§1 数 列
1.1 数列的概念
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解数列的概念及其简单表示和数列的分类，认识数列是反映自然规律的基本数学模型.2.能根据数列的前几项，写出它的一个通项公式.
达成数学抽象发展逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第1页
[基础认识]
知识点一 数列及其有关概念
预习教材P3－6，思考并完成以下问题
1．观察下面5列数，它们有什么共同特征？
(1)全体自然数按从小到大排成一列数：
0，1，2，3，4，….
(2)正整数1，2，3，4，5的倒数排成一列数：
1，，，，.
(3)π精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排成一列数：
3，3.1，3.14，3.141，….
(4)无穷多个1排成一列数：
1，1，1，1，1，….
(5)当n分别取1，2，3，4，5，…时，(－1)n的值排成一列数：
－1，1，－1，1，－1，….
提示：这五列数的共同特征：都是按照一定顺序排列的一列数．
2．上述5列数，按项的个数来分，可以把数列分为几类？
提示：从项数的多少可以把数列分为两类：有穷数列如(2)和无穷数列如(1)(3)(4)(5)．
知识梳理 1.数列的概念及一般形式
(1)相关概念
①数列：按一定次序排列的一列数叫作数列．
②项：数列中的每一个数叫作这个数列的项，其中数列的第1项a1，也称首项；an是数列的第n项，也叫数列的通项．
(2)一般形式
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
2．数列的分类(按项的个数)
知识点二 数列的通项公式
思考并完成以下问题
观察数列1，，，，，…，数列的每一项与这一项的序号之间存在怎样的对应关系？
提示：用文字语言描述：数列的每一项为这一项序号的倒数，用符号语言描述：an＝.
知识梳理 如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式．
[自我检测]
1．(2019·信阳市模拟)数列1，3，6，10，x，21，…中的x等于( )
A．17
B．16
C．15
D．14
解析：∵3－1＝2，6－3＝3，10－6＝4，∴x－10＝5，21－x＝6，∴x＝15，故选C.
答案：C
2．(2019·天门市模拟)数列－1，4，－9，16，－25…的一个通项公式为( )
A．an＝n2
B．an＝(－1)nn2
C．an＝(－1)n＋1n2
D．an＝(－1)n(n＋1)2
解析：设此数列为{an}，其符号为(－1)n，绝对值为n2，
∴an＝(－1)nn2.故选B.
答案：B
3．已知数列{an}的通项公式为an＝n(n－1)，则a3＝________，30是该数列的第________项．
解析：∵an＝n(n－1)，∴a3＝3×(3－1)＝6.令an＝n(n－1)＝30，解得n＝6或n＝－5(舍去)．
答案：6 6
授课提示：对应学生用书第2页
探究一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式
[阅读教材P5例2及解答]写出下面数列的一个通项公式．
(1)3，5，7，9…
(2)1，2，4，8…
(3)9，99，999，9999，…
题型：用观察法求数列的通项公式．
方法步骤：①观察各项与序号的关系；
②写出数列的一个通项公式．
[例1] 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
(1)，2，，8，….
(2)1，－，，－，….
(3)2，0，2，0，….
(4)，，2，，….
[解析] (1)统一形式后，数列可化为，，，，…，
可得原数列的一个通项公式为an＝.
(2)因数列的偶数项带负号，需要乘以(－1)n＋1，
原数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1×.
(3)法一：数列给出前4项，其中奇数项为2，偶数项为0，
所以通项公式的一种表示方法为
an＝
法二：2与0的算术平均数为＝1，1加上1是2，1加上－1是0，
因此数列的通项公式还可以写成an＝1＋(－1)n＋1.
(4)将前4项改写成根式的形式为：，，，，…
故这个数列的一个通项公式为an＝.
方法技巧 由数列的前几项求通项公式的常用方法
此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式，还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母的关系．
跟踪探究 1.根据数列的前4项，写出下列数列的一个通项公式．
(1)0.9，0.99，0.999，0.999
9，….
(2)1，2，3，4，….
(3)，，，，….
解析：(1)0.9＝1－0.1＝1－10－1，0.99＝1－10－2，
0．999＝1－10－3；0.999
9＝1－10－4.
故an＝1－10－n(n∈N＋)．
(2)1＝1＋，2＝2＋，
3＝3＋，4＝4＋，
故an＝n＋(n∈N＋)．
(3)＝，＝，＝，＝，
故an＝(n∈N＋)．
探究二 数列通项公式的应用
[阅读教材P5例1及解答]根据下面的通项公式，分别写出数列的前5项．
(1)an＝.
(2)an＝(－1)ncos.
题型：数列通项公式的应用
方法步骤：①把握通项公式中n的位置；
②在通项公式中依次取n＝1，2，3，4，5得数列{an}的前5项．
[例2] 已知数列{an}的通项公式an＝，n∈N＋.
(1)写出它的第10项；
(2)判断是不是该数列中的项．
[解析] (1)a10＝＝.
(2)令＝.
化简得8n2－33n－35＝0，
解得n＝5，，
当n＝5时，a5＝－≠，
所以不是该数列中的项．
延伸探究 对于本例中的{an}，
(1)求an＋1；
(2)求a2n.
解析：(1)an＋1＝
＝.
(2)a2n＝＝.
方法技巧 通项公式的应用技巧
(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去列方程，若方程的解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
跟踪探究 2.(2019·福州模拟)已知数列，，，，…，，…，则0.96是该数列的第( )
A．20项
B．22项
C．24项
D．26项
解析：∵数列，，，，…，，…，
∴an＝.令＝0.96，得n＝24，所以0.96是该数列的第24项，故选C.
答案：C
授课提示：对应学生用书第3页
[课后小结]
(1)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质．
①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
②可重复性：数列中的数可以重复．
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也和这些数的排列次序有关．
(2)并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．
(3)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．
[素养培优]
对数列概念的理解不清致误
写出由集合{x|x∈N＋，且x≤4}中的所有元素构成的数列(要求首项为1，且集合中的元素只出现一次)．
易错分析 数列不同于集合，它具有有序性，相同的一组数按照不同的次序排列后，得到的是不同的数列．本题易由于对数列的概念理解不清错认为所求数列为1，2，3，4.考查概念理解的学科素养．
自我纠正 集合可表示为{1，2，3，4}，由集合中的元素组成的数列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有6个，分别是1，2，3，4，；1，3，2，4；1，2，4，3；1，3，4，2；1，4，2，3；1，4，3，2.
PAGE1.2 数列的函数特性
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解数列的几种简单的表示方法.2.了解递增数列、递减数列、常数列的概念.3.掌握判断数列增减性的方法.
加强定义理解发展数形结合提升数学运算
授课提示：对应学生用书第3页
[基础认识]
知识点一 数列的表示方法
预习教材P6－8，思考并完成以下问题
以数列2，4，6，8，10，12…为例，你能用几种方法表示这个数列？提示：对数列2，4，6，8，10，12，…可用以下几种方法表示：(1)通项公式法：an＝2n.(2)递推公式法：(3)列表法：n123…k…an246…2k…(4)图像法
知识梳理 数列的表示方法有通项公式法、递推公式法、列表法和图像法．
知识点二 数列的增减性
思考并完成以下问题
观察下列数列，发现它们分别有什么特性？
(1)1，2，3，4，…，n，…；
(2)1，，，，…，…；
(3)1，1，1，1，….
提示：数列(1)从第2项起的每一项都大于它的前一项，与增函数类似；数列(2)从第2项起的每一项都小于它的前一项，与减函数类似；数列(3)的各项都相等．
知识梳理 数列的函数特性
分类
定义
表达式
递增数列
从第2项起，每一项都大于它前面的一项
an＋1＞an
递减数列
从第2项起，每一项都小于它前面的一项
an＋1＜an
常数列
各项都相等
an＋1＝an
[自我检测]
1．已知数列{an}的通项公式an＝n·，n∈N＋，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．摆动数列
D．先递增再递减的数列
答案：D
2．已知an＝3n－2，则数列{an}的图像是( )
A．一条直线
B．一条抛物线
C．一个圆
D．一群孤立的点
答案：D
3．若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为________(填序号)．
①an＝－2n＋3；②an＝－n2＋3n＋1；③an＝；④an＝(－1)n.
答案：①③
授课提示：对应学生用书第4页
探究一 数列的表示法
[阅读教材P8练习1]在1984年到2004年的6届夏季奥运会上，我国获得的金牌数依次排成数列：15，5，16，16，28，32，试画出该数列的图像．
解析：用横坐标表示年数，纵坐标表示获得的金牌数，得到该数列的图像如图．
[例1] 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的递推公式和一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像．
[解析] 如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形第(2)个是第(1)个的3倍，第(3)个是第(2)个的3倍，故有递推公式a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋，个数依次为1，3，9，27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是an＝3n－1，n∈N＋.在直角坐标系中的图像为一些孤立的点(如图所示)．
方法技巧 求数列的递推公式注重观察数列项与项的关系，求通项公式注重观察项与序号的关系，图像法则一如既往地直观．
跟踪探究 1.某种练习本单价5元，小王买了n本(n∈N＋，n≤5)该练习本，记an为买n本的总价，试用三种方法来表示数列{an}．
解析：通项公式法：an＝5n(n∈N＋，n≤5)．
列表法：
n
1
2
3
4
5
an
5
10
15
20
25
图像法：
探究二 数列的单调性
[阅读教材P7例3及解答]判断下列无穷数列的增减性．
(1)2，1，0，－1，…，3－n，…
(2)，，，…，，…
题型：定义法判断数列的增减性．
方法步骤：①设出数列通项公式an.
②作差并化简an＋1－an.
③判断符号得出结论．
[例2] 已知函数f(x)＝，设an＝f(n)(n∈N＋)．
(1)求证：an＜1.
(2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？
[解题指南] →→
[解析] (1)证明：因为an＝＝1－，且n∈N＋，所以an＜1.
(2)an＋1－an＝－＝＝＞0，所以an＋1＞an，因此{an}为递增数列．
方法技巧 判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系．
跟踪探究 2.已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，写出其前5项，并判断数列{an}的单调性．
解析：当n＝1，2，3，4，5时，
an依次为，，，，，
an＋1－an＝－＝.
∵函数f(x)＝－x2－x＋9＝－＋.
在[1，＋∞)上是递减的，
又f(1)＝7＞0，f(2)＝3＞0，f(3)＝－3＜0，
∴当n＝1，2时，an＋1＞an，
当n≥3，n∈N＋时，an＋1＜an，即a1＜a2＜a3＞a4＞a5＞….
∴数列{an}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的．
[例3] 已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn(n∈N＋)，若数列{an}是递增数列，求实数k的取值范围．
[解析] 由{an}是递增数列，得an＋1－an＝(n＋1)2＋k(n＋1)－(n2＋kn)＝2n＋1＋k＞0对于任意n∈N＋恒成立．
∵f(x)＝2x＋1＋k在[1，＋∞)上为增函数，
∴2n＋1＋k＞0对任意n∈N＋恒成立等价于2×1＋1＋k＞0，∴k＞－3，∴实数k的取值范围是(－3，＋∞)．
方法技巧 实际上，当－3＜k＜－2时，函数y＝x2＋kx在[1，＋∞)上不是单调函数，但数列an＝n2＋kn是单调的，由此可知函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列an＝f(n)一定单调，反之则不一定．究其原因，是数列与函数定义域不同造成的差别．
跟踪探究 3.已知递增数列{an}的通项公式为an＝2kn＋1，则实数k的取值范围是________．
解析：由于数列{an}是递增数列，所以an＋1－an＞0，即[2k(n＋1)＋1]－(2kn＋1)＝2k＞0，解得k＞0.
答案：(0，＋∞)
[阅读教材P7例4及解答] 作出数列－，，－，，…，，…的图像，并分析数列的增减性．
题型：图像法判断数列的增减性．
方法步骤：①作出数列的图像；
②根据图像判断数列的增减性．
[例4] 在数列{an}中，an＝n2－8n.
(1)画出{an}的图像；
(2)根据图像写出数列{an}的增减性．
[解析] (1)列表
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
－7
－12
－15
－16
－15
－12
－7
0
9
…
描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…，图像如图所示．
(2)当1≤n≤4(n∈N＋)时，数列{an}为递减数列；当n＞4(n∈N＋)时，数列{an}为递增数列．
方法技巧 数列是自变量为正整数的一种特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．
跟踪探究 4.已知数列{an}的通项公式为an＝，画出它的图像，并判断增、减性．
解析：图像如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的．
探究三 求数列的最大(小)项
[例5] 已知数列{an}满足an＝，此数列有无最大项？若有，是第几项？
[解题指南] →→→，或利用数列的函数特性作图像求解．
[解析] 法一：假设数列{an}中存在最大项，因为an＝＝，
所以an－an－1＝－
＝＝(n≥2，n∈N＋)，
当n＜3时，n－＜0，n－＜0，
所以an－an－1＜0，有an＜an－1，将n＝1，2代入an知：a2＜a1＜0；
当n＝3时，n－＞0，n－＜0，
所以an－an－1＞0，有an＞an－1，将n＝3代入an知：0＜a3＝2；
当n＞3时，n－＞0，n－＞0，
所以an－an－1＜0，有an＜an－1，将n＝4，5，6，…代入an知：
＝a4＞a5＞a6＞…＞0；
由以上分析知，第三项a3＝2是数列的最大值．
法二：作出函数f(x)＝的图像．
由图像知，此数列有最大项，是第3项．
延伸探究 本例中，条件不变，求“此数列有无最小项”？
解析：由以上分析知，a2＜a1＜0，a3＞a4＞a5＞a6＞…＞0，所以数列的最小项是第二项a2＝－2.
方法技巧 求数列的最大(小)项的方法
(1)利用数列的单调性→→→
(2)函数思想的应用→→→→
(3)不等式思想的应用→→eq
\x(列不等式组)→→
跟踪探究 5.在数列{an}中，an＝(n＋1)(n∈N＋)．
(1)求证：数列{an}先递增，后递减；
(2)求数列an的最大项．
解析：(1)证明：令＞1(n≥2)，即＞1，整理得＞，解得n＜10.令＞1，即＞1，整理得＞，解得n＞9.所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先增后减．
(2)由(1)知，a9＝a10＝最大.
授课提示：对应学生用书第5页
[课后小结]
(1){an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．
(2)数列的表示方法：①图像法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．
(3)数列的单调性是通过比较{an}中任意相邻两项an和an＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决．
(4)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N＋(或它的有限子集)．
[素养培优]
忽略数列中项数的特殊性致误
在数列{an}中，an＝3n2－14n－8，求该数列的最小项．
易错分析 解决数列问题时可以借鉴函数的方法，但必须注意数列相对函数的特殊性，尤其是数列中项数n只能取正整数；在求解此题时容易忽略这一点而得到错误的结论－.
自我纠正 an＝3n2－14n－8＝3－，因为∈(2，3)，所以当n取距离最近的整数时，an最小，而a2＝－24，a3＝－23，所以该数列中的最小项为a2＝－24.
PAGE§2 等差数列
2.1 等差数列
第1课时 等差数列的概念及通项公式
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的判定方法.3.了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式，学会其应用.
加强概念理解形成逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第6页
[基础认识]
知识点一 等差数列的概念
预习教材P10－12，思考并完成以下问题
观察下列几组数列
①0，5，10，15，20，25，…
②9，6，3，0，－3，－6，…
③2，2，2，2，2，2，…
(1)每个数列从第2项起，每一项与前一项的差分别是几？
提示：从第2项起，每一项与前一项的差分别是5，－3，0.
(2)每个数列中，相邻两项的递推关系是什么？
提示：分别是an＋1－an＝5，an＋1－an＝－3，an＋1－an＝0.
(3)这几个数列都有什么共同特点？
提示：从第2项起，每一项与前一项的差都是同一常数．
知识梳理 等差数列的定义
(1)文字语言：
如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．
(2)符号语言：an＋1－an＝d，(d为常数，n∈N＋)．
知识点二 等差数列的通项公式
思考并完成以下问题
1．等差数列1，3，5，7，…中，你能归纳出它的通项公式吗？怎样表示．
提示：能．an＝2n－1.
2．结合等差数列的定义，你能得出等差数列的通项公式吗？
提示：
(n－1)个
将以上(n－1)个等式两边分别相加，可得
an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d.
3．确定等差数列{an}的通项公式的关键是确定哪些量？
提示：等差数列{an}的首项a1与公差d.
知识梳理 等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则这个等差数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d．
[自我检测]
1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋5，则此数列是( )
A．公差为2的等差数列
B．公差为5的等差数列
C．首项为5的等差数列
D．公差为n的等差数列
解析：∵an＝2n＋5，∴an＋1＝2(n＋1)＋5＝2n＋7，∴an＋1－an＝(2n＋7)－(2n＋5)＝2，∴数列{an}是公差为2的等差数列．故选A.
答案：A
2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6.
答案：C
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89的项数为________．
解析：因为a1＝1，d＝－1－1＝－2，所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋3.由－2n＋3＝－89，得n＝46.
答案：46
授课提示：对应学生用书第7页
探究一 等差数列的判断
[阅读教材P11例1及解答]判断下面数列是否为等差数列．
(1)an＝2n－1.
(2)an＝(－1)n.
题型：等差数列的判断．
方法步骤：(1)定义法：①作差an－an－1(n≥2，n∈N＋)，
②化简差，
③下结论．
(2)通项公式法：
①找出数列的通项公式an.
②看an是否为an＝kn＋b(k、b为常数，n∈N＋)的形式．
[例1] 判断下列数列是否是等差数列，并给出证明．
(1)an＝4－2n；
(2)an＝n2＋n.
[解析] (1)是等差数列．
∵an＋1－an＝4－2(n＋1)－(4－2n)
＝4－2n－2－4＋2n＝－2(常数)，
∴{an}是等差数列，且公差为－2.
(2)不是等差数列．
∵a1＝2，a2＝6，a3＝12.
∴a2－a1≠a3－a2，
∴{an}不是等差数列．
方法技巧 判断等差数列的方法
(1)本例给出了数列的通项公式，要判断是否为等差数列可以用定义法，也可以直接看通项公式是否为an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)的形式，若符合形式则为等差数列，否则不是．
(2)定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据，要证明一个数列为等差数列，可用an＋1－an＝d(常数)或它的等价命题，但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出反例．
跟踪探究 1.如果数列a1，a2，a3，…，an，…(n∈N＋)是等差数列，那么下列数列中不是等差数列的是( )
A．a1＋3，a2＋3，a3＋3，…，an＋3，…
B．2a1，2a2，2a3，…，2an，…
C.，，，…，，…
D．2a1＋1，2a2＋1，2a3＋1，…，2an＋1，…
解析：因数列{an}为等差数列，设an－an－1＝d(d为常数)，n∈N＋，且n≥2，
选项A中，数列的第n项减去第n－1项得：(an＋3)－(an－1＋3)＝an－an－1＝d；
选项B中，数列的第n项减去第n－1项得：2an－2an－1＝2(an－an－1)＝2d；
选项D中，数列的第n项减去第n－1项得：(2an＋1)－(2an－1＋1)＝2(an－an－1)＝2d；
选项C中，数列的第n项减去第n－1项得：－＝＝，结果不是常数．
答案：C
2．若{an}是等差数列，下列数列中仍为等差数列的有( )
①{|an|}；②{an＋1－an}；③{pan＋q}(p，q为常数)；④{2an＋n}．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：设an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则an＋1－an＝k，故②为常数列，也是等差数列．
pan＋q＝p(kn＋b)＋q＝pkn＋(pb＋q)，故③为等差数列.2an＋n＝2(kn＋b)＋n＝(2k＋1)n＋2b，故④为等差数列．①未必，如an＝2n－4，则{|an|}的前4项为2，0，2，4，显然{|an|}不是等差数列．
答案：C
3．已知数列{an}的通项公式为an＝pn2＋qn(p，q为常数，n∈N＋)，当p和q满足什么条件时，数列{an}是等差数列？
解析：∵an＝pn2＋qn，
an＋1－an＝p(n＋1)2＋q(n＋1)－pn2－qn＝2pn＋p＋q.
若是等差数列，其差应该是一个与n无关的常数，
∴2p＝0.
∴p＝0，q为常数时，数列{an}为等差数列．
探究二 求等差数列的通项公式
[阅读教材P12例3及解答](1)求等差数列9，5，1，…的第10项；
(2)已知等差数列{an}，an＝4n－3，求首项a1和公差d.
题型：求等差数列的通项公式．
方法步骤：(1)①写出首项a1，求出公差d.
②写出通项公式an.
③求出a10.
(2)①求出a1.
②求出a2.
③求出公差d＝a2－a1.
[例2] (2016·高考全国卷Ⅱ改编)等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.
(1)求{an}的通项公式．
(2)49是不是此数列中的项？若是，是第几项？若不是，说明理由．
[解析] (1)设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.
解得a1＝1，d＝，
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)49是此数列中的项．
令an＝＝49，得2n＝242.
故n＝121.因此49是此数列中的第121项．
方法技巧 求等差数列通项公式的四个步骤
跟踪探究 4.(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？
解析：(1)a1＝8，a2＝5，得
d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20得，a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式．
an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
探究三 等差数列通项公式的应用
[阅读教材P12例4及解答]已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35，试求出数列的通项公式．
题型：等差数列通项公式的应用
方法步骤：①设出等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)．
②分别取n＝5，20得二元一次方程组．
③解方程组得a1、d的值．
④写出数列{an}的通项公式．
[例3] 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n≥2，n∈N＋)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列．
(2)求数列{bn}的通项公式．
[解析] (1)证明：因为bn＝，
所以bn－1＝(n≥2)，
所以当n≥2时，bn－bn－1＝－＝－
＝－＝－＝＝.
所以数列{bn}为等差数列，公差为.
(2)因为a1＝4，所以b1＝＝，
所以bn＝＋(n－1)＝.
延伸探究 本例中，条件不变，求“数列{an}的通项公式”．
解析：由例题解法知bn＝，因为bn＝，
所以＝，解得an＝＋2.
方法技巧 等差数列通项公式的四个应用
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量．
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项．
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所需求的项．
(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列{an}是等差数列．
跟踪探究 5.等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31.
(1)求a20；
(2)85是不是该数列中的项？若不是说明原因，若是，是第几项？
解析：(1)由an＝a1＋(n－1)d得，
解得∴a20＝－2＋19×3＝55.
(2)∵a1＝－2，d＝3，∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，令3n－5＝85，∴n＝30.∴85是该数列的第30项.
授课提示：对应学生用书第8页
[课后小结]
(1)判断一个数列是否为等差数列的常用方法：
①an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋){an}是等差数列；
②2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋){an}是等差数列；
③an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋){an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
(2)由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
[素养培优]
对等差数列的定义理解不深致误
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．
易错分析 等差数列的定义是判断或证明一个数列是不是等差数列的重要依据，要说明{an}是等差数列，应证明an＋1－an＝d，其中d必须是一个与n无关的常数．本题中易由an＋1－an＝2n得出an＝2n2－2n＋1的错误结论．考查定义理解的学科素养．
自我纠正 由已知得an＋1－an＝2n，
所以a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，a4－a3＝2×3，…，an－an－1＝2(n－1)(n≥2)，
以上各式相加得an－a1＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n(n－1)．
所以an＝n2－n＋1.
当n＝1时，a1＝1适合an＝n2－n＋1，
所以an＝n2－n＋1(n∈N＋).
第2课时 等差数列的性质
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握等差数列的图像与一次函数图像的关系.2.理解等差数列公差的符号与等差数列单调性的关系.3.理解并掌握等差中项.
提升数学运算加强数形结合精确性质应用
授课提示：对应学生用书第9页
[基础认识]
知识点一 等差数列与一次函数的关系
预习教材P13－14，思考并完成以下问题
1．若等差数列an＝a1＋(n－1)d，首项a1与公差d为已知量，an与n之间有什么函数关系吗？
提示：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，且n∈N＋，故an与n是一次函数关系，n为自变量，n∈N＋.
2．等差数列的单调性与d之间有什么关系吗？
提示：根据一次函数的性质，当d＞0时，an的值由n的增大而增大；d＝0时，an的值相等；d＜0时，an的值由n的增大而减小．
知识梳理 1.等差数列的图像
由an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．
2．等差数列的单调性
对于an＝dn＋(a1－d)
(1)当d＞0时，数列{an}为递增数列．
(2)当d＜0时，数列{an}为递减数列．
(3)当d＝0时，数列{an}为常数列．
知识点二 等差数列的性质
思考并完成以下问题
1．已知等差数列{an}，对于数列中的任意两项an，am存在怎样的关系？
提示：由等差数列的通项公式可知
an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d，
两式相减，得an－am＝(n－m)d，所以an＝am＋(n－m)d.
2．观察等差数列{an}的项与项数，回答问题：
(1)3＋6＝4＋5，a3＋a6与a4＋a5相等吗？
提示：相等．
(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq吗？
提示：相等．因为am＝3m，an＝3n，ap＝3p，aq＝3q，
am＋an＝3(m＋n)，ap＋aq＝3(p＋q)，
因为m＋n＝p＋q，故am＋an＝ap＋aq.
3．若三个数a，A，b满足2A＝a＋b，这三个数a，A，b成等差数列吗？
提示：成等差数列．因为2A＝a＋b，所以A－a＝b－A，即a，A，b成等差数列．
知识梳理 1.等差数列的性质
在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，有am＋an＝ap＋aq．
2．等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，且A＝.
[自我检测]
1．若一个等差数列{an}中，a2＝3，a7＝6，则其公差为( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：a7－a2＝5d，∴5d＝3，d＝.故选A.
答案：A
2．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝( )
A．3
B．－3
C.
D．－
解析：由等差数列性质知，a4＋a5＝a7＋a2，∴a2＝(a4＋a5)－a7＝3.故选A.
答案：A
3．若等差数列an＝(2a－1)n＋a为单调递增数列，则a的范围是________．
解析：由2a－1＞0，解得a＞.
答案：
授课提示：对应学生用书第9页
探究一 等差数列与一次函数的关系
[阅读教材P13例5及解答]已知(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图像上的两点．
(1)求这个数列的通项公式；
(2)画出这个数列的图像；
(3)判断这个数列的单调性．
题型：等差数列与一次函数的关系．
方法步骤：①由(1，1)，(3，5)两点求解a1，d；
②由通项公式an画出图像；
③结合图像判断数列的单调性．
[例1] 已知数列{an}的通项公式an＝pn＋q(n∈N＋)，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？
[解析] 取数列{an}中任意相邻两项an和an－1(n＞1)，
求差得an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p.
它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列．
由于an＝pn＋q＝q＋p＋(n－1)p，
所以首项a1＝p＋q，公差d＝p.
方法技巧 根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质．
跟踪探究 1.若数列{an}满足a1＝15，3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，则使ak·ak＋1＜0的k值为________．
解析：由3an＋1＝3an－2，
得an＋1－an＝－，
又a1＝15，∴{an}是首项为15，公差为－的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d＝15＋(n－1)×＝－n＋.
令an＝0，解得n＝＝23.5；
∵d＝－，数列{an}是递减数列．
∴a23＞0，a24＜0.
答案：23
探究二 等差数列性质的应用
[阅读教材P14例6及解答]一个木制梯形架的上、下两底边分别为33
cm，75
cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度．
题型：等差数列性质的应用
方法步骤：①利用等差中项说明构成等差数列．
②由a1＝33
cm，a7＝75
cm.
得出公差d＝7
cm.
③由通项公式的推广写出中间5层的宽度．
[例2] (1)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有( )
A．a1＋a101＞0
B．a2＋a101＜0
C．a3＋a39＝0
D．a51＝51
(2)(2019·孝感市模拟)在等差数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则该数列公差d等于( )
A.
B.或－
C．－
D.或－
[解析] (1)根据性质得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，a3＋a99＝2a51＝0.
(2)∵在等差数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，
∴a7＋a11＝a4＋a14＝5，
∴a7和a11是方程x2－5x＋6＝0的两个根，
解得a7＝2，a11＝3，或a7＝3，a11＝2，
∴d＝＝或d＝＝－.
即该数列公差d等于或－.故选D.
[答案] (1)C (2)D
方法技巧 等差数列运算的两种常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
跟踪探究 2.(1)(2019·菏泽市模拟)等差数列{an}中，a2＋a4＋a9＋a11＝36，则a5＋a8的值为( )
A．12
B．18
C．9
D．20
解析：等差数列{an}中，a2＋a4＋a9＋a11＝36，由a5＋a8＝a2＋a11＝a4＋a9，可得2(a5＋a8)＝36，即有a5＋a8＝18.故选B.
答案：B
(2)在等差数列{an}中，
①a1＋a3＋a5＝－1，求a1＋a2＋a3＋a4＋a5；
②已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，且a4＞a2，求a5.
解析：①∵a1＋a3＋a5＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝－1，
∴a3＝－，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝5×＝－.
②∵a2＋a3＋a4＋a5＝34且a3＋a4＝a2＋a5，
∴2(a2＋a5)＝34，
∴a2＋a5＝17，又a2·a5＝52，
∴或
又∵a4＞a2，∴a4－a2＝2d＞0，
∴d＞0，∴a5＞a2，∴a5＝13.
探究三 等差数列的设法及运算
[P19A组第4题]设数列{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析：记前三项分别为a2－d，a2，a2＋d，
由题意可知：3a2＝12①
(a2－d)·a2·(a2＋d)＝48②
将①代入②得(4－d)(4＋d)＝12.
解得d＝2或d＝－2(舍去)，
∴a1＝a2－d＝4－2＝2.故选B.
答案：B
[例3] 已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．
[解析] 法一：设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得
解得或
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，
得
化简，得eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,a＋3a1d＋2d2＝40，))解得或
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
化简，得解得
∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.
方法技巧 1.本例用对称项设法设出数列各项，在求和过程中能消去d，使解题变得简捷．
2．对称项设法
(1)当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项，即：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d….
(2)当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项，即…a－3d，a－d，a＋d，a＋3d….
跟踪探究 3.已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式．
解析：法一：依题意，得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，∴d＜0.故取a1＝11，d＝－5.∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
法二：设等差数列{an}的前三项依次为a－d，a，a＋d，
则解得
又∵{an}是递减等差数列，∴d＜0，∴取a＝6，d＝－5.
∴等差数列{an}的首项a1＝11，公差d＝－5.
∴通项公式an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
授课提示：对应学生用书第11页
[课后小结]
(1)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d的正负有关．特别地，如果已知等差数列{an}的任意两项an，am，由an＝am＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式，得d＝(m≠n)．
(2)在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
(3)在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
[素养培优]
等差数列性质使用不正确致误
等差数列{an}中，已知a3＝2，a6＝5，求a9.
易错分析 使用性质“若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”时，一定要注意结论中等式两边项数相同．否则易范a9＝a3＋a6＝7的错误，考查性质应用的学科素养．
自我纠正 a3，a6，a9构成一个新的等差数列，其中a3是第一项，a6是第二项，a9是第3项，故a9＝8.
PAGE2.2 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列的前n项和
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解等差数列的前n项和公式的推导方法.2.掌握等差数列的前n项和公式，会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
强化图形应用严格公式代换抽象数学模型
授课提示：对应学生用书第11页
[基础认识]
知识点一 等差数列的前n项和公式
预习教材P15－18，思考并完成以下问题
1．你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下，高斯是怎样求1＋2＋3＋…＋100的结果的？
提示：对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果，当时他的思路和解答方法是：S＝1＋2＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍S＝100＋99＋98＋…＋2＋1.
所以有2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101，∴S＝50×101＝5
050.
2．你能用高斯的计算方法求1＋2＋3…＋n的值吗？
提示：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n，①
又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1，②
两式相加得2Sn＝(1＋n)＋(2＋n－1)＋…＋(n＋1)＝n(n＋1)，
∴Sn＝.
3．我们把高斯的这种计算方法称为倒序求和法．你能用这种方法推得等差数列{an}的前n项和Sn吗？
提示：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]，
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d]，
∴2Sn＝(a1＋an)×n，
∴Sn＝.③
4．问题(2)中求出的Sn是已知等差数列首项、末项与项数时求前n项和Sn的公式，如果用an＝a1＋(n－1)d替换末项，问题3中求出的Sn会变形为怎样的形式呢？
提示：Sn＝na1＋n(n－1)d.
知识梳理 等差数列的前n项和公式
已知量
首项、末项与项数
首项、公差与项数
求和公式
Sn＝
Sn＝na1＋d
知识点二 a1，d，n，an，Sn，知三求二
思考并完成以下问题
在等差数列{an}中，若已知d，n，an，如何求a1和Sn?
提示：利用an＝a1＋(n－1)d代入d，n，an，可求a1，利用Sn＝或Sn＝na1＋d可求Sn.
知识梳理 应用公式知三求二：
(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项和前n项和．
(2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．
知识点三 等差数列前n项和的最值
思考并完成以下问题
1．你能把等差数列的前n项和公式写成Sn关于n的二次函数的形式吗？
提示：能
Sn＝n2＋n.
2．这个关系式有何特点？
提示：可以看作是二次项系数为，图像过原点的二次函数．
知识梳理 类比二次函数的最值情况，等差数列前n项和的最值情况如下：
等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关．
(1)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值．
(2)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值．
(3)若a1＞0，d＞0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1＜0，d＜0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值．
[自我检测]
1．在等差数列{an}中，若其前13项的和S13＝52，则a7为( )
A．4
B．3
C．6
D．12
解析：∵在等差数列{an}中，其前13项的和S13＝52，
∴S13＝(a1＋a13)＝13a7＝52，解得a7＝4.故选A.
答案：A
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若7a5＋5a9＝0，且a9＞a5，则Sn取得最小值时n的值为( )
A．5
B．6
C．7
D．8
解析：由7a5＋5a9＝0得＝－，又a9＞a5，所以d＞0，a1＜0，因为函数y＝x2＋x的图像的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取最小值时n的值为6.
答案：B
3．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝________．
解析：设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝2＋6d＝14，∴d＝2.则Sn＝n＋×2＝n2.
令Sn＝100，即n2＝100.
解得n＝10或n＝－10(舍)．
答案：10
授课提示：对应学生用书第12页
探究一 等差数列前n项和公式的基本应用
[P17练习1第3题]在等差数列{an}中，
(1)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；
(2)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8.
(3)已知a3＋a15＝40，求S17.
解析：设{an}中首项为a1，公差为d，
(1)，解得
(2)，解得.
∴a8＝a1＋7d＝－5＋21＝16，
S8＝8a1＋28d＝－40＋84＝44.
(3)S17＝＝＝＝340.
[例1] 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1
220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
[解析] 法一：由题意知，S10＝310，
S20＝1
220，
将它们代入公式Sn＝na1＋d，
得到
解方程组得
∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n.
法二：∵S10＝＝310，
∴a1＋a10＝62，①
∵S20＝＝1
220，
∴a1＋a20＝122，②
②－①，得，a20－a10＝60，
∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4.
∴Sn＝na1＋d＝3n2＋n.
方法技巧 两种思想方法在等差数列前n项和公式中的应用
(1)方程思想：等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是由通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解．
(2)整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用．
跟踪探究 1.(2019·珠海市模拟)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn，若a2＋a5＋a8＝，则sin
S9＝( )
A.
B.
C．－
D．－
解析：∵a2＋a5＋a8＝，a2＋a8＝2a5＝a1＋a9，
∴3a5＝，a5＝，∴a1＋a9＝，
∴S9＝＝×＝，sin
S9＝.故选B.
答案：B
探究二 等差数列前n项和的最值问题
[P18练习2第1题]已知数列{2n－11}，那么Sn的最小值是( )
A．S1
B．S5
C．S6
D．S11
解析：由an＝2n－11，令an≤0，得n≤5.5，又∵n∈N＋，
所以该数列前5项均为负数，从第6项开始为正数，
故Sn的最小值为S5.
答案：B
[例2] 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值，并指出何时取最小值．
[解题指南] (1)→→
(2)法一：→
法二：→→
[解析] (1)设公差为d，则
解得则an＝3n－12.
(2)法一：Sn＝＝(3n2－21n)
＝－，
所以n＝3或4时，前n项的和Sn取得最小值为－18.
法二：要使数列{an}前n项的和取得最小值，
则得3≤n≤4，又n∈N＋，所以n＝3或4，S3＝S4＝－18.所以数列{an}前n项的和取得最小值为－18.
方法技巧 求等差数列前n项和的最值问题的两种方法
(1)在等差数列{an}中，当a1＞0，d＜0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
当a1＜0，d＞0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
跟踪探究 2.在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，求Sn的最大值．
解析：法一：∵S9＝S17，a1＝25，
∴9×25＋d＝17×25＋d，
解得d＝－2.
由得
又∵n∈N＋，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
法二：同方法一，求出公差d＝－2.
设Sn＝An2＋Bn.
∵S9＝S17，
∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，
∴当n＝13时，Sn取得最大值169.
探究三 等差数列前n项和的实际应用
[阅读教材P18例11及解答]九江抗洪指挥部接到预报，24
h后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆工作24
h，但目前只有一辆车投入施工，其余的需从昌九高速公路沿线抽调．每隔20
min能有一辆车到达，指挥部最多可调集25辆车，那么在24
h内能否构筑成第二道防线？
题型：等差数列前n项和的实际应用．
方法步骤：①从实际问题中抽象出等差数列．
②确定数列首项a1及公差d.
③求出等差数列的前n项和．
④判断并得出结论．
[例3] 从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出20件，第二天售出35件，第三天售出50件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天售出的件数分别递减10件．
(1)记从4月1日起该款服装日销售量为an，销售天数为n，1≤n≤30，求an与n的关系；
(2)求4月份该款服装的总销售量．
[解题指南] 解答本题可先确定an与n的关系，然后用等差数列的前n项和公式求总销量．
[解析] (1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列{an}．由题意知，数列a1，a2，…，a10是首项为20，公差为15的等差数列，所以a9＝15n＋5(1≤n≤12且n∈N＋)．
而a13，a14，a15，…a30是首项为a13＝a12－10＝175，
公差为－10的等差数列．
所以an＝175＋(n－13)×(－10)＝－10n＋305(13≤n≤30且n∈N＋)．
所以an＝
(2)4月份该款服装的总销售量为
＋18a13＋
＝＋18×175＋
＝2
850(件)．
延伸探究 本例中，条件不变，求“按规律，当该商场销售此服装超过1
300件时，社会上就开始流行，当此服装的销售量连续下降，且日销售量低于110件时，则此服装在社会上不再流行．试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由．”
解析：4月1日至4月12日的销售总量为
＝＝1
230＜1
300，
所以4月12日前该款服装在社会上还没有流行．
4月1日至4月13日的销售总量为1
230＋a13＝1
230＋175＝1
405＞1
300，
故4月13日该款服装在社会上已开始流行．
由－10n＋305＜110，得n＞，所以第20天该款服装在社会上不再流行．
所以该款服装在社会上流行没有超过10天．
方法技巧 解应用题的基本程序
跟踪探究 3.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10
km/h开始，每隔2
s速度提高20
km/h.如果测试时间是30
s，测试距离是________km.
解析：由于每隔2
s速度提高20
km/h，
所以该赛车在每个2
s内的速度构成等差数列{an}，且a1＝10，d＝20.
测试时间是30
s，则最后一个2
s内的速度是a15，
测试距离S＝(a1＋a2＋…＋a15)×＝(15×10＋×20)×＝1.25(km)．
答案：1.25
授课提示：对应学生用书第14页
[课后小结]
(1)推导等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．
(2)等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量．若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：
若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N＋)；
若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap.
(3)求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法有两种：
①用二次函数的性质求解；
②明确数列中的正项与负项，用负项之和最小，正项之和最大来解决．
(4)解决数列应用题时应分清：
①是否为等差数列问题；
②是通项问题还是求和问题．
[素养培优]
忽略数列中为零的项致错
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＞0，S11＝S18，则当n为何值时Sn最大？
易错分析 在求解等差数列前n项和Sn的最值时，容易忽略数列中为零的项而致错．利用不等式组(或)求n的范围或利用二次函数的图像求解均可避免出错，考查图形应用的学科素养．
自我纠正 法一：由S11＝S18
将11a1＋55d＝18a1＋153d.
即a1＝－14d＞0，所以d＜0，
构建不等式组
即
解得14≤n≤15.
故当n＝14或n＝15时，Sn最大．
法二：由S11＝S18知a1＝－14d.
所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋d
＝－d，
由于n∈N＋，结合Sn对应的二次函数的图像知，
当n＝14或n＝15时Sn最大．
法三：由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0，
所以a15＝0，又a1＞0，所以d＜0.
故当n＝14或n＝15时，Sn最大.
PAGE第2课时 等差数列习题课
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握等差数列的定义、通项公式、前n项和公式.2.掌握通过数列的前n项和Sn求通项公式的方法.3.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.
灵活公式运用严格分类讨论提升数学运算
授课提示：对应学生用书第14页
[基础认识]
知识点一 等差数列前n项和的性质
思考并完成以下问题
已知等差数列{an}，其前n项和为Sn.
(1)a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6有什么大小关系？
提示：a3＋a4＝(a1＋a2)＋4d，a5＋a6＝(a3＋a4)＋4d，
∴(a5＋a6)－(a3＋a4)＝(a3＋a4)－(a1＋a2)＝4d，
即a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6构成等差数列．
(2)我们知道，a1＋a2＝S2，a3＋a4＝S4－S2，a5＋a6＝S6－S4，则上述关系可以描述为一个怎样的结论？
提示：如果{an}是等差数列，那么S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列．
(3)这种结论可以推广吗？
提示：可以推广．
知识梳理 等差数列前n项和的性质．
等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列．
知识点二 数列中an与Sn的关系
思考并完成以下问题
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2.怎样求a1，an?
提示：a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又当n＝1时也适合上式．
所以an＝2n－1，n∈N＋.
知识梳理 数列中an与Sn的关系
对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝
特别提醒：(1)这一关系对任何数列都适用．
(2)若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示．
若由an＝Sn－Sn－1(n≥2)中令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式．
[自我检测]
1．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )
A．8
B．7
C．6
D．5
解析：由条件知a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝30，
又∵a1＋a11＝a3＋a9＝a5＋a7，
∴a5＋a7＝2a6＝10，
∴中间项a6＝5.故选D.
答案：D
2．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a15|＝( )
A．139
B．153
C．144
D．178
解析：Sn＝＝n(n－6)．
∵an≥0时，n≥.
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－a1－a2－a3＋a4＋a5＋…＋a15
＝S15－2S3＝15×9－2×3×(－3)＝153.故选B.
答案：B
3．等差数列{an}中，S2＝4，S4＝9，则S6＝________．
解析：由S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，
∴4＋(S6－9)＝2×5，∴S6＝15.
答案：15
授课提示：对应学生用书第15页
探究一 等差数列及前n项和的性质
[例1] (1)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝100，S100＝10，求S110.
[解题指南] (1)利用性质S2n－1＝(2n－1)an求解．
(2)利用性质Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列求．
[解析] (1)法一：因为S2n－1＝(2n－1)·＝(2n－1)＝(2n－1)an，
同理，T2n－1＝(2n－1)bn，
所以＝＝.
令n＝11得，＝＝＝.
法二：由于{an}，{bn}均为等差数列，由题意可设Sn＝(7n＋1)·kn＝7kn2＋kn
Tn＝(4n＋27)·kn＝4kn2＋27kn，k≠0.
所以a11＝S11－S10＝858k－710k＝148
k.
b11＝T11－T10＝781k－670k＝111k，
∴＝＝.故选C.
(2)数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，成等差数列，设其公差为D，前10项和10S10＋×D＝S100＝10，所以D＝－22，所以S110－S100＝S10＋(11－1)D＝100＋9×(－22)＝－120.
所以S110＝－120＋S100＝－110.
[答案] (1)C (2)见解析
延伸探究 1.本例(2)若条件不变，试求S120的值．
解析：数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设其公差为D，其前10项和为10S10＋×D＝S100＝10，所以D＝－22，所以S120－S110＝S10＋(12－1)D＝100＋11×(－22)，所以S120＝S110＋100＋11×(－22)＝－252.
2．本例(2)中的条件“S10＝100，S100＝10”若换为“Sm＝70，S2m＝110”，其他条件不变，试求S3m的值．
解析：因为{an}为等差数列，
所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，
所以2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，
即2×(110－70)＝70＋S3m－110，所以S3m＝120.
方法技巧 等差数列前n项和的性质
(1)等差数列的前n项和公式可以写成：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)这是关于n的二次函数(注意：没有常数项)，其中公差＝2A.
(2)等差数列的依次n项的和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成等差数列．
(3)若等差数列{an}项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝.
若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝.
(4)若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则＝.
跟踪探究 1.(1)设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝2(a2＋a3)，则等于( )
A.
B.
C．7
D．14
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a4＝2(a2＋a3)，得a1＋3d＝4a1＋6d，得a1＝－d.
所以＝＝＝7.
答案：C
(2)一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数的项的和与奇数的项的和之比为32∶27，则公差d＝________．
解析：∵S12＝354，
∴S奇＝354×＝162，
S偶＝354×＝192，
∴S偶－S奇＝30＝6d，∴d＝5.
答案：5
探究二 由数列的前n项和Sn求通项an
[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求该数列的通项公式．
[解题指南] →→→
[解析] 当n＝1时，a1＝－.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝－n2＋n－
＝－3n＋.
因为a1＝－适合an＝－3n＋，
所以an＝－3n＋.
延伸探究 3.若将本例中“Sn＝－n2＋n”改为“Sn＝－n2＋n－1”，数列{an}是等差数列吗？
解析：当n＝1时，a1＝S1＝－＋1－1＝－，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n－1－＝－3n＋，
因为a1＝－不适合an＝－3n＋，
所以an＝故数列{an}不是等差数列．
方法技巧 由Sn求通项公式an的方法与步骤
(1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系，若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1；若a1不适合an，则an＝
跟踪探究 2.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解析：根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an可知，
Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n＞1，n∈N＋)，
当n＞1时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－
＝2n－，①
当n＝1时，a1＝S1＝12＋×1＝，
也满足①式．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－.
∵an＋1－an＝2(n＋1)－－＝2，
故数列{an}是以为首项，2为公差的等差数列．
探究三 求数列{|an|}的前n项和
[例3] 在等差数列{an}中，S3＝21，S6＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
[解析] 设公差为d，则有
解得
∴an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11，
由an＝－2n＋11＞0得n＜5，
故{an}的前5项为正，其余各项为负．
(1)当1≤n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…an＝Sn＝－n2＋10n.
(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋…＋|a5|＋|a6|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a5)－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝n2－10n＋50，
∴Tn＝
延伸探究 4.将例3中的条件“S3＝21，S6＝24”改为“a1＝－60，a17＝－12”其它条件不变，求数列{|an|}的前n项和Tn.
解析：数列{an}的公差d＝＝＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－60＋(n－1)×3＝3n－63.
由an＜0，得3n－63＜0，即n＜21，
∴数列{an}的前20项是负数，第20项以后的项都为非负数．设Sn，S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项之和，
当n≤20时，S′n＝－Sn＝－＝－n2＋n；
当n＞20时，S′n＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20＝－60n＋×3－2×
＝n2－n＋1
260.
∴数列{|an|}的前n项和
S′n＝
方法技巧 处理数列{|an|}的前n项和的思路
(1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解．
(2)等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，这种数列只有前边有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列{an}分成两段处理．
(3)等差数列{an}中，a1＜0，d＞0，这种数列只有前边有限项为负数，其余都为非负数，同样可以把数列{an}分成两段处理．
跟踪探究 3.Sn表示等差数列{an}的前n项和，且S4＝S9，a1＝－12.
(1)求数列{an}的通项an及Sn.
(2)求和：Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
解析：(1)设公差为d，因为S4＝S9，a1＝－12，
所以4×(－12)＋6d＝9×(－12)＋36d?d＝2，
所以an＝－12＋2(n－1)＝2n－14，Sn＝－12n＋n(n－1)＝n2－13n.
(2)当an≤0时，得2n－14≤0，n≤7，故数列{an}前7项为非正数，其余项为正数．
当n≤7时，Tn＝－(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝－Sn＝13n－n2，
当n≥8时，an≥0，Tn＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7)＋(a8＋…＋an)＝Sn－2S7＝n2－13n＋84.
综上，Tn＝
授课提示：对应学生用书第16页
[课后小结]
(1)等差数列的前n项和Sn的有关性质在解题过程中如果运用得当，可以化繁为简，化难为易．
(2)由Sn与an的关系求an主要使用an＝
(3)求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点．
[素养培优]
忽略Sn与an的关系致误
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n－1，试判断{an}是否为等差数列，为什么？
易错分析 已知数列的前n项和Sn求数列的通项公式时，需分类讨论，即n＝1与n≥2两种情况；当n＝1满足an的式子时，才能用同一个式子来表达，否则必须分段表示．
本题若忽略了n≥2这一条件而不去验证n＝1的情况就会得出an＝2n，且an－an－1＝2的错误结论．考查分类讨论的学科素养．
自我纠正 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n；
当n＝1时，a1＝S1＝1，不符合上式．
∴an＝
∴数列{an}不是等差数列.
PAGE§3 等比数列
3.1 等比数列
第1课时 等比数列
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式，并会应用.3.能够应用定义判断一个数列是否为等比数列.
增强数学抽象形成逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第17页
[基础认识]
知识点一 等比数列的定义
预习教材P21－23，思考并完成以下问题
观察下面几个数列
①1，2，4，8，16，…
②1，，，，，…
③1，－1，1，－1，1，…
④，－1，2，－4，8，…
(1)上面几组数列是等差数列吗？为什么？
提示：都不是等差数列，因为不符合等差数列的定义．
(2)如果要研究每个数列中相邻两项的关系，你会发现有怎样的共同特点？
提示：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个非零常数．
知识梳理 等比数列的定义
(1)文字语言
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．
(2)符号语言
＝q(q为常数且q≠0，n∈N＋)．
知识点二 等比数列的通项公式
思考并完成以下问题
1．你能用一个数学式子表示出等比数列的定义吗？
提示：能.＝q或＝q(n≥2)或an＋1＝qan或an＝q·an－1(n≥2)．
2．根据问题1中的式子，你能归纳出等比数列的通项公式吗？
提示：能．由a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，…可猜测an＝a1qn－1.
知识梳理 等比数列的递推公式与通项公式：
已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则
(1)递推公式：＝q(n≥2)；
(2)通项公式：an＝a1qn－1．
[自我检测]
1．下列各组数成等比数列的是( )
①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4.
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
解析：由等比数列的定义知，①、②、④是等比数列，③中当x＝0时，不是等比数列，故选C.
答案：C
2．已知等比数列{an}中，a1＝32，公比q＝－，则a6等于( )
A．1
B．－1
C．2
D.
解析：a6＝a1q5＝32×＝－1.故选B.
答案：B
3．在等比数列{an}中，a1＝2，公比q＝2，若an＝128，则n＝________．
解析：an＝2×2n－1＝2n，由2n＝128，解得n＝7.
答案：7
授课提示：对应学生用书第18页
探究一 等比数列的判定
[阅读教材P22例1及解答]以下数列中，哪些是等比数列？
(1)1，－，，－，；
(2)1，1，1，1，…，1；
(3)1，2，4，8，12，16，20；
(4)a，a2，a3，…，an.
题型：等比数列的判定．
方法步骤：①明确定义．
②验证得结论．
[例1] 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a＋6an＋6(n∈N＋)，设cn＝log5(an＋3)．求证：{cn}是等比数列．
[解题指南] 利用定义得出＝q.q是一个与n无关的常数即可．
[证明] 由an＋1＝a＋6an＋6，
得an＋1＋3＝(an＋3)2.
∴log5(an＋1＋3)＝log5(an＋3)2＝2log5(an＋3)，
即cn＋1＝2cn，又c1＝log55＝1≠0，
∴＝2，∴{cn}是等比数列．
方法技巧 判断一个数列{an}是等比数列的方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为零)或＝q(n≥2，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)构造法：在条件中出现an＋1＝kan＋b关系时，往往构造数列，方法是把an＋1＋x＝k(an＋x)与an＋1＝kan＋b对照，求出x即可．
拓展：若{an}是等比数列，则{kan}成等比数列，(其中k为不为零的常数)；若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、成等比数列．
跟踪探究 1.已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2.
(2)求证：数列{an}是等比数列．
解析：(1)由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
所以a1＝－，又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明：当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)
得＝－，
故{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
探究二 等比数列中基本量的计算
[阅读教材P23例2及解答]一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是12，求它的第8项的值．
题型：等比数列基本量的计算．
方法步骤：①根据已知条件确定首项a1和公比q.
②结合通项公式求出a8.
[例2] 在等比数列{an}中，
(1)若a2＝4，a5＝－，求an；
(2)若a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[解题指南] (1)由a2＝4，a5＝－能否建立a1，q的方程组求出a1，q？怎样写出通项公式an?
(2)由已知条件能否求a1，q？怎样求？怎样求n?
[解析] 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.
(1)由题意得∴q＝－，a1＝－8.
∴an＝a1qn－1＝－8×＝(－2)4－n.
(2)∵a3＋a6＝(a2＋a5)q，即9＝18q，∴q＝.
由a1q＋a1q4＝18得a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1知n＝6.
方法技巧 1.求等比数列某项的方法
先建立关于a1和q的两个方程，从而求出a1和q，再求其他项．
2．等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
跟踪探究 2.(2019·昌吉市模拟)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4，则a3＝( )
A．2
B．－2
C．±2
D.
解析：在等比数列中，由a5＝4得a5＝q4＝4，得q2＝2，则a3＝a1q2＝2.故选A.
答案：A
3．在等比数列{an}中，a1·a9＝256，a4＋a6＝40，则公比q＝________．
解析：∵a1a9＝aq8，a4a6＝a1q3·a1q5＝aq8，
∴a1a9＝a4a6，列方程组
解得或
∴q2＝＝＝或q2＝＝4.
∴q＝±或q＝±2.
答案：－2或2或－或
探究三 等比数列项的设法
[例3] 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
[解题指南] 可设这四个数依次为－a，，a，aq(a≠0，q≠0)然后依据条件建立方程组求解．
[解析] 设这四个数依次为－a，，a，aq(a≠0，q≠0)，
由条件得解得或
当q＝2，a＝8时，所求四个数为0，4，8，16；
当q＝，a＝3时，所求四个数为15，9，3，1.
延伸探究 若将本例中的“和是16”改为“积是－128”，将“和是12”改为“积为16”，如何求解？
解析：设所求四个数依次为－aq，，aq，aq3.
则由已知
由①得a2＝16，所以a＝4或a＝－4.
由②得2a2q2－a2q4＝－128.
将a2＝16代入整理，
得q4－2q2－8＝0，解得q2＝4，
所以q＝2或q＝－2.
所以所求的四个数分别为－4，2，8，32或4，－2，－8，－32.
方法技巧 几个数成等比数列的设法
(1)三个数成等比数列设为，a，aq.
推广到一般：奇数个数成等比数列设为：
…，，，a，aq，aq2，…
(2)四个符号相同的数成等比数列设为：
，，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…，，，，aq，aq3，aq5，….
跟踪探究 4.三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
解析：设这三个数依次为，a，aq，
∵·a·aq＝512，∴a＝8，
∵＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，
∴q＝2或q＝.∴这三个数为4，8，16或16，8，4.
授课提示：对应学生用书第19页
[课后小结]
(1)等比数列的判断或证明
①利用定义：＝q(与n无关的常数)．
②利用等比中项：a＝anan＋2(n∈N＋)．
(2)等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量．
(3)巧设等差数列、等比数列的方法：
①若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.
②若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.
[素养培优]
忽略数列首项致误
已知数列{an}的前n项和Sn满足关系式lg(Sn＋1)＝n(n＝1，2，…)，试说明数列{an}是等比数列．
易错分析 判断数列为等比数列时，根据定义，是从第2项起，后一项与前一项的比是同一非零常数．故需讨论an与an(n≥2)的关系，即要验证n＝1是否成立，否则就会使论证不够严密，甚至出现错误的结果．本题考查逻辑推理的学科素养．
自我纠正 由已知可知：Sn＝10n－1，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(10n－1)－(10n－1－1)＝9×10n－1.
又当n＝1时，a1＝S1＝9也满足上述通项公式．
∴数列{an}的通项公式an＝9×10n－1.
而当n≥2时，＝＝10为一常数．
∴数列{an}是等比数列.
PAGE第2课时 等比数列的性质
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解等比数列的单调性与首项a1及公比q的关系，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系.2.掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项.3.掌握等比数列的有关性质，并能综合应用解决有关问题.
加强定义理解精确性质应用提升数学运算
授课提示：对应学生用书第20页
[基础认识]
知识点一 等比数列的单调性
预习教材P23－25，思考并完成以下问题
观察下面几个等比数列中项的变化趋势，指出它们的单调性．
(1)－1，－，－，－，－，…
(2)9，3，1，，，…
(3)－1，－2，－4，－8，－16，…
(4)1，－，，－，，…
(5)2，2，2，2，2，…
提示：(1)项是增加的，且a1＜0，0＜q＜1，是单调递增数列．
(2)项是减小的，且a1＞0，0＜q＜1，是单调递减数列．
(3)项是减小的，且a1＜0，q＞1，是单调递减数列．
(4)项是摆动的，a1＞0，q＜0，不是单调数列．
(5)项是不变的，a1＞0，q＝1，是常数列．
知识梳理 等比数列的单调性
公比q单调性首项a1
q＜0
0＜q＜1
q＝1
q＞1
a1＞0
不具备单调性
递减数列
不具备单调性
递增数列
a1＜0
不具备单调性
递增数列
不具备单调性
递减数列
知识点二 等比中项
思考并完成以下问题
1．在2，8之间插入一个数，使之成等比数列．这样的实数有几个？
提示：设这个数为G，则＝，G2＝16，G＝±4，所以这样的数有2个．
2．若a，G，b成等比数列，能得出什么结论？
提示：因为a，G，b成等比数列，所以＝，所以G2＝ab.
知识梳理 1.等比中项的概念
如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，＝，G2＝ab，G＝±，我们称G为a，b的等比中项．
2．等比中项与等差中项的异同，对比如下表
对比项
等差中项
等比中项
定义
若a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项
若a，G，b成等比数列，则G叫作a，b的等比中项
定义式
A－a＝b－A
＝
公式
A＝
G＝±
个数
a与b的等差中项唯一
a与b的等比中项有两个，且互为相反数
备注
任意两个数a与b都有等差中项
只有当ab＞0时，a与b才有等比中项
知识点三 等比数列的性质
思考并完成以下问题
给出以下两个等比数列{an}．
①1，2，4，8，…；
②1，－3，9，－27，….
(1)在上述每一个数列中，请你计算a2·a6与a3·a5的值，看它们有什么关系？若计算a1·a5与a2·a4呢？
提示：a2·a6＝a3·a5；a1·a5＝a2·a4.
(2)在上述每一个数列中，a2·a6；a3·a5的值与a4的值有什么关系？a1·a5；a2·a4与a3的值呢？
提示：a2·a6＝a3·a5＝a；a1·a5＝a2·a4＝a.
知识梳理 类比等差数列的性质得出等比数列的一些性质如下：
若数列{an}是公比为q的等比数列，则
(1)an＝amqn－m(m，n∈N＋)．
(2)若m＋n＝s＋t＝2k(m，n，s，t，k∈N＋)，则am·an＝as·at＝a.
(3){c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列．
(4){|an|}是公比为|q|的等比数列．
(5)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2且项数相同的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
[自我检测]
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
解析：由于公比q＝－＜0，所以数列{an}是摆动数列．
答案：D
2．2＋和2－的等比中项是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．2
解析：设2＋和2－的等比中项为G，则G2＝(2＋)(2－)＝1，∴G＝±1.
答案：C
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q等于______．
解析：由a5＝a2·q3，得q3＝＝＝，所以q＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第21页
探究一 等比数列的性质
[例1] 已知{an}为等比数列．
(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25.求a3＋a5.
(2)若an＞0，a5a6＝9.求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[解题指南] (1)由等比数列性质得a2a4＝a，a4a6＝a，从而得解．
(2)由等比数列性质得a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6，从而进行求解．
[解析] (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，
∵an＞0，∴a3＋a5＞0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝10.
方法技巧 等比数列的常用性质
性质1：通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．
性质2：若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an.
性质3：若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
性质4：在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….
性质5：在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列．
跟踪探究 1.(2019·朝阳区模拟)已知等比数列{an}各项均为正数，公比为q，满足an＋1＜an，a2a8＝6，a4＋a6＝5，则q2＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵a4a6＝a2a8＝6，a4＋a6＝5，等比数列{an}各项均为正数，解得a4＝3，a6＝2，∴q2＝＝.故选D.
答案：D
2．已知等比数列{an}的公比为正数，且4a2a8＝a，a2＝1，则a6＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：由4a2a8＝a，得4a＝a，∴q＝，
∴a6＝a2q4＝.
答案：B
探究二 等比中项的应用
[阅读教材P25练习2第三题]求下列各组数的等比中项．
(1)－45和－80.
(2)7＋3和7－3.
(3)(a＋b)2和(a－b)2.
解析：由等比数列性质所得，等比中项的平方等于前后两项的乘积．
(1)G＝±＝±60.
(2)G＝±＝±2.
(3)G＝±＝±(a2－b2)．
[例2] (1)在等比数列{an}中，a3，a9是方程3x2－11x＋9＝0的两个根，则a5a6a7＝( )
A．3
B.
C．±3
D．以上都不对
(2)已知1既是a2与b2的等比中项，又是与的等差中项，则的值是( )
A．1或
B．1或－
C．1或
D．1或－
[解题指南] (1)由根与系数的关系可得a3·a9，又a3·a9＝a，a5·a7＝a.可得结果．
(2)根据等差及等比中项的定义求解．
[解析] (1)由根与系数的关系得a3a9＝3，又a6为a3与a9的等比中项，所以a6＝±，在等比数列{an}中，a5a6a7＝a＝±3.
(2)由题意得，a2b2＝(ab)2＝1，＋＝2，
所以或
因此＝＝1或－.
[答案] (1)C (2)D
方法技巧 等比中项的性质
(1)由等比中项的定义可知＝?G2＝ab?G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab＞0)．
跟踪探究 3.如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝－3，ac＝9
B．b＝3，ac＝9
C．b＝－3，ac＝－9
D．b＝3，ac＝－9
解析：根据等比中项的定义得，
①×③得a2c2＝9b2，
即ac＝±3b④
将④代入②得b2＝±3b，解得b＝±3.
又由③得b＜0，∴b＝－3，ac＝b2＝9.故选A.
答案：A
探究三 等比数列的实际应用
[阅读教材P24例4及解答]据报载，中美洲地区毁林严重，据统计，在20世纪80年代末，每时平均毁林约48
hm2，森林面积每年以3.6%～3.9%的速度减少，迄今被毁面积已达1.3×107
hm2，目前还剩1.9×107
hm2，请你回答以下几个问题：
(1)如果以每时平均毁林约48
hm2计算，剩下的森林经过多少年将被毁尽？
(2)根据(1)计算出的年数n，如果以每年3.6%～3.9%的速度减少，计算n年后的毁林情况；
(3)若按3.6%的速度减少，估算经过150年后、经过200年后、经过250年后及经过300年后森林面积的情况，经过多少年森林将被毁尽？
题型：等比数列的实际应用
方法步骤：(1)先计算出平均每年毁林数，然后用算式得出森林将被毁尽的年数；
(2)根据等比数列的通项公式用计算器计算45年后还剩余的森林面积；
(3)分别计算150年后，200年后，250年后，300年后，剩余森林的面积数．
[例3] 某城市2017年年底人口为100万人，人均住房面积为5平方米．该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米，到2025年年底时，人均住房面积为24平方米，则该城市的人口年平均增长率约是多少？(精确到0.001，参考公式(1＋x)8≈1＋8x(其中0＜x＜1))
[解题指南] →→→.
[解析] 设这个城市的人口年平均增长率为x(0＜x＜1)，则该城市2017年年底到2025年年底人口数量组成等比数列，记为{an}，则a1＝100，公比q＝1＋x，则2025年年底人口数量为a8＝a1q8＝100(1＋x)8.2025年年底住房总面积为100×5＋8×245＝2
460(万平方米)．
由题意得＝24，即(1＋x)8＝，因为(1＋x)8≈1＋8x(0＜x＜1)，所以1＋8x≈，所以x≈0.003.
答：该城市的人口年平均增长率约是0.003.
延伸探究 在本例中，若将“该城市拟自2018年年初开始每年新建住房245万平方米”改为“该城市拟自2018年年初开始每年新建住房250万平方米”，则结论如何？
解析：由例题解析知2025年年底住房总面积为100×5＋8×250＝2
500(万平方米)，由题意得＝24，解得x≈0.005.
答：该城市的人口年平均增长率约是0.005.
方法技巧 等比数列的实际应用
数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．
跟踪探究 4.某厂生产电脑，原计划第一季度每月增加台数相同，在生产过程中，实际上二月份比原计划多生产10台，三月份比原计划多生产25台，这样三个月产量成等比数列，而第三个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少10台，问该厂第一季度实际生产电脑多少台？
解析：根据已知，可设该厂第一季度原计划3个月生产电脑台数分别为x－d，x，x＋d，(d＞0)，
则实际上3个月生产电脑台数分别为x－d，x＋10，x＋d＋25，
由题意得
解得x＝90，d＝10，
故共有(x－d)＋(x＋10)＋(x＋d＋25)＝3x＋35＝3×90＋35＝305(台)，
即该厂第一季度实际生产电脑305台.
授课提示：对应学生用书第22页
[课后小结]
(1)在准确掌握等比数列的定义及通项公式的前提下认识等比数列的性质，可以提高解题速度与解题的准确率．
(2)对于等比数列基本量之间的运算应先考虑是否能用性质解决，然后再考虑是否能列出关于a1，d的方程组．
(3)两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±)，而不是一个()，这是容易忽视的地方．
[素养培优]
忽视等比数列中奇、偶项的符号特点致误
在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，则a7＝________．
易错分析 在等比数列中，其奇数项的符号相同，其偶数项的符号也相同，解题过程中如果忽略这一特点，容易造成增解致误，考查精确应用的学科素养．
自我纠正 ∵a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根．
∴∴
∴a7＞0.
又a7是a5与a9的等比中项，
∴a＝a5·a9＝1，
∴a7＝1.
PAGE3.2 等比数列的前n项和
第1课时 等比数列的前n项和
内 容 标 准
学 科 素 养
1.学会推导等比数列前n项和的方法.2.掌握等比数列的前n项和公式，学会应用其解决问题.
严格分类讨论提升数学运算抽象数学模型
授课提示：对应学生用书第22页
[基础认识]
知识点一 等比数列的前n项和
预习教材P26－29，思考并完成以下问题
1．对于数列1，2，22，23，…，2n，……
(1)该数列的首项和公比分别是多少？
提示：首项为1，公比为2.
(2)把该数列的前n项和Sn＝1＋2＋22＋…＋2n－1①
两边同乘以公比2得：2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n②
这两个等式的右边有何相同点？若用②式减去①式，会有什么结果？
提示：两个等式的右边除首项与末项不同外，其余各项均相同，若用②式减去①式会把这些相同的项全部消掉，求得Sn＝2n－1.
2．对和式Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1(q≠1)按1(2)的方法处理会怎样呢？
提示：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，③
qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，④
④－③得：(q－1)Sn＝a1(qn－1)，
由q≠1得Sn＝.
知识梳理 等比数列的前n项和公式
已知量
首项、公比与项数
首项、末项与公比
公式
Sn＝
Sn＝
知识点二 等比数列前n项和的性质
思考并完成以下问题
1．在等差数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列吗？
提示：是的．
2．若数列{an}为等比数列，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，成等比数列吗？
提示：a3＋a4＝q2(a1＋a2)，a5＋a6＝q2(a3＋a4)，所以a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6成等比数列．
3．若数列{an}为等比数列，a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9成等比数列吗？
提示：是的．
4．仿照问题1，在等比数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是否成等比数列．
提示：成等比数列．
知识梳理 类比等差数列前n项和的性质，等比数列前n项和的性质总结如下：
(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.
(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…均不为0)．
(3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，n∈N＋)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N＋)数列{an}为等比数列．
[自我检测]
1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为( )
A．63
B．64
C．127
D．128
解析：∵a5＝a1·q4，∴q＝±2.
∵q＞0.∴q＝2，
∴S7＝＝＝127，故选C.
答案：C
2．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝( )
A．－3
B．－4
C．3或－4
D．－3或4
解析：∵S3＝＝＝26.
∴q2＋q－12＝0，∴q＝3或－4，故选C.
答案：C
3．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________．
解析：设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，
偶数项之和与奇数项之和分别为S偶，S奇，
由题意S偶＋S奇＝3S奇，即S偶＝2S奇，
因为数列{an}的项数为偶数，
所以q＝＝2.
答案：2
授课提示：对应学生用书第23页
探究一 等比数列前n项和的计算
[阅读教材P27例5及解答](1)已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，求S3.
(2)求等比数列1，，，，…的前10项的和．
题型：等比数列前n项和的计算．
方法步骤：(1)明确首项a1，公比q以及项数n；
(2)直接使用等比数列的前n项和公式求解．
[例1] 求下列等比数列前8项的和．
(1)，，，…；(2)a1＝27，a9＝，q＜0.
[解析] (1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q＜0.
可得q＝－，
所以S8＝＝
＝＝.
方法技巧 等比数列前n项和计算的注意事项
(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
(2)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1；当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝比较方便．
跟踪探究 1.(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，求an和Sn.
(2)在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.
解析：(1)设{an}的公比为q，
由题意得解得或.
当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)，
当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
(2)设等比数列的公比为q，
由已知S6≠2S3，则q≠1，又S3＝，S6＝，
得
②÷①，得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①解得a1＝，
因此an＝a1qn－1＝2n－2.
探究二 等比数列前n项和的性质
[例2] (1)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，则S3n＝________．
(2)已知等比数列{an}的前4项和为1，且公比q＝2，求前12项的和．
[解题指南] (1)由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列求S3n.
(2)根据S1，S8－S4，S12－S8的关系求S12.
[解析] (1)由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列得(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，即(60－48)2＝48(S3n－60)，所以S3n＝63.
(2)因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝q4S4＝24＝16，
所以S8＝17.
又因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．
所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)，
即162＝S12－17，
所以S12＝273.
[答案] (1)63 (2)答案见解析
延伸探究 1.例(2)条件不变，求等比数列{an}的通项公式．
解析：由S4＝1，q＝2，得
即(24－1)a1＝1，所以a1＝.
所以an＝a1·qn－1＝·2n－1.
2．例(2)条件“前4项和为1，且公比q＝2”改为“前4项和为S4，公比为q”，探究S4与S12的关系．
解析：由S12＝S4＋a5＋a6＋a7＋…＋a12
＝S4＋q4(a1＋a2＋…＋a8)
＝S4＋q4(S4＋a5＋a6＋a7＋a8)
＝S4＋q4[S4＋q4(a1＋a2＋a3＋a4)]
＝S4＋q4S4＋q8S4
＝S4(1＋q4＋q8)．
方法技巧 等比数列前n项和性质应用的关注点
(1)在解决等比数列前n项和问题时，若条件含有奇数项和与偶数项和的时候，如果项数为偶数，可考虑利用奇数项和与偶数项和之间的关系求解．
(2)当已知条件含有片段和时，要考虑性质Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．
跟踪探究 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝( )
A．2
B.
C.
D．3
解析：由等比数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，于是，由S6＝3S3，可推出S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴＝，故选B.
答案：B
3．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式为________．
解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以a·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×.
答案：an＝12×
探究三 等比数列前n项和的实际应用
[阅读教材P28例7及解答]一个热气球在第一分上升了25
m的高度，在以后的每一分里，它上升的高度都是它在前一分上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125
m吗？
题型：等比数列前n项和的应用
方法步骤：①抽象出等比数列模型．
②确定首项a1＝25，公比q＝.
③热气球在几分钟里上升的总高度利用公式求和．
④判断作出结论．
[例3] 某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入．
[解析] 第1年投入800万元，第2年投入800×万元，
……
第n年投入800×万元．
∴每年的投入构成首项为800，公比为的等比数列．
故n年内的总投入为Sn＝800＋800×＋…＋800×＝4
000×.
第1年旅游业的收入为400万元，
第2年旅游业的收入为400×万元，
……
第n年旅游业的收入为400×万元，
∴每年的旅游收入构成首项为400，公比为的等比数列．
所以n年内旅游业的总收入为Tn＝400＋400×＋…＋400×＝1
600×.
方法技巧 解数列应用题的具体方法步骤
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少．
②弄清题目中主要的已知事项．
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表示．
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．
跟踪探究 4.某单位从市场上购进一辆新型轿车，购价为36万元，该单位使用轿车时，一年需养路费、保险费、汽油费、年检费等约6万元，同时该车的年折旧率为10%(即这辆车每年减少它价值的10%，当年折旧费用也为该年花费在轿车上的费用)．试问：大约使用多少年后，该单位花在轿车上的费用就达36万元？并说明理由．
解析：用an表示该单位第n年花费在轿车上的费用，则
a1＝6＋36×0.1，
a2＝6＋(36×0.9)×0.1，
a3＝6＋(36×0.92)×0.1，
…，
类推可得an＝6＋(36×0.9n－1)×0.1，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝6n＋36×0.1×(1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n－1)
＝6n＋3.6×
＝6n＋36(1－0.9n)．
令Sn＝36，得0.9n＝，
因为1＜n＜6，取值验证，
当n＝4时，0.9n＝0.656
1，≈0.666
7.
所以n≈4.
故大约使用4年后，该单位花在轿车上的费用就已经达到36万元.
授课提示：对应学生用书第25页
[课后小结]
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
(2)前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
(3)解决有关数列模型的实际问题时，关键是弄懂题意，确定数列的类型及所求的基本量．
(4)等比数列前n项和中用到的数学思想
①分类讨论思想：
a．利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；b.研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时为递增数列；当a1＜0，q＞1或a1＞0，0＜q＜1时为递减数列；当q＜0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．
②函数思想：等比数列的通项an＝a1qn－1＝·qn(q＞0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝(qn－1)(q≠1)．设A＝，则Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系．
③整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解．
[素养培优]
忽略对公比q的讨论致误
已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
易错分析 在求等比数列前n项和Sn时，如果不能明确q的具体情况，不能直接套用前n项和公式，对q＝1和q≠1进行讨论，否则会因失去q＝1的情况而漏解，考查分类讨论的学科素养．
自我纠正 若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意，
此时q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，则由等比数列的前n项和公式得
S3＝＝＝6，
解得q＝1(舍去)或q＝－2.此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.综上所述：q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
PAGE第2课时 数列求和
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握把非等差、等比数列问题转化为等差、等比数列解决的方法(分组转化法、裂项相消法).2.掌握数列求和的常用方法——错位相减法.3.掌握等差、等比数列及前n项和的综合应用.
加强方法归纳提升数学运算灵活综合应用
授课提示：对应学生用书第26页
[基础认识]
知识点一 分组分解求和法
思考并完成以下问题
求和：1＋2＋3＋…＋.
提示：1＋2＋3＋…＋＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝＋1－.
知识梳理 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．
知识点二 奇偶并项求和法
思考并完成以下问题
求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.
提示：12－22＋32－42＋…＋992－1002
＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)
＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)
＝－5
050.
知识梳理 奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论．
知识点三 裂项相消求和法
思考并完成以下问题
我们知道＝－，试用此公式求和：＋＋…＋.
提示：由＝－得
＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝(n∈N＋)．
知识梳理 如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消法求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式：
(1)＝；
(2)＝(－)；
(3)＝；
(4)＝.
[自我检测]
1．数列{2n－1＋1}的前n项和为________．
解析：设数列{2n－1＋1}的前n项和为Sn，则
Sn＝1＋1＋2＋1＋22＋1＋23＋1＋…＋2n－1＋1
＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋(1＋1＋…＋1)
＝＋n＝2n＋n－1.
答案：2n＋n－1
2．数列的前2
019项和为________．
解析：设数列的前n项和为Sn，
∵an＝＝2
∴Sn＝2
＝2＝，
∴S2
019＝＝＝.
答案：
3．已知数列an＝则S100＝________．
解析：S100＝a1＋a2＋a3＋…＋a100
＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100
＝2·2(1＋2＋…＋49)＋100
＝4·＋100＝5
000.
答案：5
000
授课提示：对应学生用书第26页
探究一 分组转化法求数列的和
[例1] 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
[解析] (1)等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，
所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.
设等差数列{an}的公差为d.
因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，
所以1＋13d＝27，即d＝2.
所以an＝2n－1(n＝1，2，3，…)．
(2)由第(1)问知，an＝2n－1，bn＝3n－1.
因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.
从而数列{cn}的前n项和
Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1
＝＋＝n2＋.
方法技巧 如果一个数列的通项公式可写成cn＝an±bn的形式，而数列{an}，{bn}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可采用分组转化法求和．
跟踪探究 1.Sn＝3＋33＋333＋…＋＝________．
解析：数列3，33，333，…，的通项公式an＝(10n－1)．
所以Sn＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n－1)
＝(10＋102＋…＋10n)－＝×－＝(10n－1)－.
答案：(10n－1)－
探究二 错位相减法求数列的和
[例2] 已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N＋，证明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N＋，n≥2)．
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，
等比数列{bn}的公比为q，
由a1＝b1＝2，
得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.
由条件，得方程组解得
所以an＝3n－1，bn＝2n，n∈N＋.
(2)证明：由(1)得
Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①
2Tn＝2×22＋5×23＋…＋(3n－4)×2n＋(3n－1)×2n＋1.②
由①－②，得
－Tn＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n－(3n－1)×2n＋1＝－(3n－1)×2n＋1－2＝－(3n－4)×2n＋1－8，
∴Tn＝(3n－4)×2n＋1＋8
∴Tn－8＝(3n－4)×2n＋1.
而当n≥2时，an－1bn＋1＝(3n－4)×2n＋1，
所以Tn－8＝an－1bn＋1，n∈N＋，n≥2.
方法技巧 “错位相减法”求数列前n项和的类型及注意事项
(1)类型：如果数列{an}是等差数列，公差为d；数列{bn}是等比数列，公比为q，则求数列{anbn}的前n项和就可以运用错位相减法．
(2)注意事项：
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意；
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；
③应用等比数列求和公式必须注意公比q≠1这一前提条件，如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论．
跟踪探究 2.数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N＋.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析：(1)证明：由已知可得＝＋1，
即－＝1.
所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.
从而bn＝n·3n.
Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，①
3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.②
①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1
＝.
所以Sn＝.
探究三 裂项相消法求数列的和
[例3] 求和：
＋＋＋…＋，n≥2，n∈N＋.
[解析] ∵＝
＝.
∴原式＝
＝
＝－(n≥2，n∈N＋)．
方法技巧 对于通项公式是分式的一类数列，在求和时常用“裂项法”．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：
(1)＝·.
(2)若{an}为等差数列，公差为d，
则＝.
(3)＝－.
跟踪探究 3.求和：
＋＋＋…＋，n≥2，n∈N＋.
解析：∵＝＝1＋，
∴原式＝＋＋＋…＋＝(n－1)＋
以下同例3解法．
4．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N＋)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.
解析：(1)当n＝1时，a1＝S1，
由S1＋a1＝1，得a1＝，
当n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，
则Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，
所以an＝an－1(n≥2)．
故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．
故an＝·＝2·(n∈N＋)．
(2)因为1－Sn＝an＝.
所以bn＝log(1－Sn＋1)＝log＝n＋1，
因为＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＝.
探究四 等差、等比数列及前n项和的综合应用
[例4] 已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(n∈N＋)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn＞总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.∵a1＝1，解得(d＝0舍)，d＝2.
∴an＝2n－1(n∈N＋)．
(2)bn＝＝＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
假设存在整数t满足Sn＞总成立，
又Sn＋1－Sn＝－
＝＞0，
∴数列{Sn}是单调递增的．
∴S1＝为Sn的最小值，故＜，即t＜9.
又∵t∈N＋，∴适合条件的t的最大值为8.
方法技巧 与等差、等比数列有关的综合问题，解题中应注意的方法与技巧
(1)转化思想：将非等差(比)数列转化，构造出新的等差(比)数列，以便于利用其公式和性质解题．
(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用．
(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．
(4)涉及前n项和Sn的，要注意an＝Sn－Sn－1(n≥2)在an与Sn关系中的应用．
跟踪探究 5.设数列{an}的首项a1＝1，前n项和Sn满足关系式：3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t(t＞0，n＝2，3，4，…)．
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1＝1，bn＝f(n＝2，3，4，…)．求数列{bn}的通项bn；
(3)求和：b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2n·b2n＋1.
解析：(1)证明：由a1＝S1＝1，S2＝1＋a2，
得a2＝，＝.
又3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t，①
3tSn－1－(2t＋3)Sn－2＝3t.②
①－②，得3tan－(2t＋3)an－1＝0.
∴＝，(n＝2，3，…)．
∴数列{an}是一个首项为1，公比为的等比数列．
(2)由f(t)＝＝＋，
得bn＝f＝＋bn－1.
∴数列{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列．
∴bn＝1＋(n－1)＝.
(3)由bn＝，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，且b2n＝，
于是b1b2－b2b3＋b3b4－…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1
＝b2(b1－b3)＋b4(b3－b5)＋…＋b2n(b2n－1－b2n＋1)
＝－(b2＋b4＋…＋b2n)
＝－(2n2＋3n).
授课提示：对应学生用书第28页
[课后小结]
求数列的前n项和，一般有下列几种方法
(1)错位相减
适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(2)分组求和
把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)裂项相消
把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
(4)奇偶并项
当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论．
(5)倒序相加
例如，等差数列前n项和公式的推导方法．
[素养培优]
忽略等比数列前n项和公式应用的条件致误
求数列1，2a，4a2，8a3，…的前n项和Sn.
易错分析 等比数列与等差数列相比，具有更多地特殊性，例如：等比数列中任何一项均不为零，等比数列的求和公式中，要分q＝1和q≠1两种情况，分别求解．因此当数列中的项含有字母时，要注意分类讨论、本题容易忽视对参数a的讨论而致误、考查分类讨论的学科素养．
自我纠正 (1)当a＝0时，易得数列的前n项和Sn＝1.
(2)当a≠0时，数列是公比为2a的等比数列．若2a＝1，即a＝，这时数列为常数列．
Sn＝n×1＝n；
若2a≠1，即a≠，其前n项和Sn＝，
又当a＝0时，Sn＝1，适合Sn＝.
故Sn＝
PAGE§4 数列在日常经济生活中的应用
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握单利、复利的概念和区别及它们本利和的计算公式.2.掌握零存整取模型、定期自动转存模型、分期付款模型的本质特点，并学会应用.
抽象数学模型提升数学运算完善解答规范
授课提示：对应学生用书第29页
[基础认识]
知识点一 单利和复利
预习教材P32－35，思考并完成以下问题
1．在《白毛女》中，杨白劳借了黄世仁“一石五斗租子，二十五块钱驴打滚的账”，结果永远也还不上，这里的“驴打滚的账”，你知道是怎么回事吗？现实生活中我们银行又是采用怎样的计息方式呢？
提示：“驴打滚”问题实际上是利滚利问题，本利越滚越多，所以永远还不上，与银行中的复利问题相似．
2．若本金为P，存期为n，利率为r，单利和复利计息方式在每一次计息时，本金上有什么区别？
提示：单利计息时，不管哪一次计算利息，本金永远是P；而复利计息时，本金每一期都不同，1个存期过后，计息时本金是P(1＋r)，2个存期过后，重新计息时本金是P(1＋r)2，3个存期过后，再计息时本金是P(1＋r)3，…，n个存期过后，再重新计息时本金为P(1＋r)n.
3．若本金为1
000，存期为1年，月利率为0.3%，分别按单利和复利计息方式，到期时的本利和各是多少？
提示：单利到期时，本利和为1
000(1＋12×0.3%)；复利到期时，本利和为1
000(1＋0.3%)12.
知识梳理 1.单利
单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和(以下简称本利和)，则有S＝P(1＋nr)．
2．复利
把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式是S＝P(1＋r)n．
知识点二 三种数列模型的应用
思考并完成以下问题
1．某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利息为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)．若这笔款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且以贷款后次年年初开始归还，则每年应还多少元．
提示：设每年还款x元，需10年还清，那么各年还款利息情况如下：
第10年付款x元，这次还款后欠款全部还清；
第9年付款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元；
第8年付款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元；
…
第1年付款x元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)9元．
依题意得：
x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20
000(1＋10%)10.
解得x＝≈3
255(元)．
2．“零存整取型”，存期n，每一次存款到期后的利息构成什么数列？到期后，每一次存款的本利和构成什么数列？
提示：每一次存款到期后的利息构成等差数列，每一次存款的本利和也构成等差数列．
3．“定期自动转存模型”，到期后，每一次存款的本利和构成什么数列？
提示：到期后每一次存款的本利和构成等比数列．
4．通过对分期付款模型的应用，你能说出“分期付款模型”中的利息计算是单利还是复利吗？
提示：在分期付款中，每还一次款，“没有还清的钱”都按照复利重新计算利息．
知识梳理 1.零存整取
零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，若每月存入本金为P元，每月利率为r，存期为n个月，则到约定日期后S＝P(1＋nr)．
2．定期自动转存
如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和，这种存款方式称为定期自动转存．n年后，本利和为S＝P(1＋r)n．
3．分期付款问题
贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款金额为．
[自我检测]
1．按活期存入银行1
000元，年利率是0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和是( )
A．1
036元
B．1
028元
C．1
043元
D．1
026元
解析：第五年末的本利和是1
000＋1
000×0.72%×5＝1
000＋36＝1
036.
答案：A
2．按复利计算，存入一笔5万元的三年定期存款，年利率为4%，则3年后支取可获得利息为( )
A．(5×0.04)3万元
B．5(1＋0.04)3万元
C．3×(5×0.04)万元
D．[5(1＋0.04)3－5]万元
解析：3年后的本利和为5×(1＋0.04)3万元，利息为[5×(1＋0.04)3－5]万元．
答案：D
3．某人从2017年起，每年7月1日到银行新存入a元一年定期，若年利率r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2024年7月1日，将所有的存款及利息全部取回，他可取回的总金额是________元．
解析：这是“定期自动转存模型”，从2018年(作为第一年)起，每一年存款的本利和构成等比数列：a(1＋r)7，a(1＋r)6，a(1＋r)3，…，a(1＋r)，所以他可取回的总金额是a(1＋r)7＋a(1＋r)6＋a(1＋r)5＋…＋a(1＋r)＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第30页
探究一 等差等比数列模型
[阅读教材P32－33例1例2及解答]
题型：等差、等比数列模型
方法步骤：①确定数列类型；
②明确数列基本量；
③进行数列运算；
④回归还原到实际问题．
[例1] 在美国广为流传的一道教学题目是：老板给你两种奖励的方案，一是每年末在上一次奖励的基础上再加1
000元；二是每半年结束时在上一次奖励的基础上再加300元，请你选择一种，一般不擅长数学的，很容易选择前者．根据以上材料，解答下列问题：
(1)如果在公司连续工作10年，问选择哪一种方案获得的奖励多？多多少元？
(2)如果第二种方案中的每半年再加300元改成每半年再加a元，问a取何值时选择第二种方案总是比第一种方案多获得奖励？
[解题指南] 把实际问题转化为数学模型，解答本题(1)可分别根据两种方案计算出奖励的数量，进而比较得出结果．(2)据条件列出不等式，化简后，再转化为函数的最值(或恒成立)问题，求解可得．
[解析] (1)第10年的年末，依第一种方案构成首项为1
000，公差为1
000的等差数列，故可得1
000×(1＋2＋…＋10)＝1
000×＝55
000(元)．
依第二种方案，则构成首项为300，公差为300的等差数列，可得300×(1＋2＋…＋20)＝300×＝63
000(元)．
因为63
000－55
000＝8
000(元)，
所以在该公司干10年，选择第二种方案比第一种方案获得的奖励多，多8
000元．
(2)第n年年末，依第一种方案，可得1
000×(1＋2＋…＋n)＝1
000·＝500n(n＋1)．
依第二种方案，可得a·(1＋2＋3＋…＋2n)＝a·＝an(2n＋1)．
据题意，an(2n＋1)＞500n(n＋1)对所有正整数n恒成立，即a＞＝250＋对所有正整数n恒成立，只需a＞250＋＝.
所以，当a＞时，选择第二种方案总是比第一种方案多获得奖励．
方法技巧 等差数列和等比数列模型的应用
(1)在解以数列为数学模型的应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系(即数列的递推关系)，然后再求通项．
(2)解决数列应用问题首先要把实际问题抽象为数列问题，然后应用数列知识来分析、求解，最后回到实际问题中去作答．其中第一步是解题的关键，通常从以下角度分析：
①哪些量具备数列特征．
②把要求解的量一步一步分析，得到这些量构成数列的性质．
③用通项公式或递推公式描述这些量的变化规律．
(3)解数列应用题的思路方法如图所示．
跟踪探究 1.某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案；每年贷款1万元，每一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的货款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？(取1.0510＝1.629，1.310＝13.786，1.510＝57.665)．
解析：方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9.
所以S10＝≈42.62(万元)．
又贷款本息总数为
10(1＋5%)10＝10×1.0510≈16.29(万元)，
甲方案净获利
42．62－16.29≈26.34(万元)．
乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为，前10项和为T10＝1＋＋＋…＋＝＝32.50(万元)，
而贷款本息总数为
1．1×[1＋(1＋5%)＋…＋(1＋5%)9]
＝1.1×≈13.21(万元)，
乙方案净获利
32．50－13.21≈19.29(万元)．
比较两方案可得甲方案获利较多．
探究二 复利计算的应用
[例2] 某家庭打算10年以后新买一套住房，决定以一年定期的方式存款，计划从2012年起每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2020年初将所有存款和利息全部取出，则这个家庭共取回多少元？
[解题指南] 从2012年年初起，到2020年初取出为止，每一年求存款的本利和构成数列{an}，这是求数列{an}的前8项和．
[解析] 设从2012年年初到2020年年初的本利和组成数列{an}，到2020年为止，把2012年末存款的本利和看作a1，则2019年末存款的本利和为an，
则a1＝a(1＋p)，a2＝a(1＋p)2＋a(1＋p)，…，an＝a(1＋p)n＋a(1＋p)n－1＋…＋a(1＋p)
＝a(1＋p)n＋1－a(1＋p)(1≤n≤8)，所以这个家庭应取出的钱数为
S8＝a(1＋p)＋[a(1＋p)2＋a(1＋p)]＋…＋[a(1＋p)8＋a(1＋p)7＋…＋a(1＋p)]
＝＋
＋…＋
＝－a(1＋p)
＝a(1＋p)10－(1＋p)2－a(1＋p)．
方法技巧 复利计算的关键
复利计算利息时，每一次求解，本金都在变化，抓住关键：上一年存款的利息作为本金在下一年要计算利息，每一年的本利和组成等比数列，根据等比数列前n项和公式求出最后的本利和．
跟踪探究 2.某煤矿从开始建设到出煤共需5年，每年国家投资100万元，如果按年利率为10%来考虑，那么到出煤时，国家实际投资总额是________万元(精确到0.001)．
解析：第五年投资本利和是100(1＋10%)万元，
第四年投资的本利和是100(1＋10%)2万元，
……
第一年投资的本利和是100(1＋10%)5万元，
所以{an}是以a1＝100(1＋10%)为首项，q＝1＋10%为公比的等比数列，到出煤时，国家实际投资总额是：S8＝100×1.1×＝671.561(万元)．
答案：671.561
探究三 分期付款问题
[阅读教材P34例3及解答]
题型：分期付款模型
方法步骤：①设每期还款x元．
②计算第k个月末还款后的本利欠款数Ak元．
③还清时A12＝0.计算出x.
④回答实际问题．
[例3] 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房．
(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．
(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15＝1.6)
[解题指南] (1)由题意，设第n年末实际住房面积为an，则an＝1.1an－1－b且a1＝1.1a－b(m2)．
(2)由an＝1.1an－1－b求出a5，结合题意建立方程即可解得．
[解析] 设第n年末实际住房面积为an(n∈N＋)．
(1)由题意，得a1＝1.1a－b(m3)，
a2＝1.1a1－b＝1.1(1.1a－b)－b＝1.21a－2.1b(m3)．
(2)a3＝1.1a2－b＝1.1(1.12a－1.1b－b)－b＝1.13a－1.12b－1.1b－b，
a4＝1.1a3－b＝1.1(1.13a－1.12b－1.1b－b)－b
＝1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－b，
a5＝1.1a4－b＝1.1(1.14a－1.13b－1.12b－1.1b－b)－b
＝1.15a－1.14b－1.13b－1.12b－1.1b－b
＝1.6a－＝1.6a－6b，
由题意1.6a－6b＝1.3a，解得b＝，所以每年拆除的旧住房面积为m2.
延伸探究 本例中，条件不变，求“第n年末的实际住房面积的表达式”．
解析：由以上分析知：第n年末的实际住房面积
an＝1.1na－1.1n－1b－1.1n－2b－…－1.1b－b＝1.1na－＝1.1na－10b(1.1n－1)．
方法技巧 常见的分期付款问题的计算方法
方法一：以“商品购买后n年贷款全部付清时，其商品售价增值多少和所付贷款增值多少”两条线列式计算．
方法二：直接以“顾客所欠贷款”为主线，求出每期应付款多少，总共应付款多少．
跟踪探究 3.用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？
解析：购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款组成数列{an}；则
a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)
a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)
a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)．
…
an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝(万元)
(n＝1，2，…，10)．
因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列，a5＝4－＝3.2(万元)．
S10＝10×4＋＝31(万元)．
因此，第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元.
授课提示：对应学生用书第31页
[课后小结]
数列应用要注意的两个问题
(1)数列应用问题的常见模型
①一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(d为常数)．
②如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型．
③如果容易找到该数列任意一项an＋1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题．
(2)数列综合应用题的解题步骤
①审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题．
②分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等．
③求解——分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答．
④还原——将所求结果还原到实际问题中．
[素养培优]
混淆单利复利致误
某人某年年初向银行贷款10万元用于买房，他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借款后次年年初开始偿还，若10年期贷款的年利率为6.15%，且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，问每年应还多少元？(精确到1元)．
易错分析 分期付款中，每月(年)均按复利计算，即上月(年)的利息要计入下月(年)的本金，贷款(或商品价值)与每期付款额在贷款付清之前，会随时间推移而不断增加，即分期付款的总额高于一次性付清的总额．若忽视了这一实质，容易与单利产生混淆而致误，考查数学运算的学科素养．
自我纠正 10万元在10年后(即贷款全部付清时)的价值为105×(1＋6.15%)10元，设每年还款x元，则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋6.15%)9元，第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x(1＋6.15%)8元，……
第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元，于是
105×(1＋6.15%)10＝x(1＋6.15%)9＋x(1＋6.15%)8＋x(1＋6.15%)7＋…＋x
由等比数列的求和公式可得
105×1.061510＝·x，
其中1.061510≈1.81635.
所以x≈≈13
684.
故每年应还约13
684元.
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