1．1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
1.1.2 导数的概念
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解导数概念的实际背景；2.会求函数在某一点附近的平均变化率；3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
强化数学概念完善逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第1页
[基础认识]
知识点一 函数的平均变化率
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系，A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．
(1)若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
提示：自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数的改变量为y2－y1，记作Δy.
(2)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
提示：对山路AB来说，用＝可近似地刻画其陡峭程度．
知识梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：＝.
(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率．
知识点二 瞬时速度
1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．
提示：Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，
＝＝10＋5Δt.
2．当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
提示：当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
知识梳理 瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果Δt无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝
＝
.
知识点三 函数在某点处的导数
知识梳理 一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
＝
，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝
＝
.
思考：1.函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上的“陡峭”程度有什么关系？
提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在区间[x1，x2]上越“陡峭”，反之亦然．
2．函数的平均变化率是固定不变的吗？
提示：不一定，在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的平圴变化率也不一定相同．事实上，曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等，根据平均变化率的几何意义可知，函数的平均变化率一般情况下是不相同的．
3．瞬时速度与平均速度有什么区别和联系？
提示：区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是形容物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．
联系：瞬时速度是平均速度的趋近值．
4．如何理解Δx→0?
提示：(1)“Δx→0”的意义：|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，但始终有Δx≠0.
(2)当Δx→0时，存在一个常数与无限接近．
[自我检测]
1．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中，质点的平均速度等于( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋
C．3＋Δt
D．9＋Δt
解析：平均速度为＝＝6＋Δt.故选A.
答案：A
2．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6
B．18
C．54
D．81
解析：＝＝18＋3Δt，
s′＝
＝
(18＋3Δt)＝18.故选B.
答案：B
3．已知函数f(x)＝，则f′(1)＝________.
解析：f′(1)＝
＝
＝
＝－.
答案：－
授课提示：对应学生用书第2页
探究一 求函数的平均变化率
[例1] (1)已知函数y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则的值为( )
A．－0.11
B．－1.1
C．3.89
D．0.29
(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为________．
(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．
[解析] (1)∵Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝3×2.1－2.12－6＋4＝－0.11，∴＝－1.1.
(2)＝kOA，＝kAB，＝kBC，由图象可知，kOA＜kAB＜kBC.
(3)∵Δy＝π×23－π×13＝，
∴＝＝.
[答案] (1)B (2)＜＜ (3)
方法技巧 求函数y＝f(x)从x0到x的平均变化率的步骤
(1)求自变量的增量Δx＝x－x0.
(2)求函数的增量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(3)求平均变化率＝.
提醒：Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0.
跟踪探究 1.一运动物体的运动路程s(x)与时间x的函数关系为s(x)＝－x2＋2x.
(1)求运动物体从2到2＋Δx这段时间内的平均速度；
(2)若＝－3，求Δx；
(3)若＞－5，求Δx的范围．
解析：(1)因为s(2)＝－22＋2×2＝0，
s(2＋Δx)＝－(2＋Δx)2＋2(2＋Δx)＝－2Δx－(Δx)2，
所以＝＝－2－Δx.
(2)由(1)，令－2－Δx＝－3，解得Δx＝1.
(3)由(1)，令－2－Δx＞－5，解得Δx＜3.
即Δx的范围为(－∞，3)．
探究二 求瞬时速度
[例2] 如果某物体的运动路程s与时间t满足函数s＝2(1＋t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求此物体在1.2
s末的瞬时速度．
[解析] Δs＝2[1＋(1.2＋Δt)2]－2(1＋1.22)
＝4.8Δt＋2(Δt)2，
＝
(4.8＋2Δt)＝4.8，即s′|t＝1.2＝4.8.故物体在1.2
s末的瞬时速度为4.8
m/s.
延伸探究 1.试求该物体在t0时的瞬时速度．
解析：∵Δs＝2[1＋(t0＋Δt)2]－2(1＋t)＝4Δt·t0＋2(Δt)2，∴s′|t＝t0＝
＝
(4t0＋2Δt)＝4t0.
∴此物体在t0时的瞬时速度为4t0
m/s.
2．物体在哪一时刻的瞬时速度为12
m/s?
解析：∵s′|t＝t0＝
＝
(4t0＋2Δt)＝4t0，
∴由4t0＝12得t0＝3，
∴此物体在3
s时的瞬时速度为12
m/s.
方法技巧 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．
(2)求平均速度＝.
(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．
2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0，可令Δx＝0，求出结果即可．
跟踪探究 2.已知自由下落物体的运动方程是s＝gt2(s的单位是m，t的单位是s)，求：
(1)物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度；
(2)物体在t0时的瞬时速度；
(3)物体在t0＝2
s到t1＝2.1
s这段时间内的平均速度；
(4)物体在t＝2
s时的瞬时速度．
解析：(1)平均速度为
＝＝gt0＋gΔt.
(2)瞬时速度为
＝
＝gt0.
(3)由(1)得物体在t0＝2
s到t1＝2.1
s这段时间内的平均速度为g×2＋g×0.1＝g.
(4)由(2)得物体在t＝2
s时的瞬时速度为g×2＝2g.
探究三 求函数在某点处的导数
[例3] 根据导数定义求函数y＝x2＋＋5在x＝2处的导数．
[解析] 当x＝2时，Δy＝(2＋Δx)2＋＋5－＝4Δx＋(Δx)2＋.
所以＝4＋Δx－.
所以y′|x＝2＝
＝
＝4＋0－＝.
延伸探究 本例中若已知该函数在x＝a处的导数为0，试求a的值．
解析：当x＝a时，Δy＝(a＋Δx)2＋＋5
－＝2aΔx＋(Δx)2＋，
所以＝2a＋Δx－，
所以
＝
＝2a－，
所以2a－＝0，a＝.
方法技巧 用导数定义求函数在某一点处导数的三个步骤
(1)求函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．
(2)求平均变化率＝.
(3)取极限，得导数f′(x0)＝
.
简记为一差、二比、三极限．
跟踪探究 3.已知函数y＝f(x)＝2x2＋4x.
(1)求函数在x＝3处的导数；
(2)若函数在x0处的导数是12，求x0的值．
解析：(1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx
＝2(Δx)2＋16Δx.
所以＝＝2Δx＋16，
所以y′|x＝3＝
＝
(2Δx＋16)＝16.
(2)根据导数的定义
f′(x0)＝
＝
＝＝
＝
＝
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
所以f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得x0＝2.
授课提示：对应学生用书第3页
[课后小结]
(1)理解平均变化率要注意以下几点：
①平均变化率表示点(x1，f(x1))与点(x2，f(x2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．
②为求点x0附近的平均变化率，上述表述式常写为的形式．
③函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
(2)利用导数定义求导数：
①取极限前，要注意化简，保证使Δx→0时分母不为0.
②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
③导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
[素养培优]
对导数的定义理解不清致错
设f(x)为可导函数，且f′(2)＝，则
的值为( )
A．1
B．－1
C.
D．－
易错分析：本题考查函数的定义．
f′(x0)＝
，容易错误地认为
＝f′(2)而丢分，考查学生的定义掌握，数学运算等学科素养．
自我纠正：
＝－2
＝－2f′(2)＝－2×＝－1.
答案：B
PAGE1.1.3 导数的几何意义
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义；2.会求简单函数的导函数；3.根据导函数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
强化数学概念提升直观想象规范数学运算
授课提示：对应学生用书第4页
[基础认识]
知识点一 导数的几何意义
如图，点P(x0，f(x0))，Q(x0＋Δx，f(x0＋Δx))在函数y＝f(x)图象上，割线PQ的斜率如何表示？当Δx→0时，即Q点向P点无限靠近时，该割线有怎样的变化趋势，并在图象中绘出其变化趋势？
提示：k＝
＝；
当Q点向P点无限靠近时，割线趋于一个确定位置．
即过P点处的切线，如图所示．
知识梳理 导数的几何意义
(1)切线：如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．显然割线PPn的斜率是kn＝，当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．
(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝
＝f′(x0)．
知识点二 导函数
已知函数f(x)＝x2，分别计算f′(1)与f′(x)，它们有什么不同？
提示：f′(1)＝
＝2.
f′(x)＝
＝2x，
f′(1)是一个值，而f′(x)是一个函数．
知识梳理 导函数
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.
即f′(x)＝y′＝
.
思考：1.曲线“在点P处的切线”与“过点P的切线”的差异是什么？
提示：在点P处的切线，点P必为切点，过点P的切线，点P不一定是切点，点P也不一定在曲线上．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数与导函数y＝f′(x)有什么区别和联系？
提示：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个函数值，即一个确定的值；导函数y＝f′(x)是针对某一区间内任意的x0，如果函数y＝f(x)的导数都存在，则都有唯一确定的值f′(x0)与x0对应，所以，函数的导函数是一个函数关系．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数与导函数是个别与一般的关系，从而，求函数在x＝x0处的导数，除利用定义直接求解外，还可以先求出导函数，再将x＝x0代入导数求解．
[自我检测]
1．已知函数y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：由图象可知函数在A处的切线斜率小于B处的切线斜率，所以根据导数的几何意义可知f′(xA)＜f′(xB)．故选B.
答案：B
2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0)
B．(2,4)
C.
D.
解析：k＝
＝
＝
(2x＋Δx)＝2x，所以2x＝tan＝1，所以x＝.从而y＝.故选D.
答案：D
3．已知函数f(x)＝ex，且其导函数f′(x)＝ex，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．
解析：因为f(0)＝e0＝1，f′(0)＝e0＝1，
故由点斜式得切线方程为y－1＝1×(x－0)，
即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
授课提示：对应学生用书第5页
探究一 求曲线在某点处的切线方程
[例1] 已知曲线C：y＝x3＋.
(1)求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
[解析] (1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4.
所以切点P(2,4)．
y′|x＝2＝
＝
＝
＝4.
所以k＝y′|x＝2＝4.
所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)由可得(x－2)(x2＋2x－8)＝0.
解得x1＝2，x2＝－4.
从而求得公共点为P(2,4)或M(－4，－20)，
即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－4，－20)．
方法技巧 (1)利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤
①求出函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)；
②写出切线方程，即y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为，此时所求的切线平行于y轴，所以曲线的切线方程为x＝x0.
(2)曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
跟踪探究 1.(1)幂函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为( )
A．y＝12x－16
B．y＝12x＋16
C．y＝－12x－16
D．y＝－12x＋16
(2)设函数f(x)存在导函数，且满足
＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2
B．－1
C．1
D．－2
解析：(1)因为y′＝
＝12，
故切线的斜率为12，切线方程为y＝12x－16.
(2)
＝
＝f′(1)＝－1.
答案：(1)A (2)B
探究二 求切点坐标
[例2] 已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，求该切点的坐标．
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
所以＝4x0＋2Δx，f′(x0)＝4x0.
因为抛物线的切线的倾斜角为45°，
所以斜率为tan
45°＝1.
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，
所以切点的坐标为.
延伸探究 1.若把“切线的倾斜角为45°”改为“切线平行于直线4x－y－2＝0”，求切点坐标．
解析：因为抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，所以k＝4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，所以切点坐标为(1,3)．
2．若把“切线的倾斜角为45°”改为“切线垂直于直线x＋8y－3＝0”，求切点坐标．
解析：因为抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，则k·＝－1，即k＝8，故f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，所以切点坐标为(2,9)．
方法技巧 切点问题的处理方法
(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．
(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．
特别提醒：方程思想在求切点时的应用
根据导数的几何意义可知，切点在切线上，又在曲线上，可联立方程求切点．
跟踪探究 2.已知曲线f(x)＝x2＋6在点P处的切线平行于直线4x－y－3＝0，求点P的坐标．
解析：设切点P坐标为(x0，y0)．
f′(x)＝
＝
＝
(2x＋Δx)
＝2x.
所以点P在(x0，y0)处的切线的斜率为2x0.
因为切线与直线4x－y－3＝0平行，
所以2x0＝4，x0＝2，y0＝x＋6＝10，即切点P为(2,10)．
探究三 求曲线过某点的切线方程
[例3] 已知曲线C：f(x)＝x2＋1，求过点P(0,0)且与曲线C相切的切线l的方程．
[解析] 设切点P0(x0，y0)，则
f′(x0)＝
＝
＝
(2x0＋Δx)＝2x0，
故曲线C在点P0处的切线l方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即l：y－y0＝2x0x－2x.
又P0在C上，即y0＝x＋1，
所以l为：y－x－1＝2x0x－2x.
又切线l过点P(0,0)，故－x－1＝－2x，所以x＝1，即x0＝±1，当x0＝－1时，
P0(－1,2)，切线l的方程为y－2＝－2(x＋1)，即y＝－2x.
同理，当x0＝1时，切线l的方程为y＝2x.
所以过点P(0,0)且与曲线C相切的切线方程为y＝－2x或y＝2x.
方法技巧 求过不在曲线y＝f(x)上一点(x1，y1)的切线的步骤
(1)设切点为P0(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)；
(2)建立方程组
(3)解方程组得k，x0，y0，从而写出切线方程．
跟踪探究 3.试求过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程．
解析：＝
＝＝3xΔx＋3x2＋(Δx)2.
＝3x2，因此y′＝3x2，设过(1,1)点的切线与y＝x3＋1相切于点P(x0，x＋1)，据导数的几何意义，函数在点P处的切线的斜率为k＝3x，①
过(1,1)点的切线的斜率k＝，②
所以3x＝，解得x0＝0或x0＝，所以k＝0或k＝，因此过点M(1,1)的切线方程有两个，分别为y－1＝(x－1)和y＝1，即27x－4y－23＝0和y＝1.
授课提示：对应学生用书第6页
[课后小结]
(1)导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝
＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
(2)“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
(3)利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点坐标(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
[素养培优]
求曲线的切线方程混淆“在”与“过”致错
易错案例：已知抛物线y＝x2＋x＋1，求该抛物线过原点的切线方程．
易错分析：在求曲线的切线方程时要看清楚是“在某点处”，还是“过某点”，否则容易漏解致错．考查学生数学概念、基本运算等学科素养．
自我纠正：设切点坐标为(x0，y0)，则
f′(x0)＝
＝2x0＋1，
所以斜率k＝2x0＋1，
故所求的切线方程为y－y0＝(2x0＋1)(x－x0)，将(0,0)及y0＝x＋x0＋1代入上式得：
－(x＋x0＋1)＝－x0(2x0＋1)，
解得x0＝1或x0＝－1，
所以k＝3或k＝－1，
所以切线方程为y＝3x或y＝－x，
即3x－y＝0或x＋y＝0.
PAGE1.2 导数的计算
第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
内 容 标 准
学 科 素 养
1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数；2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
明确数学公式强化逻辑推理提升数学运算
授课提示：对应学生用书第6页
[基础认识]
知识点 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
1．利用y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象确定函数的导数分别是什么？并归纳y＝kx(k∈R)的导数是什么？
提示：利用导数的几何意义结合图象可得y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别是y′＝2，y′＝3，y′＝4.归纳可得y＝kx(k∈R)的导数为y′＝k.
2．利用y＝x，y＝x2的导数猜想y＝xn(n∈Q
)的导数是什么？
提示：若y＝f(x)＝xn(n∈Q
)，则f′(x)＝nxn－1.
知识梳理 1.几个常见函数的导数公式
函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝
f′(x)＝－
f(x)＝
f′(x)＝
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q
)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin
x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos
x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝axln_a(a＞0)
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax
f′(x)＝(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ln
x
f′(x)＝
思考：1.常用函数的导数有什么特点？
提示：(1)常数函数的导数为零．
(2)有理数幂函数的导数依然为幂函数，且系数为原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去1.
2．几个基本初等函数导数公式有什么特点？
提示：(1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”．
(2)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数的自然对数．
(3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数．
3．函数与其导函数的奇偶性有什么关系？
提示：(1)常数的导数是0.
(2)奇函数的导函数为偶函数．
(3)偶函数的导函数为奇函数．
[自我检测]
1．已知函数f(x)＝5，则f′(1)等于( )
A．5
B．1
C．0
D．不存在
解析：因为f(x)＝5，所以f′(x)＝0，所以f′(1)＝0.故选C.
答案：C
2．下列各式正确的是( )
A．(sin
α)′＝cos
α(α为常数)
B．(cos
x)′＝sin
x
C．(sin
x)′＝cos
x
D．(x－5)′＝－x－6
解析：y＝sin
α为常数函数，且(sin
α)′＝0，选项A不正确；y＝cos
x为余弦函数，且(cos
x)′＝－sin
x，选项B不正确；y＝sin
x为正弦函数，且(sin
x)′＝cos
x，选项C正确；y＝x－5为幂函数，且(x－5)′＝－5x－6，选项D不正确．故选C.
答案：C
授课提示：对应学生用书第7页
探究一 利用求导公式求函数的导数
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝x－3；(2)y＝3x；(3)y＝ ；(4)y＝log5x；(5)y＝cos
；(6)y＝sin
；(7)y＝ln
x；(8)y＝ex.
[解析] (1)y′＝－3x－4.
(2)y′＝3xln
3.
(4)y′＝.
(5)y＝sin
x，y′＝cos
x.
(6)y′＝0.
(7)y′＝.
(8)y′＝ex.
方法技巧 利用导数公式求函数导数的注意事项
(1)分清所给函数是幂函数、指数函数、对数函数，还是三角函数，然后选择相应的公式，代入求解．
(2)要特别注意“与ln
x”“ax与loga
x”“sin
x与cos
x”的导数的区别．
跟踪探究 1.求下列函数的导数：
(1)y＝lg
x；(2)y＝x；(3)y＝x；
(4)y＝2－1.
解析：(1)y′＝(lg
x)′＝.
(2)y′＝′＝xln
＝－xln
2.
(4)因为y＝2－1
＝sin2
＋2sin
cos
＋cos2－1
＝sin
x，
所以y′＝(sin
x)′＝cos
x.
探究二 导数公式的综合应用
[例2] 已知曲线y＝ln
x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
[解析] 因为y′＝，所以当x＝e时，y′＝，即切线斜率为，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
延伸探究 1.若本例条件不变，求曲线过O(0,0)的切线方程．
解析：因为O(0,0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率k＝，又因为k＝，且b＝ln
a，
所以a＝e，b＝1，所以切线方程为x－ey＝0.
2．若本例变为方程ln
x＝mx恰有一个根，求m的取值范围．
解析：问题可以转化为函数y＝ln
x与y＝mx的图象有且仅有一个公共点．由图象易知m≤0满足条件．另外就是y＝mx是y＝ln
x的切线时满足条件．因为y＝mx图象过(0,0)，所以设切点为Q(a，b)，则切线斜率m＝，又因为m＝，且b＝ln
a，所以a＝e，b＝1，m＝，即m的取值范围为(－∞，0]∪.
方法技巧 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
②如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪探究 2.已知曲线y＝.求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0,1)且与曲线相切的切线方程．
解析：(1)设切点为(x0，y0)，由y＝得
y′|x＝x0＝.
因为切线与y＝2x－4平行，所以＝2，
所以x0＝，所以y0＝，
所以切点为.
则所求切线方程为y－＝2，
即16x－8y＋1＝0.
(2)设切点P1(x1，)，
则切线斜率为y′|x＝x1＝，
所以切线方程为y－＝(x－x1)，
又切线过点P(0,1)，
所以1－＝(－x1)，
即＝2，x1＝4.
所以切线方程为y－2＝(x－4)．
即x－4y＋4＝0.
授课提示：对应学生用书第8页
[课后小结]
(1)利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
(2)有些函数可先化简再应用公式求导．
如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cos
x，所以y′＝(cos
x)′＝－sin
x.
(3)对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
[素养培优]
没有意识到切点也在曲线上致误
易错案例：过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________．
易错分析：遇到需要设切点的情况，要牢记导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上，考查逻辑推理、数学运算的学科素养．
自我纠正：y′＝ex，设切点为(x0，y0)，则y0＝ex0，则切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)，由于原点在切线上，则－ex0＝ex0(－x0)?x0＝1，y0＝ex0＝e，即切点为(1，e)．
答案：(1，e)
第2课时 导数的运算法则及复合函数的导数
内 容 标 准
学 科 素 养
1.能利用导数的四则运算法则求解导函数；2.能利用复合函数的求导法则进行复合函数的求导.
准确数学公式提升逻辑推理增强运算求解
授课提示：对应学生用书第8页
[基础认识]
知识点一 导数的运算法则
1．已知f(x)＝x，g(x)＝.Q(x)＝f(x)＋g(x)，H(x)＝f(x)－g(x)．f(x)，g(x)的导数分别是什么？
提示：f′(x)＝1，g′(x)＝－.
2．试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数．并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，g′(x)的关系．
提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，
∴＝1－
∴Q′(x)＝
＝
＝1－
同理，H′(x)＝1＋.
Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和；
H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差．
知识梳理 导数运算法则
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
′＝(g(x)≠0)
两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方
知识点二 复合函数及其导数
知识梳理 (1)复合函数：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数的导数：复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
思考：1.导数的和(差)公式对三个或三个以上函数导数的运算还成立吗？
提示：两个函数和(差)的求导法则可以推广到有限个函数的情况．即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．
2．如何判断复合函数的复合关系？
提示：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数．
[自我检测]
1．函数y＝cos
(－x)的导数是( )
A．cos
x
B．－sin
x
C．－cos
x
D．sin
x
解析：y′＝[－sin
(－x)](－x)′＝－sin
x．故选B.
答案：B
2．曲线f(x)＝xln
x在x＝1处的切线方程为( )
A．y＝2x＋2
B．y＝2x－2
C．y＝x＋1
D．y＝x－1
解析：因为f′(x)＝ln
x＋1，所以f′(1)＝1，又f(1)＝0，所以在x＝1处的切线方程为y＝x－1.故选D.
答案：D
3．函数y＝的导数是________．
解析：y′＝′＝
＝＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第9页
探究一 利用导数的运算法则求导
[例1] 求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝＋；
(3)y＝2x·log2x；(4)y＝1－sin2
.
[解析] (1)因为
(2)因为y＝＋＝＝－2，
所以y′＝′＝＝.
(3)y＝2x·log2x，
y′＝(2x)′log2x＋2x·(log2x)′
＝2x·ln
2·log2x＋2x·.
(4)因为y＝1－sin
2
＝
＝(3＋cos
x)＝＋cos
x，
所以y′＝′＝－sin
x.
方法技巧 对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，在不宜直接应用导数公式时，应先对函数解析式进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
跟踪探究 1.(1)已知函数f(x)＝＋2xf′(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系；
(2)设f(x)＝(ax＋b)sin
x＋(cx＋d)cos
x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos
x.
解析：(1)由题意得f′(x)＝＋2f′(1)，
令x＝1，得f′(1)＝＋2f′(1)，
即f′(1)＝－1.
∴f(x)＝－2x.
∴f(e)＝－2e＝－2e，f(1)＝－2，
由f(e)－f(1)＝－2e＋2＜0，
得f(e)＜f(1)．
(2)由已知得f′(x)＝[(ax＋b)sin
x＋(cx＋d)cos
x]′
＝[(ax＋b)sin
x]′＋[(cx＋d)cos
x]′
＝(ax＋b)′sin
x＋(ax＋b)(sin
x)′＋(cx＋d)′cos
x＋(cx＋d)(cos
x)′
＝asin
x＋(ax＋b)cos
x＋ccos
x－(cx＋d)sin
x
＝(a－cx－d)sin
x＋(ax＋b＋c)cos
x.
又∵f′(x)＝xcos
x，
∴即
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
探究二 复合函数的导数
[例2] 求下列函数的导数．
(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；
(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin
3x.
[解析] (1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，所以yx′＝yu′·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
所以yx′＝yu′·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－.
(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
所以yx′＝5yu′·ux′＝5(log2u)′·(1－x)′＝＝.
(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sin
x的复合函数，函数y＝sin
3x可看作函数y＝sin
v和v＝3x的复合函数．
所以yx′＝(u3)′·(sin
x)′＋(sin
v)′·(3x)′
＝3u2·cos
x＋3cos
v
＝3sin2xcos
x＋3cos
3x.
方法技巧 (1)求复合函数的导数的步骤
(2)复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
跟踪探究 2.求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝log2(2x＋1)；
(3)y＝ecos
x＋1；
(4)y＝sin2.
解析：
(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，
则yx′＝yu′·ux′＝＝.
(3)设y＝eu，u＝cos
x＋1，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·(－sin
x)
＝－ecos
x＋1sin
x.
(4)y＝
对于t＝cos
，
设u＝4x＋，
则t＝cos
u，
tu′ux′＝－4sin
u＝－4sin
.
∴y′＝2sin
.
探究三 导数运算法则的综合应用
[例3] 已知曲线y＝在(2,2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0平行，求实数a的值．
[解析] 因为y′＝＝－，所以y′|x＝2＝－1，即－＝－1，所以a＝2.
延伸探究 若本例条件不变，(1)求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离．(2)试求与直线y＝－x平行的过曲线的切线方程．
解析：(1)由例题知切线方程为x＋y－4＝0，
直线方程为x＋y＋＝0，所以d＝＝.
(2)由例题知y′＝－，令－＝－1得x＝0或2，所以切点为(0,0)和(2,2)，所以切线方程为x＋y－4＝0.
方法技巧 关于求导法则的综合应用
(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
易错警示：分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上则要设出切点．
跟踪探究 3.求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
解析：设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝3x－2.
故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)．①
因为(x0，y0)在曲线上，
所以y0＝x－2x0.②
又因为(1，－1)在切线上，
所以将②式和(1，－1)代入①式得
－1－(x－2x0)＝(3x－2)(1－x0)．
解得x0＝1或x0＝－.
故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)，
即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
授课提示：对应学生用书第10页
[课后小结]
(1)导数的求法
对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．
(2)和与差的运算法则可以推广
[f(x1)±f(x2)±…±f(xn)]′＝f′(x1)±f′(x2)±…±f′(xn)．
(3)积、商的求导法则
①若c为常数，则[cf(x)]′＝cf′(x)；
②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
′＝(g(x)≠0)；
当f(x)＝1时，有′＝－(g(x)≠0)．
[素养培优]
用错求导法则致错
易错案例：求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x2cos
x.
易错分析：在较为复杂的函数求导时，可以直接应用函数的求导法则，注意公式的正确应用；如果看成复合函数求导就要注意复合函数求导要充分．
自我纠正：(1)法一：f′(x)＝
＝＝－.
法二：f(x)＝＝＋1，
所以f′(x)＝－2(x－1)－2·(x－1)′＝－.
(2)f′(x)＝(x2)′cos
x＋x2(cos
x)′＝2xcos
x－x2sin
x.
PAGE1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
内 容 标 准
学 科 素 养
1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，并能利用单调性证明一些简单的不等式；3.能利用导数求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
加强直观探索提升逻辑推理强化数学运算
授课提示：对应学生用书第11页
[基础认识]
知识点 函数的单调性与导数
1．已知函数y1＝，y2＝2x，y3＝x2的图象如图所示．
结合图象写出以上三个函数的单调区间．
提示：函数y1＝的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，函数y2＝2x的单调递增区间为(－∞，＋∞)，函数y3＝x2的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)．
2．判断以上三个函数的导数在其单调区间上的正、负．
提示：y1′＝－在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为负值；
y2′＝2xln
2在(－∞，＋∞)上为正值；
y3′＝2x在(－∞，0)上为负值，在(0，＋∞)上为正值．
知识梳理 (1)函数的单调性与其导数正负的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)＞0
单调递增
f′(x)＜0
单调递减
提醒：如果函数f(x)在区间(a，b)上恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．
(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值
函数值的变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
提醒：导数的绝对值越大，越陡峭．
思考：1.若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＜0，则函数f(x)在定义域上一定单调递减吗？
提示：不一定，如函数y＝的导函数y′＝－＜0恒成立，但是函数y＝的图象不是恒下降的．
2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f′(x)＞0恒成立吗？
提示：不一定，如函数y＝x3在[－1,3]上单调递增，但是y′＝3x2在x＝0处的值为0.
3．函数在区间(a，b)上的导数与单调性的关系是怎样的？
提示：(1)若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．
(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)，都有f′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
4．利用导数解决单调性问题需注意哪些问题？
提示：(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．
(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．
[自我检测]
1．设y＝x－ln
x，则此函数在区间(0,1)内为( )
A．单调递增
B．有增有减
C．单调递减
D．不确定
解析：y′＝1－，当x∈(0,1)时，y′＜0，
则函数y＝x－ln
x在区间(0,1)内单调递减．故选C.
答案：C
2．已知e为自然对数的底数，函数y＝xex的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
解析：f(x)＝xex?f′(x)＝ex(x＋1)，
令f′(x)＞0?x＞－1，
所以函数f(x)的单调递增区间是[－1，＋∞)．故选A.
答案：A
3．若f(x)＝－x2＋bln
x在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析：由题，则f′(x)＝≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，
即b≤x2在x∈(1，＋∞)上恒成立．
因为x2＞1，所以b≤1.
答案：(－∞，1]
授课提示：对应学生用书第11页
探究一 导数与函数图象的关系
[例1] (1)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
(2)已知y＝x·f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是( )
(3)函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)＜0的解集为________．
[解析] (1)由当f′(x)＜0时，函数f(x)单调递减，当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，则由导函数y＝f′(x)的图象可知：f(x)先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且f′(0)＞0，所以在x＝0附近函数应单调递增，排除B.
(2)当x＞0时，y＝x·f′(x)在[0，b]上恒大于等于零?f′(x)≥0在[0，b]上恒成立，故f(x)在[0，b]上递增，当x≤0时，f′(x)≤0在(－∞，0]上恒成立，故f(x)在(－∞，0]上递减，只有D满足．
(3)函数y＝f(x)在区间和区间(2,3)上单调递减，所以在区间和区间(2,3)上，y＝f′(x)＜0，所以f′(x)＜0的解集为∪(2,3)．
[答案] (1)D (2)D (3)∪(2,3)
延伸探究 1.若本例(3)中的条件不变，试求不等式f′(x)＞0的解集．
解析：根据题目中的图象，函数y＝f(x)在区间和区间(1,2)上为增函数，所以在区间和区间(1,2)上，y＝f′(x)＞0，
所以f′(x)＞0的解集为∪(1,2)．
2．若本例(3)中的条件不变，试求不等式xf′(x)＞0的解集．
解析：由例(3)及延伸探究1以及已知条件可知，
当x∈时，函数为减函数，则f′(x)＜0；
当x∈(1,2)时，函数为增函数，则f′(x)＞0.
综上可知：xf′(x)＞0的解集为∪(1,2)．
方法技巧 函数与导数图象间的关系
判断函数与导数图象间的对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次再注意以下两个方面：
(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
(2)导数与函数图象的关系
函数值增加得越来越快
函数值增加得越来越慢
f′(x)＞0且越来越大
f′(x)＞0且越来越小
函数值减少得越来越快
函数值减少得越来越慢
f′(x)＜0且越来越小绝对值越来越大
f′(x)＜0且越来越大绝对值越来越小
跟踪探究 1.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
解析：由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导函数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导函数应先正后负再正，对照选项，只有D正确．
答案：D
探究二 利用导数求函数的单调区间
[例2] 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝x3－3x；
(2)f(x)＝ln
x－x；
(3)f(x)＝.
[解析] (1)函数的定义域为R，
f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，
解f′(x)＞0，即3x2－3＞0，得x＞1或x＜－1，
解f′(x)＜0，即3x2－3＜0，得－1＜x＜1，
所以函数的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，
单调递减区间为(－1,1)．
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝ln
x－x，
所以f′(x)＝－1，解f′(x)＞0，
即－1＞0，得0＜x＜1，
解f′(x)＜0，即－1＜0，得x＞1，
所以函数的单调递增区间为(0,1)，
单调递减区间为(1，＋∞)．
(3)函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，f(x)＝，所以f′(x)＝＝，
解f′(x)＞0，得x＞3，解f′(x)＜0，得x＜2或2＜x＜3.
所以函数的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
方法技巧 (1)求函数单调区间的步骤
(2)注意事项
①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．
②含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论．
③函数的单调区间之间只能用“和”或“，”隔开，不能用符号“∪”连接．
跟踪探究 2.已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数f(x)的单调性．
解析：由题设知a≠0.
f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.
当a＞0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)＞0.
所以f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．
若x∈，则f′(x)＜0，
所以f(x)在区间上为减函数．
若x∈，则f′(x)＞0，
所以f(x)在区间上是增函数．
当a＜0时，若x∈，则f′(x)＜0.
所以f(x)在上是减函数．
若x∈，则f′(x)＞0.
所以f(x)在区间上为增函数．
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)＜0.
所以f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．
探究三 已知函数单调性求参数的取值范围
[例3] 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
[解析] f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．
因为x2＞0，所以2x3－a≥0，
所以a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
所以a≤(2x3)min.
因为x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
所以(2x3)min＝16，所以a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，所以a的取值范围是(－∞，16]．
延伸探究 若将本例中的“x∈[2，＋∞)”改为“x∈(－∞，2]”，且f(x)在(－∞，2]上是单调递减的，则a的取值范围是什么？
解析：由例3可知，要使f(x)在(－∞，2]上单调递减，
只需f′(x)≤0在x∈(－∞，2]上恒成立．
即≤0在(－∞，2]上恒成立．
因为x2＞0，所以2x3－a≤0，即a≥2x3.
因为x∈(－∞，2]时，y＝2x3是单调递增的．
所以(2x3)max＝2×23＝16.
所以a≥16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈(－∞，2])有且只有f′(2)＝0.因此，实数a的取值范围是[16，＋∞)．
方法技巧 (1)由函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性求参数的取值范围的步骤
①求导数y＝f′(x)．
②转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0对x∈[a，b]恒成立问题．
③由不等式恒成立求参数范围．
④验证等号是否成立．
(2)恒成立问题的重要思路
①m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max.
②m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.
跟踪探究 3.若函数f(x)＝2x2＋ln
x－ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：函数f(x)＝2x2＋ln
x－ax在定义域上单调递增，
由f′(x)＝4x＋－a≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即a≤4x＋(x＞0)恒成立．
令g(x)＝4x＋，则a≤g(x)min.
g(x)＝4x＋＝4x＋≥4×1＝4，
当且仅当x＝时取等号，故a≤4.
当a＝4时，f′(x)＝4x＋－4＝＝≥0恒成立，满足题意，所以a≤4，
故a的取值范围是(－∞，4].
授课提示：对应学生用书第13页
[课后小结]
(1)导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．
(2)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：
①确定函数f(x)的定义域；
②求导数f′(x)；
③在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0；
④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间．
(3)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；
②先令f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时，f(x)是否满足题意．
[素养培优]
不会构造函数造成思维受阻
易错案例：已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，若f′(x)－f(x)＜－4，f(0)＝5，则不等式f(x)＞ex＋4的解集是( )
A．(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(1，＋∞)
易错分析：解关于抽象函数的不等式问题，关键点也是难点就是构造合适的函数，构造新函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数．从而可有效达成数学抽象的核心素养．
自我纠正：构造函数g(x)＝－，
有g(0)＝1，
则g′(x)＝＋＝＜0.
所以g(x)在R上为减函数．
则不等式f(x)＞ex＋4等价于－＞1，
即g(x)＞g(0)．
所以x＜0.
答案：C
1.3.2 函数的极值与导数
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活运用；2.掌握函数极值的判定及求法；3.会根据函数的极值求参数.
加强直观探索熟练数形结合提升数学运算
授课提示：对应学生用书第13页
[基础认识]
知识点一 函数的极值
在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山之中的最高处，但它却是其附近所有点的最高点．同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近所有点的最低点．假设如图是群山中各个山峰的一部分图象，观察如图中P点附近图象从左到右的变化趋势，P点的函数值以及点P位置各有什么特点？
实例中P点，Q点的函数值与其附近的函数值有何关系？
提示：点P附近的函数值都小于点P处的函数值，点Q附近的函数值都大于点Q处的函数值．
知识梳理 函数的极值
(1)极小值：如果函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)极大值：如果函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极大值和极小值统称为极值．
知识点二 函数极值的求法
知识梳理 一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：
解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．
思考：1.极大值是不是一定大于极小值？
提示：极大值是比它附近的函数值都大的函数值，极小值是比它附近的函数值都小的函数值，所以极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．函数的极值与极值点之间的关系是什么？
提示：函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值时对应点的纵坐标．
3．导数值为零的点一定是函数的极值点，这种说法正确吗？
提示：不正确，如y＝x3，当x＝0时，y′＝3x2＝0，而函数在x＝0两侧导数符号不变化，即函数单调性不变，故x＝0不是函数的极值点．
[自我检测]
1．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值，极小值分别为( )
A.，0
B．0，
C．－，0
D．0，－
解析：f′(x)＝3x2－2px－q，
由f′(1)＝0，f(1)＝0，得解得
所以f(x)＝x3－2x2＋x.
由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝或x＝1，
易得当x＝时，f(x)取极大值.
当x＝1时，f(x)取极小值0.
答案：A
2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－9
B．－2
C．4
D．2
解析：因为f(x)＝x3－12x，
所以f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
所以当x＜－2或x＞2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
所以当x＝2时，f(x)有极小值，即函数的极小值点为2，所以a＝2.
答案：D
3．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m等于________．
解析：y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4，容易得出当x＝4时函数取得极大值，所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19.
答案：－19
授课提示：对应学生用书第14页
探究一 求函数的极值(点)
[例1] 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝(x2－1)3＋1；(2)f(x)＝.
[解析] (1)f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x＋1)2(x－1)2.
令f′(x)＝0
解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
－
0
＋
0
＋
f(x)
?
无极值
?
极小值0
?
无极值
?
所以当x＝0时，f(x)有极小值且f(x)极小值＝0，无极大值．
(2)函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.
令f′(x)＝0，解得x＝e.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
单调递减
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝，没有极小值．
方法技巧 函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．
跟踪探究 1.(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(2)在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝( )
A．－4
B．－3
C．3
D．4
(3)已知x0为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则x0＝________.
解析：(1)由f′(x)＞0时，f(x)单调递增，f′(x)＜0时，f(x)单调递减．可知f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个．
(2)因为f(x)＝x3＋4x2＋9x－1，所以由f′(x)＝x2＋8x＋9＝0可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8，因为等比数列中a＝a3·a7且a5＜0，所以a5＝－3.
(3)f′(x)＝3x2－12，所以x＜－2时，f′(x)＞0，－2＜x＜2时，f′(x)＜0，x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2是f(x)的极小值点，又x0为f(x)的极小值点，所以x0＝2.
答案：(1)A (2)B (3)2
探究二 与参数有关的极值问题
[例2] 函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，求a的取值范围．
[解析] f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a＞0，解得a＜1.故a的取值范围为(－∞，1)．
延伸探究 1.若函数的极大值点是－1，求a的值．
解析：f′(x)＝x2－2x＋a，由题意f′(－1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值．
2．若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围．
解析：由题意，方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2＝a＜0，故a的取值范围是(－∞，0)．
方法技巧 已知函数的极值情况求参数时应注意两点
(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．
跟踪探究 2.已知函数f(x)＝(a∈R，a≠0)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．
解析：(1)当a＝－1时，f(x)＝，f′(x)＝.
由f′(x)＝0，得x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
所以函数f(x)的极小值为f(2)＝－，
函数f(x)无极大值．
(2)F′(x)＝f′(x)＝＝.
①当a＜0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
－
0
＋
F(x)
?
极小值
?
若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝＋1＞0，解得a＞－e2，所以此时－e2＜a＜0；
②当a＞0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，2)
2
(2，＋∞)
F′(x)
＋
0
－
F(x)
?
极大值
?
当x＞2时，F(x)＝＋1＞1，
当x＜2时，令F(x)＝＋1＜0，
即a(x－1)＋ex＜0，
由于a(x－1)＋ex＜a(x－1)＋e2，
令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－，即x≤1－时，
F(x)＜0，所以F(x)总存在零点，
综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．
探究三 利用函数极值解决函数零点问题
[例3] 已知函数f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，若函数y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
[解析] 由f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，
可得f′(x)＝3x2－12x＋9，
f′(x)＋5x＋m＝(3x2－12x＋9)＋5x＋m
＝x2＋x＋3＋m.
则由题意可得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．
∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，
令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：
x
4
(4，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
极大值
?
极小值
?
由函数g(x)的极大值为g＝－m，
极小值为g(4)＝－16－m.
由y＝f(x)的图象与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同交点，
得
解得－16＜m＜.
即实数m的取值范围为.
方法技巧 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
跟踪探究 3.若2ln(x＋2)－x2－x＋b＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．
解析：令g(x)＝2ln(x＋2)－x2－x＋b，
则g′(x)＝－2x－1
＝－(x＞－2)．
当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：
x
(－2,0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)
?
极大值
?
由表可知，函数在x＝0处取得极大值，极大值为g(0)＝2ln
2＋b.
结合图象(图略)可知，要使g(x)＝0在区间[－1,1]上恰有两个不同的实数根，只需
即所以－2ln
2＜b≤2－2ln
3.
故实数b的取值范围是(－2ln
2,2－ln
3]
.
授课提示：对应学生用书第15页
[课后小结]
(1)求函数极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数f′(x)；
③解方程f′(x)＝0得方程的根；
④利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；
⑤确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
(2)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
①根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
②因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
(3)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．
(4)事实上，利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．
[素养培优]
有关求参的题目忘记验证而产生增根
易错案例：已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．
易错分析：凡是求参数取值的题目都要进行检验，否则往往会导致增根，完善解题，从而达到解答规范，运算准确的基本核心素养．
自我纠正：因为f(x)在x＝－1时有极值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
所以即
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上是增函数，无极值，故舍去．
当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
因为当x∈(－3，－1)时，f(x)是减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f(x)是增函数，所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
PAGE1.3.3 函数的最大(小)值与导数
内 容 标 准
学 科 素 养
1.借助函数图象，直观地理解函数的最大值、最小值的概念；2.弄清函数的最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数f(x)必有最大值和最小值的充分条件；3.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值.
提升直观想象加强逻辑推理规范数学运算
授课提示：对应学生用书第16页
[基础认识]
知识点一 闭区间上连续函数的最值
1．函数y＝f(x)在定义域I内的最大值与最小值是怎样定义的？
提示：如果函数f(x)在定义域I内存在x0，使得?x∈I，总有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，则称f(x0)为函数f(x)在定义域I上的最大值(或最小值)．
2．如图是函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．
(1)你能找出它的极大值、极小值吗？
提示：f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．
(2)你能找出它的最大值、最小值吗？
提示：f(a)是函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值，f(x3)是函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值．
(3)若将区间改为(a，b)，y＝f(x)在(a，b)上还有最值吗？
提示：若区间改为(a，b)，则y＝f(x)有最小值f(x3)，无最大值．
(4)由以上讨论，你能得出什么结论？
提示：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．
知识梳理 闭区间上连续函数的最值
一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值．
知识点二 求函数在闭区间上最值的步骤
知识梳理 一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
思考：1.函数的最大(小)值最多只能有一个，那么函数的最大(小)值点呢？
提示：函数的最大(小)值最多只能有一个，而最大(小)值点却可以有多个，如正弦函数的最值点与极值点相同，都有无穷多个．
2．函数在给定区间上是否一定有最值或极值？
提示：如果函数y＝f(x)的图象是区间[a，b]上一条连续不断的曲线，且在(a，b)上可导，则
(1)f(x)在[a，b]上必有最值．
(2)若f(x)在区间(a，b)上为单调函数，则无极值；若f(x)在区间(a，b)上先增(减)后减(增)，则必存在一个极大(小)值．
3．函数的极值与最值有何区别和联系？
提示：函数最值与极值的区别与联系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．
(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．
[自我检测]
1．设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)的极值点一定是最值点
B．f(x)的最值点一定是极值点
C．f(x)在此区间上可能没有极值点
D．f(x)在此区间上可能没有最值点
解析：根据函数的极值与最值的概念判断知选项A，B，D都不正确．
答案：C
2．函数f(x)＝x3－2x2在区间[－1,5]上( )
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，有最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
解析：f′(x)＝x2－4x＝x(x－4)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4，
f(0)＝0，f(4)＝－，f(－1)＝－，f(5)＝－，
所以f(x)max＝f(0)＝0，f(x)min＝f(4)＝－.
答案：B
3．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立，则m的取值范围是________．
解析：设y＝x2－4x，y′＝2x－4，令y′＝0，得x＝2.
所以y＝x2－4x在(－∞，2)上是减函数，即在x∈[0,1]上也是减函数，
所以ymin＝12－4＝－3，
所以m≤－3，即m∈(－∞，－3]．
答案：(－∞，－3]
授课提示：对应学生用书第17页
探究一 求已知函数的最值
[例1] 求下列函数的最值．
(1)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数；
(2)f(x)＝＋，x∈(0,1)，a＞0，b＞0.
[解析] (1)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－.
当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，
即f(x)在[0，a]上是减函数．
故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
(2)f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＝0，即b2x2－a2(1－x)2＝0，
解得x＝或x＝(舍去)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0
1
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
(a＋b)2
?
从上表可知当x＝时，f(x)有最小值f＝(a＋b)2.在x∈(0,1)上，函数无最大值．
误区警示 求函数在固定区间上最值的注意事项
(1)对函数进行准确求导；
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点处的函数值；
(3)比较极值与端点处的函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论．
方法技巧 用导数求函数f(x)最值的基本方法
(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；
(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；
(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；
(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；
(5)求区间端点的函数值；
(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值．
跟踪探究 1.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为( )
A．11
B．－70
C．－14
D．－21
解析：函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3，由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；f(3)＝－21；f(4)＝－14；
所以函数y＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为11.
答案：A
2．函数y＝xln
x的最小值为( )
A．－e－1
B．－e
C．e2
D．－
解析：因为y＝xln
x，定义域是(0，＋∞)，
所以y′＝1＋ln
x，令y′＞0，解得：x＞，
令y′＜0，解得0＜x＜，
所以函数在上递减，在上递增，故x＝时，函数取最小值是－.
答案：A
探究二 含参数的最值问题
[例2] 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718
28…为自然对数的底数．
设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．
[解析] 因为f(x)＝ex－ax2－bx－1，
所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，
又g′(x)＝ex－2a，
因为x∈[0,1]，1≤ex≤e，
所以：
(1)若a≤，则2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，
g(x)min＝g(0)＝1－b.
(2)若＜a＜，则1＜2a＜e，
于是当0＜x＜ln(2a)时，
g′(x)＝ex－2a＜0，
当ln(2a)＜x＜1时，g′(x)＝ex－2a＞0，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，
在区间[ln(2a)，1]上单调递增，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
(3)若a≥，则2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，
g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
综上所述，当a≤时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为1－b；
当＜a＜时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为2a－2aln(2a)－b；
当a≥时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为e－2a－b.
延伸探究 1.若a＝1，b＝－2，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．
解析：因为a＝1，b＝－2，
g(x)＝f′(x)＝ex－2x＋2，
又g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，
因为x∈[0,1]，
解得x＝ln
2，已知当x＝ln
2时，函数取极小值，也是最小值，故g(x)min＝g(ln
2)＝2－2ln
2＋2＝4－2ln
2.
2．当b＝0时，若函数g(x)在区间[0,1]上的最小值为0，求a的值．
解析：当b＝0时，
因为f(x)＝ex－ax2－1，
所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax，
又g′(x)＝ex－2a，
因为x∈[0,1]，1≤ex≤e，
所以：
(1)若a≤，则2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，
g(x)min＝g(0)＝1，不符合题意．
(2)若＜a＜，则1＜2a＜e，
于是当0＜x＜ln(2a)时，g′(x)＝ex－2a＜0，
当ln(2a)＜x＜1时，g′(x)＝ex－2a＞0，
所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，
在区间[ln(2a)，1]上单调递增，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)＝0，
解得a＝不符合题意，舍去．
(3)若a≥，则2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，
所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，
g(x)min＝g(1)＝e－2a＝0，解得a＝.
方法技巧 1.含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
2．已知函数最值求参数值(范围)的思路
已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．
跟踪探究 3.设＜a＜1，函数f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b.
解析：令f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
?
b
?
－＋b
?
1－a＋b
从表中可知，当x＝0时，y＝f(x)取得极大值b，x＝a时取得极小值－＋b，而f(1)＞f(a)，f(0)＞f(－1)，
故需比较f(0)与f(1)及f(－1)与f(a)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1＞0，
所以y＝f(x)的最大值为f(0)＝b＝1.
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)＜0，
所以y＝f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－，
所以－a＝－，a＝.
探究三 与函数最值有关的综合问题
[例3] 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围．
[解析] (1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′＝－a＋b＝0，解得a＝－，b＝－2，
所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，＋∞)；
单调递减区间为.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－时，f＝＋c为极大值，因为f(2)＝2＋c＞f，所以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)＜c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2＞f(2)＝2＋c，解得c＜－1或c＞2.
故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
延伸探究 1.本例(2)中条件不变，问法改为求函数f(x)在区间[－1,2]上的最值，结果如何？
解析：f′(x)＝(3x＋2)(x－1)，当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如表：
x
－1
－
1
(1,2)
2
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
＋c
单调递增
＋c
单调递减
－＋c
单调
递增
2＋c
由于2＋c＞＋c＞＋c＞－＋c，
所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为2＋c，
最小值为－＋c.
2．本例(2)中条件不变，问法“若对x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2恒成立”改为“若存在x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2成立”，结果如何？
解析：f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，
当x＝1时，f(1)＝c－为极小值，
又f(－1)＝＋c＞c－，
所以f(1)＝c－为最小值．
因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)＜c2成立，
所以只需c2＞f(1)＝c－，解得c∈R.
方法技巧 分离参数求解不等式恒成立问题
跟踪探究 4.已知函数f(x)＝(x－1)3＋m.
(1)若f(1)＝1，求函数f(x)的单调区间．
(2)若关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上恒成立，求m的取值范围．
解析：(1)因为f(1)＝1，所以m＝1，
则f(x)＝(x－1)3＋1＝x3－3x2＋3x，
而f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)不等式f(x)≥x3－1在区间[1,2]上恒成立，即不等式3x2－3x－m≤0在区间[1,2]上恒成立，
即不等式m≥3x2－3x在区间[1,2]上恒成立，即m
不小于3x2－3x在区间[1,2]上的最大值．
因为x∈[1,2]时，
3x2－3x＝32－∈[0,6]，
所以m的取值范围是[0，＋∞).
授课提示：对应学生用书第18页
[课后小结]
(1)求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值．
(2)已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
(3)若函数在开区间内存在最值，则极值点必落在已知区间内．
(4)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；若不能分离，则构造函数，利用函数的性质求最值．
[素养培优]
误把极值当最值致误
易错案例：已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，在x＝－2和x＝处取得极值．
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)求函数f(x)在[－4,1]上的最值．
易错分析：本题求函数最值，往往没有比较端点值和极值的大小而错误地认为极值就是最值而丢分．考查直观想象、逻辑推理的核心素养．
自我纠正：(1)因为f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，所以f′(x)＝3x2－2ax＋b，因为在x＝－2和x＝处取得极值，
所以解得a＝－2，b＝－4.
所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.
(2)因为f′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0，
解得x＝－2或x＝，所以f(x)在[－4，－2)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
因为f(－4)＝－11，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4.
所以f(x)max＝f(－2)＝13，f(x)min＝f(－4)＝－11.
PAGE1.4 生活中的优化问题举例
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过实例体会导数在解决实际问题中的应用；2.能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.
培养数学建模实践化归转化提升数学运算
授课提示：对应学生用书第19页
[基础认识]
知识点 生活中的优化问题
知识梳理 (1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．
(3)解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
思考：解决生活中优化问题应当注意哪些问题？
提示：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不将该点处的函数值与区间端点处的函数值比较，也可以知道函数在该点处取得最大(小)值．
(3)在解决优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示出来，还应确定出函数关系中自变量的定义区间．
[自我检测]
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数解析式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
解析：y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当x∈(0,9)
时，y′＞0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(0,9)上单调递增，在(9，＋∞)上单调递减，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值．
答案：C
2．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的体积V最大时，圆柱的高h的值为________．
解析：设圆柱的底面半径为r，底面面积为S1，侧面面积为S2，则S1＝2πr2，S2＝2πrh，所以S＝2πr2＋2πrh，所以h＝，又圆柱的体积V＝πr2h＝(S－2πr2)＝，V′＝，令V′＝0得S＝6πr2，所以h＝2r，因为只有一个极值点，故当h＝2r时圆柱的体积最大．又r＝，所以h＝2r＝2＝.即当圆柱的体积V最大时，圆柱的高h为.
答案：
授课提示：对应学生用书第19页
探究一 面积、容积的最值问题
[例1] 请你设计一个包装盒，如图，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[解析] 设包装盒的高为h
cm，底面边长为a
cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30.
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
方法技巧 (1)解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只需要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
跟踪探究 1.三棱锥O?ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OC＝2x，OA＝x，OB＝y，且x＋y＝3，则三棱锥O?ABC体积的最大值为( )
A．4
B．8
C.
D.
解析：V＝×·y＝＝＝(0＜x＜3)，V′＝＝2x－x2＝x(2－x)．
令V′＝0，得x＝2或x＝0(舍去)．所以x＝2时，V最大为.
答案：C
2．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为________时它的面积最大．
解析：如图，设∠OBC＝θ，则0＜θ＜，
OD＝rsin
θ，BD＝rcos
θ.
所以S△ABC＝rcos
θ(r＋rsin
θ)
＝r2cos
θ＋r2sin
θ·cos
θ.
令S′＝－r2sin
θ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0，
所以cos
2θ＝sin
θ，所以1－2sin2θ＝sin
θ，
解得sin
θ＝，又0＜θ＜，所以θ＝.即当θ＝时，△ABC的面积最大，即高为OA＋OD＝时面积最大．
答案：
探究二 费用(用料)最省问题
[例2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解析] (1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.
又建造费用为C1(x)＝6x，
故隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0≤x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x≤10时，f′(x)＞0，
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
故当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小，为70万元．
方法技巧 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值
，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪探究 3.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
解析：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，
即n＝－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x
＝256＋(2＋)x
＝＋m＋2m－256.
(2)由(1)知，
f′(x)＝－＋mx－＝(x－512)．
令f′(x)＝0，得x＝512，所以x＝64.
当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝－1＝－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
探究三 利润最大问题
[例3] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[解析] (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增
极大值42
单调递减
由表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42，即当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
方法技巧 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪探究 4.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，再准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系为：p＝(2≤x≤8)．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为5万元，工厂一次性补贴职工交通费(x2＋25)万元．设f(x)为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．
(1)求f(x)的表达式．
(2)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值．
解析：(1)f(x)＝＋5x＋(x2＋25)
整理得f(x)＝(x＋5)2＋(2≤x≤8)．
(2)f′(x)＝(x＋5)－＝
由f′(x)≥0得x≥5；
所以f(x)在[2,5]上单调递减，在[5,8]上单调递增；
故当x＝5时，f(x)取得最小值150.
综上所述，宿舍应建在离工厂5
km处，
可使总费用f(x)最小，最小值为150万元.
授课提示：对应学生用书第20页
[课后小结]
(1)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
①分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
②求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
③比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
(2)正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用题的主要思路，另外需要特别注意：
①合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；
②与实际问题相联系；
③必要时注意分类讨论思想的应用．
[素养培优]
解决实际优化问题时忽略定义域致误
易错案例：甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b(b＞0)，固定部分为a元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域．
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？
易错分析：解决实际应用题时，要注意问题中某些关键量的实际限制条件或隐含条件，否则会造成漏解或解题过程不规范．主要考查数学建模，基本运算等学科核心素养．
自我纠正：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
y＝a·＋bv2·＝s，
故所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0，c]．
(2)由题意知s，a，b，v均为正数．
由y′＝s＝0，得v＝，v∈(0，c]．
①若≤c，则v＝是极值点，
即当v＝时，全程运输成本y最小．
②若＞c，因为v∈(0，c]，此时y′＜0，则函数在(0，c]上为减函数，所以当v＝c时，y最小．
综上所述，为使全程运输成本y最小，当≤c时，行驶速度v＝；当＞c时，行驶速度v＝c.
PAGE1．5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积
1．5.2 汽车行驶的路程
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解“以直代曲”“不变代变”的思想方法；2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程.
认识近似代替规范步骤表达提升数学运算
授课提示：对应学生用书第21页
[基础认识]
知识点一 曲边梯形的面积
1．如何计算下列两图形的面积？
提示：①直接用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．
2．如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？
提示：已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．
知识梳理 (1)曲边梯形的概念
如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y＝f(x)的一段，我们把由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形．
(2)求曲边梯形的面积的步骤
把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，对这些面积的近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．随着拆分越来越细，这个近似值逐步“逼近”面积的精确值．
“以直代曲”“逼近思想”求曲边梯形面积的具体步骤如下：
①分割
在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个点，分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形．
②近似代替
当n很大时，曲边梯形被分割的每一部分近似直边图形(矩形或梯形等)，这样我们就可以用直边图形代替曲边梯形．
③求和
把每个直边图形的面积求出后进行求和．
④取极限
当n趋向于无穷大，即Δx趋向于0时，直边图形的面积之和趋向于曲边梯形的面积．
计算曲边梯形面积的流程图如图
知识点二 求变速直线运动的(位移)路程
知识梳理 与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题．
一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出物体在a≤t≤b内运动的路程s(注意：这里的“路程”也说“位移”)．
[自我检测]
1．函数f(x)＝x2在区间上( )
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
解析：当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数．
答案：D
2．下列函数中，在其定义域内不是连续函数的是( )
A．f(x)＝|x|
B．f(x)＝sin
x
C．f(x)＝lg
x－1
D．f(x)＝
解析：作出各个函数的图象，可知应选D.
答案：D
3．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,1]n等分，则每个小区间的长度为________．
解析：每个小区间长度为＝.
答案：
授课提示：对应学生用书第22页
探究一 求曲边梯形的面积
[例1] 求由直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1所围成的曲边梯形的面积．
[参考公式12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)]
[解析] 令f(x)＝x2＋1.
(1)分割
将区间[0,2]n等分，分点依次为
x0＝0，x1＝，x2＝，…，xn－1＝，xn＝2.
第i个区间为(i＝1,2，…，n)，
每个区间长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝f·Δx
＝
·＝i2＋2
＝(12＋22＋…＋n2)＋2
＝·＋2
＝＋2.
(3)取极限
S＝Sn
＝
＝，
即所求曲边梯形的面积为.
方法技巧 求曲边梯形的面积
(1)思想：以直代曲．
(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限．
(3)关键：近似代替．
(4)结果：分割越细，面积越精确．
(5)求和时可用一些常见的求和公式，如
1＋2＋3＋…＋n＝，
12＋22＋32＋…＋n2＝，
13＋23＋33＋…＋n3＝2.
跟踪探究 1.求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．
解析：(1)分割
将区间[0,1]等分为n个小区间：
，，，…，，…，，其中i＝1,2，…，n，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)近似代替
在区间(i＝1,2，…，n)上，以处的函数值2为高，小区间的长度Δx＝为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即
ΔSi≈2·.
(3)求和
ΔSi≈
2·
＝0·＋2·＋2·＋…＋2·＝[12＋22＋…＋(n－1)2]＝－＋.
(4)取极限
曲边梯形的面积
S＝
＝.
探究二 求变速运动的路程
[例2] 当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
[解析] 将区间[1,2]等分成n个小区间，
第i个小区间为.
所以Δsi＝v·.
sn＝v
＝
＝
＝
＝3＋＋.
s＝sn＝
＝.
所以这段时间行驶的路程为
km.
延伸探究 本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程．比较两次求出的结果是否一样？
解析：将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为.
所以Δsi＝v·.
sn＝v
＝3＋[12＋22＋…＋(n－1)2＋n2]＋[2＋4＋6＋…＋2(n－1)＋2n]
＝3＋＋.
s＝sn
＝
＝.
所以这段时间行驶的路程为
km.
所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．
方法技巧 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似都是求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．
跟踪探究 2.一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)．
解析：(1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n－1个点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为(i＝1,2，…，n)，Δt＝.
则汽车在时间段，，上行驶的路程分别记为：
Δs1，Δs2，…，Δsi，…，Δsn，有sn＝Δsi.
(2)近似代替：取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Δsi≈v·Δt＝·＝－·＋(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝Δsi
＝
＝－8·＋10.
(4)取极限：s＝sn
＝
＝.
授课提示：对应学生用书第23页
[课后小结]
求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤：
(1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
(3)求和：f(ξi)·；
(4)取极限：s＝f(ξi)·.
“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．
[素养培优]
忽略题目限制条件致误
易错案例：求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的平面图形的面积．
易错分析：用矩形面积代替梯形面积，计算矩形的高时常常出错，一是忽略题目要求的限制条件，二是对应点的函数值计算错误．考查“以直代曲”的思想及运算能力等核心素养．
自我纠正：∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍．下面求S阴影．
由得交点为(2,4)，
(1)分割
将区间[0,2]n等分，则Δx＝.即ξi＝(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：
ΔSi≈f(ξi)Δx≈2·.
(3)求和
Sn≈
2·＝[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]＝.
(4)取极值
S＝Sn＝
＝.
∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－＝.
∴2S阴影＝，即抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的平面图形面积为.
PAGE1.5.3 定积分的概念
内 容 标 准
学 科 素 养
1.了解定积分的概念，会用定义求定积分；2.理解定积分的几何意义；3.掌握定积分的基本性质.
加强直观想象训练逻辑思维提升数学运算
授课提示：对应学生用书第23页
[基础认识]
知识点一 定积分的概念
分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．
提示：两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．
知识梳理 一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0＜x1＜…＜xi－1＜xi＜…＜xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝
f(ξi)．当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作
f(x)dx，即
f(x)dx＝
f(ξi)，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
知识点二 定积分的几何意义
1．根据定积分的定义求得
(x＋1)dx的值是多少？
提示：
(x＋1)dx＝.
2.
(x＋1)dx的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形面积有何关系？
提示：相等．
知识梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分
f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分
f(x)dx的几何意义．
注意：f(x)＜0(图象在x轴的下方)时，
f(x)dx＜0，－
f(x)dx等于曲边梯形的面积．
知识点三 定积分的性质
你能根据定积分的几何意义解释
f(x)dx＝
f(x)dx＋
f(x)dx(其中a＜c＜b)吗？
提示：直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
知识梳理 (1)
kf(x)dx＝k__f(x)dx(k为常数)．
(2)
[f1(x)±f2(x)]dx＝__f1(x)dx±__f2(x)dx.
(3)
f(x)dx＝__f(x)dx＋__f(x)dx，(其中a＜c＜b)．
[自我检测]
1．定积分
xdx的值是( )
A．1
B．
C.
D．0
解析：即计算由直线y＝x，x＝1及x轴所围成的三角形的面积．
答案：B
2.图中阴影部分的面积用定积分表示为( )
A.
2xdx
B.
(2x－1)dx
C.
(2x＋1)dx
D.
(1－2x)dx
解析：根据定积分的几何意义，阴影部分的面积
2xdx－
1dx＝
(2x－1)dx.
答案：B
3．不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：
图1
图2
图3
(1)
xdx________
x2dx(图1)；
(2)
xdx________
xdx(图2)；
(3)
dx________
2dx(图3)．
答案：(1)＞ (2)＜ (3)＜
授课提示：对应学生用书第24页
探究一 利用定义求定积分
[例1] 利用定积分的定义计算
(－x2＋2x)dx的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．
[解析] 令f(x)＝－x2＋2x.
(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分为n个小区间(i＝1,2，…n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，则
Sn＝f·Δx
＝
·
＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]
＝－＋·
＝－＋＋
3＋，
(3)取极限
(－x2＋2x)dx＝Sn＝
＝.
(－x2＋2x)dx＝的几何意义为由直线x＝1，x＝2，y＝0与曲线f(x)＝－x2＋2x所围成的曲边梯形的面积．
方法技巧 利用定义求定积分的步骤
跟踪探究 1.用定积分的定义计算
(x＋1)dx.
解析：f(x)＝x＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n个小区间，每个区间的长度为Δx＝，
在[xi－1，xi]＝上取ξi＝xi－1＝1＋(i＝1,2，…，n)，
∴f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋＝2＋，
∴f(ξi)·Δx＝
·＝
＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋＝2＋－＝－.
∴
(1＋x)dx＝
＝.
探究二 利用定积分的性质求定积分
[例2] 已知
x3dx＝，
x3dx＝，
x2dx＝，
x2dx＝，求下列各式的值．
(1)
(3x3)dx；
(2)
(6x2)dx；
(3)
(3x2－2x3)dx.
[解析] (1)
(3x3)dx＝3
x3dx
＝3
＝3×＝12.
(2)
(6x2)dx＝6
x2dx
＝6
＝6×＝126.
(3)
(3x2－2x3)dx＝
(3x2)dx－
(2x3)dx
＝3
x2dx－2
x3dx
＝3×－2×＝－.
方法技巧 学习时，除要掌握定积分的几条性质外，还需掌握下面的结论：
由性质(1)和性质(2)可以得到
[λf(x)＋μg(x)]dx＝λ
f(x)dx＋μ
g(x)dx，即线性组合的定积分等于定积分的线性组合．
若函数f(x)的奇偶性已经明确，且f(x)在[－a，a]上连续，则
(1)若函数f(x)为奇函数，则
－a
f(x)dx＝0.
(2)若函数f(x)为偶函数，则
－a
f(x)dx＝2
f(x)dx.
跟踪探究 2.已知
f(x)dx＝8,
g(x)dx＝4，求下列定积分：
(1)
[f(x)＋g(x)]dx；(2)
3f(x)dx；
(3)
[3f(x)－4g(x)]dx.
解析：(1)
[f(x)＋g(x)]dx＝
f(x)dx＋
g(x)dx＝8＋4＝12.
(2)
3f(x)dx＝3
f(x)dx＝3×8＝24.
(3)
[3f(x)－4g(x)]dx＝
3f(x)dx－
4g(x)dx＝3
f(x)dx－4
g(x)dx＝24－16＝8.
探究三 利用几何意义求定积分
[例3] 说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其几何意义求出定积分的值：
(1)
2dx；(2)
xdx.
[解析] (1)
2dx表示的是图(1)中阴影所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以
2dx＝2.
(2)
xdx表示的是图(2)中阴影所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为，所以
xdx＝.
方法技巧 利用几何意义求定积分的关键是正确作出被积函数的图象，确定定积分表示的平面图形的面积，必要时需对平面图形进行合理分割，转化为易求面积的图形．注意积分上、下限对平面图形的意义．
跟踪探究 3.求定积分：
(－x)dx.
解析：
dx表示圆心在(2,0)，半径等于2的圆的面积的，即
dx＝×π×22＝π.
xdx表示底和高都为2的直角三角形的面积．
即
xdx＝×22＝2.
∴原式＝
dx－
xdx＝π－2.
授课提示：对应学生用书第25页
[课后小结]
(1)定积分
f(x)dx是一个和式
f(ξi)的极限，是一个常数．
(2)可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分．对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．
(3)定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．
[素养培优]
积分定义理解不透致误
易错案例：已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )
A．在t1时刻，甲车在乙车前面
B．t1时刻后，甲车在乙车后面
C．在t0时刻，两车的位置相同
D．t0时刻后，乙车在甲车前面
易错分析：本题中速度的积分是路程，比较两辆车的位置的关键是比较该时刻路程的大小，而不仅仅是速度．考查识图、用图、逻辑推理、基本运算等学科核心素养．
自我纠正：由图可知，曲线v甲，直线t＝t0和t轴所围成图形的面积大于曲线v乙，直线t＝t0和t轴所围成图形的面积，则在t0时刻，甲车在乙车前面，故C错误；同理，在t1时刻，甲车在乙车前面，故A正确，D错误．
答案：A
PAGE1.6 微积分基本定理
内 容 标 准
学 科 素 养
1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义；2.会用微积分基本定理求函数的积分.
培养直观想象训练逻辑思维提升数学运算
授课提示：对应学生用书第26页
[基础认识]
知识点一 微积分基本定理
已知函数f(x)＝2x＋1，F(x)＝x2＋x，则
(2x＋1)dx与F(1)－F(0)有什么关系？
提示：由定积分的几何意义知，
(2x＋1)dx＝×(1＋3)×1＝2，F(1)－F(0)＝2，故
(2x＋1)dx＝F(1)－F(0)．
知识梳理 (1)微积分基本定理
①条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)．
②结论：
f(x)dx＝F(b)－F(a)．
(2)常见的原函数与被积函数关系
知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系
定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？
提示：当被积函数f(x)≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f(x)≥0不恒成立，则不相等．
知识梳理 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，在x轴下方的面积为S下，则
(1)当曲边梯形在x轴上方时，如图①，则
f(x)dx＝S上．
(2)当曲边梯形在x轴下方时，如图②，则
f(x)dx＝－S下．
(3)当曲边梯形在x轴上方，x轴下方均存在时，如图③，则
f(x)dx＝S上－S下．特别地，若S上＝S下，则
f(x)dx＝0.
[自我检测]
1.
等于( )
A．π
B．2
C．π－2
D．π＋2
解析
答案：D
2．若
dx＝3＋ln
2，则a的值是( )
A．5
B．4
C．3
D．2
解析：
dx＝
2xdx＋
dx＝x2＋ln
x＝a2－1＋ln
a＝3＋ln
2，解得a＝2.
答案：D
授课提示：对应学生用书第27页
探究一 利用微积分基本定理计算定积分
[例1] 计算下列定积分：
[解析] (1)法一：因为′＝4x－x2，
所以＝＝－＝.
(2)因为′＝(x－1)5，所以
(x－1)5dx＝(x－1)6|＝×(2－1)6－×(1－1)6＝.
(3)令F(x)＝ln
x－ln(x＋1)＝ln，
则F′(x)＝.
所以
dx＝
dx＝ln
|＝ln
.
(4)因为3x(＋)2＝3x＝3x2＋6x＋3，
所以
3x2dx＝
(3x2＋6x＋3)dx＝(x3＋3x2＋3x)|＝(23＋3×22＋3×2)－(1＋3＋3)＝19.
方法技巧 处理复杂定积分问题的常见策略
1．先化简被积函数，再求定积分
当被积函数为多项式的乘积形式，或为高次幂的三角函数式时，其原函数不易直接求出，通常我们要先将被积函数变形、化简为多项式，或对三角函数式降幂，再求原函数并进行定积分的计算．
2．合理拆项
适用于被积函数是分式，分母中的多项式可分解为几个因式的乘积，可进行裂项，并且裂项后仍为分式且分子中不含变量的情况．
跟踪探究 1.计算下列定积分．
解析：(1)
dx
＝(ln
x－3sin
x)|
＝(ln
2－3sin
2)－(ln
1－3sin
1)
＝ln
2－3sin
2＋3sin
1.
(2)∵2
＝1－2sin
cos
＝1－sin
x，
(3)∵(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12，
∴
(x－3)(x－4)dx
＝
(x2－7x＋12)dx
＝|
＝－0＝.
探究二 计算分段或绝对值函数的积分
[例2] 若f(x)＝求
[解析]
又因为′＝x2，(sin
x－x)′＝cos
x－1，
方法技巧 分段函数定积分的求法
(1)利用定积分的性质，转化为各区间上定积分的和计算．
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．
跟踪探究 2.设f(x)＝则
－1
f(x)dx的值为( )
A.＋
B．＋3
C.＋
D.＋3
解析：根据定积分的性质可得
根据定积分的几何意义，可得等于以原点为圆心，1为半径的圆的面积的一半，
答案：A
3．计算．
解析：(1)
探究三 利用定积分求参数
[例3] (1)已知t＞0，f(x)＝2x－1，若
f(x)dx＝6，则t＝________.
(2)已知2≤
(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围为________．
[解析] (1)∵f(x)＝2x－1，∴
f(x)dx＝
(2x－1)dx＝(x2－x)|＝t2－t，令t2－t＝6.解得t＝3或t＝－2(舍去)．
(2)∵
(kx＋1)dx＝|＝k＋1.
令2≤k＋1≤4，解得≤k≤2.
[答案] (1)3 (2)
延伸探究 (1)若将例3(1)中的条件改为
f(x)dx＝f，求t.
解析：由
f(x)dx＝
(2x－1)dx＝t2－t，
又f＝t－1，∴t2－t＝t－1，得t＝1.
(2)若将例3(1)中的条件改为
f(x)dx＝F(t)．求F(t)的最小值．
解析：F(t)＝
f(x)dx＝t2－t＝2－(t＞0)，
当t＝时，F(t)min＝－.
方法技巧 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数F(x)等概念．
跟踪探究 4.(1)若则实数a等于( )
A．1
B．
C．－1
D．－
(2)设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若
f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
解析：(1)
＝－－a＋1，所以－－a＋1＝－，解得a＝.
(2)因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，且′＝ax2＋c，
所以
f(x)dx＝
(ax2＋c)dx＝＝＋c＝ax＋c，解得x0＝或x0＝－(舍去)．
答案：(1)B (2)
授课提示：对应学生用书第28页
[课后小结]
(1)求定积分的一些常用技巧
①对被积函数，要先化简，再求积分．
②若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
③对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
(2)由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．
[素养培优]
(1)误判积分变量
易错案例：求定积分
(t＋2)dx.
易错分析：误认为积分变量是t而得到错误的结果，考查定义理解、数学运算等核心素养．
自我纠正：令F(x)＝(t＋2)x，则F′(x)＝t＋2，
∴
(t＋2)dx＝(t＋2)x|＝2(t＋2)－(t＋2)＝t＋2.
(2)忽略函数的定义域致误
易错案例：计算
dx.
易错分析：解答本题易产生如下错解．
∵(ln
x)′＝，∴
dx＝ln
x|＝ln(－1)－ln(－2)．
事实上，(ln
x)′＝是在x＞0的基础上才成立的，ln(－1)与ln(－2)是无意的．考查定义掌握、数学运算等核心素养．
自我纠正：如图，根据
dx的几何意义，可得
dx＝
－
dx＝－ln
x|＝－ln
2－(－ln
1)＝－ln
2.
PAGE1.7 定积分的简单应用
内 容 标 准
学 科 素 养
1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积；2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题；学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值.
培养直观想象训练逻辑思维提升数学运算
授课提示：对应学生用书第29页
[基础认识]
知识点一 定积分在几何中的应用
怎样利用定积分求不分割型图形的面积？
提示：求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．
知识梳理 (1)当x∈[a，b]时，若f(x)＞0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝__f(x)dx.
(2)当x∈[a，b]时，若f(x)＜0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－__f(x)dx.
(3)如图，当x∈[a，b]时，若f(x)＞g(x)＞0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的平面图形的面积S＝__[f(x)－g(x)]dx.
知识点二 变速直线运动的路程
变速直线运动的路程和位移相同吗？
提示：不同．路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念．
知识梳理 (1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用
v(t)dt求解．
(2)当v(t)＜0时，求某一时间段内的位移用
v(t)dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为－
v(t)dt.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即S＝__v(t)dx.
知识点三 变力做功问题
恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为W＝Fs，那么变力做功问题怎样解决？
提示：与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从x＝a到x＝b(a＜b)，可以利用定积分得到W＝
F(x)dx.
知识梳理 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(a＜b)，那么变力F(x)所做的功为__F(x)dx.
[自我检测]
1．由直线x＝0、x＝、y＝0与曲线y＝2sin
x所围成的图形的面积等于( )
A．3
B.
C．1
D.
解析：
答案：A
2．已知自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为( )
A.gt
B．gt
C.gt
D.gt
解析：如果变速直线运动的速度为v＝v(t)(v(t)≥0)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程是
v(t)dt，
答案：C
3．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成的图形的面积是，则c＝________.
解析：由x2＝cx3，得x＝0或x＝，
答案：
授课提示：对应学生用书第29页
究一 求图形面积
[例1] 求曲线y＝2x－x2，y＝2x2－4x所围成图形的面积．
[解析] 画出图形如图中阴影部分所示，由得x1＝0，
x2＝2，故阴影部分的面积S＝
[(2x－x2)－(2x2－4x)]dx＝
(6x－3x2)dx＝(3x2－x3)|＝4.
方法技巧 (1)对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义．先确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标，再确定被积函数，一般是上方曲线与下方曲线对应函数的差．这样求面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分问题了．
注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零，而平面图形的面积总是非负的．
(2)图形面积需分割求解的解题技巧
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间上位于上方和下方的曲线可能不同．求解时，根据图形，求出需用到的曲线交点的横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间上平面图形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是“上减下”．
跟踪探究 1.求由曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3，x轴，y轴所围成的平面图形的面积．
解析：作出曲线y＝x2＋1，直线x＋y＝3的草图，如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积，由得第一象限中交点的横坐标为1，故所求面积S＝S1＋S2＝
(x2＋1)dx＋
(3－x)dx＝|＋|＝.
探究二 定积分在物理中的应用
[例2] 一点在直线上从时刻t＝0(单位：s)开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(单位：m/s)运动，求：
(1)该点在t＝4
s时的路程；
(2)该点在t＝4
s时的位移．
[解析] (1)由v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，得当0≤t≤1或3≤t≤4时，v(t)≥0；当1≤t≤3时，v(t)≤0，
所以在t＝4
s时的路程为
s＝
(t2－4t＋3)dt－
(t2－4t＋3)dt＋
(t2－4t＋3)dt＝|－|＋|＝4(m)．
(2)在t＝4
s时的位移为s1＝
(t2－4t＋3)dt＝|＝(m)．
方法技巧 (1)求变速直线运动的物体的路程(位移)方法
①用定积分计算做直线运动物体的路程，要先判断速度v(t)在时间区间内是否为正值；若v(t)＞0，则运动物体的路程为s＝
v(t)dt；若v(t)＜0，则运动物体的路程为s＝
|v(t)|dt＝－
v(t)dt；
②注意路程与位移的区别．
(2)求变力做功的方法步骤
①首先要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移；
②利用变力做功的公式W＝
F(x)dx计算；
③注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．
跟踪探究 2.一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向运动，力?位移曲线如图所示．求该物体从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处力F(x)做的功．
解析：由力?位移曲线可知F(x)＝因此该物体从x＝0处运动到x＝4处力F(x)做的功W＝
10dx＋
(3x＋4)dx＝10x|＋|＝46(J).
授课提示：对应学生用书第30页
[课后小结]
对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时
(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标；
(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．
这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．
[素养培优]
忽略路程与位移的区别而致误
易错案例：一辆汽车以32
m/s的速度行驶在公路上，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a＝－8
m/s2匀减速刹车，则从开始刹车到停车，该汽车行驶的路程为( )
A．128
m
B．64
m
C．32
m
D．80
m
易错分析：路程是定积分的绝对值和，而位移则是定积分的代数和，不可混淆．考查概念区别、数学运算等核心素养．
自我纠正：由匀减速运动可得vt＝v0＋at，
其中v0＝32
m/s，a＝－8
m/s2，
故vt＝32－8t.令vt＝0，
即32＝8t，解得t＝4，
即刹车时间为4
s．故从开始刹车到停车，
该汽车行驶的路程为s＝
(32－8t)dt＝(32t－4t2)|＝64(m)．
答案：B
PAGE
