§1 不等关系
内 容 标 准
学 科 素 养
1.会用不等式(组)正确表示出不等关系.2.理解并掌握不等式的常用基本性质.3.会用作差法比较两个实数大小.
严密逻辑推理提升数学运算规范性质应用
授课提示：对应学生用书第51页
[基础认识]
知识点一 不等式与不等关系
预习教材P69－74，思考并完成以下问题
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不小于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
(1)问题中表示不等关系的词是什么？用符号怎样表示？
提示：不少于，用符号表示为≥.
(2)你能用不等式表示对脂肪和蛋白质含量的规定吗？
提示：f≥2.5%，p≥2.3%.
知识梳理 1.不等式的定义所含的两个要点．
(1)不等符号＞、＜、≥、≤或≠．
(2)所表示的关系是不等关系．
2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.
文字语言
大于
大于等于
小于
小于等于
至多
至少
不少于
不多于
符号语言
＞
≥
＜
≤
≤
≥
≥
≤
知识点二 实数的大小比较
思考并完成以下问题
1．在指数、幂、对数比较大小时，常用什么方法？
提示：单调性比较．
2．如果给定实数a与b，那么如何比较它们的大小呢？
提示：通常是通过判断它们的差(a－b)的符号来比较它们的大小．当a与b都不为0时，也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小．
知识梳理 比较实数a，b的大小的依据
知识点三 不等式的性质
思考并完成以下问题
我们知道等式有一些基本性质，例如：(1)a＝bb＝a；(2)a＝b，b＝ca＝c；(3)a＝ba＋c＝b＋c；(4)a＝b，c≠0ac＝bc.那么不等式是否也具有类似的性质呢？
提示：不等式也具有类似的性质．
知识梳理 不等式的几个重要性质
名称
式子表达
性质1(对称性)
a＞bb＜a
性质2(传递性)
a＞b，b＞ca＞c
性质3(可加性)
a＞ba＋c＞b＋c
性质4(可乘性)
a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc
性质5(同向可加性)
a＞b，c＞da＋c＞b＋d
性质6(同向同正可乘性)
a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd
性质7(可乘方性)
a＞b＞0an＞bn(n∈N，n≥1)
性质8(可开方性)
a＞b＞0＞(n∈N，n≥2)
[自我检测]
1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20
000元，设木工x(x≥0)人，瓦工y(y≥0)人，则关于工资x，y满足的不等关系是( )
A．5x＋4y＜200
B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200
D．5x＋4y≤200
解析：依据题，500x＋400y≤20
000，即5x＋4y≤200，故选D.
答案：D
2．若A＝＋3与B＝＋2，则A与B的大小关系是( )
A．A＞B
B．A＜B
C．A≥B
D．不确定
解析：由于A－B＝＋3－＝＋≥＞0，所以A＞B，故选A.
答案：A
3．已知－1＜2x－1＜1，则－1的取值范围是________．
解析：由－1＜2x－1＜1，得0＜x＜1，所以＞1.
于是＞2，－1＞1，
故－1的取值范围是(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
授课提示：对应学生用书第52页
探究一 用不等式(组)表示不等关系
[阅读教材P70例4例5及解答]
题型：用不等式(组)表示不等关系
方法步骤：①找到表示不等关系的词语；
②用不等式将不等关系表示出来．
[例1] (1)如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________．
(2)商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件，若把提价后的商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
[解题指南] (1)借助两图形面积的大小关系建立a，b的不等式．
(2)利用利润＝(售价－进价)×销售量及利润不低于300元建立不等式．
[解析] (1)题图1所示的广告牌的面积为(a2＋b2)，题图2所示的广告牌的面积为ab，显然不等式表示为(a2＋b2)＞ab.
(2)若提价后商品的售价为x元，则销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x－8)[100－10(x－10)]≥300.
[答案] (1)(a2＋b2)＞ab (2)见解析
方法技巧 1.用不等式(组)表示不等关系的方法
(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系．
(2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各量，并用关键词连接．特别需要考虑的是“＜”“＞”中的“＝”能否取到．
(3)多个不等关系用不等式组来表示．
注意：对于实际问题中不要漏掉隐含条件．
2．文字语言与数学符号语言之间的转换．
将实际问题中的不等关系写成对应的不等式时，问题中关键性的文字语言与对应的数学符号语言之间的正确转换，关系到是否能正确地用不等式表示出不等关系．
跟踪探究 1.已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：
食物
甲
乙
维生素A/(单位/kg)
600
700
维生素B/(单位/kg)
800
400
设用x
kg的甲种食物与y
kg的乙种食物配成混合食物，并使混合食物内至少含有56
000单位的维生素A和63
000单位的维生素B，试用不等式组表示x，y所满足的不等关系．
解析：由题意知x
kg的甲种食物中含有维生素A
600
x单位，含有维生素B
800x单位，y
kg的乙种食物中含有维生素
A
700y单位，含有维生素B
400y单位，则x
kg的甲种食物与y
kg的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有即
探究二 比较数(式)的大小
[阅读教材P72例6及解答]试比较(x＋1)(x＋5)与(x＋3)2的大小．
题型：比较两代数式的大小．
方法步骤：①作差．
②化简．
③判断符号下结论．
[例2] (1)设a＞0，b＞0，且a≠b，则abba和aabb的大小关系是________；
(2)已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．
[解题指南] (1)由a＞b＞0可知aabb＞0，abba＞0，故可考虑用作商法比较大小；(2)由于是整式比较大小，可以考虑用作差法比较大小．
[解析] (1)∵a＞0，b＞0，且a≠b，可知aabb＞0，abba＞0，由＝aa－bbb－a＝，
当a＞b＞0时，由＞1，a－b＞0，可得＞1，∴aabb＞abba.
当b＞a＞0时，由0＜＜1，a－b＜0，可得＞1，∴aabb＞abba.
综上可得，aabb＞abba.
(2)(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)．
因为x＞1，所以x－1＞0，
又x2－x＋1＝＋＞0.
所以(x－1)(x2－x＋1)＞0，即x3－1＞2x2－2x.
[答案] (1)aabb＞abba (2)见解析
延伸探究 1.若题(2)中条件不变，问法改为“比较x3＋6x与x2＋6的大小”结果如何？
解析：因为(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6
＝x2(x－1)＋6(x－1)＝(x－1)(x2＋6)，
又因为x＞1，所以(x－1)(x2＋6)＞0，
所以x3＋6x＞x2＋6.
2．题(2)中，若把条件“x＞1”改为“x∈R”，其他条件不变，则结论如何？
解析：(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)
＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)．
因为x2－x＋1＝＋＞0，
所以当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0，
即x3－1＞2x2－2x；
当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0，
即x3－1＝2x2－2x；
当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0，
即x3－1＜2x2－2x.
方法技巧 比较大小的方法
(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负．
作差法的一般步骤：
作差——变形——判号——定论
(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小．
作商法的一般步骤：
作商——变形——与1比较大小——定论
(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性．
跟踪探究 2.设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
解析：∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1，1＜1＋x＜2，
当a＞1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)．
∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1.
∴loga(1－x2)＜0，－loga(1－x2)＞0，
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
当0＜a＜1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝loga(1－x)＋loga(1＋x)＝loga(1－x2)
∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，∴loga(1－x2)＞0.
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
综上所述：当0＜x＜1，a＞0且a≠1时，
|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|.
探究三 不等式性质的应用
[阅读教材P73例8及解答]
题型：不等式性质的应用
方法步骤：①分别表示出增加面积前后的比值；
②比较两个比值的大小；
③得出结论．
[例3] (1)已知－6＜a＜8，2＜b＜3，则的取值范围是________．
(2)已知a＞b＞0，c＞0，求证＜.
[解题指南] (1)注意对a分0≤a＜8和－6＜a＜0讨论．
(2)根据不等式的可乘性证明．
[解析] (1)当0≤a＜8时，由2＜b＜3，所以＜＜，
所以0≤＜4；
当－6＜a＜0时，0＜－a＜6，又＜＜.
所以0＜－＜3，－3＜＜0.
综上，得－3＜＜4.
(2)证明：因为a＞b＞0，所以ab＞0，＞0，
于是a×＞b×，
即＞，又c＞0，得
＞，即＜.
[答案] (1)(－3，4) (2)见解析
延伸探究 3.题(2)中条件“c＞0”改为“c＞d＞0”，证明：
＞.
证明：因为a＞b＞0，所以ab＞0，＞0，
于是a×＞b×，
即＞＞0，又c＞d＞0.
所以＞＞0，所以
＞.
4．题(2)中条件“c＞0”改为“c＜d＜0，e＞0”，证明：＜.
证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，
又因为a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0.
所以0＜＜.
又e＞0，所以＜.
方法技巧 1.利用不等式的性质证明不等式注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
2．求含有字母的数(或式)的取值范围时的注意点
(1)要注意题设中的条件；
(2)要正确使用不等式的性质，尤其是两个同向不等式可加不可减，可乘不可除．
跟踪探究 3.如果3＜a＜7，1＜b＜10，试求a＋b，3a－2b，的取值范围．
解析：因为3＜a＜7，1＜b＜10，
所以3＋1＜a＋b＜7＋10，即4＜a＋b＜17.
又因为9＜3a＜21，－20＜－2b＜－2，
所以－11＜3a－2b＜19.
因为9＜a2＜49，所以＜＜，于是＜＜.
授课提示：对应学生用书第54页
[课后小结]
(1)使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用．
(2)用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤
①审题．通读题目，分清楚已知量和未知量，设出未知量；
②找关系．寻找已知量与未知量之间有哪些不等关系(即满足什么条件，同时注意隐含条件)；
③列不等式(组)，建立已知量和未知量之间的关系式．
(3)作差法比较大小的关键步骤是变形，变形时常采用配方，因式分解、通分、有理化等手段进行．
[素养培优]
错用不等式的性质致误
给出下列命题，其中正确的是________．(只填序号)
①若a＞b，则a2＞b2；②若a－d＞b－c，则a＞b，c＜d；③若a＜b，则＜；④若－2＜a＜3，则4＜a2＜9；⑤若＞，则＜.
易错分析 利用不等式的性质解决问题时，务必注意不等式的性质应用的前提条件，只有完全符合条件，才能有相应的结论，如果对不等式的性质理解不清，盲目套用不等式的性质会导致错误．
自我纠正 ①错误，例如a＝1，b＝－3；②错误，例如a＝1，b＝3，c＝2，d＝－1；③正确，因为－＝＜0，所以＜；④错误；由－2＜a＜3应得0≤a2＜9；⑤正确，由于＞，所以a＞b≥0，于是a＋1＞b＋1＞0，故＜.
答案：③⑤
PAGE§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过实例了解一元二次不等式.2.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系.3.掌握一元二次不等式的解法.
规范数形结合准确分类讨论提升数学运算
授课提示：对应学生用书第54页
[基础认识]
知识点一 一元二次不等式的概念
预习教材P75－81，思考并完成以下问题
从未知数的个数以及未知数的最高次数看，不等式x2－2x－3＞0，x2＋5x≤0，－3x2－6x＋1＜0，4x2－1≥0等有什么共同特点？
提示：它们只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.
知识梳理 一元二次不等式的概念及形式
(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
(2)形式：
①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
(3)解集：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
知识点二 一元二次不等式的解法
思考并完成以下问题
1．方程x2－2x－3＝0的根是什么？
提示：由x2－2x－3＝0，得(x－3)(x＋1)＝0，所以x＝3或x＝－1，所以方程x2－2x－3＝0的根为3或－1.
2．画出函数y＝x2－2x－3的图像，并指出函数的图像与x轴交点的坐标．
提示：函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4的图像如图所示，
由图可知函数的图像与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)．
3．观察图像，试写出不等式x2－2x－3＞0和x2－2x－3＜0的解集．
提示：通过图像可知，x2－2x－3＞0的解集为{x|x＞3或x＜－1}；x2－2x－3＜0的解集为{x|－1＜x＜3}．
知识梳理 二次函数的图像、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的解
x1，x2(x1＜x2)
x0＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
{x|x≠x0}
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0的解集)
{x|x1＜x＜x2}
?
?
思考：
1．若不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是(－4，3)，则函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴的交点坐标是什么？
提示：(－4，0)和(3，0)．
2．若不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是(－∞，－4)∪(3，＋∞)，则由此能确定a的正负吗？
提示：能，a＞0.
3．不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集能只有一个实数吗？
提示：不能．
[自我检测]
1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1＞0；②x2－y＞0；③－x2－3x＜0；④＞0.其中是一元二次不等式的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①中当a＝0时，它不是一元二次不等式；②中有两个未知数，它不是一元二次不等式；③是一元二次不等式；④是分式不等式．故选A.
答案：A
2．不等式2x2－x＋1＜0的解集为( )
A．?
B．R
C.
D.
解析：因为Δ＝1－8＝－7＜0，且对应函数图像的开口向上，所以不等式的解集为?.故选A.
答案：A
3．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是________．
解析：因为－6x2－x＋2≤0，所以6x2＋x－2≥0，即(2x－1)(3x＋2)≥0，故x≥或x≤－.
答案：
授课提示：对应学生用书第55页
探究一 解不含参数的一元二次不等式
[阅读教材P76－77例1，2，3，4，5及解答]
题型：解不含参数的一元二次不等式
方法步骤：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；
②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；
③由图像得出不等式的解集．
[例1] 解下列不等式
(1)2x2－3x－2＞0.
(2)－3x2＋6x＞2.
(3)－4x2＋18x－≥0.
[解题指南] →→→
[解析] (1)因为Δ＝25＞0，且方程2x2－3x－2＝0的两根分别为x1＝－，x2＝2，又a＝2＞0，所以函数y＝2x2－3x－2的图像开口向上，与x轴有两个交点(如图)．
观察图像得不等式2x2－3x－2＞0的解集为.
(2)不等式化为3x2－6x＋2＜0，因为Δ＞0，方程3x2－6x＋2＝0的两根是x1＝1－，x2＝1＋，又a＝3＞0，所以函数y＝3x2－6x＋2的图像开口向上，与x轴有两个交点(如图)．
观察图像得不等式3x2－6x＋2＜0的解集为，即为原不等式的解集．
(3)因为Δ＝182－4×(－4)×＝0.
所以方程－4x2＋18x－＝0，两相等实根是x1＝x2＝，
又a＝－4＜0，所以函数y＝－4x2＋18x－的图像开口向下，与x轴有一个交点(如图)．观察图像得不等式－4x2＋18x－≥0的解集为.
方法技巧 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：
(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正．
(2)判别式．对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式．
(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根．
(4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
(5)写解集．根据图像写出不等式的解集．
跟踪探究 1.解下列不等式：
(1)4x2－20x＜－25；
(2)(x－3)(x－7)＜0；
(3)－3x2＋5x－4＜0；
(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1.
解析：(1)不等式可化为4x2－20x＋25＜0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图像是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是?.
(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图像是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3＜x＜7}．
(3)不等式－3x2＋5x－4＜0可化为3x2－5x＋4＞0，由于判别式Δ＝25－48＝－23＜0，函数y＝3x2－5x＋4的图像开口向上，所以不等式的解集是R.
(4)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0.因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是，1，函数y＝3x2－4x＋1的图像开口向上，所以不等式的解集是.
探究二 解含参数的一元二次不等式
[阅读教材P87例7、8及解答]
题型：解含参数的一元二次不等式．
方法步骤：①确定对应方程的解．
②讨论方程解的大小．
③结合图像写出解集．
[例2] 解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a＞0)．
[解题指南] 将原不等式左端因式分解求出相应的一元二次方程的两根，然后对a进行分类讨论确定两根的大小进而求出原不等式的解集．
[解析] 不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0可化为(ax－1)(x－2)＜0，由于a＞0，故不等式可化为(x－2)＜0.
①若0＜a＜，则＞2，此时不等式的解集为.
②若a＝，则不等式为(x－2)2＜0，此时不等式的解集为?.
③若a＞，则＜2，此时不等式的解集为.
综上可知：
当0＜a＜时，不等式的解集为.
当a＝时，不等式的解集为?.
当a＞时，不等式的解集为.
延伸探究 1.若将不等式“ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a＞0)”改为“ax2－(2a＋1)x＋2＞0(a＜0)”，又如何求解？
解析：不等式ax2－(2a＋1)x＋2＞0可化为(ax－1)(x－2)＞0，由于a＜0，故不等式可化为(x－2)＜0，则不等式(x－2)＜0对应的方程的两个根分别为x1＝，x2＝2，由于a＜0，故2＞，所以原不等式的解集为.
2．若将本题中的条件“(a＞0)”去掉，又如何求解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0呢？
解析：不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0可化为(ax－1)(x－2)＜0.
(1)当a＞0时，不等式可化为(x－2)＜0.
①若0＜a＜，则＞2，此时不等式的解集为.
②若a＝，则不等式为(x－2)2＜0，此时不等式的解集为?.
③若a＞，则＜2，此时不等式的解集为.
(2)当a＝0时，不等式化为－x＋2＜0，此时不等式的解集为{x|x＞2}．
(3)当a＜0时，不等式可化为(x－2)＞0，由于＜2，故不等式的解集为.
综上所述：
当a＜0时，不等式的解集为.
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}．
当0＜a＜时，不等式的解集为.
当a＝时，不等式的解集为?.
当a＞时，不等式的解集为.
方法技巧 解含参数的一元二次不等式的方法
在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0；
(2)关于不等式所对应的方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)；
(3)关于不等式对应的方程的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
跟踪探究 2.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
解析：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0，解得x＞1.
②当a＜0时，原不等式化为(x－1)＞0，解得x＜或x＞1.
③当a＞0时，原不等式化为(x－1)＜0.
若a＝1，即＝1时，不等式无解；
若a＞1，即＜1时，解得＜x＜1；
若0＜a＜1，即＞1时，解得1＜x＜.
综上可知，
当a＜0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为.
当a＝1时，不等式的解集为?.
当a＞1时，不等式的解集为.
探究三 一元二次不等式与相应函数、方程的关系
[例3] 已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
[解题指南] 先判断二次项系数的符号，再根据三个“二次”之间的关系得到字母之间的关系，即可求解不等式的解集．
[解析] 法一：由已知不等式的解集为(α，β)可得a＜0，
∵α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴由根与系数的关系可得.
∵a＜0，∴由②得c＜0，
则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋x＋＞0，
①÷②得＝＝－＜0，
由②得＝＝·＞0，
∴、为方程x2＋x＋＝0的两根．
∵0＜α＜β，
∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.
法二：由已知不等式解集为(α，β)，得a＜0，且α，β是ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴α＋β＝－，αβ＝，
∴cx2＋bx＋a＜0x2＋x＋1＞0(αβ)x2－(α＋β)x＋1＞0(αx－1)(βx－1)＞0＞0.
∵0＜α＜β，∴＞，∴x＜或x＞，
∴cx2＋bx＋a＜0的解集为.
方法技巧 已知不等式的解集求参数的解题思路
已知不等式的解集求参数的问题的实质是考查三个“二次”间的关系．其解题的一般思路为：
(1)根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号；
(2)由根与系数的关系，或将根直接带入方程，求出参数的值或参数之间的关系，进而求解．
跟踪探究 3.已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(1，2)，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．
解析：∵关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(1，2)，
∴1，2是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两根．
由根与系数的关系，得解得
将其代入所求不等式bx2＋ax＋1＞0，
得2x2－3x＋1＞0.
由2x2－3x＋1＞0，得(2x－1)(x－1)＞0，解得x＜或x＞1.故bx2＋ax＋1＞0的解集为∪(1，＋∞).
授课提示：对应学生用书第57页
[课后小结]
(1)对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的求解，要善于联想两个方面的问题：
①二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点及图像．
②方程ax2＋bx＋c＝0的根．
(2)含有参数的不等式的求解，要注意按某一恰当的分类标准进行讨论．
(3)“三个二次”之间的关系不但是解一元二次不等式的理论依据，还可以确定参数的值或范围．
[素养培优]
忽视参数的分类讨论致误
解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R)．
易错分析 求解含参数的一元二次不等式时，如果相应方程的根的情况不明确，应对方程根的情况进行讨论，以确定不等式的解集，若是讨论不全会导致漏解．
自我纠正 当Δ＝4a2－12＞0，即a＞或a＜－时，
方程x2－2ax＋3＝0有两个不相等的实数根，
即x1＝＝a－，
x2＝＝a＋.
且x1＜x2，所以不等式的解集为
{x|x≤a－或x≥a＋}；
当Δ＝4a2－12＜0，即－＜a＜时，方程x2－2ax＋3＝0没有实数根，所以不等式的解集为R；
当Δ＝4a2－12＝0，即a＝±时，方程x2－2ax＋3＝0有两个相等的实数根，所以不等式的解集为R.
综上所述，当a＞或a＜－时，不等式的解集为{x|x≤a－或x≥a＋}；当－≤a≤时，不等式的解集为R.
PAGE2.2 一元二次不等式的应用
内 容 标 准
学 科 素 养
1.会用不等式求其他问题中的参数的取值范围.2.会解分式不等式与高次不等式.3.能够运用不等式解决简单的实际问题.
准确分类讨论规范等价转化提升数学运算
授课提示：对应学生用书第57页
[基础认识]
知识点一 一元二次不等式恒成立问题
知识梳理 解决不等式恒成立问题的关键是转化思想的应用，一元二次不等式恒成立问题还可以借助二次函数的图像求解．
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是或；
(3)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是或；
(4)不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是全体实数(或恒成立)的等价条件是或；
(5)f(x)≤a恒成立，x∈D[f(x)]max≤a，x∈D；
(6)f(x)≥a恒成立，x∈D[f(x)]min≥a，x∈D.
知识点二 不等式的应用问题
思考并完成以下问题
1．分式不等式可转化为整式不等式解决吗？需要注意什么？
提示：可以，需要注意的是分母中因式的根不能在解集中．
2．若a，b∈R，＞0与ab＞0，＜0与ab＜0是否等价？≥0与ab≥0，≤0与ab≤0呢？
提示：＞0与ab＞0，＜0与ab＜0等价；≥0与ab≥0，≤0与ab≤0不等价．
3．课本中讲到用“穿针引线法”解高次不等式时，要从数轴右上方依次过每个根画曲线，请问在对不等式的左边整理时应注意什么问题？
提示：应注意把每个一次因式中x的系数都化为正．
知识梳理 1.分式不等式的解法
对分子分母含x的因式的不等式，先把不等式的右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式来解，从而使问题化繁为简．
大体情况如下：
(1)＞0f(x)g(x)＞0；
(2)＜0f(x)g(x)＜0；
(3)≥0
(4)≤0
(5)≤0
2．形如(x－a)(x－b)(x－c)＞0的不等式解法
设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，如果把函数f(x)图像与x轴的交点(a，0)，(b，0)，(c，0)，形象地看成“针眼”，函数f(x)的图像看成“线”，这种求解不等式(x－a)(x－b)(x－c)＞0的方法，称为穿针引线法．
思考：1.利用图形计算器来解不等式应当注意什么？
提示：借助图形计算器画函数图像解不等式很便捷，但这种方法解不等式是有局限的，因为图形计算器只能显示函数的局部图像，无法显示出无穷远处的情况．
2．你能用图形计算器解不等式2sin
x＞0吗？
提示：可以借助图形计算器画出函数的局部图像，再根据函数的周期性写出不等式的解集．
[自我检测]
1．函数y＝对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m＞2
B．m＜2
C．m＜0或m＞2
D．0≤m≤2
解析：由题意知x2＋mx＋≥0对一切x∈R恒成立，
∴Δ＝m2－2m≤0，∴0≤m≤2.故选D.
答案：D
2．不等式＞0的解集是________．
解析：不等式＞0等价于(x－2)(x＋4)＜0.解得－4＜x＜2.故解集为{x|－4＜x＜2}．
答案：{x|－4＜x＜2}
授课提示：对应学生用书第58页
探究一 不等式的恒成立问题
[阅读教材P83，练习第2题]已知函数y＝(a－2)x2＋2(a－4)x－4的图像都在x轴上方，求实数a的取值的集合．
解析：当a＝2时，
∵y＝－4x－4的图像不都在x轴上方，∴a≠2.
当a≠2时，
∵y＝(a－2)x2＋2(a－4)x－4的图像都在x轴上方，
∴
解①得a＞2.
解②得(a－2)2＋4＜0，解集为?.
∴a的取值范围组成的集合为?.
[例1] 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，不等式f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若对于一切实数x，不等式f(x)≥－2恒成立，求实数m的取值范围．
[解题指南] (1)可由m＝0或求解；
(2)先将不等式化为f(x)＋2≥0，再由m＝0或求解．
[解析] (1)要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0.
若m≠0，则，解得－4＜m＜0.
综上可知，m的取值范围是(－4，0]．
(2)不等式f(x)≥－2，即为mx2－mx＋1≥0.
若m＝0，则不等式即为1≥0，显然恒成立；
当m≠0，则应有解得0＜m≤4.
综上，实数m的取值范围是[0，4]．
延伸探究 1.本例中，若将条件改为当x∈[1，3]时，不等式f(x)＜－m＋5恒成立，求实数m的取值范围．
解析：法一：要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，就要使m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3]．
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.∴0＜m＜.
当m＝0时，－6＜0恒成立．
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
∴g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，即m＜6，∴m＜0.
综上可知，m的取值范围是.
法二：当x∈[1，3]时，f(x)＜－m＋5恒成立，
即当x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立．
∵x2－x＋1＝＋＞0，
且m(x2－x＋1)－6＜0，∴m＜.
∵函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，∴m＜.故m的取值范围是.
方法技巧 一元二次不等式恒成立问题的解题方法
(1)判别式法
①不等式ax2＋bx＋c＞0恒成立或.
②不等式ax2＋bx＋c＜0恒成立或.
(2)分离参数法
若不等式中的参数比较“孤单”，便可将参数分离出来，利用a≥f(x)恒成立a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立a≤f(x)min求解．
(3)参数变换位法
构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围，列式求解，常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)＞0恒成立若f(x)＜0恒成立
跟踪探究 1.已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈(－2，2)，f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．
解析：函数f(x)＝x2＋ax＋3－a的对称轴方程为
x＝－，当－≤－2，即a≥4时，
f(x)min＝f(－2)＝(－2)2－2a＋3－a＝7－3a，
由7－3a≥2，解得a＜，与a≥4矛盾；
当－2＜－＜2，即－4＜a＜4时，
f(x)min＝f＝－＋3－a＝3－a－.
由3－a－≥2，解得：－2－2≤a≤－2＋2，
∴－4＜a≤－2＋2；
当－≥2，即a≤－4时，
f(x)min＝f(2)＝4＋2a＋3－a＝7＋a，
由7＋a≥2，解得a≥－5，
∴－5≤a≤－4.
综上，实数a的取值范围是－5≤a≤－2＋2.
探究二 简单分式不等式的求解
[阅读教材P82例10及解答]解下列不等式
(1)≥0；(2)＜3.
题型：解简单的分式不等式
方法步骤：①先把不等式右边化为0；
②通过符号法则转化为整式不等式；
③求整式不等式得原不等式的解集．
[例2] 解下列不等式：
(1)＞0；(2)≤0；
(3)＜2；(4)＜1.
[解题指南] 对于(1)，可直接转化为整式不等式进行求解，对于(2)，可转化为整式不等式进行求解，但应注意分母不为零；对于(3)，可先移项后通分，再转化为整式不等式进行求解；(4)考虑到2x2＋1＞0，可直接去分母，转化为整式不等式进行求解．
[解析] (1)原不等式可化为(2x＋3)(x－4)＞0，
解得x＞4或x＜－，
所以不等式的解集为.
(2)原不等式可化为
解得－＜x≤3，
所以不等式的解集为.
(3)原不等式即为－2＜0，所以＜0，
因此＞0，可化为(2x＋3)(5x＋4)＞0，
解得x＞－或x＜－.
故原不等式的解集为.
(4)因为2x2＋1＞0，所以去分母得3x＜2x2＋1，即2x2－3x＋1＞0，解得x＞1或x＜.故原不等式的解集为.
方法技巧 1.分式不等式的求解思路是把分式不等式转化为整式不等式，对于形如＞m的分式不等式，应遵循“移项—通分—化乘积”的原则进行求解．
2．解不等式＞m，不要直接在不等式两边同乘分母g(x)，以达到去分母的目的，化为整式不等式f(x)＞m·g(x)的形式进行求解，因为g(x)的符号不确定，这种变形是不等价的．
跟踪探究 2.解下列不等式：
(1)≥0.
(2)≥－1.
解析：(1)≥0可转化为或
解得x≥1或x＜0，
所以不等式≥0的解集为{x|x＜0或x≥1}．
(2)原不等式可化为－1≤0，
即≤0.
由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以原不等式等价于解得所以原不等式的解集为.
探究三 简单的高次不等式的求解
[阅读教材P82例11及解答]解不等式：(x－1)(x－2)(x－3)＞0.
题型：解简单的高次不等式
方法步骤：①设出函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)．
②找出函数y＝f(x)的图像与x轴交点的坐标．
③y＝f(x)图像把x轴分成四个不同区间．
④依次分析每个区间上的符号得解集．
[例3] 解不等式＜1.
[解题指南] 这是高次分式不等式，先移项通分，化成只有一边含未知数，另一边是0的不等式，再让分子分母分别因式分解，最后用数轴标根法来解即可．
[解析] 移项，得－1＜0，
即＜0
化简，得＜0.
∴＜0，
用数轴标根法，得，x＜或＜x＜1或x＞2.
∴不等式的解集为.
方法技巧 解简单的高次不等式用“穿针引线法”，应该注意
(1)各一次项因式中x的系数必为正．
(2)从最大的根的右上方开始穿．
(3)对于偶次或奇次重根，注意“奇穿偶不穿”．
跟踪探究 3.解不等式：(x＋2)(x＋1)2(x－1)3(x－2)≤0.
解析：如图，关于x的不等式(x＋2)(x＋1)2(x－1)3(x－2)≤0，
把各个因式的根－2，－1，1，2排列在数轴上，
用穿根法求得它的解集为(－∞，－2]∪[1，2]．
探究四 一元二次不等式的简单应用
[阅读教材P84例12及解答]
题型：一元二次不等式的简单应用．
方法步骤：①列出税率调低后的“税收总收入”；
②依据题意列出不等式．
③整理后求解．
④回扣实际问题．
[例4] 行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(单位：m)与汽车的车速v(单位：km/h)满足下列关系：
s＝＋(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车实验，有关实验数据如图所示，其中
(1)求n的值；
(2)要使刹车距离不超过12.6
m，则行驶的最大速度是多少？
[解题指南] (1)根据两个刹车距离的范围建立不等式组，并结合n∈N求得n的值；(2)由s≤12.6解出v的取值范围，从而得到行驶的最大速度．
[解析] (1)由题意得
解得因为n∈N，所以n＝6.
(2)由于刹车距离不超过12.6
m，即s≤12.6，所以＋≤12.6，因此v2＋24v－5
040≤0，解得－84≤v≤60.因为v≥0，所以0≤v≤60，即行驶的最大速度为60
km/h.
延伸探究 2.本例中，背景条件不变，若该型号的汽车在某一限速为80
km/h的路段发生了交通事故，交警进行现场勘查，测得该车的刹车距离超过了25.65
m，试问该车是否超速行驶？
解析：由题意知s≥25.65，即＋≥25.65，即v2＋24v－10
260≥0，解得v≥90或v≤－114.由于v≥0，所以速度v的取值范围是v≥90＞80，因此该车已经超速行驶．
方法技巧 解决实际应用问题
(1)准确地将条件中的文字语言、符号语言转化为数学语言，建立数量关系，抽象为数学问题解决，要注意实际问题中变量的取值范围，保证符合实际意义．
(2)建立一元二次不等式模型的基本步骤
①理解题意，搞清量与量之间的关系；
②建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；
③解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
跟踪探究 4.某校园内有一块长为800
m，宽为600
m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
解析：设花卉带的宽度为x
m，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．
故所求花卉带宽度的范围为(0，100]
m.
授课提示：对应学生用书第60页
[课后小结]
(1)解决不等式恒成立问题实际是等价转化思想的应用，同时要结合二次函数的图像求解．
(2)解决分式不等式问题的关键是等价转化为整式不等式．
(3)解决简单的高次不等式的基本方法是穿针引线法，注意求解之前的准备工作：x的系数化为正数．
(4)解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其它未知量，根据题意，列出不等关系再求解，同时还应注意变量的实际意义．
[素养培优]
解一元二次不等式的易错点
关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．
易错分析 当二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可．若认为当系数为0时，不等式为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的．只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况．
自我纠正 原不等式可化为mx2＋mx＋(m－1)＜0，
若m＝0，则不等式化为－1＜0，符合题意；
若m≠0，
则应有m＜0.
综上，m的取值范围为m≤0.
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