1 周期现象
2 角的概念与推广
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.了解周期现象在现实中是广泛存在的．2.理解任意角的概念．3.掌握终边相同的角的表示．4.了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示.
重点：1.对任意角概念的理解，正角、负角和零角的判断．2.终边相同角的表示方法，判断角所在的象限．难点：终边相同角的表示方法，判断角所在的象限.
授课提示：对应学生用书第1页
[自主梳理]
1．周期现象
我们把以相同间隔重复出现的现象叫作周期现象．
2．角的有关概念
3．角的分类
(1)按旋转方向分
(2)按角终边的位置分
4．终边相同的角的表示
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．
[双基自测]
1．下列变化中不是周期现象的是( )
A．一年四季的交替
B．钟表的分针每小时转一圈
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某同学每天上学的时间
答案：D
2．角α的终边经过点M(0，－3)，则α( )
A．是第三象限角
B．是第四象限角
C．既是第三象限角又是第四象限角
D．不属于任何象限
解析：当角α的终边在坐标轴上时，这个角不属于任何象限．点M(0，－3)在y轴上，故选D.
答案：D
3．钟表时针走过1小时20分，则分针转过的角度是________．
解析：时针走1小时，分针转1圈，为－360°，－360°＋×(－360°)＝－360°－120°＝－480°.
答案：－480°
授课提示：对应学生用书第2页
探究一 周期现象的判断
[典例1] 今天是星期三，那么7天后的那一天是星期几？7k(k∈Z)天后的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？
[解析] 每个星期从星期一到星期日，每7天重复一次，是具有周期现象的，因此今天是星期三，那么7天后的那一天是星期三，7k(k∈Z)天后的那一天是星期三，100天是14个星期零2天，因此100天后的那一天是星期五．
解决此类问题，关键是抓住该现象每隔相同时间就重复出现．
1．如图所示是某人的心电图，根据这个心电图，请你判断其心脏跳动是否正常．
解析：观察图像可知，此人的心电图是周期性变化的．因此心脏跳动正常．
探究二 终边相同的角与象限角
[典例2] 在0°到360°之间，找出与下列各角终边相同的角α，并指出它们分别为第几象限角．
(1)－1
154°18′；(2)2
428°
[解析] (1)∵－1
154°18′÷360°＝－4余285°42′，
∴－1
154°18′＝－4×360°＋285°42′，
相应α＝285°42′，从而－1
154°18′为第四象限角．
(2)∵2
428°÷360°＝6余268°，
∴2
428°＝6×360°＋268°，
相应α＝268°，从而2
428°为第三象限角．
终边相同的角相差360°的整数倍．判定一个角是第几象限角，只要找与它终边相同且在0°～360°范围内的角，这个角所在象限即为所求．
2．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是( )
A．重合
B．关于原点对称
C．关于x轴对称
D．关于y轴对称
解析：由α＝n·360°＋θ，n∈Z可知α与θ是终边相同的角，由β＝m·360°－θ，m∈Z可知β与－θ是终边相同的角．因为θ与－θ两角终边关于x轴对称，所以α与β两角终边关于x轴对称．
答案：C
探究三 区域角的表示
[典例3] 如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
[解析] (1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
则终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)同理，得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，
故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
区间角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：
(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
(3)起始、终止边界对应角，α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．
3．(1)已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.
(2)已知集合A＝{α|30°＋k×180°<α<90°＋k×180°，k∈Z}，B＝{β|－45°＋k×360°<β<45°＋k×360°，k∈Z}．
①试在平面直角坐标系内画出集合A和B中的角的终边所在的区域；
②求A∩B.
解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°＜α＜150°或210°＜α＜330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．
答案：{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}
(2)①如图所示：
集合A中的角的终边在阴影(Ⅰ)内，集合B中的角的终边在阴影(Ⅱ)内．
②集合A∩B中的角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内，
所以A∩B＝{γ|30°＋k×360°<γ<45°＋k×360°，k∈Z}．
因未能正确理解象限角出错
[典例] 已知α是第三象限角，则是第几象限角？
[解析] 因为α是第三象限角，
所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，
所以60°＋k·120°<<90°＋k·120°(k∈Z)．
当k＝3n(n∈Z)时，
60°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)，所以是第一象限的角；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<<210°＋n·360°(n∈Z)，所以是第三象限的角；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，300°＋n·360°<<330°＋n·360°(n∈Z)，所以是第四象限的角．
所以是第一、三、四象限的角．
[错因与防范] (1)仅以180°<α<270°表示第三象限角是出错的主要原因，
(2)分类讨论：已知角α所在的象限，要求(n∈N＋)所在的象限，应把角α写成k·360°＋β<α(3)几何法(八卦图法)
几何法判定，，…，角的终边所在象限的具体步骤如下：
先将直角坐标系各象限平均分成n份，再从x轴上方起逆时针依次将各区域标1,2,3,4,1,2,3,4，…，直至填充所有区域，最后由α原来是第几象限角对应的标号所在象限，即为终边所在象限．
PAGE3 弧度制
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.了解角的另外一种度量方法——弧度制．2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.
重点：弧度与角度的换算，弧度制下的弧长公式．难点：用弧度解决有关问题.
授课提示：对应学生用书第4页
[自主梳理]
1．角的度量单位
角的度量
角度制
弧度制
规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角称为角度制
在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角．它的单位符号为rad，读作弧度
换算
360°
2π
rad
180°
π
rad
()°≈57.30°＝57°18′
1
rad
1°
rad≈0.017
45rad
2.弧度数的计算
3．一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
弧度
0
度
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
π
π
π
π
π
2π
4．扇形弧长公式及面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
度量单位类别
α为角度制
α为弧度制
扇形的弧长
l＝
l＝|α|r
扇形的面积
S＝
S＝lr＝|α|r2
[双基自测]
1．下列说法正确的是( )
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
解析：对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．
答案：A
2.π弧度化为角度是( )
A．235°
B．150°
C．135°
D．60°
解析：∵π
rad＝180°，∴π＝×180°＝150°.
答案：B
3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4
cm，则这个圆心角所在的扇形面积为________cm2.
解析：根据面积公式S＝lr，可得S＝×4×＝4
cm2.
答案：4
授课提示：对应学生用书第5页
探究一 角度、弧度的互化
[典例1] 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；
(2)将β1、β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角．
[解析] (1)∵180°＝π
rad，
∴－570°＝－570×＝－.
∴α1＝－＝－2×2π＋.同理，α2＝2×2π＋.
∴α1在第二象限，α2在第一象限．
(2)∵β1＝＝×()°＝108°，
设θ＝k·360°＋β1(k∈Z)．由－720°≤θ＜0°，
∴－720°≤k·360°＋108°＜0°.
∴k＝－2或k＝－1.
∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.
同理，β2＝－420°＝－360°－60°，且在－720°～0°间与β2有相同的终边的角是－60°.
1．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝rad化为弧度即可．
2．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式．如无特殊要求，不必把π写成小数．
1．将下列角度与弧度进行互化：
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－π.
解析：(1)20°＝20×
rad＝
rad.
(2)－15°＝－15×
rad＝－
rad.
(3)π
rad＝
π×＝105°.
(4)－
π
rad＝－
π×°＝－396°.
探究二 用弧度表示终边相同的角
[典例2] 把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1
500°；(2)；(3)－4.
[解析] (1)∵－1
500°＝－1
800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1
500°可化成－10π＋，是第四象限角．
(2)∵＝2π＋，∴与终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，<2π－4<π.
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
(1)无论用角度制还是用弧度制来度量角，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应．
(2)用弧度制表示终边相同角α＋2kπ(k∈Z)时，注意2kπ是π的偶数倍，而不是π的奇数倍．
2．(1)把－1
480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
解析：(1)∵－1
480°＝－＝－10π＋，又0<π<2π，
∴－1
480°＝π＋2×(－5)π.
(2)∵β与α终边相同，∴β＝α＋2kπ＝π＋2kπ(k∈Z)．又β∈[－4π，0]，
∴β1＝π－2π＝－π，β2＝π－4π＝－π.
∴β＝－π或β＝－π.
探究三 弧长与扇形面积公式的应用
[典例3] 已知一扇形的周长为8，当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面积．
[解析] 设扇形的面积为S，弧长为l，半径为r，圆心角为α，则l＋2r＝8，l＝8－2r，
所以S＝lr＝r(8－2r)＝－r2＋4r，
则当r＝2时，扇形面积S取最大值4，
此时l＝8－2r＝4，
所以|r|＝＝2，
即当扇形的半径为2，圆心角为2弧度时，扇形的面积最大，最大为4.
涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算时，应先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
3．一个扇形OAB的面积是1
cm2，它的周长是4
cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解析：设圆的半径为r
cm，弧长为l
cm，圆心角为α(0＜α＜2π)，
则解得
∴圆心角α＝＝2
rad.
如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠AOH＝1
rad.
∴AH＝1·sin
1＝sin
1(cm)，∴AB＝2sin
1(cm)．
函数思想的运用
[典例] 已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求出这个最大值．
[解析] 设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.
由已知，得2r＋l＝a，即l＝a－2r.
所以S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r＝－2＋.
因为r>0，l＝a－2r>0，所以0所以当r＝时，Smax＝.
此时，l＝a－2·＝，所以|α|＝＝2.
故当扇形的圆心角为2
rad时，扇形的面积取得最大值.
[感悟提高] 分析题目所给的有关信息，以扇形的有关知识为载体，选择函数为模型，将实际问题转化为求函数的最值问题．运用二次函数求最值，可更快地解决问题．
PAGE4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
4．1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4．2 单位圆与周期性
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.了解单位圆的概念．2.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义．3.理解三角函数的周期性.2.正、余弦函数值在各象限的符号的记忆．
重点：1.任意角的正弦、余弦函数的定义及应用．难点：1.正弦、余弦函数的定义及应用．2.周期函数的应用.
授课提示：对应学生用书第6页
[自主梳理]
1．单位圆的定义
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆．
2．任意角的正弦函数、余弦函数
3．正弦函数、余弦函数值的符号
(1)图示：任意角的正弦值的符号，如图①所示；任意角的余弦值的符号，如图②所示．
(2)表格：
α的终边
sin
α
cos
α
x轴正半轴
0
1
第一象限
＋
＋
y轴正半轴
1
0
第二象限
＋
－
x轴负半轴
0
－1
第三象限
－
－
y轴负半轴
－1
0
第四象限
－
＋
4．终边相同的角的正、余弦函数
公式：sin(x＋k·2π)＝sin_x，k∈Z；
cos(x＋k·2π)＝cos_x，k∈Z.
5．周期函数
(1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值都有f(x＋T)＝f(x)，我们就把f(x)叫作周期函数，T称为这个函数的周期．
(2)规定：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．
(3)正弦函数和余弦函数的周期性
正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π.
[双基自测]
1．已知角α终边经过P(，)，则sin
α＝( )
A.
B.
C.
D．±
解析：P(，)为单位圆一点，所以sin
α＝.
答案：A
2．已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：由题意得cos
α＜0，且tan
α＜0，所以角α的终边在第二象限．
答案：B
3．α的终边与单位圆的交点为P(，－)，则sin
α＝________，cos
α＝________.
解析：由正、余弦函数的定义知r＝1，sin
α＝＝－，cos
α＝＝＝.
答案：－
授课提示：对应学生用书第7页
探究一 正弦、余弦函数的定义
[典例1] 已知角α的终边上一点P(－，m)，且sin
α＝m，求sin
α与cos
α的值．
[解析] 由已知，有m＝，
解得m＝0或m＝±.
(1)当m＝0时，cos
α＝－1，sin
α＝0；
(2)当m＝时，cos
α＝－，sin
α＝；
(3)当m＝－时，cos
α＝－，sin
α＝－.
一般根据三角函数的定义求解此类问题，当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
1．已知角θ的终边与函数y＝－2|x|的图像重合，求sin
θ和cos
θ的值．
解析：若角θ是第三象限的角，在角θ的终边上取一点(－1，－2)，则r＝＝.
由三角函数的定义，知sin
θ＝＝－，cos
θ＝－.
若角θ是第四象限的角，在角θ的终边上取一点(1，－2)，则r＝＝.
由三角函数的定义，知sin
θ＝＝－，cos
θ＝＝.
探究二 有关三角函数值的符号问题
[典例2] (1)α是第二象限角，判断sin
αcos
α的正负；
(2)若sin
αcos
α＜0，判断α是第几象限角．
[解析] (1)∵α是第二象限角，
∴sin
α＞0，cos
α＜0，
∴sin
αcos
α＜0.
(2)由sin
αcos
α＜0知有两种可能：
或
故α在第二象限或第四象限．
1．三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须记熟，可根据定义记，也可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切(正切后面学到)，四余弦(是正的)．
2．对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们的公共象限即为所求．
2．已知角α满足sin
α＜0，且tan
α＞0.
(1)求角α的集合；
(2)试判断sin
·cos
·tan
的符号．
解析：(1)由sin
α＜0，知角α的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上；
又tan
α＞0，所以角α的终边在第三象限，
故角α的集合为{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z}．
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
当k＝2m，m∈Z时，角的终边在第二象限，此时sin
＞0，cos
＜0，tan
＜0，
所以sin
·cos
·tan
的符号为正；
当k＝2m＋1，m∈Z时，角的终边在第四象限，此时sin
＜0，cos
＞0，tan
＜0，所以sin
·cos
·tan
的符号为正．
因此，sin
·cos
·tan
的符号为正．
探究三 利用正弦、余弦函数值的周期性求值
[典例3] 求下列三角函数值．
(1)cos(－1
050°)；
(2)sin.
[解析] (1)∵－1
050°＝－3×360°＋30°，
∴－1
050°的角与30°的角终边相同．
∴cos(－1
050)°＝cos
30°＝.
(2)∵－＝－4×2π＋，∴角－与角的终边相同．
∴sin＝sin
＝.
利用公式sin(α＋2kπ)＝sin
α，cos(α＋2kπ)＝cos
α(k∈Z)，可以把任意角的正弦、余弦函数值问题转化为0～2π间的角的正弦、余弦函数值问题．从该公式可以看出，在求三角函数值的时候，2π，360°的整数倍可以直接去掉，从而方便化简或计算．
3．求下列各式的值：
(1)cos＋sin；
(2)sin
810°＋cos
765°＋sin
1
125°＋cos
360°.
解析：(1)原式＝cos＋sin
＝cos
＋sin
＝.
(2)原式＝sin
(2×360°＋90°)＋cos(2×360°＋45°)＋sin(3×360°＋45°)＋cos(0°＋360°)
＝sin
90°＋cos
45°＋sin
45°＋cos
0°＝2＋.
因不会挖掘隐含条件致误
[典例] 已知sin
＝，cos
＝－，试确定θ是第几象限角．
[解析] 因为sin
＝>0，cos
＝－<0，所以是第二象限角．
又因为sin
＝<＝sin
π.
所以2kπ＋π<<2kπ＋π(k∈Z)，
所以4kπ＋π<θ<4kπ＋2π(k∈Z)，
所以θ是第四象限角．
[错因与防范] (1)在解答过程中，往往只由sin
＝，cos
＝－，知是第二象限角，忽略给出了具体函数值，而所给的具体函数值则隐含着范围的条件．没有进一步缩小的范围而出错．故而得出错误结果θ是第三象限角或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角．
(2)确定角的范围，不仅要结合正、余弦函数值的符号，还要结合角的具体函数值缩小角的范围．
PAGE4．3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4．4 单位圆的对称性与诱导公式
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.能根据单位圆理解正弦函数、余弦函数的基本性质．2.了解特殊角的终边的对称关系．3.能借助单位圆直观地探索正弦函数、余弦函数的诱导公式．4.会利用诱导公式求任意角的正弦函数、余弦函数.
重点：正弦函数、余弦函数的诱导公式的应用．难点：正弦函数、余弦函数的诱导公式的探索及熟记.
授课提示：对应学生用书第9页
[自主梳理]
1．单位圆中正弦函数、余弦函数的基本性质
(1)定义域
正弦函数、余弦函数的定义域都是R.
(2)值域、最大(小)值
正弦函数、余弦函数的值域为[－1,1]，它们的最大值为1，最小值为－1.
(3)周期性
它们的周期都是2kπ(k∈Z)，最小正周期为2π.
(4)单调性
①正弦函数在区间上是增加的，在区间上是减少的；
②余弦函数在区间[－π，0]上是增加的，在区间[0，π]上是减少的．
2．角的对称问题：
相关角
终边对称关系
α与π＋α
关于原点对称
α与－α
关于x轴对称
α与π－α
关于y轴对称
α与－α
关于y＝x对称
3.诱导公式：
(1)sin(2kπ＋α)＝sin_α，cos(2kπ＋α)＝cos_α；
(2)sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α；
(3)sin(2π－α)＝－sin
α，cos(2π－α)＝cos
α；
(4)sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α；
(5)sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α；
(6)sin(＋α)＝cos_α，cos(＋α)＝－sin_α；
(7)sin(－α)＝cos_α，cos(－α)＝sin_α.
[双基自测]
1．已知sin
α＝，则sin(π－α)＝( )
A．－
B.
C.
D.
解析：sin(π－α)＝sin
α＝.
答案：B
2．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是( )
A．cos(A＋B)＝cos
C
B．sin(A＋B)＝－sin
C
C．cos＝sin
B
D．sin
＝cos
解析：∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴cos(A＋B)＝－cos
C，sin(A＋B)＝sin
C.
∴A，B都不正确．同理，B＋C＝π－A，
∴sin
＝sin＝cos
.故选D.
答案：D
3．计算：＝________.
解析：原式＝
＝＝＝＝－2.
答案：－2
授课提示：对应学生用书第10页
探究一 给角求值
[典例1] 求下列三角函数值：
(1)sin(－)；
(2)cos(－)；
(3)cos
；
(4)cos(－945°)．
[解析] (1)sin(－)＝－sin
＝－sin(4π＋)＝－sin＝－sin(π＋)＝sin
＝.
(2)cos(－)＝cos
＝cos(4π＋)
＝cos
＝cos(π＋)＝－cos
＝－.
(3)cos
＝cos(6π＋)＝cos
＝cos(π＋)＝－cos
＝－cos(π－)＝cos
＝.
(4)cos(－945°)＝cos
945°
＝cos(2×360°＋225°)＝cos
225°＝cos(180°＋45°)＝－cos
45°＝－.
利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤：
可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．
1．求下列三角函数值：
(1)sin
π；(2)cos(＋)；(3)sin(－π)．
解析：(1)sin
π＝sin(4π＋π)＝sin
π＝sin(2π－)＝－sin
＝－.
(2)cos(＋)＝cos(π＋＋)＝－cos(＋)
＝－(－sin
)＝.
(3)sin(－π)＝－sin(32π＋)＝－sin
＝－sin(＋π)＝sin
＝.
探究二 给值求值
[典例2] 已知sin＝，求cos的值．
[解析] cos(－α)＝cos
[－(＋α)]＝sin(＋α)＝.
三角函数给值求值问题：
解决给值求值问题，要先分析“已知角”(给出三角函数值的角)和“被求角”(需求三角函数值的角)之间的关系，设法用“已知角”表示“被求角”，然后再选择公式化简求值．
2．已知cos(15°＋α)＝，α为锐角，
求的值．
解析：原式＝
＝
＝－＋
.
∵0°＜α＜90°，∴15°＜α＋15°＜105°.
又∵cos(15°＋α)＝，
∴sin(15°＋α)＝.
∴原式＝－＋＝.
探究三 利用诱导公式化简式子
[典例3] 化简下列各式：
(1)·sin(π－α)·cos(2π－α)；
(2).
[解析] (1)原式＝·sin
α·cos
α
＝·sin
α·cos
α＝sin2α.
(2)原式＝＝－.
(1)化简三角函数式的过程，实质上是“统一角”“统一函数名”的过程，所以在三角函数式的化简过程中应学会“看角、看函数名”的分析方法．
(2)化简三角函数式时，若遇到kπ±α的形式时，需分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论，然后再正确运用诱导公式进行化简．常见的一些关于参数k的结论有
①sin(kπ＋α)＝(－1)ksin
α(k∈Z)．
②cos(kπ＋α)＝(－1)kcos
α(k∈Z)．
③sin(kπ－α)＝(－1)k＋1sin
α(k∈Z)．
④cos(kπ－α)＝(－1)kcos
α(k∈Z)．
3．化简：2sin(＋)cos(2nπ－)＋cos2(＋)－sin2(－)(n∈Z,0＜α＜π)．
解析：当n＝4k＋1，k∈Z时，原式＝2sin(＋)cos
＋cos2(＋)－sin2(－)＝2cos2
＋sin2－cos2＝1；当n＝4k＋2，k∈Z时，原式＝2sin(π＋)cos
＋cos2(3π＋)－sin2(－π)＝－2sin
cos
＋cos2
－sin2
；
当n＝4k＋3，k∈Z时，原式＝2sin(＋)cos
＋cos2(＋)－sin2(－)＝－2cos2
＋sin2
－cos2
＝sin2
－3cos2
；
当n＝4k＋4，k∈Z时，原式＝2sin
cos
＋cos2
－sin2
.
综上，
原式＝，k∈Z.
诱导公式记忆不清导致出错
[典例] 求sin的值．
[解析] sin＝－sin
＝－sin
＝－sin＝sin
＝.
[错因与防范] (1)对“奇变偶不变，符号看象限”的理解错误易出现sin＝cos，是不成立的．
(2)诱导公式起着变名、变号、变角等作用，在三角函数的化简求值、证明中经常使用，因此必须熟记公式．
PAGE5 正弦函数的图像与性质
5．1 正弦函数的图像
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.会用五点法画出正弦函数的图像．2.根据图像理解函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的性质.
重点：1.借助单位圆了解正弦函数的图像与周期性．2.能画y＝sin
x的图像．难点：正弦线的理解和应用.
授课提示：对应学生用书第12页
[自主梳理]
1．从单位圆看正弦函数的性质
(1)原理
(2)正弦函数的性质
定义域
R
最小值
－1
最大值
1
值域
[－1,1]
周期性
周期函数，周期为2π
在[0,2π]上的单调性
在[0，]上是增加的；在[，π]上是减少的；在[π，]上是减少的；在[，2π]上是增加的
2.正弦函数的图像
(1)画法：
(2)有关概念
①正弦线：设任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，我们称MP为角α的正弦线，P叫正弦线的终点．
②“五点法”画图．
③正弦曲线：
[双基自测]
1．用五点法画y＝sin
x，x∈[0,2π]的图像时，下列不是关键点的是( )
A．(，)
B．(，1)
C．(π，0)
D．(2π，0)
答案：A
2．函数y＝sin
x与x轴交点的个数是( )
A．0
B．3
C．6
D．无数个
解析：y＝sin
x的图像向左右无限伸展，重复出现．
答案：D
3．用五点法作函数y＝－sin
x的图像时，首先应描出的五点的横坐标是________．
解析：y＝－sin
x与y＝sin
x的图像关于x轴对称．
答案：0，，π，，2π
授课提示：对应学生用书第12页
探究一 用五点法作正弦函数的图像
[典例1] 用五点法作函数y＝1－sin
x，x∈[0,2π]的图像．
[解析] (1)列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
1－sin
x
1
0
1
2
1
(2)描点、连线，图像如图．
五点法作图：
“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分分别找出图像的最高点，最低点及平衡点等五个关键点，由这五个点大致确定图像的位置和形状．
1．画函数y＝2sin
x－1，x∈[0,2π]的简图．
解析：步骤：(1)列表：
x
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
2sin
x－1
－1
1
－1
－3
－1
(2)描点：在平面直角坐标系中描出(0，－1)，(，1)，(π，－1)，(，－3)，(2π，－1)五个点．
(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得到函数y＝2sin
x－1，x∈[0,2π]的简图，如图所示．
探究二 正弦函数图像的应用
[典例2] 写出使sin
x≥(x∈R)成立的x的取值．
[解析] 如图，画出y＝sin
x在x∈[0,2π]内的图像．
其中直线y＝与y＝sin
x的交点M，M′的横坐标分别是，，故在0≤x≤2π中满足sin
x≥的角x的集合为.
因此当x∈R时，
集合为.
利用正弦函数图像可解简单的三角不等式．因为正弦函数是以2π为周期的周期函数，所以用正弦函数图像解三角不等式的步骤是：
(1)作出相应的正弦函数的图像；
(2)写出适合不等式的在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据正弦函数的周期性把此解集拓延到整个定义域上．
2．方程|x|＝cos
x在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根
B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根
D．有无穷多个根
解析：在同一坐标系中作出函数y＝|x|及函数y＝cos
x的图像，如图所示．
由图知两函数的图像有两个交点，所以方程|x|＝cos
x有两个根．
答案：C
数形结合思想的应用
[典例] 求满足下列条件的角的范围．
(1)sin
x≥；(2)sin
x≤－.
[解析] (1)利用“五点法”作出y＝sin
x的简图，过点作x轴的平行线，在[0,2π]上，直线y＝与正弦曲线交于，两点．结合图形可知，在[0,2π]内，满足y≥时x的集合为.
因此，当x∈R时，若y≥，则x的集合为
.
(2)同理，满足sin
x≤－的角的集合为
.
[感悟提高] 形如sin
x>a((1)画出y＝sin
x的图像，画直线y＝a.
(2)若解sin
x>a，则观察y＝sin
x在直线y＝a上方的图像．这部分图像对应的x的范围，就是所求的范围．
若解sin
xx在直线y＝a下方的图像．这部分图像对应的x的范围，就是所求的范围．
PAGE5.2 正弦函数的性质
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.能借助图像理解正弦函数的性质．2.能利用正弦函数的图像说出正弦函数的定义域、值域、最值、单调区间．3.会判断函数y＝sin
x的奇偶数.
重点：正弦函数的性质及应用．难点：正弦函数性质的理解与应用.
授课提示：对应学生用书第14页
[自主梳理]
正弦函数的性质
函数
y＝sin
x
图像
定义域
R
值域
[－1,1]
最值
当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性
最小正周期为2π
奇偶性
奇函数
单调性
在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上都是增函数，在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上都是减函数
[双基自测]
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝－2sin
x
C．y＝1＋sin
x
D．y＝|sin
x|
解析：根据奇偶函数的定义可知只有D符合．
答案：D
2．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
2x
C．y＝sin
D．y＝sin
4x
解析：计算可得只有y＝sin
4x的周期为.
答案：D
3．y＝sin
x－|sin
x|的值域是( )
A．[－1,0]
B．[0,1]
C．[－1,1]
D．[－2,0]
解析：∵y＝sin
x－|sin
x|＝
∴－2≤y≤0.
答案：D
授课提示：对应学生用书第14页
探究一 正弦函数的定义域
[典例1] 求函数y＝的定义域．
[解析] 要使函数有意义，只需2sin
x＋≥0，
即sin
x≥－.如图所示，在区间上，适合条件的x的取值范围是－≤x≤.
所以该函数的定义域是，k∈Z.
求定义域时，常利用数形结合，根据正弦曲线写出相应方程或不等式的解集．注意灵活选择一个周期的图像．
1．求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝ln(1－sin
x)．
解析：(1)要使函数有意义只需lg
sin
x≠0，∴
∴2kπ∴该函数的定义域为
.
(2)要使函数有意义只需1－sin
x>0，即sin
x<.在区间上，适合条件的x的取值范围是探究二 正弦函数的单调性及应用
[典例2] (1)求函数y＝2sin(＋2x)的单调递增区间；
(2)比较sin(－)，sin(－)的大小．
[解析] (1)设t＝＋2x，则t＝＋2x在R上是增加的，而y＝sin
t的单调递增区间为t∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
∴2x＋∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．
解得x∈[kπ－π，kπ＋](k∈Z)．
∴函数y＝2sin(＋2x)的单调递增区间为
[kπ－π，kπ＋](k∈Z)．
(2)因sin(－)＝－sin，sin(－π)＝－sinπ＝－sin，
又∵0＜＜＜，且y＝sin
x在区间[0，]上是增加的．
∴sin＜sin，∴－sin＞－sin，
故sin(－)＜sin(－)．
1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，若ω＞0，直接把ωx＋φ代入函数y＝sin
x相应的单调区间求解即可；若ω＜0，利用诱导公式把x的系数化为正数后再代入相反的单调区间求解．
2．比较大小时，要先化成同名三角函数，再把角转化到同一个单调区间上．
2．函数y＝2sin的一个单调递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
解析：令z＝2x－，函数y＝sin
z的单调递减区间是(k∈Z)．由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.令k＝0，得≤x≤.
答案：A
探究三 正弦函数的值域与最值
[典例3] 若函数y＝a－bsin
x的最大值为，最小值为－，求函数y＝－4asin
bx的最值．
[解析] (1)当b＞0时，由题意得
?
∴函数y＝－2sin
x．此时函数的最大值为2，最小值为－2.
(2)当b＜0时，由题意得?
∴函数y＝2sin
x.
此时函数的最大值为2，最小值为－2.
综上所述，函数y＝－4asin
bx的最大值为2，最小值为－2.
求形如函数y＝Asin
x＋b和y＝Asin2x＋Bsin
x＋C的最值，可利用换元法，结合正弦函数的值域，转化为求常见的函数(如一次函数、二次函数)的最值．
3．函数y＝sin
x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于( )
A.
B.
C．2π
D．4π
解析：如图，当x∈[a1，b]时，值域为且b－a最大．当x∈[a2，b]时，值域为，且b－a最小．
∴最大值与最小值之和为(b－a1)＋(b－a2)＝2b－(a1＋a2)＝2×＋＋＝2π.
答案：C
因错用正弦函数的单调性致误
[典例] sin
1，sin
2，sin
3按从小到大的顺序排列为________．
[解析] sin
2＝sin(π－2)，sin
3＝sin(π－3)．
因为0<π－3<1<π－2<.
所以sin(π－3)1即sin
312.
[答案] sin
312
[错因与防范] 解答本题常会得出错误的结论是sin
123，出错的原因在于没有考虑1,2,3是否在正弦函数的同一个单调区间上，正确的方法是，利用诱导公式转化到同一个单调区间上再进行大小比较．
PAGE6 余弦函数的图像与性质
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.会利用诱导公式、图像的平移得到余弦函数的图像．2.会用五个关键点画函数y＝cos
x在x∈[0,2π]上的简图．3.掌握余弦函数的性质.
重点：1.用“五点法”画余弦函数的图像．2.余弦函数的性质应用．难点：余弦函数的图像和性质综合应用.
授课提示：对应学生用书第16页
[自主梳理]
1．余弦函数图像的画法
(1)平移法
(2)五点法
①五个关键点
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
②函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的简图
③y＝cos
x，x∈[0,2π]
的图像向左、向右平行移动(每次平移2π个单位)得到余弦函数y＝cos
x(x∈R)的图像，此图像叫做余弦曲线．
2．余弦函数的性质
函数 性质
y＝cos
x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
周期函数，最小正周期为2π
单调性
在每一个区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在每一个区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减少的
[双基自测]
1．使cos
x＝1－m有意义的m的取值范围是( )
A．m≥0
B．0≤m≤2
C．－1＜m＜1
D．m＜－1或m＞1
解析：∵y＝cos
x∈[－1,1]，∴－1≤1－m≤1，∴0≤m≤2.
答案：B
2．下列关于y＝cos
x，x∈R的图像描述错误的是( )
A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴仅有一个交点
答案：C
3．在同一坐标系中，函数y＝－cos
x的图像与余弦函数y＝cos
x的图像( )
A．只关于x轴对称
B．关于原点对称
C．关于原点、x轴对称
D．关于原点、坐标轴对称
解析：作出函数y＝cos
x与函数y＝－cos
x的简图(图略)，易知选C.
答案：C
授课提示：对应学生用书第16页
探究一 余弦函数的图像及应用
[典例1] 用“五点法”作函数y＝1－cos
x(0≤x≤2π)的简图．
[解析] 列表：
x
0
π
2π
y＝cos
x
1
0
－1
0
1
y＝1－cos
x
0
1
2
1
0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
1．用“五点法”作图，首先要找到关键的五个点，然后连线．
2．学习中需加强对用五点法作正弦、余弦函数图像区别和联系的理解．
1．画函数y＝2cos
x＋3，x∈[0,2π]的简图．
解析：(1)列表：
x
0
π
2π
y＝cos
x
1
0
－1
0
1
y＝2cos
x＋3
5
3
1
3
5
(2)描点：在平面直角坐标系中描出(0,5)，，(π，1)，，(2π，5)五个点．
(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来，如图所示．
探究二 余弦函数的定义域、值域
[典例2] 求函数f(x)＝的定义域、值域．
[解析] 由2cos
x－1≥0知cos
x≥，作出y＝cos
x在x∈[－π，π]的图像(图略)知，2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
∴定义域为{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
又∵≤cos
x≤1，∴1≤2cos
x≤2.
∴0≤2cos
x－1≤1.
∴y＝的最小值为0，最大值为1，
即值域为[0,1]．
求与余弦函数有关的函数的定义域、值域时要注意数形结合思想的运用，以及余弦函数的有界性．
2．设关于x的函数y＝2cos2x－2acos
x－(2a＋1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)＝的a的值，并对此时的a值求y的最大值．
解析：令cos
x＝t，t∈[－1,1]，则y＝2t2－2at－(2a＋1)，函数图像的对称轴为直线t＝.
当＜－1，即a＜－2时，函数y在[－1,1]上单调递增，ymin＝1≠；
当＞1，即a＞2时，函数y在[－1,1]上单调递减，ymin＝－4a＋1＝，解得a＝，与a＞2矛盾；
当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，ymin＝－－2a－1＝，a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3，
∴a＝－1.
此时ymax＝－4a＋1＝5.
综上可知，满足f(a)＝的a的值为－1，此时y的最大值为5.
探究三 余弦函数性质的应用
[典例3] 比较cos与cos(－)的大小．
[解析] ∵cos＝cos＝cos，
cos＝cos，且0＜＜＜π，
又∵y＝cos
x在[0，π]上是减函数，
∴cos＞cos，即cos＜cos.
比较大小常利用函数的单调性，单调性是对一个函数某个区间而言的，不同的函数名称，且所给数值不在同一个单调区间内时，应先由诱导公式进行适当转化，再利用函数的单调性比较大小．
3．利用余弦函数的单调性，比较cos(－)与cos(－)的大小．
解析：cos(－)＝cos＝cos
，
cos(－)＝cos
＝cos
.
因为0＜＜＜π，且函数y＝cos
x，x∈[0，π]是减函数，
所以cos
＞cos
，即cos(－)＜cos(－)．
利用分类讨论的思想求参数的值
[典例] (本题满分12分)当函数y＝－cos2
x＋acos
x－－(a≥－2)的最大值为1时，求实数a的值．
[解析] 设t＝cos
x，则
y＝－t2＋at－－
＝－2＋－－，①3分
其中－1≤t≤1，对称轴t＝.4分
①若－1≤≤1，即－2≤a≤2时，②
当t＝时，ymax＝－－，6分
令－－＝1，解得a＝1±，
舍去a＝1＋，所以a＝1－.8分
②若>1，即a>2时，②
当t＝1时，ymax＝－.
令－＝1，③
所以a＝5，11分
综上所述，a＝1－或a＝5.④12分
[规范与警示] (1)在①处，换元后将函数的一般式变形为顶点式，为利用二次函数的性质及“最大值为1”这一条件奠定基础．这是解题的关键点．在②处，由a≥－2，函数在不同的区间内最值不同，所以对参数a进行分类讨论，分两类讨论，即①－1≤≤1，②>1，本步为易漏点，也是失分点．
解答本题常忽视③处，只是令t＝得ymax＝－a－＝1，从而遗漏了在>1时，t＝1取得最大值这一情况而造成错解是又一失分点，在④处的这种总结性概述也是必需的．
(2)要规范地解答本题，除运用好余弦函数的有界性、二次函数有闭区间上求值的方法外，同时还要做好逻辑划分进行分类讨论．
PAGE7 正切函数
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.理解任意角的正切函数的定义．2.能画出y＝tan
x(x∈R，x≠＋kπ，k∈Z)的图像．3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间内的单调性．4.掌握诱导公式在求值、化简过程中的应用.
重点：1.正切函数的图像与性质．2.正切函数的诱导公式．难点：正切线的理解及正切函数与正、余弦函数的区别.
授课提示：对应学生用书第18页
[自主梳理]
1．正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠kπ＋(k∈Z)且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan
α.显然tan
α＝.
当α在一、三象限时，tan
α为正值；
当α在二、四象限时，tan
α为负值．
2．正切函数的图像
在直角坐标系中，设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0)，过点A(1,0)作x轴的垂线，与角α的终边或终边的延长线相交于T点，则称AT为角α的正切线．四个象限内角的正切线如图．
3．正切函数的性质
函数
y＝tan
x
定义域
{x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z}
值域
R
周期性
是周期函数，最小正周期为π
奇偶性
是奇函数，图像关于原点对称
单调性
在(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数
图像
4.正切函数的诱导公式
函数角
y＝tan
x
记忆口诀
kπ＋α
tan
α
函数名不变，符号看象限
2π＋α
tan_α
－α
－tan_α
π－α
－tan_α
π＋α
tan_α
＋α
－cot
α
函数名改变，符号看象限
－α
cot
α
[双基自测]
1．关于正切函数y＝tan
x，下列判断不正确的是( )
A．是奇函数
B．在定义域内无最大值和最小值
C．在整个定义域上是增加的
D．平行于x轴的直线被正切曲线各支所截线段相等
答案：C
2．tan
210°等于( )
A. B．－ C. D．－
解析：tan
210°＝tan(180°＋30°)＝tan
30°＝.
答案：A
3．下面说法正确的是________．
①正切线AT也可以写成TA；
②正切线只能为正数；
③y＝tan
x，x∈(－，)的图像向上无限接近于x＝，向下无限接近于直线x＝－；
④y＝tan
x的图像具有周期性，最小正周期为π；
⑤y＝tan
x的图像没有对称轴，只有对称中心，而且对称中心有无数多个．
解析：正切线的字母次序不能颠倒，所以①错；正切线为正、负都有可能，甚至可能为0，所以②错；③④⑤正确．
答案：③④⑤
授课提示：对应学生用书第19页
探究一 利用正切函数的图像
[典例1] 求函数f(x)＝tan
|x|的定义域与值域，并作其图像．
[解析] f(x)＝tan
|x|＝
(k∈Z)，
可知，函数的定义域为
，值域为R.
当x≥0时，函数y＝tan
|x|在y轴右侧的图像即为y＝tan
x的图像不变；x<0时，y＝tan|x|在y轴左侧的图像为y＝tan
x在y轴右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示(实线部分)．
(1)作正切函数的图像时，先画一个周期的图像，再把这一图像向左、右平移，从而得到正切函数的图像，通过图像的特点，可用“三点两线法”，这三点是，(0,0)，，两线是直线x＝±.
(2)如果由y＝f(x)的图像得到y＝f(|x|)及y＝|f(x)|的图像，可利用图像中的对称变换法完成；即只需作出y＝f(x)(x≥0)的图像，令其关于y轴对称便可以得到y＝f(|x|)(x≤0)的图像；同理只要做出y＝f(x)的图像，令图像“上不动，下翻上”便可得到y＝|f(x)|的图像．
1．函数f(x)＝在区间[－π，π]内的大致图像是下列图中的( )
解析：在上，cos
x＞0，f(x)＝tan
x，所以在上其图像与y＝tan
x的图像相同，在和上，cos
x＜0，f(x)＝－tan
x，所以在这两段上其图像是y＝tan
x的图像关于x轴的对称图形．
答案：C
探究二 正切函数的性质
[典例2] 求函数f(x)＝tan的定义域、最小正周期和单调区间．
[解析] 由题意，知2x－≠kπ＋(k∈Z)，
所以x≠＋(k∈Z)，即函数的定义域为.
由于f(x)＝tan
＝tan＝f，
所以最小正周期T＝.
因为kπ－<2x－所以k·－即函数的递增区间为(k∈Z)．
求函数y＝Atan(ωx＋φ)定义域、周期、单调区间的方法：
(1)定义域：由ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，求出x的取值集合即为函数的定义域，即{x|x≠，k∈Z}．
(2)周期性：利用周期函数的定义来求．
(3)单调区间：在求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的单调区间时，首先要用诱导公式把x的系数化为正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由kπ－<ωx＋φ提醒：注意A的正负对函数单调性的影响．
2．函数f(x)＝tan(3x＋φ)的图像的一个对称中心是，其中0<φ<，试求函数f(x)的单调区间．
解析：由于y＝tan
x的对称中心为，k∈Z，
故令3x＋φ＝，其中x＝，即φ＝－，由于0<φ<，
所以当k＝2时，φ＝.
故f(x)＝tan.
由于正切函数y＝tan
x在(k∈Z)上为增函数，则令kπ－≤3x＋≤kπ＋，所以f(x)在(k∈Z)上为增函数．
探究三 正切函数诱导公式的应用
[典例3] (1)已知tan(－α)＝，求tan(＋α)的值；
(2)求的值．
[解析] (1)∵(－α)＋(＋α)＝π，
∴tan(＋α)＝tan[π－(－α)]
＝－tan＝－.
(2)原式＝
＝＝－2.
在使用诱导公式化简时，一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判断角所在象限．一般地，我们将α看作锐角(实质上是任意角)，那么π－α，π＋α，2π－α，＋α，－α分别是第二、三、四、二、一象限的角．
3．已知＝3＋2，求[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·的值．
解析：由＝3＋2，得＝3＋2，(4＋2)tan
θ＝2＋2，所以tan
θ＝＝.[cos2(π－θ)＋sin(π＋θ)·cos(π－θ)＋2sin2(θ－π)]·＝(cos2θ＋sin
θ·cos
θ＋2sin2θ)·＝1＋tan
θ＋2tan2θ＝1＋＋2×2＝2＋.
换元法的应用
[典例] 设函数y＝tan2x＋2tan
x＋2，且x∈，求函数的值域．
[解析] 因为x∈，所以tan
x∈[－，1]，
令tan
x＝t，t∈[－，1]，则y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1.
当t＝－1时，y取得最小值，为1；
当t＝1时，y取得最大值，为5.
所以函数y＝tan2x＋2tan
x＋2的值域为[1,5]．
[感悟提高] (1)三角函数与二次函数的综合问题，一般是研究函数的值域或最值，求解方法是通过换元或整体代换将问题转化为二次函数型的函数值域问题．
(2)利用换元法时，要注意新变量的取值范围，把原变量的范围转化给新变量．
PAGE8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.通过“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像，研究其性质及图像间的关系．2．掌握A，ω，φ，b对图像形状的影响.
重点：1.“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像变换．难点：函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像变换的理解.
授课提示：对应学生用书第21页
[自主梳理]
1．“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的简图，先分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π，列表求出长度为一个周期的闭区间上的五个关键点的坐标，再描点，并用平滑的曲线连接作出一个周期上的图像，最后向左、右分别扩展，即可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的简图．
2．A、ω、φ的意义
函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)，在这里常数A叫振幅，T＝叫周期，f＝＝叫频率，ωx＋φ叫相位，φ叫初相．
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(其中ω＞0，A＞0)的最大值为A＋b，最小值为－A＋b，周期为.
3．图像变换
(1)函数y＝Asin
x(A＞0且A≠1)的图像，可以看作是把y＝sin
x的图像上各点的纵坐标都伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变)而得到．
即y＝sin
x纵坐标原来的A倍得y＝Asin
x.
(2)函数y＝sin(x＋φ)的图像可以看作是把y＝sin
x图像上的各点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位而得到的．(可简记为左“＋”右“－”)
即y＝sin
x平移|φ|个单位得y＝sin(x＋φ)．
(3)函数y＝sin
ωx(ω＞0且ω≠1)的图像可以看作是把y＝sin
x的图像上各点的横坐标都缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．
即y＝sin
x横坐标到原来的倍得y＝sin
ωx.
[双基自测]
1．函数y＝2sin的周期、振幅依次是( )
A．4π，－2
B．4π，2
C．π，2
D．π，－2
解析：周期T＝＝4π，振幅为2，故选B.
答案：B
2．最大值为，周期为，初相为的函数表达式可表示为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：A＝，＝?ω＝6，φ＝，C项正确．
答案：C
3．(1)y＝sin(x＋)的图像是由y＝sin
x的图像向______平移________个单位长度得到的；
(2)y＝sin(x－)的图像是由y＝sin
x的图像向______平移________个单位长度得到的；
(3)函数y＝sin
x－的图像可以看作把y＝sin
x图像向________平移________个单位长度而得到的；
(4)函数y＝sin
x图像上每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得函数________的图像．
答案：(1)左 (2)右 (3)下 (4)y＝sin
x
授课提示：对应学生用书第22页
探究一 用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像
[典例1] 已知函数y＝2sin(x＋)，(x∈R)．
(1)利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图；
列表：
x＋
x
y
作图：
(2)说明该函数的图像可由y＝sin
x(x∈R)图像经过怎样的变换得到．
[解析] (1)列表：
x＋
0
π
2π
x
－
y
0
2
0
－2
0
作图：
用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈Z)的简图时，先作变量代换，令x＝ωx＋φ，再用方程思想由x取0，，π，，2π来确定对应的x值，最后根据x、y的值描点，连线画出函数的图像．
1．用“五点法”画出y＝3sin(－)在一个周期内的简图．
解析：y＝3sin(－)，列出下表，描出对应的五点.
－
0
π
2π
x
y
0
3
0
－3
0
用光滑曲线连接各点即得所求函数图像，如图所示．
探究二 三角函数的图像变换
[典例2] 函数y＝2sin－2的图像是由函数y＝sin
x的图像通过怎样的变换得到的？
本题考察了由函数y＝sin
x(x∈R)的图像变换到函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)的两种方法，第一种方法是先进行周期变换，第二种方法是先进行相位变换．表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的，但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一致的．
2．(1)利用“五点法”画出函数y＝sin在长度为一个周期的闭区间的简图；
(2)说明该函数图像可由y＝sin
x(x∈R)的图像经过怎样平移和伸缩变换得到．
解析：(1)列表：
x
－
x＋
0
π
2π
y
0
1
0
－1
0
画图：
(2)解法一 先平移后伸缩．
①将y＝sin
x的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像；
②将y＝sin的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图像．
解法二 先伸缩后平移．
①将y＝sin
x的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin
x的图像；
②将y＝sin
x的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像．
探究三 由图像确定解析式
[典例3] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)有最小值－1，最大值3，其部分图像如图所示：
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意的0≤m≤3，方程|f(kx)|＝m在区间[0，]上至多有一个解，求正数k的取值范围．
[解析] (1)设f(x)的最小正周期为T，
得＝－＝π，得T＝2π，
由T＝得ω＝1，
又解得
令ω·＋φ＝，即＋φ＝，解得φ＝－，
∴f(x)＝2sin(x－)＋1.
(2)函数y＝|f(x)|的图像如图所示，
则当y＝|f(x)|图像伸长为原来的5倍以上时符合题意，所以0＜k≤.
由图像确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，主要从以下三个方向来考虑：
(1)A的确定：根据图像的“最高点，最低点”确定A；
(2)ω的确定：结合图像先求周期T，然后由T＝(ω＞0)确定ω；
(3)φ的确定：根据函数y＝Asin(ωx＋φ)最开始与x轴的交点(靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设π＜x＜π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．
解析：(1)由函数图像知A＝2.因为图像过点(0,1)，所以f(0)＝1，
所以sin
φ＝.因为|φ|＜，所以φ＝.
由函数图像知＝－＝，所以T＝π，得ω＝2.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)由(1)知函数y＝2sin，x∈.
若π＜x＜π，则当－2＜m＜0或＜m＜2时，直线y＝m与曲线y＝2sin，x∈有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．
所以m的取值范围为－2＜m＜0或＜m＜2.
当－2＜m＜0时，两根和为；当＜m＜2时，两根和为.
图像变换时弄错平移方向或平移长度致误
[典例] 函数y＝4sin的图像是由函数y＝4sin
2x的图像经过怎样的变换得到的？
[解析] y＝4sin的图像是由y＝4sin
2x的图像向左平移个单位长度得到的．
[错因与防范] (1)本题常出现①平移变换时左右方向没有分清的错误．
②本题误认为向左平移个长度单位．
因为y＝4sin＝4sin，所以y＝4sin的图像是由y＝4sin
2x向左平移个单位长度得到，即比较原函数中的自变量x与变换后为x＋，其图像变换满足“左加、右减”．
第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的值域及相关知识．2.掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的单调区间的方法.
重点：函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用．难点：由y＝sin
x类比y＝Asin(ωx＋φ)的性质.
授课提示：对应学生用书第24页
[自主梳理]
由y＝sin
x类比y＝Asin(ωx＋φ)的性质
函数性质
y＝sin
x
y＝Asin(ωx＋φ)
(A、ω>0)
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－A，A]
周期性
T＝2π
T＝
奇偶性
奇函数
当φ＝kπ时为奇函数；φ＝＋kπ时为偶函数(k∈Z)
单调性
在[2kπ－，2kπ＋]上为增函数，在[2kπ＋，2kπ＋]上为减函数(k∈Z)
令ωx＋φ为整体，代入增或减区间内可求
对称性
对称轴为：x＝kπ＋，对称中心为(kπ，0)(k∈Z)
令ωx＋φ＝kπ＋可求对称轴，ωx＋φ＝kπ可求对称中心的横坐标(k∈Z)
[双基自测]
1．若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ等于( )
A．0
B.
C.
D．π
解析：当φ＝时，y＝sin(x＋)＝cos
x为偶函数．
答案：C
2．函数y＝2sin(2x＋)的对称轴是( )
A.
B.
C.
D．－
解析：原函数的对称轴满足：2x＋＝＋kπ(k∈Z)，即x＝＋π(k∈Z)，当k＝1时，x＝，故选A.
答案：A
3．函数f(x)＝sin(2x－)－1的最小值和最小正周期分别是________．
答案：－－1，π
授课提示：对应学生用书第24页
探究一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的最值问题
[典例1] 求函数y＝sin，x∈的值域．
[解析] ∵0≤x≤，∴0≤2x≤π.
∴≤2x＋≤.
∴－≤sin≤1.
∴－1≤sin≤，即－1≤y≤.
所以函数y＝sin，x∈的值域为[－1，]．
求函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[m，n]的值域的步骤：
(1)换元，u＝ωx＋φ，并求u的取值范围；
(2)作出y＝sin
u(注意u的取值范围)的图像；
(3)结合图像求出值域．
1．已知函数f(x)＝asin(2x＋)＋1(a>0)的定义域为R，当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2，求a的值．
解析：－≤x≤－?－≤2x≤－?－≤2x＋≤?－1≤sin(2x＋)≤?f(x)max＝a＋1，
∴a＋1＝2，即a＝2.
探究二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
[典例2] 函数y＝sin
2x的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到的图像恰好关于直线x＝对称．
(1)求φ的最小值；
(2)当φ最小时，求函数y＝sin(2x＋φ)的单调递增区间．
[解析] (1)y＝sin
2x的图像向左平移φ个单位长度，
得y＝sin2(x＋φ)，由于其图像关于直线x＝对称，
则2×＋2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝＋(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为.
(2)由(1)知y＝sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∴y＝sin(2x＋)的单调递增区间为(k∈Z)．
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于(x0,0)中心对称?f(x0)＝0?ωx0＋φ＝kπ(k∈Z)；
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于直线x＝x0轴对称?f(x0)＝A或f(x0)＝－A?ωx0＋φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)求单调区间实际上是解不等式2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋或2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)．
2．函数f(x)＝3sin＋1(k>0)的最小正周期为T，且T∈(1,3)．
(1)求实数k的范围；
(2)当k取最小值时，求f(x)的最大值．
解析：(1)因为T＝∈(1,3)，所以(2)因为k∈Z＋，所以k的最小值为3，
故f(x)＝3sin＋1，当3x＋＝2nπ＋，n∈Z，即x∈时，f(x)取最大值4.
探究三 函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的综合应用
[典例3] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间[0，]上是单调函数，求φ和ω的值．
[解析] 由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)．
即函数f(x)的图像关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值．
即sin
φ＝±1.
依题设0≤φ≤π，∴解得φ＝.
由f(x)的图像关于点M对称，可知
sin(ω＋)＝0，解得ω＝－，k∈Z.
又f(x)在[0，]上是单调函数，
所以T≥π，即≥π，∴ω≤2.又ω＞0，
∴当k＝1时，ω＝；
当k＝2时，ω＝2.
∴φ＝，ω＝2或ω＝.
研究函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的性质，都可令ωx＋φ＝u，套用y＝sin
u的一系列性质顺利解决．
3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的部分图像如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)先将f(x)的图像向右平移个单位长度，再将图像上所有点的纵坐标扩大到原来的2倍，横坐标不变，得到函数g(x)的图像，求g(x)在区间[π，2π]上的值域．
解析：(1)由图可知，A＝1，＝－＝π，
所以T＝4π，ω＝＝.
令×＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
得φ＝2kπ－(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝－，
所以f(x)＝sin(－)．
(2)由2kπ－＜－＜2kπ＋(k∈Z)，
知4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)．
(3)由题意知g(x)＝2sin[(x－)－]＝2sin(－)．
当π≤x≤2π时，≤－≤，所以≤
sin(－)≤1，所以函数g(x)＝2sin(－)在区间[π，2π]上的值域为[1,2]．
正弦型函数的性质及应用
[典例] (本题满分12分)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，ω>0，φ∈(0，π)，x∈R，同时满足：f(x)是偶函数，且关于对称，在上是单调函数，求函数f(x)．
[解析] 因为f(x)是偶函数，所以sin(ω·0＋φ)＝±1，
因为φ∈(0，π)，所以φ＝，3分
所以f(x)＝sin，
因为f(x)关于点对称，
所以ω＋＝kπ，k∈Z，①
所以ω＝－，k∈Z，6分
因为f(x)是偶函数且f(x)在上是单调函数，知≥.②
即≥，所以0<ω≤2，9分
因为ω＝－，k∈Z，所以k＝1时，③
ω＝，f(x)＝sin＝
cosx，
k＝2时，③
ω＝2，f(x)＝sin＝cos
2x.12分
[规范与警示] (1)在①处，如果思维不严谨，由sin
x＝0直接得出x＝0而丢掉x＝kπ(k∈Z)，就会导致解题错误，造成失分，在②处，既考虑函数在[0，]上的单调性，又考虑它是偶函数，再想到周期函数的周期，得到≥，这便缩小了ω的范围，这是关键的一步．对③处的取值范围不完整或考虑不全面致使结果不完整而失分．
(2)一些常用性质在解题时往往起到关键作用，所以需要记住，如正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)中，求对称轴时令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)；求对称中心时，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，如本例中根据对称轴，对称中心可求ω，φ.
对题目中的条件要认真分析，找出隐含的条件，如本例中函数y＝f(x)在上是单调函数，结合其偶函数的性质，可以得到有关函数周期的范围．
PAGE9 三角函数的简单应用
考 纲 定 位
重 难 突 破
1.了解三角函数知识在实际生活中的应用．2.会用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
重点：建立三角函数模型刻画实际问题并解决实际问题．难点：三角函数模型的选择与建立.
授课提示：对应学生用书第26页
[自主梳理]
建立三角函数模型的步骤
[双基自测]
1．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin
160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70 C．80 D．90
解析：T＝＝，∴f＝80.
答案：C
2.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s
cm和时间t
s的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π
s
B．π
s
C．0.5
s
D．1
s
解析：∵ω＝2π，∴T＝＝1.
答案：D
3．电流I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的图像如图所示，则当t＝秒时，电流是( )
A．－5安
B．5安
C．5安
D．10安
解析：由题图知A＝10，T＝，
∴ω＝＝100π，把(，10)代入解析式求得φ＝.
∴当t＝时，I＝10sin(100π×＋)＝－5.
答案：A
授课提示：对应学生用书第27页
探究一 三角函数实际应用
[典例1] 据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在64元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g(x)(x为月份)，且满足g(x)＝f(x－2)＋2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式；
(2)哪几个月能盈利？
[解析] (1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意可得A＝2，B＝6，ω＝，φ＝－，
所以f(x)＝2sin(x－)＋6(1≤x≤12，x为正整数)．
g(x)＝2sin(x－π)＋8(1≤x≤12，x为正整数)．
(2)由g(x)＞f(x)得sinx＜，
2kπ＋π＜x＜2kπ＋π，k∈Z，
∴8k＋3＜x＜8k＋9，k∈Z，
∵1≤x≤12，k∈Z，∴k＝0时，3＜x＜9，
∴x＝4,5,6,7,8；
k＝1时，11＜x＜17，∴x＝12.
∴x＝4,5,6,7,8,12.
故4,5,6,7,8,12月份能盈利．
面对实际问题时，能够迅速地建立数学模型是一项重要的基本技能，这个过程并不神秘，在读题时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．
1．已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差．
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？
解析：(1)由函数易知，当x＝14时，函数取得最大值，此时最高温度为30
℃，
当x＝6时，函数取得最小值，此时最低温度为10
℃，所以最大温差为30
℃－10
℃＝20
℃.
(2)令10sin＋20＝15，
得sin＝－，
因为x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，得sin＝.
因为x∈[4,16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为－＝(小时)．
探究二 三角函数在物理学中的应用
[典例2] 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220sin(100πt＋)来表示，求：
(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔；
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
[解析] (1)当t＝0时，E＝110(V)，
即开始时的电压为110
V.
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02
s.
(3)电压的最大值为220
V，
当100πt＋＝，即t＝(s)时第一次取得最大值．
由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的变换规律，因此可借助于三角函数模型来研究物理学中的相关现象．
2．已知电流与时间t的关系式为I＝Asin(ωt＋φ)，(1)如图是I＝Asin(ωt＋φ)(ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解析：(1)由题图可知A＝300，
设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2(＋)＝，
ω＝＝150π，
又当t＝时，I＝0，即sin(150π·＋φ)＝0，
∴150π·＋φ＝kπ(k∈Z)．∵|φ|＜，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin(150πt＋)．
(2)依题意，周期T≤，
即≤(ω≥0)．
∴ω≥300π＞942，ω∈N＋.
故ω的最小正整数值为943.
探究三 三角函数在航海与测量中的应用
[典例3] 受日月的引力，海水会发生涨落．这种现象叫做潮汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．
某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下面是某日水深的数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可以近似地看成函数y＝Asin
ωt＋b的图像．
(1)试根据以上数据，求出函数y＝f(t)的近似表达式；
(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?
[解析] (1)由已知数据，易知函数y＝f(t)的周期T＝12，振幅A＝3，b＝10，所以y＝3sin
＋10，t∈[0,24]．
(2)由题意知，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5(米)，所以3sin
＋10≥11.5，
所以sin
≥.
解得2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．
在同一天内，取k＝0或1，
所以1≤t≤5或13≤t≤17.
所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，它至多能在港内停留16小时．
解决此类问题，关键是找出问题的本质，转化为数学问题解决．
3．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8
m，圆环的圆心O距离地面的高度为10
m，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P0处．
(1)试确定在时刻t(min)时蚂蚁距离地面的高度h(m)；
(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面不低于14
m?
解析：(1)设在时刻t(min)时蚂蚁达到点P，则以Ox为始边，OP为终边的角的大小为t－＝t－，故P点的纵坐标为8sin，
则h＝8sin＋10＝10－8cos
t，
所以在t时刻蚂蚁距离地面的高度h＝10－8cos
t(t≥0)．
(2)由(1)知h＝10－8cos
t.
令10－8cos
t≥14，可得cos
t≤－，
所以π＋2kπ≤t≤π＋2kπ(k∈Z)，
解得4＋12k≤t≤8＋12k(k∈Z)，
又0≤t≤12，所以4≤t≤8.
即在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4
min蚂蚁距离地面不低于14
m.
转化与化归思想
[典例] 下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏).
月份
1
2
3
4
5
6
月均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
月均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据．
①＝cos；②＝cos
③＝cos；④＝sin.
[解析] (1)(2)如图所示．
(3)1月份的气温最低为21.4,7月份的气温最高为73.0，根据图知，＝7－1＝6，所以T＝12.
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.
(5)因为x＝月份－1，
所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得＝>1≠cos
，所以①错误；
代入②，得＝<0≠cos
，
所以②错误；同理④错误，所以四个模型中③最适合这些数据．
[感悟提高] (1)利用三角函数的周期能够建立三角函数模型解决一些简单问题，其实施的过程就是转化与化归．根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．
(2)三角函数应用题在阅读理解实际问题时，应注意的几点
①反复阅读，通过关键语句领悟其数学本质；
②充分运用转化思想，深入思考，联想所学知识确定变量与已知量；
③结合题目的已知和要求建立数学模型，确定变量的性质与范围及要解决的问题的结论．
PAGE