3.2
一元一次方程的应用
第1课时
等积变形和行程问题
【知识与技能】
1.通过一元一次方程解决实际问题，进一步体会方程这一数学模型的重要作用，增强数学的应用意识.
2.掌握一元一次方程解应用题的一般步骤，能根据问题的意义，检验结果的合理性.
【过程与方法】
从学生熟悉的一元一次方程及一元一次方程的解法的基础上，引出利用一元一次方程解决实际问题.通过各种师生活动加深学生对“列一元一次方程解应用题的一般步骤”的理解；让学生在经历知识的获得过程中，体会数学模型思想.过程中还培养了学生的运算能力，提高了教学效率.
【情感态度】
经历将数学问题实际化的过程，感受数学在生活中的应用，进一步体会方程模型的重要性.
【教学重点】
重点是掌握列一元一次方程解决实际问题.
【教学难点】
难点是灵活运用一元一次方程解等积变形和行程问题.
一、情境导入，初步认识
【情境1】实物投影，并呈现问题：如图，用直径为200mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300mm，300mm和90mm的长方体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢（计算时π取3.14，结果精确到1mm）？
【情境2】实物投影，并呈现问题：为了适应经济发展，铁路运输再次提速，如果客车行驶的平均速度增加40km/h，提速后由合肥到北京1
110km的路程只需行驶10h.那么，提速前，这趟客车平均每小时行驶多少千米?
【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确列出方程，在列方程时，注意等量关系的确定及未知数的设法.在解决问题的过程中，让学生总结列方程解应用题的一般步骤，并能根据问题的意义，检验结果的合理性.情境1中设应截取的圆柱体钢长为xmm.根据题意，得3.14×x=300×300×90，解这个方程得x≈258.检验：x≈258适合方程，且符合题意.答：应截取约258mm长的圆柱体钢.情境2中设提速前客车平均每小时行驶xkm，那么提速后客车平均每小时行驶（x+40）km.客车行驶路程1
110km，平均速度是（x+40）km/h，所需时间是10h.根据题意，得：10（x+40）=1
110.解方程，得x=71.检验：x=71适合方程，且符合题意.
答：提速前这趟客车的平均速度是71km/h.
【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会到实际生活中的数学问题，并使学生体验数学知识与生活实际的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.
二、思考探究，获取新知
列方程解应用题的方法步骤
问题1列方程解应用题的方法步骤是什么？
问题2寻找等量关系的方法有哪些？
【教学说明】学生通过回顾列方程解应用题的过程，再经过观察、分析、类比后能得出结论.
【归纳结论】列方程解应用题的方法步骤：
（1）审：审题，弄清题意，明确各数量之间的关系；（2）找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；（3）设：设未知数，通常题目问什么，就可以设什么为未知数；（4）列：根据这个相等关系列出所需的代数式，从而列出方程；（5）解：解所列出的方程，求出未知数的值；（6）答：检验是否符合题意，答题.列方程解应用题的关键是寻找题目中的等量关系，一般有下列三种方法：①从有关数量比较的关键词语中发现等量关系，如大、小、多、少、倍、分等；②借助基本数量关系，探讨数量之间的等量关系，如路程＝平均速度×时间；③注意变化中的不变量，寻找隐含的等量关系，如行程问题中，静水速度不变等.
三、运用新知，深化理解
1.甲、乙两站相距1200千米，一列慢车从甲站开出，每小时行80千米，一列快车从乙站开出，每小时行120千米，两车同时开出，出发后（
）小时两车相距200千米.
A.5
B.7
C.5或7
D.6
2.一块长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5cm的圆柱，圆柱的高是多少？
3.小亮与小莹在运动场上跑步，跑道一圈的长为400米，小亮与小莹的速度分别为5米/秒与4米/秒.
（1）如果二人从跑道上某一位置同时相背起跑，那么经过多少秒二人第一次相遇？
（2）如果二人从跑道上某一位置同时同向起跑，那么经过多少分钟小亮第一次追上小莹？
【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对一元二次方程有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.
【答案】1.C
2.解：设圆柱的高是xcm，根据题意，得4×3×2=π×1.52x，解得x=cm.
答：圆柱的高是cm.
5.解:（1）设经过x秒二人第一次相遇.根据题意，得5x+4x=400，解这个方程，得x=.
所以经过秒二人第一次相遇.
(2)设经过y秒小亮第一次追上小莹.根据题意，得5y-4y=400，
解这个方程，得y=400.
.
所以经过分钟小亮第一次追上小莹.
四、师生互动，课堂小结
1.列方程解应用题的一般步骤是什么？
2.如何运用一元一次方程解决等积变形问题和行程问题？
3.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，大家交流.
【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
1.布置作业：从教材第94页“练习”和第97页“习题3.2”中选取.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课主要是列方程解决等积变形与行程问题，列方程解应用题的过程实际上就是将问题“数学化”的过程.也就是先将实际问题化为数学问题，即方程，也就是“数学模型”，然后解这个数学问题，即解方程，再将这个数学问题的解转化为实际问题的解.
1第2课时
利息问题与利润问题
【知识与技能】
1.掌握运用一元一次方程解决利息问题与利润问题的方法.
2.经历用一元一次方程解决实际问题的过程，帮助学生提高发现和提出问题，分析和解决问题的能力.
【过程与方法】
从学生熟悉的一元一次方程解等积变形问题和行程问题，继续用一元一次方程解利息问题和利润问题.通过各种师生活动加深学生对“一元一次方程解决实际问题”的理解；让学生在经历知识的获得过程中，体会数学模型思想，培养了学生的运算能力，提高了教学效率.
【情感态度】
经历将数学问题实际化的过程，感受数学在生活中的应用，进一步体会方程模型的重要性.
【教学重点】
重点是掌握列一元一次方程解决实际问题.
【教学难点】
难点是灵活运用一元一次方程解决利息问题与利润问题.
一、情境导入，初步认识
【情境】实物投影，并呈现问题：王大伯3年前把手头一笔钱作为3年定期存款存入银行，年利率为5%.到期后得到本息共23
000元，问当年王大伯存入银行多少钱？
【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确列出方程，在列方程时，注意等量关系的确定及未知数的设法.在解决问题的活动中，让学生掌握一元一次方程解实际问题的方法.情境中设当年王大伯存入银行x元，年利率为5%，存期3年，所以3年的利息为3×5%x元.3年到期后的本息共为23
000元.
根据题意，得：x+3×5%x=23
000，解方程，
得x==20
000.
答：当年王大伯存入银行20
000元.
【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会到实际生活中的数学问题，并使学生体验数学知识与生活实际的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.
二、运用新知，深化理解
1.某银行设有大学生助学贷款，6年期的贷款年利率为6%，贷款利息的50%由国家财政贴补.某大学生预计6年后能一次性偿还2万元，他现在可以贷款的数额为（
）
A.1.6万元
B.1.7万元
C.1.8万元
D.1.9万元
2.某中学的学生自己动手整修操场，如果让初二学生单独工作，需要6小时完成；如果让初三学生单独工作，需要4小时完成.现在由初二、初三学生一起工作x小时，完成了任务.根据题意，可列方程为_________________________，解得x=__________.
【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对一元二次方程解应用题有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.
【答案】1.B
2.
x=1
三、师生互动，课堂小结
1.如何运用一元一次方程解决利息问题与时间问题？
2.通过这节课的学习，你还有哪些疑惑，大家交流.
【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
1.布置作业：从教材第96页“练习”和第97页“习题3.2”中选取.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
本节课主要是列一元一次方程解决储蓄问题，商品的销售问题和工效问题.在教学中选择激趣法、讨论法和总结法相结合.与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围.在引导学生进行观察分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，培养学生准确的运算能力，提高教学效率.
1第3课时
比例问题和其他问题
【知识与技能】
1.通过分析复杂问题的已知量和未知量之间的相等关系，从而建立方程模型解决实际问题.
2.掌握运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.
【过程与方法】
通过学习列方程解决实际问题，感知数学在生活中的作用，发展分析问题，解决问题的能力.
【情感态度】
结合本课教学特点，对学生进行爱心教育.
【教学重点】
找出问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题.
【教学难点】
找等量关系.
一、情境导入，初步认识
为了帮助地震灾区重建家园，校委会在学校进行了募捐，七、八、九年级的同学都参加了募捐.七年级捐款数是捐款总数的，八年级捐款数是捐款总数的，九年级捐款1200元，三个年级共捐款多少元？
【教学说明】学生从非常熟悉的例子中感受数学与生活的紧密联系.
二、思考探究，获取新知
1.运用一次方程解决比例问题
教材第96页例5的相关问题.
【教学说明】学生观察、分析，结合图中信息，解决下面的问题.
【归纳总结】利用方程解决实际问题时，不仅要注意列、解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.
2.用一元一次方程解决工程问题
问题3一项工程甲单独做需要40天完成，乙单独做需要50天完成，现由甲先单独做4天，然后甲、乙两人合作完成这项工程，求甲一共做了多少天？
【教学说明】学生通过思考、分析，尝试完成.
【归纳结论】对于工程问题，一般有工作效率×工作时间=工作总量，当工作总量没有具体数值时，一般看作“1”.
3.一元一次方程解决实际问题的一般步骤
问题4用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？
【教学说明】学生结合前面的例子，归纳用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.
三、运用新知，深化理解
1.甲队有32人，乙队有28人，现从乙队抽调部分人到甲队，使甲队人数是乙队人数的2倍.则要抽调的人数为________人.
2.某车间有20名工人，生产螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母16个，如果分配x名工人生产螺栓，其余的工人生产螺母，要恰好使每天生产的螺栓和螺母按1∶2配套，则x=________.
3.小彬用172元钱买了两种书，共10本，单价分别为18元，10元，每种书小彬各买了多少本？
4.一项任务，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现由甲单独做4小时，剩下的甲、乙合做，还要几小时完成？
【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的理解，检测对运用一元一次方程解决数量分配问题的工程问题的掌握情况，对学生的疑惑，教师应及时加以指导.完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分.
【答案】1.82.8
3.设单价18元的书买了x本，则单价为10元的书买了（10-x）本，由题意得：
18x+10×(10-x)=172，
解得x=9，则10-x=1.
所以单价18元的买了9本，单价10元的买了1本.
4.设还要x小时完成，由题意得：
.
解得x=6，还要6小时完成.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾运用一元一次方程解决比例问题，工程问题及运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤.
2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？
【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，积极与同伴交流，加深对新学知识的理解与运用.
1.布置作业：从教材第97页“练习”和“习题3.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的相应作业.
本节课从与学生运用一元一次方程解决比例、工程问题，到归纳运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤，培养学生动手、动脑习惯，提升学生综合运用知识的能力，激发学生学习的兴趣.
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