数关系式，在此基础上，借助函数知识求解，如本例第(1)问．
PAGE7 向量应用举例
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.了解直线法向量的概念．2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．
3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.
重点：向量方法在几何、物理中的应用．难点：1.法向量的理解．2.平面向量在应用中如何灵活选择表达方式.
授课提示：对应学生用书第52页
[自主梳理]
1．直线的法向量
(1)直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的一个方向向量是(b，－a)，它的一个法向量是(a，b)．
(2)直线l：y＝kx＋b的一个方向向量是(1，k)，它的一个法向量是(k，－1)．
所以，一条直线的法向量有无数个，它们都是共线向量．
2．点到直线的距离公式
设点M(x0，y0)为平面内任一点，则点M到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的距离d＝.
3．两平行线间距离
直线l1：ax＋by＋c1＝0与直线l2：ax＋by＋c2＝0(a2＋b2≠0且c1≠c2)的距离d＝.
[双基自测]
1．直线2x－y－1＝0的法向量是( )
A．(2，－1)
B．(2,1)
C．(－1,2)
D．(1,2)
解析：由法向量的定义知A＝2，B＝－1，
∴一个法向量为(A，B)＝(2，－1)．
答案：A
2．在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝________.
解析：如图所示，＝(0,1)，＝(－1,1)，·＝(0,1)·(－1,1)＝1.
答案：1
3．点P(1,0)到直线y＝3x＋2的距离d＝________.
解析：直线为3x－y＋2＝0，
点P(1,0)到该直线的距离d＝＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第52页
探究一 向量在解析几何中的应用
[典例1] 已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且＝2，求点N的轨迹方程．
[解析] 设M(x0，y0)，N(x，y)，
则＝(1－x0,1－y0)，＝(x－1，y－1)，
由＝2，得
∴
又点M在已知圆C上，即(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，
∴(－2x＋3－3)2＋(－2y＋3－3)2＝4，即x2＋y2＝1.
∴适合题意的点的轨迹方程为x2＋y2＝1.
在用向量法解决与解析几何有关的问题时，要注意正确写出点的坐标，并由已知条件转化为向量坐标，同时在求相关轨迹方程时，要判断是否每个点都符合题意．
1．已知点P(0，－3)，点A在x轴上，点Q在y轴的正半轴上，点M满足·＝0，＝－，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
解析：设M(x，y)，A(a,0)，Q(0，b)(b＞0)，
则＝(a,3)，＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)．
由·＝0，得a(x－a)＋3y＝0.①
由＝－，得(x－a，y)＝－(－x，b－y)＝(x，(y－b))，
∴，∴.
把a＝－代入①，得－(x＋)＋3y＝0，整理得y＝x2(x≠0)．
∴动点M的轨迹方程为y＝x2(x≠0)．
探究二 向量在平面几何中的应用
[典例2] 已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)＝(－1,2)，
＝(－2，－1)．
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(2,1)，
∵∥，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，则∥，得y＝－2x＋4，
由得∴点P坐标为.
∴||＝ ＝2＝||，即AP＝AB.
利用向量证明几何问题有两种途径：
(1)基向量法：通常先选取一组基底(模及两者之间的夹角已知的向量)，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律运算，最后把运算结果还原为几何关系．
(2)坐标法：利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系，实现向量的坐标化．
2．已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F.求AF的长度(用m，n表示)．
解析：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，m)，B(n,0)．
(1)∵D为AB的中点，
∴D(，)，
∴||＝，
||＝.
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E(，)．
设F(x,0)，则＝(，－m)，＝(x，－m)．
∵A、E、F共线，
∴＝λ，即(x，－m)＝λ(，－m)，
∴
即x＝，即F(，0)，
∴＝(，－m)．∴||＝
.
探究三 向量在物理中的应用
[典例3] 在日常生活中，有时要用两根同样长的绳子挂一个物体，如图所示，如果绳子能承受的最大拉力为F，物体受到的重力为G，两绳子之间的夹角为θ(θ∈[0，π))．
(1)求绳子受到的拉力F1；
(2)当θ逐渐增大时，|F1|的大小怎样变化，为什么？
(3)θ为何值时，|F1|最小？
(4)已知|F|＝500
N，|G|＝500
N，为使绳子不会断，试求θ的取值范围？
[解析] (1)由题意，得|F1|cos
＋|F2|·cos
＝|G|，且|F1|＝|F2|，
所以|F1|＝.
(2)由θ∈[0，π)，得∈[0，)，cos
∈(0,1]，
当θ逐渐增大时，cos
逐渐减小，则逐渐增大，即|F1|增大，
所以当角度θ增大时，|F1|也增大．
(3)由(2)，知当θ最小时，|F1|最小，
故当θ＝0时，|F1|最小，且最小值为|F1|＝.
(4)因为|F1|＝≤|F|，所以cos
≥＝＝.
又由∈[0，)，得∈[0，]，故θ∈[0，]．
1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．
2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．
3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
3.如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500
m，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v1|＝10
km/h，水流速度的大小为|v2|＝4
km/h，设v1和v2的夹角为θ(0°＜θ＜180°)．
(1)当cos
θ多大时，船能垂直到达对岸？
(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
解析：(1)船垂直到达对岸，即v＝v1＋v2与v2垂直，即(v1＋v2)·v2＝0.
所以v1·v2＋v＝0，即|v1||v2|cos
θ＋|v2|2＝0.
所以40
cos
θ＋16＝0，解得cos
θ＝－.
(2)设船航行到对岸所需的时间为t，
则t＝＝＝.
故当θ＝90°时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最短．
向量在几何应用中的误区
[典例] 在△ABC中，已知向量与满足·＝0且＝，则△ABC的形状为________．
[解析] 因为向量，分别表示与向量，同向的单位向量，所以以，为邻边的平行四边形是菱形．
根据平行四边形法则作＝＋(如图所示)，则AD是∠BAC的平分线．
因为非零向量满足
·＝0，
所以∠BAC的平分线AD垂直于BC，所以AB＝AC，又cos∠BAC＝＝，且∠BAC∈(0，π)，
所以∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．
[答案] 等边三角形
[错因与防范] (1)解答本题常会给出错误的答案为“直角三角形”，原因在于未能正确分析挖掘题设中的条件，直接根据数量积为零，就判断△ABC为直角三角形．
(2)为杜绝上述可能发生的错误，应该：
①注意知识的积累
向量线性运算和数量积的几何意义是解决向量问题的依据，如本例中，的含义，邻边相等的平行四边形是菱形，菱形的对角线平分对角．
②树立数形结合意识
推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导，回答应力求准确，如本例求解时，以图形辅助解题，较为形象直观．
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