2.4.1 二次函数的应用 课件（共21张PPT）
文档属性
| 名称 | 2.4.1 二次函数的应用 课件（共21张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-02 22:26:45 | ||
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文档简介
第4节 二次函数的应用
（第1课时）
第二章 二次函数
2020-2021北师大版九年级数学下册
1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
学习目标
想一想：如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？
由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
当自变量的取值范围是全体实数时，
(1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；
a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．
新课导入
当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，
(1)若 在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，
最大值与最小值同时存在，
如图①，当a＞0时， 最小值在x＝ 处取得，
最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的较大的函数值；
当a＜0时，最大值在x＝ 处取得，
最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值；
(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在，且函数
在x＝x1，x＝x2时的函数值
中，较大的为最大值，较
小的为最小值，如图②.
二次函数的最值
知识点一
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?
例1 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
40m
30m
A
B
C
D
┐
探究新知
解析：
总结：1．利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：
(1)引入自变量；
(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量；
(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积；
(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．
例2 分别在下列范围内求函数y＝x2－2x－3的最值：
(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴图象的顶点坐标为(1，－4)．
(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴当x＝1时，y有最小值，y最小值＝－4.
∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的图象左右对称，端点处取不到， ∴不存在最大值．
例题讲解
(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)，而函数y＝x2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线y＝x2－2x－3的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，
y最大值＝32－2×3－3＝0；
当x＝2时，
y最小值＝22－2×2－3＝－3.
例3 某建筑物的窗户如图，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01 m）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01 m2）
x
x
y
解： ∵ 7x+4y+πx=15,
设窗户的面积是Sm2,则S= πx2+2xy
当x= ≈1.07 时，S最大 = ≈4.02.
因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积约为 4.02 m2.
例4 〈实际应用题，易错题〉张大伯准备用一面长15 m的墙和长38m的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD，并在养殖场的一侧留出一个2 m宽的门．
(1)求养殖场的面积y(m2)与BC边的长x(m)之间的函数关系式．
(2)当BC边的长为多少时，养殖场的面积最大？最大面积是多少？
解：(1)由题意得，AB＝ m，
∴y＝x· ＝x· ＝－ x2＋20x.
由题意知
∴0＜x≤15.∴y＝－ x2＋20x，其中0＜x≤15.
(2)y＝－ x2＋20x＝－ (x2－40x)
＝－ (x－20)2＋200.
∵a＝－ ＜0，0＜x≤15，∴y随x的增大而增大．
∴当x＝15时，y最大＝－ ×(15－20)2＋200＝187.5.
答：BC边的长为15 m时，养殖场的面积最大，最大面
积是187.5 m2.
1 二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为( )
A．2 B．4 C．－4 D．16
课堂练习
2 已知0≤x≤ ，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是( )
A．－6 B．－2.5
C．2 D．不能确定
3 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则
这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．不确定
4 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长
方形，a的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
5 如果把矩形ABCD改为如图所示的位置，其他条件不变，则矩形ABCD的最大面积是多少？
A
B
C
D
E
F
G
6 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以1 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为________．
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
（二次函数的图象和性质）
实际问题
数学模型
转化
回归
（实物中的抛物线形问题）
课堂小结
（第1课时）
第二章 二次函数
2020-2021北师大版九年级数学下册
1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．
学习目标
想一想：如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？
由于抛物线y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
当自变量的取值范围是全体实数时，
(1)若a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；
a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．
新课导入
当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，
(1)若 在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，
最大值与最小值同时存在，
如图①，当a＞0时， 最小值在x＝ 处取得，
最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的较大的函数值；
当a＜0时，最大值在x＝ 处取得，
最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的较小的函数值；
(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和最小值同时存在，且函数
在x＝x1，x＝x2时的函数值
中，较大的为最大值，较
小的为最小值，如图②.
二次函数的最值
知识点一
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?
例1 如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
40m
30m
A
B
C
D
┐
探究新知
解析：
总结：1．利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：
(1)引入自变量；
(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量；
(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积；
(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．
例2 分别在下列范围内求函数y＝x2－2x－3的最值：
(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴图象的顶点坐标为(1，－4)．
(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴当x＝1时，y有最小值，y最小值＝－4.
∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的图象左右对称，端点处取不到， ∴不存在最大值．
例题讲解
(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)，而函数y＝x2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线y＝x2－2x－3的一部分，且当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，
y最大值＝32－2×3－3＝0；
当x＝2时，
y最小值＝22－2×2－3＝－3.
例3 某建筑物的窗户如图，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01 m）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01 m2）
x
x
y
解： ∵ 7x+4y+πx=15,
设窗户的面积是Sm2,则S= πx2+2xy
当x= ≈1.07 时，S最大 = ≈4.02.
因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积约为 4.02 m2.
例4 〈实际应用题，易错题〉张大伯准备用一面长15 m的墙和长38m的栅栏修建一个如图所示的矩形养殖场ABCD，并在养殖场的一侧留出一个2 m宽的门．
(1)求养殖场的面积y(m2)与BC边的长x(m)之间的函数关系式．
(2)当BC边的长为多少时，养殖场的面积最大？最大面积是多少？
解：(1)由题意得，AB＝ m，
∴y＝x· ＝x· ＝－ x2＋20x.
由题意知
∴0＜x≤15.∴y＝－ x2＋20x，其中0＜x≤15.
(2)y＝－ x2＋20x＝－ (x2－40x)
＝－ (x－20)2＋200.
∵a＝－ ＜0，0＜x≤15，∴y随x的增大而增大．
∴当x＝15时，y最大＝－ ×(15－20)2＋200＝187.5.
答：BC边的长为15 m时，养殖场的面积最大，最大面
积是187.5 m2.
1 二次函数y＝x2－4x＋c的最小值为0，则c的值为( )
A．2 B．4 C．－4 D．16
课堂练习
2 已知0≤x≤ ，那么函数y＝－2x2＋8x－6的最大值是( )
A．－6 B．－2.5
C．2 D．不能确定
3 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则
这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．不确定
4 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长
方形，a的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
5 如果把矩形ABCD改为如图所示的位置，其他条件不变，则矩形ABCD的最大面积是多少？
A
B
C
D
E
F
G
6 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以1 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为________．
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
（二次函数的图象和性质）
实际问题
数学模型
转化
回归
（实物中的抛物线形问题）
课堂小结