3．1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程；2.理解在数系的扩充中的实数集扩展到复数集出现的一些基本概念；3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.
严格数学定义适当转化化归提升数学运算
授课提示：对应学生用书第49页
[基础认识]
知识点一 复数的概念及代数表示
为解决方程x2＝2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？
提示：设想引入新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x2＋1＝0有解，同时得到一些新数．
知识梳理 (1)复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
(2)复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
知识点二 两个复数相等的充要条件
知识梳理 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
知识点三 复数的分类
知识梳理 (1)复数(a＋bi，a，b∈R)
(2)集合表示：
思考：虚数为什么不能比较大小？
提示：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下：
若i＞0，则2i＞i，两边同乘i，得2i2＞i2，即－2＞－1，与实数系中数的大小规定相矛盾；若i＜0，则－2＜－1?－2i＞－i?－2i·i＜－i·i?2＜1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的．故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分．
[自我检测]
1．若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝( )
A．－1
B．1
C．±1
D．不存在
解析：(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0，所以a＝±1.
答案：C
2．已知2－ai＝b＋3i(a，b∈R)(i为虚数单位)，则a＋b＝( )
A．5
B．6
C．1
D．－1
解析：由题意得b＝2，a＝－3，所以a＋b＝－1.
答案：D
3．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________．
解析：a2＞2a＋3，解得a＞3或a＜－1.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
授课提示：对应学生用书第50页
探究一 复数的概念
[例1] (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)若a∈R，i为虚数单位，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i为纯虚数”的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分又不必要条件
[解析] (1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．
(2)当a＝1时，复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i＝4i为纯虚数，当复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i为纯虚数时，a＝1或a＝－2，所以选C.
[答案] (1)B (2)C
方法技巧 (1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实数，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
跟踪探究 1.写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：4,2－3i，－＋i,5＋i,6i.
解析：4,2－3i，－＋i,5＋i,6i的实部分别是4,2，－，5,0；虚部分别是0，－3，，，6.其中4是实数；2－3i，－＋i,5＋i,6i是虚数，其中6i是纯虚数．
探究二 复数的分类
[例2] 当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.
(1)是虚数；(2)是纯虚数．
[解析] (1)当
即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(2)当
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
延伸探究 1.本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？
解析：当即m＝5时，z是实数．
2．本例中条件不变，若z＞0，求m的值.
解析：因为z＞0，所以z为实数，
需满足解得m＝5.
方法技巧 解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，
①z为实数?b＝0；
②z为虚数?b≠0；
③z为纯虚数?a＝0且b≠0.
跟踪探究 2.记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I，则下列类比所得的结论正确的是( )
A．由a·
b∈R，类比得x·y∈I
B．由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，类比得(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2
C．由a2≥0，类比得x2≥0
D．由a＋b＞0?a＞－b，类比得x＋y＞0?x＞－y
解析：A：取x＝y＝i，可知A错误；B：正确；C：取x＝i，可知C错误；D：错误，虚数是不能比较大小的．
答案：B
探究三 复数相等
[例3] 已知集合P＝{5，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，Q＝{4i,5}，若P∩Q＝P∪Q，求实数m的值．
[解析] 由题意知P＝Q，所以(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，所以解得m＝2.
方法技巧 (1)在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
跟踪探究 3.(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；
(2)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值；
(3)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
解析：(1)由复数相等的充要条件，得
解得
(2)因为a，m∈R，
所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，
可得解得或
所以a＝±.
(3)设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以解得a＝11或－.
授课提示：对应学生用书第51页
[课后小结]
(1)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．
(2)两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断．
[素养培优]
忽略复数的概念比较大小致误
易错案例：已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋3＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
易错分析：虚数不能比较大小，因此，若已知两个复数大小，则两复数必须是实数，忽略这一点很容易混淆概念致误．考查数学概念、数学运算等核心素养．
自我纠正：因为x2－1＋(y＋1)i＞2x＋3＋(y2－1)i，
所以且x2－1＞2x＋3，解得y＝－1且x＜1－或x＞1＋，即实数x，y的取值范围是x＜1－或x＞1＋，y＝－1.
PAGE3.1.2 复数的几何意义
内 容 标 准
学 科 素 养
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；2.掌握实轴、虚轴、模等概念；3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
严格数学定义提升数学运算熟练数形结合
授课提示：对应学生用书第51页
[基础认识]
知识点一 复平面
知识梳理 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
知识点二 复数的几何意义
1．实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与坐标平面内的点一一对应．
复数与坐标平面内的点可以一一对应吗？
提示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)由(a，b)唯一确定，因此复数z与坐标平面内的点(a，b)一一对应．
2．如何建立复数与复平面内的向量之间的一一对应关系？
提示：当向量的始点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系．
知识梳理 复数的几何意义
知识点三 复数的模
知识梳理 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为，则向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
思考：1.原点在虚轴上，则数0是虚数吗？
提示：不是．虽然原点在虚轴上，但数0是一个确定的实数，而不是虚数．
2．两个虚数不能比较大小，那两个虚数的模能比较大小吗？
提示：复数的模就是复平面内向量的长度，它是一个实数，因此可以比较大小．
[自我检测]
1．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为( )
A．(0,1)
B．(1,0)
C．(0,0)
D．(1,1)
解析：复数z＝i的实部为0，虚部为1，对应点Z(0,1)．故选A.
答案：A
2．已知a，b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
解析：在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．
答案：B
3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为________．
解析：依题意可得＝2，解得m＝1或3.
答案：1或3
授课提示：对应学生用书第52页
探究一 复数与复平面内点的关系
[例1] 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：
(1)第三象限；
(2)直线x－y－3＝0上．
[解析] 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足
即当－3＜x＜2时，点Z在第三象限．
(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，
当实数x满足
(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，
即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．
延伸探究 若本例中的条件不变，其对应的点在
(1)虚轴上；(2)第四象限．
解析：(1)当实数x满足x2＋x－6＝0，即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上．
(2)当实数x满足
即当2＜x＜5时，点Z在第四象限．
方法技巧 利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程(组)或不等式(组)：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．
跟踪探究 1.求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面的第二象限内；
(2)在复平面内的x轴上方．
解析：(1)点Z在复平面的第二象限内，
则解得a＜－3.
故满足条件的实数a的取值范围为(－∞，－3)．
(2)点Z在x轴上方，
则
则(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.
故满足条件的实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
探究二 复数与复平面内向量的对应关系
[例2] 在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
[解析] 由题意得＝(2,3)，＝(3,2)，＝(－2，－3)．
设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5)．
由题意知，＝，所以即故点D对应的复数为－3－2i.
方法技巧 复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
跟踪探究 2.在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，，对应的复数．
(2)判定△ABC的形状．
解析：(1)由复数的几何意义知：
＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，
＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，
所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)A(1,0)，B(2,1)，C(－1,2)，·＝0，
所以△ABC是直角三角形．
探究三 复数的模
[例3] (1)复数z1＝sin
－icos
，z2＝2＋3i，试比较|z1|与|z2|的大小；
(2)求满足条件2≤|z|＜3的复数z在复平面上表示的图形．
[解析] (1)因为|
z1|＝
＝
＝＝，
|z2|＝|2＋3i|＝＝，
且＝＜，所以|z1|＜|z2|.
(2)如图，图形是以原点O为圆心，半径分别为2个单位长和3个单位长的两个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周．
方法技巧 (1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．
(2)根据复数模的计算公式|a＋bi|＝可把复数模的问题转化为实数问题解决．
(3)根据复数模的定义|z|＝||，可把复数模的问题转化为向量模(即两点间的距离)的问题解决．
跟踪探究 3.(1)设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________；
(2)设z∈C，且|z－i|＝|z－1|，则复数z在复平面内的对应点Z(x，y)的轨迹方程是________，|z＋i|的最小值是________．
解析：(1)因为z为纯虚数，所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，
则|z－1|＝|ai－1|＝.
又因为|－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i.
(2)|z－i|＝|z－1|表示复数z在复平面内的对应点Z到点(0,1)，(1,0)的距离相等，所以轨迹方程是x－y＝0.|z＋i|的最小值点(0，－1)到直线x－y＝0的距离，
所以|z＋i|min＝.
答案：(1)±i (2)x－y＝0
授课提示：对应学生用书第53页
[课后小结]
(1)复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
①复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)．
②复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个．
(2)复数的模
①复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝；
②从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．
[素养培优]
混淆复数的模与实数的绝对值
易错案例：求方程－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数．
易错分析：复数的模是实数绝对值概念的扩充，但在求解有关问题时，不能将其当成实数的绝对值加以求解，否则易出现错解、漏解，造成答案不完整或错误．考查数学概念、数学运算等核心素养．
自我纠正：设x＝a＋bi(a，b∈R)．原方程可化为＝，即a2＋b2＝，在复平面上满足此条件的点有无数个，所以原方程在复数集上有无数个解.
PAGE3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
内 容 标 准
学 科 素 养
1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.
严格数学定义熟练数形结合提升数学运算
授课提示：对应学生用书第54页
[基础认识]
知识点一 复数代数形式的加减法
类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减运算？
提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
知识梳理 (1)运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(2)加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
知识点二 复数加减法的几何意义
1．复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？
提示：如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，
则＝(a，b)，＝(c，d)，
由平面向量的坐标运算，得＋＝(a＋c，b＋d)，
所以＋与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．
2．怎样作出与复数z1－z2对应的向量？
提示：z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图)．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.
知识梳理
复数加法的几何意义
复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数
复数减法的几何意义
复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
思考：1.怎样理解复数加减法运算？
提示：(1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算．
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一的复数．
(4)适当推广：可以推广到多个复数进行加、减运算．
(5)虚数单位i：在进行复数加减运算时，可将虚数单位i看成一个字母，然后去括号，合并同类项即可．
2．怎样理解复数加减法运算的几何意义？
提示：(1)复数的加法：根据复数加法的几何意义知，两个复数的和就是两个复数对应向量的和所对应的复数．
(2)复数的减法：根据复数减法的几何意义，两个复数的差就是两个复数对应向量的差所对应的复数．
[自我检测]
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( )
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
解析：z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.选B.
答案：B
2．若复数z1＝1＋5i，z2＝－3＋7i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：z＝z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋7i)＝4－2i，对应点为(4，－2)，故选D.
答案：D
3．(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝________.
解析：(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i.
答案：－11i
授课提示：对应学生用书第54页
探究一 复数的加、减运算
[例1] 计算：
(1)(－2＋3i)＋(5－i)；
(2)(－1＋i)＋(1＋i)；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
[解析] (1)(－2＋3i)＋(5－i)
＝(－2＋5)＋(3－1)i＝3＋2i.
(2)(－1＋i)＋(1＋i)
＝(－1＋1)＋(＋)i＝2i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
方法技巧 复数加、减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．
(3)在进行复数减法运算时要注意格式，两复数相减所得结果依然是一个复数，其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差，注意中间用“＋”号，如z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，而不是z1－z2＝(a－c)－(b－d)i(a，b，c，d∈R)．
(4)复数中出现字母时，首先要判断其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与虚部分别相加．
提醒：注意运算格式及范围，避免出错
跟踪探究 1.(1)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i.求z1＋z2，z1－z2；
(2)计算：＋(2－i)－.
解析：(1)z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i.
z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.
(2)＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.
探究二 复数加减法的几何意义
[例2] 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0,3＋2i，－2＋4i.
求：(1)表示的复数．
(2)表示的复数．
[解析] (1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.
(2)因为C(－2,4)，A(3,2)，
所以＝(5，－2)，所以表示的复数为5－2i.
延伸探究 (1)若本例条件不变，试求点B所对应的复数．
解析：因为＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以点B所对应的复数为1＋6i.
(2)若本例条件不变，求对角线AC，BO的交点M对应的复数．
解析：由题意知，点M为OB的中点，则＝，因为＝＋，所以表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以点B所对应的复数为1＋6i，点B的坐标为(1,6)，所以点M的坐标为，所以点M对应的复数为＋3i.
方法技巧 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1)技巧．
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形变换转化成复数运算去处理；
②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．
(2)常见结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：
①为平行四边形；
②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪探究 2.在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
解析：(1)对应的复数为(2＋i)－1＝1＋i.
对应的复数为(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.
对应的复数为(－1＋2i)－1＝－2＋2i.
(2)由(1)可得，||＝，||＝，||＝2，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC为直角三角形．
(3)由(2)可知，三角形ABC为直角三角形，∠A为直角，
所以S＝||||＝××2＝2.
探究三 复数模的最值问题
[例3] 复数z1＝3＋4i，z2＝0，z3＝c＋(2c－6)i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若∠BAC是钝角，求实数c的取值范围．
[解析] 在复平面内三点坐标为A(3,4)，B(0,0)，C(c,2c－6)，由∠BAC为钝角，得cos
∠BAC＜0，且A，B，C不共线.＝(－3，－4)，＝(c－3,2c－10)，·＜0，且不共线，得c的取值范围是.
延伸探究 (1)在本例中，若∠BAC为锐角，求实数c的取值范围．
解析：要使∠BAC为锐角，由余弦定理得
|AB|2＋|AC|2－|BC|2＞0，且A，B，C不共线，
25＋(c－3)2＋(2c－6－4)2－[c2＋(2c－6)2]＞0，
解得c＜，故c＜.故c的取值范围为.
(2)在本例中，求|z1＋z3|的最小值．
解析：z1＋z3＝c＋3＋(2c－2)i，
|z1＋z3|2＝(c＋3)2＋(2c－2)2＝5c2－2c＋13
＝52＋，
当c＝时，|z1＋z3|2取得最小值，
即|z1＋z3|的最小值为.
方法技巧 (1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．
(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
跟踪探究 3.已知z1＝2－2i，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
解析：如图，因为|z|＝1，
所以z的轨迹可看成是半径为1，圆心为(0,0)的圆．
而z1对应复平面内的点为Z1(2，－2)，
所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|max＝2＋1.
授课提示：对应学生用书第56页
[课后小结]
(1)复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．
(2)复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．
[素养培优]
误解复数代数形式的几何意义致错
易错案例：已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应的复数分别为－5－2i，－4＋5i,2，则点D对应的复数为________．
易错分析：本题中误认为只有平行四边形ABCD一种情况而造成漏解，应对不同的情况结合几何图形进行直观地分析、分类讨论求解考查数形结合、分类讨论等核心素养．
自我纠正：(1)若ABCD是平行四边形，则＝，所以－＝－，即＝＋－，
所以＝2＋(－5－2i)－(－4＋5i)＝1－7i，
所以点D对应的复数为1－7i.
(2)若ABDC是平行四边形，则＝，
所以＝－＋
＝2－(－5－2i)＋(－4＋5i)＝3＋7i，
所以点D对应的复数为3＋7i.
(3)若ACBD是平行四边形，则＝，
＝＋－
＝(－5－2i)＋(－4＋5i)－2＝－11＋3i，
所以点D对应的复数为－11＋3i.
综上所述，点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.
答案：1－7i或3＋7i或－11＋3i
PAGE3.2.2 复数代数形式的乘除运算
内 容 标 准
学 科 素 养
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律；3.理解共轭复数的概念.
严格数学概念提升数学运算恰当转化化归
授课提示：对应学生用书第56页
[基础认识]
知识点一 复数的乘法法则
怎样进行复数的乘法？
提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
知识梳理 (1)复数乘法的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)复数乘法的运算律
对任意复数
z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
知识点二 共轭复数
共轭复数有何性质？
提示：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
则①z＋＝2a；②z－＝2bi；③z·＝|z|2.
知识梳理 当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.
知识点三 复数的除法法则
如何理解复数的除法运算法则？
提示：复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
知识梳理 复数除法的运算法则
对于复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
(a＋bi)
÷(c＋di)＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
思考：1.实数集和复数集内的乘法、乘方有何不同？
提示：实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如：
(1)当z∈R时，有|z|2＝z2；当z∈C时，有|z|2∈R，而z2∈C，故|z|2和z2不能进行比较．例如，当z＝1＋i时，|z|2＝2，z2＝2i，此时2和2i不能进行比较．
(2)当m，n∈R时，有m2＋n2＝0?m＝n＝0；当z1，z2∈C时，z＋z＝0D/?z1＝z2＝0，但z1＝z2＝0?z＋z＝0.
需注意：z1z2＝0的充要条件是z1＝0或z2＝0.依据复数的乘法运算可得z1z2＝0?|z1z2|＝0?|z1||z2|＝0?z1＝0或z2＝0.
2．你是怎样理解共轭复数的？
提示：(1)实数的共轭复数是它本身，即z＝?z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．
(2)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质可证明一个复数为纯虚数．
(3)z∈R的充要条件是z＝.设z＝a＋bi，则z∈R?b＝0?z＝，所以z∈R的充要条件是z＝.
(4)z＝－不是z为纯虚数的充要条件．设z＝a＋bi，若z是纯虚数，则a＝0，b≠0，此时z＝bi，＝－bi，从而z＝－；反之，若z＝－，则a＋bi＝－(a－bi)，所以a＝－a，即a＝0，此时z＝bi，当b≠0时z是纯虚数，当b＝0时z＝0.所以z＝－是z为纯虚数的必要不充分条件．
3．如何理解复数的除法？
提示：(1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简．
(2)复数除法的一般做法：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即(a＋bi)÷(c＋di)＝
[自我检测]
1．复数(a－i)(1－i)(a∈R)的实部与虚部相等，则实数a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析：(a－i)(1－i)＝a－1＋(－1－a)i(a∈R)，∵实部与虚部相等，∴a－1＝－1－a，解得a＝0.
答案：B
2．复数z与复数i(2－i)互为共轭复数，其中i为虚数单位，则
z＝( )
A．1－2i
B．1＋2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
解析：∵i(2－i)＝1＋2i，又复数z与复数i(2－i)互为共轭复数，∴z＝1－2i.
答案：A
3．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝________.
解析：＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i＋i2＝1－i＋1＋2i－1＝1＋i.
答案：1＋i
授课提示：对应学生用书第57页
探究一 复数的乘除运算
[例1] 计算：
(1)(1－i)(1＋i)；
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)；
(3)；
(4).
[解析] (1)原式＝(1－i)(1＋i)
＝(1－i2)
＝2
＝－1＋i.
(2)原式＝
＝
＝
＝＋i.
(3)
＝＝
＝＝
＝＝1－i.
(4)＝
＝＝＝
＝＝－1＋i.
方法技巧 (1)按照复数的乘法法则，三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致，在计算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．
(2)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．
跟踪探究 1.计算：
(1)(15＋8i)(－1－2i)；
(2).
解析：(1)原式＝－(15＋8i)(1＋2i)
＝－(15＋30i＋8i＋16i2)
＝－(38i－1)
＝1－38i.
(2)法一：
＝＝＝－2＋i.
法二：＝
＝＝＝＝－2＋i.
探究二 i的运算性质
[例2] 计算：
(1)＋2
016
(2)i＋i2＋…＋i2
017
[解析] (1)原式＝＋1
008
＝i(1＋i)＋(－i)1
008
＝i＋i2＋(－1)1
008·
i1
008
＝i－1＋i4×252
＝i－1＋1
＝i.
(2)法一：原式＝＝
＝＝＝
＝＝i.
法二：因为in＋in＋1＋in＋2＋in＋3
＝in(1＋i＋i2＋i3)＝0(n∈N
)
所以原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋＋i2
017
＝i2
017＝(i4)504·i＝1504·i＝i.
方法技巧 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C中仍适用，i的周期性要记熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N
)．
(2)记住以下结果，可提高运算速度
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；
②＝－i，＝i；
③＝－i.
跟踪探究 2.(1)计算6＋＝________；
(2)计算·2·3·…·2
016的值为________．
解析：(1)由＝i，＝i，可得原式＝i6＋i＝－1＋i.
(2)因为＝i，
所以原式＝i·i2·i3·…·i2
016＝i1＋2＋3＋…＋2
016＝i＝i1
008×2
017＝(i2)504×2
017＝1.
答案：(1)－1＋i (2)1
探究三 共轭复数及应用
[例3] 把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z.
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)．由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，解得a＝2，b＝1，所以z＝2＋i.
延伸探究 (1)若把本例条件改为(z＋2)＝4＋3i，求z.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)．则＝x－yi，由题意知，(x－yi)(x＋yi＋2)＝4＋3i.
得
解得或
所以z＝－i或z＝－i.
(2)若把条件改为(1＋2i)z＝4＋3i，求z.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则(1＋2i)(x＋yi)＝4＋3i，得解得所以z＝2－i.
方法技巧 已知关于z和的方程求解z或时，常设出z的代数形式，再表示出，代入方程，利用复数相等的充要条件，转化为实数方程组求解．
跟踪探究 3.(1)是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z等于( )
A．1＋i
B．－1－i
C．－1＋i
D．1－i
(2)若z＝1＋2i，则等于( )
A．1
B．－1
C．i
D．－i
解析：(1)设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi.
因为z＋＝2a＝2，所以a＝1.
又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，所以b＝－1.故z＝1－i.故选D.
(2)＝＝＝i，故选C.
答案：(1)D (2)C
授课提示：对应学生用书第58页
[课后小结]
(1)复数代数形式的乘除运算
①复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．
②在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．
(2)共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．
(3)复数问题实数化思想．
复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化．
[素养培优]
误认为|z|2＝z2致错．
易错案例：已知复数z满足条件z2－|z|－6＝0.求复数z.
易错分析：求解本题易将复数z的模等同于实数的绝对值，误认为|z|2＝z2而出错．事实上，若z＝a＋bi(a，b∈R)，有z2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝a2＋b2，即z2≠|z|2，二者不可混淆．考查等价转化，数学运算等核心素养．
自我纠正：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则依条件得x2－y2＋2xyi－－6＝0.
依复数相等的充要条件得
解得或(无解)，
即解得
故z＝3或z＝－3.
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