第3课时 二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质
一、阅读课本：P7—8
二、学习目标：
1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；
2．掌握二次函数y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；
三、探索新知：
画出二次函数y＝－(x＋1)2，y－(x－1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．
先列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y＝－(x＋1)2 … …
y＝－(x－1)2 … …
描点并画图．
1．观察图象，填表：
函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性
y＝－(x＋1)2
y＝－(x－1)2
2．请在图上把抛物线y＝－x2也画上去（草图）．
四、整理知识点
1．
y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a (x-h)2
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性（对称轴左侧）
2．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同
五 探究归纳：
（1）二次函数的图像是一条 ，它对称轴是 ，
顶点坐标是 ，说明当= 时，有最值是 .
（2）当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 ；
当时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时，随的增大而 .
六、课堂训练
1．填表
图象（草图） 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性
y＝x2
y＝－5 (x＋3)2
y＝3 (x－3)2
2．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．
3．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式 ___________________________．、
4、、已知一条抛物线的开口方向和形状与y=3x2相同，顶点在抛物线y=(x+2)2的顶点上.
⑴求这条抛物线的解析式；
⑶若将①中的抛物线的顶点不变，开口反向所得的新抛物线解析式是 .
⑷若将①中的抛物线沿轴对折所得的新抛物线解析式是
六、目标检测
1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．
2．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．
二、选择题 1．函数的图像是（ ）
A． B． C． D．
2满足函数与的图象为（ ）
3 函数y=ax2-a与y= (a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
4．若函数y=4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．
三.已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．
（1）求a、m的值；
（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；
（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；
（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．
x
x
x
x
y
y
y
y34.3 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
一、学习目标
1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；
3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．
学习重点：．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；
二、复习旧知
二次函数y＝ax2的图像是 ，开口方向： 图像的顶点： ，对称轴 ，
三、探索新知：
在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．
解：先列表
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2＋1 … …
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2-1 … …
描点并画图
开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 最值
y＝x2
y＝x2－1
y＝x2＋1
2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．
3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．
四、理一理知识点
1．
y＝ax2 y＝ax2＋k
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
最值 a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．
增减性
抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________
因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；
把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．
五、课堂巩固训练
1．填表
函数 草图 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性
y＝3x2
y＝－3x2＋1
y＝－4x2－5
2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．
3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．
六、目标检测
1．填表
函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴左侧的增减性
y＝－5x2＋3
y＝7x2－1
2．抛物线y＝－x2－2可由抛物线y＝－x2＋3向___________平移_________个单位得到的．
3．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝_______________．
4．抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为_____________，与x轴的交点坐标为_________．
5、已知+3是二次函数，且当时，随的增大而减少．求该函数的表达式.
6.二次函数的经过点A（1，-1）、B（2，5）.
⑴点A的对称点的坐标是 ，点B的对称点的坐标是 ；
⑵求该函数的表达式；
⑶若点C(-2，),D（，7）也在函数的上，求、的值；
⑷点E（2，6）在不在这个函数的图象上？为什么？
七、课后练习
1．抛物线y=－4x2－4的开口向 ，当x= 时，y有最 值，y= ．
2．当m= 时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
3．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= ．
4．当m= 时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴右侧，y随x的增大而 ．
5．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k= ，b= ．
6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．
7．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（ ）
A．y=x2 B．y=－x2 C．y=－2x2 D．y=－x2
8．抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（ ）
A．y=x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
9．对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（ ）
A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点
10．二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（ ）
11．已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
12．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：
（1）y=ax2经过（1，2）；（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．
13．如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数 y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：
（1）△AOC的面积；
（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．34.4二次函数的应用（第一课时）
学习目标:掌握长方形和窗户透光最大面积问题，并运用二次函数的知识解决实际问题。
学习重点:应用二次函数解决图形有关的最值问题。
学习难点:由图中找到二次函数表达式是本节的难点
学习过程
一、温故知新
1．抛物线y＝－(x＋1)2＋2中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
2．抛物线y＝x2－x＋1中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
3．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，当x＝___________时，y有_______值是__________．
预习导学
例1．用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积y随矩形一边长x的变化而变化，当x是多少时，场地的面积y最大？
一起探究：
1.设每个小矩形一边的长为xm,试用x表示小矩形的另一边的长
2.请写出用x表示矩形面积y的函数表达式 ，自变量x的取值范围是
3.用公式求出函数的图像的顶点坐标，并说出y的最大值。
4.在由图中画出函数的图像，借助图像说出y的最大值。
例2． 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)设矩形的一边AB=xcm,那么ED、AD边的如何用x表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少
变式：如图,若在该直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点B和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.
(1).设矩形的一边BC=xcm,那么AB边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为y,当x取何值时,y的最大值是多少
例3、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
三、当堂训练
1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
3、⑴．如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
⑵．如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？
⑶．如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
4．如图3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？
四、课堂小结
本节课学习了
五、拓展延伸
1．已知抛物线经过点和点P （t，0），且t ≠ 0．
（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，
请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；
（2）若，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；
（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B、C），DE∥CA，交AB于E．设BD=x，△ADE的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）△ADE的面积何时最大，最大面积是多少？
（3）求当tan∠ECA=4时，△ADE的面积．
A
O
P
x
y
图12
- 3
- 334.3 二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
学习目标：
1．经历描点法画函数图像的过程，学会观察、归纳、概括函数图象的特征；
2．掌握y=ax2(a≠0)型二次函数图像的特征；
3．体会数形结合思想在解决函数问题中的作用。
学习重难点：掌握y=ax2(a≠0)型二次函数图像的特征；
学习过程：
(一）创设情境，导入新课
回顾与思考1：二次函数的意义
回顾与思考2：一次函数与反比例函数图象是什么形状的？
你还记得画函数图象的方法和一般步骤吗？
（二）合作交流，探究画法
1．在网格中画出二次函数y= x2 y=-x2的图象。
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2 … …
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝-x2 … …
2、在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝-x2的图象．
解：列表并填：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y＝x2 … …
y＝x2的图象刚画过，再把它画出来．
x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
Y=-x2 … …
（三）利用图象，探索性质
1．请同学们观察y=x2、y＝x2和y=-x2、y＝-x2的图象，
小组合作回答问题：
（1）这些函数的图象是什么形状的？
（2）函数图像有什么特点？
（3）在每一部分,y随x的变化如何变化？
2．总结：二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
（1）二次函数的图象是 ;
图像的顶点： ； 图像的对称轴： ；
（2）图象性质见下表：
y=ax2(a≠0) 图像 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 开口大小 增减性
a>0 当x＝____时，y有最_______值，是______．
a<0 当x＝____时，y有最_______值，是______．
（四）典型例题
例2:已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点（-2，-3），
（1）求a的值，并写出这个二次函数的解析式。
（2）说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图像的位置。
（五）尝试练习：
1．根据已画好的抛物线y＝x2回答：
函数图象的顶点坐标是 ，对称轴是 ，
在 侧，即x 0时，y 随x 的增大而________；
在 侧，即x 0时，y 随x 的增大而________；
2．同一坐标系中，作y=3x2、y=-3x2、y=x2的图像，它们的共同特点是（ ）
A、关于y轴对称，抛物线开口向上
B、关于y轴对称，抛物线开口向下
C、关于y轴对称，抛物线的顶点在原点
D、关于x轴对称，抛物线的顶点在原点
3．如图所示，抛物线经过A、B两点，则b的值为 。
4．已知原点是抛物线y=(m+1)x2的最高点，
则m的取值范围是 。
5.在抛物线y=x2上有两点A（m,）,B(n, ),则m+n的值为 。
6．把函数y=-3x2的图像沿x轴对折，得到的函数图像解析式为 。
7．若是二次函数，则m= ，抛物线开口向 ，对称轴是 ，对称轴左侧，y随x的增大而 ，对称轴右侧，y随x的增大而 。
（六）尝试探究
如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
(提示：我们知道，二次函数的图像是抛物线，可以建立
适当的坐标系帮助我们解题。)
解：设这条抛物线表示的二次函数为 ，
由抛物线经过点 ，可得
所以，这条抛物线的二次函数为
当水面下降1m时，水面的纵坐标为
当y=-3时，x=
所以，水面下降1m，水面的宽度为 m
所以，水面的宽度增加 m。
（七）总结反思，拓展升华
通过这节课的学习，你有什么收获？
0
x
y
0
x
y
4
l
234.1 认识二次函数 导学案
学习目标:
1.探索并归纳二次函数的定义.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
学习重点:
1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数.
学习难点:
经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
学习过程:
一、情景引入
一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展.
扩展的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是 .
售价/（元/件） 100 101 102 103 ……
月销售量/件 500 490 480 470 ……
X 10 15 20 25 30
Y
二、探索新知
1.上述函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数关系式有什么不同？
2.一般地，我们把形如：= ( )的函数称为二次函数.其中 是自变量，这是 关于 函数. a是__________，b是___________，c是_____________．
三、基本知识练习
1．观察：①y＝6x2；②y＝－x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．
2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）．
（1）当m__________时，该函数为二次函数；
（2）当m__________时，该函数为一次函数．
3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．
（1）y＝1－3x2 （2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2
（4）y＝3x3＋2x2 （5）y＝x＋
四、课堂训练
1．y＝(m＋1)x－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________．
2．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝x＋ B． y＝3 (x－1)2 C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝－x
3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为
s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ）
A．28米 B．48米 C．68米 D．88米
4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．
5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．
求：（1）函数y与x的函数关系式；
（2）当x＝4时，y的值；
（3）当y＝－时，x的值．
6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
五、课堂小结
1．这节课我学会了
六、目标检测
1．若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（ ）
A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 D．a≠－1
2．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝x2－1 B．y＝x－1 C．y＝ D．y＝
3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．
4．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求 这个二次函数解析式．
5、当为何值时，函数为二次函数？
6、用一根长为40的铁丝围成一个半径为的扇形，求扇形的面积与它的半径之
间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径的取值范围．
7、等边三角形的周长为x，面积为y，用x表示y的关系式为y=_________．
8、写出下列函数的关系式：有一个角是60°的直角三角形的面积S与斜边x的之间的函数关系式．
9、函数是二次函数的条件是（ ）
A．m、n是常数，且m≠０ B．m、n是常数，且m≠n
C．m、n是常数，且n≠０ D．m、n可以为任何常数
10、一台机器原价60万元，如果每年的折旧率均为x，两年后这台机器的价位约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B． Ｃ． D．
11.一个圆柱的侧面展开图是一个面积为10的矩形，这个圆柱的母线与圆柱的底面半径r 之间的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
12、下列不是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
13、若是二次函数，则（ ）
A．a=-1或a=3 B．a≠-1，a≠0 C．a=-1 D．a=3
2.如图小亮家去年建了一个周长为80m的矩形养鱼池．
⑴、如果设矩形的一边长为x m,那么另一边长______
⑵、如果设矩形的面积为y m2那么用x表示y的表达式为___________，化简后为___________
⑷、请指出上表中边长x为何值时，矩形的面积y最大？
⑶、根据上面的表达式填写下表：
X 5 10 15 20 25 30 35
Y
3、某种商品的进价为90元/件，最初的售价为100元/件，后来提价销售，经统计售价和月销售量，得到下面的数据表：
⑴、当售价提高x元时，每售出一件这样的商品可获得利润为 元．
⑵、当售价提高x元时，月销售量将减少____件，实际销量为__________件．
⑶、当售价为x元/件,设每月销售这种商品可获得的总利润为y元，用x表示y的表达式为y=_____________________,化简为y=________________
⑷、根据上面得到的表达式填写下表：
⑸、比较一下，上表中的x为何值时，获得的总利润y最大？第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
一、学习目标：
1．会画二次函数的顶点式y＝a (x－h)2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质；
3．会应用二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质解题．
二、探索新知：
画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．列表：
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 …
y＝－(x＋1)2－1 … …
由图象归纳：
1．
函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 增减性
y＝－(x＋1)2－1
2．把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．
四、理一理知识点
y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a (x-h)2 y＝a (x－h)2＋k
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性（对称轴左、右侧分别讨论）
2．抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________．
五、课堂练习
y＝3x2 y＝－x2＋1 y＝(x＋2)2 y＝－4 (x－5)2－3
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性（对称轴左侧）
2．y＝6x2＋3与y＝6 (x－1)2＋10_____________相同，而____________不同．
3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝x2相同的解析式为（ ）
A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x＋2)2－3
C．y＝(x＋2)2＋3 D．y＝－(x＋2)2＋3
4．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．
5．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．
6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．
7．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为 __________________．
六、目标检测．
开口方向 顶点 对称轴
y＝x2＋1
y＝2 (x－3)2
y＝－ (x＋5)2－4
2．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．
3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（ ）
A B C D
4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．
5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）
6．函数，当 时，随增大而减小，当 时， 有最 值，是 ．
7. 点在二次函数的图像上，则 ．
8. 二次函数的顶点坐标是 ，对称轴为 ．
9. 将抛物线如何平移可得到抛物线（ ）
Ａ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
Ｂ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
Ｃ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
Ｄ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
10. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为，两年后这台机器的价位为万元，则关于的函数关系式为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11. 已知抛物线的解析式为，则此抛物线的顶点坐标为 ．
12. 若直线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ）。
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
13．写出一个顶点在（1，1），开口方向向上的抛物线的解析式： ．
14．直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）
A．(0，0) B．(1，－2) C．(0，－1) D．(－2，1)
15．如图5桥拱是抛物线形，其函数的解析式为，当水位线在AB位置时，水面宽12m，这时水面离桥顶的高度为（ ）
A．3m B．m C．m D．9m
16．抛物线开口向上，顶点坐标是（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞1 D．x<1二次函数y＝ax2＋bx＋c图像与性质导学案
一、学习目标：
1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；
2．知道二次函数中a，b，c以及b2－4ac对图象的影响．
3．会用待定系数法求二次函数的解析式；
二、基本知识点回顾
1. 根据的图象和性质填表：
函 数 图 象 开口 对称轴 顶 点 增 减 性
向上 当 时，随的增大而减少.当 时，随的增大而 .
当 时，随的增大而减少.当 时，随的增大而 .
2.二次函数的顶点式是 ，其中顶点坐标是 ，对称轴是 .
3.解下列一元二次方程：
① ② ③
4.观察二次函数的图象，写出它们与轴、轴的交点坐标：
函数
图 象
交点 与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 与轴
与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 与轴交点坐标是
4.对比第3题各方程的解，你发现什么？
5.归纳：
⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与
轴交点的 .
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）
二次函数 与 一元二次方程
与轴有 个交点 0，方程有 个实数根.
与轴有 个交点这个交点是 点 0，方程有 个实数根.
与轴有 个交点 0，方程 实数根.
⑶二次函数与轴交点坐标是 .
三、课堂练习
1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．与y轴交点坐标．
2 已知二次函数y＝x2＋kx＋9．
①当k为何值时，对称轴为y轴；
②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；
③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点．
3．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______．
4．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________．
5．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．
四、探究合作
（1）观察的图象，你能得到关于的哪些信息？
（2）归纳：
⑴的符号由 决定：
①开口方向向 0；②开口方向向 0.
⑵的符号由 决定：
① 在轴的左侧 ；
② 在轴的右侧 ；
③ 是轴 0.
⑶的符号由 决定：
①点（0，）在轴正半轴 0；
②点（0，）在原点 0；
③点（0，）在轴负半轴 0.
⑷的符号由 决定：
①抛物线与轴有 交点 b2-4ac 0 方程有 实数根；
②抛物线与轴有 交点 b2-4ac 0 方程有 实数根；
③抛物线与轴有 交点 b2-4ac 0 方程 实数根；
④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.
⑸特别的，当=1时，= ，对应的点的坐标记为： ；
当=-1时，= ，对应的点的坐标记为： .
五、课堂练习
1 如图，由图可得：a_______0，b_______0，c_______0，
b2－4ac 0。
2．如图，由图可得：a_______0 ，b_______0，c_______0，b2－4ac______0。
3．如图：由图可得：a _________0
b_________0
c_________0
b2－4ac_________0
六、用待定系数法求二次函数表达式
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：
1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．
2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．
3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）
七、课堂练习
1.已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．
2已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
3已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，
使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
八．课后练习
1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与 y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．
4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．教学目标:
1.经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点；
2.掌握变量之间的二次函数关系，解决二次函数所表示的问题；
3.掌握根据二次函数不同的表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
一.温故知新.
函数的表示方式有哪三种？_________________、______________、_________________
二.自主学习、合作探究：
问题一：矩形问题
已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？
用函数表达式表示：__________________________
用表格表示：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10-x
y
（3）用图象表示：
（4）议一议：
①在上述问题中，自变量x的取值范围是_________________
②当x__________时，矩形面积最大是___________,从__________方式可以得到。
③y随x的变化规律是________________________________________________.
问题二：两位数问题
两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的？用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗
（1）用函数表达式表示：__________________________
（2）用表格表示：
x
y
（3）用图象表示：
（4）根据以上三种表示方式回答：
①自变量x的取值范围是_________________
②图象的对称轴是___________,顶点坐标是________________.
③当x________________时，两数之积最大是_______________.④y随x的变化规律是____________________________________________________.
三.知识在于积累：
表示方法 优点 缺点
解析法
表格法
图像法
三者关系
四.巩固新知.
1．两个数的和为8，若设其 中一个数为x，积为y，则y与x的函数表达式为 ．
2．一根长为100m的铁丝围成一个矩形框子，铁丝框的面积与边长的关系为
3．若两个数的差为3，若其中较大的数为x，则它们的积y与x的函数表达式为
4.边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数表达式为 ．
5．等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为 ．
抛物线y=x2＋kx－2k通过一个定点，这个定点的坐标为 ．
6．如图，图①是棱长为a的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层……第n层，第n层的小正方体的个数记为S，解答下列问题：
（1）按照要求填表：
（2）写出当n=10时，S= ．
（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．
7.在一次班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？（1）写出该函数的表达式．
（2）根据（1）中的表达式，求该班30名同学间共握了多少次手？
n 1 2 3 4 …
s 1 3 6 …34.3 二次函数的图象与性质
一、学习目标：
1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．
二、探索新知：
1．求二次函数y＝x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．
解：将函数等号右边配方：y＝x2－6x＋21
2．画二次函数y＝x2－6x＋21的图象．
解：y＝x2－6x＋21配成顶点式为_______________________．
列表：
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y＝x2－6x＋21 … …
3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．
归纳：二次函数的一般形式可以被整理成顶点式： ，
说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 .
4、用描点法画出的图像.
⑴用公式法求顶点坐标和对称轴：
⑵列表：顶点坐标填在
⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，
… …
…
并把这些点连成平滑的曲线：
归纳: 根据图象归纳y＝ax2＋bx＋c的增减性和最值
三、理一理知识点：
y＝ax2 y＝ax2＋k y＝a(x－h)2 y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性（对称轴左侧）
四、课堂练习
1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．
2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．
3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．
4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．
5．已知抛物线的对称轴为直线，则_________．
6．函数有最_____值是_______，这时自变量的值是________．
7．已知抛物线的部分图像如图1所示，则抛物线的对称轴为直线________，满足的的取值范围是________．
8．抛物线不经过（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
五、目标检测
1．用顶点坐标公式求二次函数y＝x2－2－1的顶点坐标
3．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．
2.下列关于抛物线的说法中，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线x=1
C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是(-1，0)
4.函数的图象开口向_________，顶点坐标为__________
5.二次函数的图象开口_____，对称轴是________，顶点坐标是_______．
五.课后巩固
⑴抛物线的对称轴是 .这条抛物线的开口向 .
⑵用配方法将二次函数化成的形式是 .
⑶已知二次函数的图象的顶点的横坐标是1，则b= .
⑷.二次函数的图象的顶点坐标是 ，在对称轴的右侧y随x的增大而
⑸已知抛物线的顶点坐标是（-2，3），则= .
⑹若抛物线的顶点在x轴上，则c= .
⑺已知二次函数的最小值是1,那么m的值是 .
⑻若抛物线经过原点，则m= .
⑼已知二次函数的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的负半轴，则m的取值范围是 .34.4 二次函数的应用（商品价格调整问题）
一、学习目标
1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；
2．会应用二次函数的性质解决问题．
二 、知识准备：
1）已知：二次函数y=2(x－3)2+4，当x＝______时，y有最_____值为_______。
2）已知：二次函数y=－x2+x+，当x＝_____时，y有最_____值为_______。
3）已知：二次函数y=－x2+3x+1，且自变量x的范围为0≤x≤2，当x＝_____时，y有最大值为_____
三、探索新知
1. 某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100～150亩，预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增稻田x今年每亩的收益为（440-2x）元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益最大？最大收益是多少？
2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？
解：（1）设每件涨价x元，则每件利润 元，每星期少卖_________件，实际卖出_________件，
（2）设每件降价x元，则每件利润 元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．
（3）设总利润为y,求利润y与x的函数关系式
（4）定价才能使利润最大
3 某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：
x 3 5 9 11
y 18 14 6 2
（1）在所给的直角坐标系甲中：
①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；
②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．
（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：
①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．
②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．
4（2010年中考25题）.某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，
成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．
若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为
常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．
（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内 = 元；
（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；
（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？
二类（高度问题）
1、如图一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？
思考：如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．
2.如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，柱高1.25米，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
3．问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
4．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；
（2）求支柱MN的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
图①
