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人教版
八年级数学上
18.1.2平行四边形的判定（1）
学习目标
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想及探究图形判定的一般思路；（重点）
2.掌握平行四边形的三个判定定理，能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.（难点）
回顾旧知
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
A
B
C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD
AD∥BC
B
D
ABCD
A
C
思考1
平行四边形的定义是什么？有什么作用？
可以用平行四边形的定义来判定平行四边形，如：
回顾旧知
思考2
除了两组对边分别平行，平行四边形还有哪些性质？
平行四边形的对边相等.
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
边：
角：
对角线：
思考3
平行四边形上面的三条性质的逆命题各是什么？
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
这些逆命题是否都成立？这节课我们来探讨一下.
合作探究---两组对边分别相等的四边形
观看视频，将两长两短的四根细木条用小钉固定在一起,任意拉动，所得的四边形是平行四边形吗?
合作探究---两组对边分别相等的四边形
已知：
四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证：
四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD
(已知)，
BC=DA(已知)，
AC=CA
(公共边)，
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴
∠1=∠4
,
∠
2=∠3，
∴AB∥
CD
,
AD∥
BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
证明：
1
4
2
3
合作探究---两组对边分别相等的四边形
平行四边形的判定定理：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：
在四边形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
学以致用
例1
如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．
证明：Rt△MON中，
由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2，
解得x＝8.
∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.
∴PM＝ON，OP＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
合作探究---两组对角分别相等的四边形
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
∴
AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
同理得
AB∥
CD，
证明：
合作探究---两组对边分别相等的四边形
平行四边形的判定定理：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
几何语言：
在四边形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
学以致用
2、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．
合作探究---对角线互相平分的四边形
如图,将两根细木条AC、BD的中点重叠，用小钉固定在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD.转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
B
D
O
A
C
猜想：四边形ABCD一直是一个平行四边形.
你能证明它吗？
合作探究---对角线互相平分的四边形
A
B
C
D
O
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边
形ABCD是平行四边形.
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC
(已知)，
OB=OD
(已知)，
∠AOB=∠COD
(对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴
∠BAO=∠OCD
,
∠
ABO=∠CDO,
∴AB∥
CD
,
AD∥
BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
你还有其他的证明方法吗？
合作探究---对角线互相平分的四边形
平行四边形的判定定理：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言：
在四边形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
学以致用
3、如图，
ABCD
的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.
B
O
D
A
C
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF
，
∴
AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又∵BO=DO，
∴四边形BFDE是平行四边形.
合作探究---一组对边平行且相等的四边形
思考4
我们知道，两组对分别平行或相等的是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
猜想1：一组对边相等的四边形是平行四边形.
反例：等腰梯形不是平行四边形，因而此猜想错误.
猜想2：一组对边平行的四边形是平行四边形.
反例：梯形的上下底平行，但不是平行四边形，因而此猜想错误.
合作探究---一组对边平行且相等的四边形
B
A
活动：
如图，将线段AB向右平移BC长度后得到线段
CD，连接AD，BC，由此你能猜想四边形ABCD的形状吗？
D
C
四边形ABCD是平行四边形
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
你能证明吗？
合作探究---一组对边平行且相等的四边形
如图，在四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
2
1
证明：连接AC.∵AB∥CD，
∴∠1=∠2.
在△ABC和△CDA中,
AB=CD，
AC=CA，
∠1=∠2，
∴△ABC≌△CDA(SAS)，
∴BC=DA
.
又∵AB=
CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
合作探究---一组对边平行且相等的四边形
平行四边形的判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
几何语言：
在四边形ABCD中，∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
学以致用
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB
=CD，EB
//FD．
又
∵EB
=
AB
，FD
=
CD，
∴EB
=FD
．
∴四边形EBFD是平行四边形．
4、如图
，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
归纳总结
1、定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
4、对角线互相平分的四边形是平行四边形.
说一说：如何判定一个四边形是平行四边形？
5、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
综合演练
1.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．OA=OC，OB=OD
B．AB=CD，AO=CO
C．AB=CD，AD=BC
D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
B
B
O
D
A
C
2.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
B
O
D
A
C
B
综合演练
3.已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，周长为40cm，两邻边的比是3：2，则较大边的长度是（
）
A．8cm
B．10cm
C．12cm
D．14cm
C
4.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O.
如果AC=8cm,BD=10cm,那么当AO=_____cm,
BO=_____cm时，四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
4
5
综合演练
5.如图，已知E，F，G，H分别是?ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=CG，BF=DH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：在平行四边形ABCD中，
∠A=∠C，AD=BC,
又∵BF=DH，∴AH=CF.
又∵AE=CG，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH=GF.
同理得△BEF≌△DGH（SAS），
∴GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
综合演练
6.如图，五边形ABCDE是正五边形，连接BD、CE，交于点P．
求证：四边形ABPE是平行四边形．
证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴正五边形的每个内角的度数是
AB=BC=CD=DE=AE，
∴∠DEC=∠DCE=
×(180°-108°)=36°，
同理∠CBD=∠CDB=36°，
∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°，
∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，
∴四边形ABPE是平行四边形．
A
B
C
D
E
P
综合演练
7、如图，AC是平行四边形ABCD的一条对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四边形BMDN是平行四边形吗？说说你的理由．
解：四边形BMDN是平行四边形．
理由如下：连接BD交AC于O．
∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，∴∠AND=∠CMB=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAN=∠BCM,
∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，
∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,
∴四边形BMDN是平行四边形．
O
综合演练
8.如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．
证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC．即BC=EF．
又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F，
∴△ABC≌△DEF，
∴AB=DE.
∵∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
∴四边形ABED是平行四边形．
课堂小结
本节课你学会了哪些判定定理？
课后作业
教材50页习题18.1第4、5、6题．
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