2.5.1 二次函数与一元二次方程 课件（共24张PPT）

第5节 二次函数与一元二次方程
（第1课时）
第二章 二次函数
2020-2021北师大版九年级数学下册
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体 会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
学习目标
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =______ 。
当△﹥0时，方程根的情况是______________；
当△=0时，方程根的情况是______________；
当△﹤0时，方程根的情况是______________。
b2-4ac
有两个不等实数根
有两个相等实数根
没有实数根
2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条_____ ，它与x轴的交点有几种可能的情况？
抛物线
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点。
新课导入
二次函数图象与x轴的交点个数问题
知识点一
已知,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.
0
t
2
4
6
8
h
20
40
60
80
100
h=－5t2＋40t
8s. 可以利用图象，也可以解方程－5t2＋40t=0。
一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示,那么
探究新知
(1) 观察每个图象与x 轴有几个交点？交点坐标是什么？
(2) 一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个实数根?
一元二次方程 x2-2x+2=0 有实数根吗?请分别求出它们的根；
二次函数y=x2+2x、 y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
二次函数 的图象与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0
有几个根？
与x轴有2个交点：
（-2,0）、（0,0）
y=x2+2x
解：x(x+2)=0
x=0或x+2=0
∴ x1=-2，x2=0
方程有两个不相等的实数根
二次函数
的图象与x轴有几个交点?？
一元二次方程x2-2x+1=0
有几个根？
与x轴有一个交点：(1,0)
y=x2-2x+1
解： (x-1)2=0
∴ x1=x2=1
方程有两个相等的实数根
二次函数
的图象与x轴有几个交点？
一元二次方程x2-2x+2=0
有几个根？
与x轴没有交点
y=x2-2x+2
∴方程没有实数根
二次函数y=x2+2x、 y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(3)通过（1）（2）的探索过程，你有什么发现吗？
(4)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
x2+2x=0 x2-2x+1=0 x2-2x+2=0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根，为交点的横坐标
b2-4ac>0
有一个交点
有两个相等的实数根，为交点的横坐标
b2-4ac=0
没有交点
没有实数根
b2-4ac< 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
例1 如果函数y=kx2-kx+3x+1 的图象与x 轴有且只有一个交点，那么交点坐标是 .
?
例题讲解
二次函数与一元二次方程之间的关系
知识点二
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，
你能否解决以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
15
1
3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
h=20t-5t2
你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20
4
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
h=20t-5t2
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m吗？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?
20.5
解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5m.
h=20t-5t2
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.
即0s时球从地面飞出，4s时球落回地面.
h=20t-5t2
0
4
解方程：
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
y为一个常数（定值）
例2 二次函数y=x2-6x+n 的图象如图所示， 若关于x 的一元二次方程x2-6x+n=0 的一个解为x1=1， 则另一个解x2= .
5
总结：对称轴法求一元二次方程的根：根据一元二次方程与二次函数的关系，当已知抛物线与x 轴一个公共点的坐标和对称轴时，可根据轴对称的性质求出抛物线与x 轴另一个公共点的坐标，从而求得对应一元二次方程的根.
例题讲解
1 小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是(　　)
A．无解 B．x＝1
C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
课堂练习
2 抛物线y＝x2＋bx＋1与x轴只有一个公共点，则b等于(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．0
3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x
－1
0
1
3
y
－3
1
3
1
4 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h (m)可以用公式h = －4.9t2 ＋19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.
(1)画出函数h = －4.9t2 ＋19.6t的图象；
(2)当t=1, t=2时，足球距地面的高度分别是多少？
(3)方程－4.9t2 ＋19.6t = 0, －4.9t2 ＋19.6t = 14.7的根的
实际意义分别是什么？ 你能在图象上表示出来吗？
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况
Δ
课堂小结
谢谢聆听