3.3
二元一次方程组及其解法
第1课时
二元一次方程组
【知识与技能】
1.了解二元一次方程和它的解的概念，了解二元一次方程组的概念.
2.会把一些简单的实际问题中的数量关系，用二元一次方程组表示出来.
3.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，同时培养学生观察、归纳、概括能力.
【过程与方法】
从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组的概念，并通过各种师生活动加深学生对“二元一次方程”和“二元一次方程组”的概念的理解；并使学生在解决问题的过程中经历知识的产生过程.
【情感态度】
从学生的生活实际提出问题，既体现知识的学习过程，又体现知识的应用过程，同时还有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生养成关注身边的事例、关心他人的习惯，培养一种社会责任感.
【教学重点】
重点是二元一次方程组的意义和二元一次方程组的概念.
【教学难点】
难点是列出简单的二元一次方程组.
一、情境导入,初步认识
【情境1】在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
【情境2】实物投影，并呈现问题：昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？
【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生设两个未知数，从而得出二元一次方程.情境1中若设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x-y=2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：x+1=2(y-1).
情境2中若设有x个成年人，有y个儿童，亦可以得到方程x+y=8和5x+3y=34.
【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会到方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，列出具有两个未知数的方程，为后续关于二元一次方程的讨论学习提供了素材，同时，有趣的情境，也激发了学生学习的兴趣.
二、思考探究，获取新知
1.二元一次方程概念
问题1什么是二元一次方程？上面各方程是二元一次方程吗？
问题2上面所列方程有几个未知数？所含未知数的项的次数是多少？
【教学说明】学生通过回顾旧知识，在经过观察、分析、类比后能得出结论.
【归纳结论】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.
2.二元一次方程组概念
问题1上面的两方程x-y=2,x+1=2(y-1)中的x含义相同吗？y呢？它们分别表示什么？x+y=8和5x+3y=34中的x含义相同吗？y呢？它们分别表示什么？
问题2用大括号将x、y的含义分别相同的两个方程联立起来.
【教学说明】一方面让学生明确方程组中相同的未知数表示的意义相同，另外让学生初步感知二元一次方程组的表示形式.
【归纳结论】如等，由两个二元一次方程联立起来得到的方程组就叫做二元一次方程组.
三、运用新知，深化理解
1.下列方程有哪些是二元一次方程：
（1）x+3y-9=0
(2)3x2-2y+12=0
(3)3a-4b=7
（4）-5m=1
2.判断下列方程组是否是二元一次方程组：
(1)
(2)
(3)
(4)
3.二元一次方程x+y=6的正整数解为
.
4.买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，设买甲种水x桶，乙种水y桶，请列出二元一次方程组.
5.请设计一个问题情景，编一道应用题，设其中一个量为x,另一个量为y,使x,y满足
试一试,你能行.
【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对合并同类项有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.
【答案】1.(1),(3).
2.(1)和(4)是二元一次方程组.
3.有
4.解：依题意可列
5.(答案不唯一)如:课外活动小组的同学准备分组外出活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人.求课外活动小组的人数x和应分成的组数y.
四、师生互动，课堂小结
1.什么叫做二元一次方程？什么叫做二元一次方程组？举例说明.
2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.
【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
1.布置作业：从教材第99页“练习”中选取.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
基于本节课内容的特点和七年级学生的心理及思维发展的特征，在教学中选择激趣法、讨论法和总结法相结合.与学生建立平等融洽的互动关系，营造合作交流的学习氛围.在引导学生进行观察分析、抽象概括、练习巩固各个环节中运用多媒体进行演示，增强直观性，提高教学效率.
1第2课时
代入消元法
【知识与技能】
1.了解二元一次方程组的解，会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解.
2.理解并掌握解二元一次方程组的方法，能运用“代入法”解方程组.
3.体会解二元一次方程组的“消元”思想，感受“化归”的广泛作用，发展学生分析问题和解决问题的能力以及运算技能，进一步激发学生学习数学的兴趣.
【过程与方法】
从一个学生熟悉的生活实例引入二元一次方程组解的概念，并通过各种师生活动加深学生对“二元一次方程组的解”和“代入法”解方程组的理解；经历代入消元法解二元一次方程组的过程，体会化未知为已知的化归思想方法，知道用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤.
【情感态度】
针对问题的探究，鼓励学生大胆尝试，通过交流、合作、讨论，享受学习的乐趣和成功感，培养学生大胆发言的习惯，敢于面对挑战.
【教学重点】
重点是二元一次方程组解的概念和“代入法”解方程组.
【教学难点】
难点是消元转化的过程.
一、情境导入,初步认识
【情境1】实物投影，并呈现问题：
问题:（1）用含x的代数式表示y
①2x+9=y-3
②4x-3y=72
（2）解下列方程
①2x+4=5x-5
②8-3(2x-1)=3x+1
【情境2】实物投影，并呈现问题：篮球联赛中每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得40分，那么这个队胜、负场数应分别是多少？你能分别用方程组和方程解决问题吗？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生正确列出带有括号的整式和不带有括号的整式，对比所列结果，通过观察、比较，给学生以充分的时间去交流和归纳，关注学生对法则的表述，从而得出法则.
情境1中（1）①y=2x+12；
②；（2）①x=3；②x=
情境2中设胜x场,则有：2x+(22-x)=40；设胜x场，负y场，则有：，把方程组中第一个方程变形后代入第二个方程，二元一次方程组就转化为一元一次方程.
【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.
二、思考探究，获取新知
1.二元一次方程组的解的概念
问题1填表
问题2上面各组值x,y对应值中，有哪一组都适合二元一次方程组的两个方程？你能类比-元-次方程的解的概念得出二元一次方程组的解的概念吗？
【归纳结论】使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解.二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的每一个方程.
【教学说明】引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与类比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念.
2.代入消元法
问题1解二元一次方程组的思想是什么？
问题2什么是代入消元法？代入消元法解方程的步骤是什么？
【教学说明】学生在掌握一元一次方程的解法的基础上，在经过观察、分析、类比、转化后能得出结论.
【归纳结论】解二元一次方程组的基本思想是“消元”，也就是要消去其中一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程.从一个方程中求出某个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.用代入消元法解二元一次方程组的步骤①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示y(或x)，②将变形后的方程代入另一个方程中，消去y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；④把x(或y)的值代入方程中，求y(或x)的值；⑤用“联立两个未知数的值”，得到方程组的解.
三、运用新知，深化理解
1.二元一次方程组的解是（
）
2.已知方程x-2y＝6，用x表示y，则y＝；用y表示x，则x＝
.
3.解下列方程组：
(1)
(2)
【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对代入消元法有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.
【答案】1.C
2.12x-36＋2y
3.(1)解：将②代入①，得：3y+3+2y=14.
解得：y=1.把y=1代入②，得：x=4.
所以原方程组的解为：
(2)由②，得：x=13-4y③
将③代入①，得：213-4y+3y=16.
解得：y=2.将y=2代入③，得：x=5.
所以原方程组的解是
四、师生互动，课堂小结
1.什么是二元一次方程组的解？代入消元法的一般步骤是什么？
2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.
【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
1.布置作业：从教材第101页“练习”中选取.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程中应始终抓住消元的思想方法.讲解时以学生为主体，创设恰当的问题情境和铺设合适的台阶，尽可能激发学生通过自己的观察、比较、思考和归纳概括，发现和总结出消元化归的思想方法.使学生对已学知识进行实际的运用，真正达到熟能生巧.
1第3课时
加减消元法
第4课时
灵活运用消元法解方程组
【知识与技能】
1.理解并掌握“加减消元法”并会用“加减法”解二元一次方程组.
2.灵活地运用“代入消元法”和“加减消元法”解二元一次方程组.
3.体会解二元一次方程组的“消元”思想，感受“化归”的广泛作用，发展学生分析问题和解决问题的能力以及运算技能，进一步激发学生学习数学的兴趣.
【过程与方法】
经历加减消元法解二元一次方程组的过程，体会化未知为已知的化归思想方法，知道用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤.
【情感态度】
针对问题的探究，鼓励学生大胆尝试，通过交流、合作、讨论，享受学习的乐趣和成功感，培养学生大胆发言的习惯，敢于面对挑战.
【教学重点】
重点是灵活运用消元法解二元一次方程组.
【教学难点】
难点是探索如何用加减法将“二元”转化为“一元”的消元过程.
一、情境导入,初步认识
【情境1】实物投影，并呈现问题：
（1）根据等式性质填空:若a=b,那么a±c=
.若a=b,那么ac=
.
思考若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗?
（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？
（3）代入法解方程组的步骤是什么？
【情境2】实物投影，并呈现问题：昨天我去水果市场买了1公斤苹果和1公斤梨共花费了22元钱，碰到我们班的地理老师也在，他买了2公斤苹果和1公斤梨共花了40元，问同学们一下，苹果和梨各是多少钱一公斤？除了代入法解方程组外还有别的方法吗？由此你能得出什么结论？怎样解下面的二元一次方程组呢？
?【教学说明】学生独立思考后，小组讨论，教师注意引导学生回顾已学的知识，为本节要解决的问题做好铺垫.通过学生观察方程组的特征，发现并归纳出加减消元法解方程组的方法.情境1中（1）b±c；bc.若a=b,c=d,那么a+c=b+d.（2）解二元一次方程组的基本思路是消元.（3）用代入消元法解二元一次方程组的步骤：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x(或y)的代数式表示y(或x)；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去y(或x)，得到一个关于x(或y)的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；④把x(或y)的值代入方程中，求y(或x)的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，得到方程组的解.情境2中设苹果x元一公斤，梨y元一公斤，根据题意得出关系式，两方程相减也能达到消元的目的.
【教学说明】通过现实情景再现，让学生体会数学知识与实际生活的联系.学生通过前面的情景引入，在老师的引导下，通过自己的观察，归纳出结论，进而体验到成功的喜悦，同时，也激发了学生学习的兴趣.
二、思考探究，获取新知
加减消元
问题1什么是加减消元法？
问题2加减消元法解方程组的一般步骤是什么？
【教学说明】学生通过回顾代入消元，再经过观察、分析、类比后能得出结论.
【归纳结论】将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法.用加减法解二元一次方程组的一般步骤：（1）如果某个未知数的系数的绝对值相等时，采用加减消去一个未知数.（2）如果方程组中不存在某个未知数的系数的绝对值相等，那么应选出一组系数求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等，再加减消元.（3）对于较复杂的二元一次方程组，应先化简，再作如上加减消元的考虑.
三、运用新知，深化理解
1.用加减法解方程组应用（
）
A.①-②消去y
B.①-②消去x
C.②-①消去常数项
D.以上都不对
2.方程组消去y后所得的方程是（
）
A.6x=8
B.6x=18
C.6x=5
D.x=18
3.解方程组：
4.解方程组：
5.已知方程组与方程组的解相同，求a，b的值.
【教学说明】通过新课的讲解以及学生的练习，充分做到讲练结合，让学生更好巩固新知识.通过本环节的讲解与训练，让学生对加减消元法有了更加明确的认识，同时也尽量让学生明白知识点不是孤立的，需要前后联系，才能更好地处理问题.
【答案】1.B
2.B
3.解：将方程②×2，得4x-2y＝16，③
③＋①，得7x＝21，解得x＝3.
把x＝3代入②，得2×3-y＝8，
y＝-2.所以原方程组的解是
4.解：原方程组化简，得
①＋②，得4y＝28，y＝7.
把y＝7代入①得3x-7＝8，解得x＝5.
所以原方程组的解为
解方程组得
把代入方程组得
解得
四、师生互动，课堂小结
1.加减消元法的一般步骤是什么？什么是加减消元法？
2.通过这节课的学习,你还有哪些疑惑，大家交流.
【教学说明】引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，从而将本节知识点进行很好的回顾以加深学生的印象，同时使知识系统化.
1.布置作业：从教材第105页“练习”和教材第106页“习题3.3”中选取.
2.完成同步练习册中本课时的练习.
这节课首先从复习与这节课有关的内容着手，解决了教学过程中需要解释的问题，因为数学是一门严密的学科，然后以生活实际引入，这样降低了学习的难度，也对学生的学习兴趣的培养起到一定的作用，特别是对问题提出另外的解法的时候，学生讨论积极，经点拨后就能想到加减的方法，提高了自信心.学生的学习活跃度比较高，化归的思想体现的也比较好.
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