(共39张PPT)
温故知新
1.有理数包括哪些？
2.什么是无理数？
3.数轴上的点与实数的关系？
4.我们学过哪些运算及其法则？
1.交换律
：
加法
a+b=b+a
乘法a×b=b×a
2.结合律：
加法（a+b)+c=a+(b+c)
乘法（a×b）c=a（b×c）
3.分配律：
a×
(b+c)=
ab+
ac
由有理数扩展到实数后，这些运算律和法则还适用吗？
温故知新
6.3
实
数
第3课时
实数的运算
人教版七年级数学
下册
目标导航
1.理解在实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义；（重点）
2.掌握实数的运算法则，熟练地利用计算器去解决有关实数的运算问题.（重点）
认真阅读课本中6.3
实数的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
我们知道,在有理数中只有符号不同的两个数叫做相反数,例如3和-3,
和
等.
实数的相反数的意义与有理数中一样.
知识回忆
我们还知道，在有理数中，倒数的定义：
如果两个数的积是1,则这两个数互为倒数
.
知识回忆
实数中倒数的意义和有理数中的倒数的意义相同.
大家还记得在有理数中绝对值的意义吗?
例如,
|-3|=3,
|0|=0,
等.
实数中绝对值的意义和有理数中的绝对值的意义相同.
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，a的绝对值记作|a|.
知识回忆
在实数范围内
，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
例如：
与
互为相反数
与
互为倒数
目标导学一：实数的性质
例1：分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
解：(1)∵
＝－4，
∴
的相反数是4，倒数是
，绝对值是4.
(2)∵
＝15，
∴
的相反数是－15，倒数是
，绝对值是15.
(3)
的相反数是－
，倒数是
，绝对值是
.
1.判断：
(1)
（
）
(2)
的绝对值是
；
（
）
(3)
的相反数是
.
（
）
×
×
即学即练
(1)
的相反数是
，
的相反数是
，
0的相反数是
；
(2)
=
，
=
，|0|=
.
0
0
即学即练
2.填空：
1.a是一个实数，实数a的相反数为-a.
2.①一个正实数的绝对值是它本身；
②一个负实数的绝对值是它的相反数；
③0的绝对值是0.
知识归纳
有关实数的非负性
(1)任何非负数的和仍是非负数；
(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0.
例2
(1)分别写出
的相反数；
(2)指出
分别是什么数的相反数；
(3)求
的绝对值；
(4)已知一个数的绝对值是
，求这个数.
解:(1)
的相反数分别是
；
(2)
分别是
的相反数
；
(3)
；
(4)
绝对值为
的数是
或
.
例3：当a<0时，化简
的结果是(
)
A
0
B
-1
C
1
D
?
B
求下列各式的实数
x:
(1)|x|=
；
(2)-x=
.
即学即练
实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。如果遇到括号，
则先进行括号里的运算
此外，前面所学的有关数、式、方程的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
目标导学二：实数的运算
填空：设a，b，c是任意实数，则
（1）a+b
=
（加法交换律）；
（2）(a+b)+c
=
（加法结合律）；
（3）a+0
=
0+a
=
；
（4）a+(-a)
=
(-a)+a
=
；
（5）ab
=
（乘法交换律）；
（6）(ab)c
=
（乘法结合律）；
b+a
a+(b+c)
a
0
ba
a(bc)
（7）
1
·
a
=
a
·
1
=
；
a
知识回忆
（8）a(b+c)
=
（乘法对于加法的分配律），
(b+c)a
=
（乘法对于加法的分配律）；
（9）实数的减法运算规定为a-b
=
a+
；
（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，
满足a·b
=
b·a
=1，我们把b叫作a的＿＿＿＿＿；
（11）实数的除法运算（除数b≠0），规定为
a÷b
=
a·
；
（12）实数有一条重要性质：如果a
≠
0，b
≠
0，
那么ab＿＿＿0.
ab+ac
ba+ca
(-b)
倒数
≠
知识回忆
每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数.0的平方根是0.
在实数范围内，负实数没有平方根.
在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根，而且与它本身的符号相同.
实数的平方根与立方根的性质：
知识回忆
例4：计算
解：原式=
=18.94427191≈18.94
=
=
=
（结果保留小数点后两位）
【方法归纳】
在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
2
3
2
2
)
1
(
-
(2)｜
｜
解:
(2)｜
｜
2
3
2
2
)
1
(
-
即学即练
例5
用计算器计算:
(1)求5的算术平方根与它的立方根之和(结果保留3位有效数字);
(2)
(精确到0.01)
解:(1)
(2)
试一试
计算:
(1)
(精确到0.01);
(2)
(结果保留3个有效数字).
解：(1)
(2)
即学即练
例6:已知实数a,b,c在数轴上的位置如下,化简
a
c
b
0
解:由a,b,c在数轴上的位置可知：
a＞0,b＜0,c＜0，且a+b>0,a-c>0.
即学即练
计算:
(1)
(2)
(3)
平方差
完全平方
解:(1)
(2)
(3)
在实数范围内,乘法公式仍然适用.
即学即练
实数
在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样.
实数的运算
实数的运算律
用计算器计算
实数的大小比较
课堂小结
1.a,b是实数,下列命题正确的是(
)
A.a≠b,则a2≠b2
B.若a2>b2,则a>b
C.若|a|>|b|,则a>b
D.若|a|>|b|,则a2>b2
D
检测目标
2.下列说法中，错误的个数是
（
）
①无理数都是无限小数；
②无理数都是开方开不尽的数；
③带根号的都是无理数；
④无限小数都是无理数。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
检测目标
4.-
是
的相反数;π-3.14的相反数是
.
3.14-π
3.比较大小：（1）
;（2）
4.
＞
﹤
检测目标
5.求下列各数的相反数和绝对值:
2.5,
,
,
0
,
,π-3.
解：2.5的相反数是-2.5，绝对值是2.5；
0的相反数是0，绝对值是0；
π-3的相反数是3-π
，绝对值是π-3
.
检测目标
6.计算
（1）
（2）
（3）
4
检测目标
7.实数
a,b
的位置如图
化简
|a
+
b|
–
|a
–
b|
a
0
b
【解】由数轴可知，a+b<0，a－b<0，从而
原式=－(a＋b)－〔－（a－b）〕
=
－a－b＋（a－b）
=
－a－b＋（a－b）
=
－a－b＋a－b
=
－2b
检测目标
8.计算下列各题:
(1)
=
;(2)
=
;
(3)
=
;
(4)
=
…
仔细观察上面几道题及其计算结果,你能发现什么规律吗?根据这个规律先写出下面的结果,并说明理由.
3
33
333
3333
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题(共44张PPT)
温故知新
1.什么是有理数？
2.有理数可以分为哪几类？
3.整数和分数又可以怎样分类？
整数
正整数：如：1，2，3，…
零：0
负整数：如-1，-2，-3，…
分数
正分数：如
,
,
5.2,
…
负分数如
，
，-3.5,
…
有理数
温故知新
是数吗？
是有理数？
导入新课
6.3
实
数
第1课时
实数的概念
人教版七年级数学
下册
目标导航
1.了解实数的意义，识记实数的概念。
2.并能将实数按要求进行的分类。
认真阅读课本中6.3
实数的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程。
自主研学
公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示，后来，当这一学派的希帕索斯发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比表示，即√2不是有理数时，毕达哥拉斯学派感到惶恐不安。由此还引发了一次数学危机……
目标导学一：实数的概念
问题1
我们知道有理数包括整数和分数，利用计算器把下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？
它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式
问题2
整数能写成小数的形式吗？3可以看成是3.0吗？
可以
思考
由此你可以得到什么结论？
有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
它是有理数吗？
不是有理数是真命题
该命题的题设是？结论是？
题设是：有一个数是
，
结论是：这个数不是有理数。
那么，怎么证明真命题呢？
证明真命题一般用反证法。
反证法：通过断定与真命题相反的结论的虚假来确定原命题的真实性的论证方法。
与命题相反的结论是什么？
是有理数
随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认
不是有理数，并给出了证明。
下面解读下欧几里得《原本》中的证明方法。
毕达哥拉斯，古希腊数学家，毕达哥拉斯学派的主要代表人物。
假设
为有理数,那么存在两个互质的正整数p,
q,使得:
于是：
，
两边平方得：
由
是偶数，可得
是偶数。而只有偶数的
平方才是偶数，所以p也是偶数。
因此可设
,代入上式，得：
即，
所以q也是偶数。这样，p,
q都是偶数，不互质，
这与假设p,
q互质矛盾。
这个矛盾说明，
不能写成分数的形式，即
不是有理数。
实际上，
是无限不循环小数。
它是一个无限不循环小数
=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084988471603......
=
=1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084988471603......
1
1
1
C
B
A
b
b是有理数吗？
做一做
你能设法用多种方法找出几个这样的非有理数吗？请说明理由.
（1）面积为5、8、10等非平方数的正方形的边长；
（2）边长为2的等边三角形的高；
（3）通过构造直角三角形；
（4）列方程.如x?=3.等等
议一议
我们给无限不循环小数起个名字，叫“无理数”.
例
(1)你能尝试着找出三个无理数吗？
无限不循环小数的概念：
思考：
是无理数吗？2.020
020
002
000
02…是无
理数吗？
2.02002000200002…
它们都是无限不循环小数，是无理数
(1)含
的一些数；
(2)含开不尽方的数；
(3)有规律但不循环的小数,如1.01001000100001…
常见的一些无理数：
,3.14
,
0.1010010001…,
,
,
,
方法点拔:
判定一个数是否无理数:
(1)看它是不是无限不循环小数.
（2）所有的有理数都能写成分数形式，但无理数不能；
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数;(2)
是无理数;(3)不循环的无限小数（4）无理数与有理数的和、差一定是无理数；(5）无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数；
无理数有：
0.1010010001…
,
,
,
例：下列各数哪些是无理数？
例：下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数？
-π，
，3.1,0.101
001
000
1…(相邻两个1之间的0的个数逐次加1），
，
，
，
，
.
思考：
用根号形式表示的数一定是无理数吗？
有理数：
，3.1，
，
无理数：
-π
，
0.101
001
000
1…(相邻两个1之间的0的个数逐次加1）
，
，
，
把下列各数分别填入相应的集合内：
0.101，
有理数集合
无理数集合
．．．
．．．
即学即练
(1)有限小数是有理数;
（
）
(2)无限小数都是无理数;
（
）
(3)无理数都是无限小数;
（
）
(4)有理数是有限小数.
（
）
判断题
╳
√
√
╳
即学即练
分一分.
回忆并画出有理数的分类图.
目标导学二：实数的分类
思考：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有
理数的分类吗？据此你能给实数分类吗？
有理数：
整数和分数统称为有理数
有理数
整数
分数
正整数
0
负整数
正分数
负分数
（1）按整数、分数的关系分类：
有理数：
整数和分数统称为有理数
有理数
正有理数
负有理数
正整数
0
正分数
负整数
负分数
（2）按正数、负数与0的关系分类：
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
数
（1）按定义分
分数
整数
女孩子
男孩子
妈妈
含开方开不尽的数
有规律但不循环的小数
含有
的数
实数的分类
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
（2）按性质分
0
正无理数
负无理数
实数的分类
无理数：
有理数：
负实数：
正实数：
例
将下列各数分别填入下列相应的括号内：
对每个数都要进行判断，分类标准不同结果不同.
方法
精典例题
例
把下列各数填入相应的集合内:
π，
，5.2,
,
0.808
008
000
8…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1）,
,
,
,
,
,
,
.
整数集合?
…
?；
分数集合?
…
?；
正数集合?
…
?；
5.2
π
5.2
0.808
008
000
8…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1）
（1）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？
（2）有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？
（3）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？
1
无
无
无
无
无
即学即练
几个的常用近似值：
拓展延伸
实数
无理数的概念
实数的概念
实数的分类
课堂小结
1.以下各正方形的边长是无理数的是（
）
A.面积为25的正方形；
B.面积为
的正方形；
C.面积为8的正方形；
D.面积为1.44的正方形.
C
检测目标
2.把下列各数分别填在相应的集合中；
有理数集合
无理数集合
0
-8
0.6
3.1415926
3
—
√
—
√
36
22
7
—
√
7
0.191191119…
每相邻两个9之间依次多一个1
检测目标
3.你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗?试试看？
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
正数
负数
检测目标
负数集合?
…
?；
有理数集合?
…
?；
无理数集合?
…
?.
4.
π，
，5.2,
,
0.808
008
000
8…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1）,
,
,
,
,
,
,
.
5.2
π
0.808
008
000
8…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1）
检测目标
证明
不是有理数。
拓展延升
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题(共28张PPT)
温故知新
1.什么是无理数？
2.什么是实数？
3.实数可以怎样分类？
无理数：
无限不循环小数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
数
（1）按定义分
分数
整数
女孩子
男孩子
妈妈
含开方开不尽的数
有规律但不循环的小数
含有
的数
温故知新
负实数
正实数
数实
正有理数
负有理数
（2）按性质分
0
正无理数
负无理数
温故知新
6.3
实
数
第2课时
实数与数轴
人教版七年级数学
下册
目标导航
1.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类；
2.熟练掌握实数大小的比较方法；（重点）
3.了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点
表示无理数.（难点）
每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么无理数是否也可以用数轴上的点表示出来吗?
0
1
2
3
－1
－2
－3
4
－4
﹒
O’
能在数轴上找到表示π的点吗?
合作探究
试一试
你能把
在数轴上表示出来吗？请与同桌一起试一试。
如图，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴上表示点A的数是多少？
因为圆的周长为π,所以数轴上点A表示的数是无理数π.
0
-2
-1
1
3
2
4
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
A
目标导学一：实数与数轴上的点
0
1
2
4
3
-1
-2
问题:边长为1的正方形,对角线长为多少?
事实上:每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数.
（1）
和
都可以用数轴上的点来表示。
（4）
和
是一一对应的.
（2）也就是说
可以用数轴上的点来表示。
（3）反过来，数轴上的每一点都表示一个
。
有理数
无理数
实数
实数
实数
数轴上的点
根据前面的例题，独立思后，请回答。
-2
-1
0
1
2
（数?点）
（点?数）
A
{
实数
}：
数
a
实数a
点
A
一一对应
每一个实数（有理数、无理数）都可以用数轴上的一个点来表示．
反过来
，数轴上的每一个点都表示一个实数．
实数与数轴上点一一对应
练习:
请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来：
0
B
C
4
D
A
-2
E
例1：如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和
，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和
，
∴点B到点A的距离为1＋
，则点C到点A的距离为1＋
，
设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，
∴－1－x＝1＋
，
∴x＝－2－
方法总结
本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点时，点C到点A的距离等于点B到点A的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值．
例2：如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为
和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有( )
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
解析：∵
≈1.414，∴
和5.1之间的整数有2，3，4，5，
∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．
C
【方法总结】数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论．
回忆：利用数轴,我们怎样比较两个有理数的大小?
数轴上的点表示的数,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
这个结论在实数范围内也成立.
目标导学二：实数的大小比较
与有理数一样，实数也可以比较大小：
原点
0
正实数
负实数
<
1.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；
2.两个正数，绝对值大的数较大；
3.两个负数，绝对值大的数反而小.
与有理数一样，在实数范围内：
例3:比较下列各组数里两个数的大小:
(1)
,1.4;(2)
,
;(3)-2,
.
分析:第(1)题,可以将
,1.4的大小比较转化为
,
的大小比较;也可以先求出
的近似值,再通过比较它们近似值(取近似值时,注意精确度要相同)的大小,从而比较它们的大小.
＞
＞
＜
例4
在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，
并用“<”连接它们.
-2
-1
0
1
2
3
1
-2
-2<
<
1<
<
熟记一些常见数的算术平方根。
例5
比较下列各组数的大小：
解
：
（1）因为
12
<
42，
所以
<
4，
所以
－1<
3；
（2）因为
10
>
32
，
所以
所以
为什么？
为什么？
每一个有理数都可以用数轴上的点表示；每一个无理数都可以用数轴上的点表示；
数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的。
在数轴上的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。
实数与数轴上点一一对应
课堂小结
1.判断下列说法是否正确：
（1）实数不是有理数就是无理数.
（
）
（2）无限小数都是无理数.
（
）
（3）无理数都是无限小数.
（
）
（4）带根号的数都是无理数.
（
）
（5）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数.
（
）
检测目标
2.下列说法正确的是（
）
A.a一定是正实数
B.
是有理数
C.
是有理数
D.数轴上任一点都对应一个有理数
B
检测目标
3.有一个数值转换器，原理如下，当输x=81时输出的y是
（
）
输入x
取算术平方根
是无理数
输出y
是有理数
A.9
B.3
C.
D.±3
C
检测目标
4.
比较
与6的大小.
解:
∵37
>36
∴
>
6.
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题
