1.4 解直角三角形 课件（共19张PPT）

第4节 解直角三角形
第一章 直角三角形的边角关系
2020-2021北师大版九年级数学下册
1.理解解直角三角形的概念.
2.会根据三角形中的已知量正确的求未知量.
3.体会数学中的“转化”思想。
学习目标
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系:a2+b2=_____；
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，
tanA=_____.
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
新课导入
根据下列每一组条件，能画出多少个直角三角形（全等的直角三角形算一个）？
（1）一个锐角为30°；
（2）一条边的长为3cm；
（3）一个锐角为30 °，它的邻边长为3cm;
（4）一个锐角为30 °，它的对边长为3cm;
（5）一个锐角为30 °，它的斜边长为3cm;
（6）斜边长为4cm，一条直角边长为3cm．
（无数个）
（一个）
（一个）
（一个）
（一个）
从这些问题的结论，你猜想有什么规律？
（无数个）
事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
A
B
a
b
c
C
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
解直角三角形
知识点一
问题1 在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
探究新知
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：
已知斜边和直角边：
应用勾股定理求斜边，
应用角的正切值求出
一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c，且a= b= 求这个三角形的其他元素.
在 Rt△ABC 中，a2+b2=c2，

在 Rt△ABC 中，sinB =
∴∠B = 30°. ∴∠ A = 60°.
解：
例题讲解
例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角形的其他元素．(角度精确到1′)
由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8，
∴∠B≈53°8′.
∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.
由勾股定理得
解：
例题讲解
问题2 已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a和一锐角A：
① ∠B=90 °- ∠ A；
②c=
若已知斜边c和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c·sin A ; ③b=c·cos A.
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）.
A
B
C
b
30
c
a
25°
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，
∴∠A=65°.
例题讲解
总结：在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三 个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.
例4 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝ sin B＝
求BC的长．
例题讲解
如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1，sin B＝
∴AD＝AB·sin B＝1× ＝
∴BD＝
CD＝
∴BC＝
解：
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2 ，AC＝ ，
则∠A的度数为(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
课堂练习
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是(　　)
A. B．4
C．8 D．4
3.在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，则a等于(　　)
A. B. C．6 D.
4.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB＝ ，则菱形的周长是（　　）
A．10 B．20
C．40 D．28
5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c，根据下列条 件求出直角三角形的其他元素（角度精确到1° ):
(1) 已知 a = 4, b =8;
(2) 已知 b =10， ∠B＝60°;
(3) 已知 c =20， ∠A＝60°;
在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：
（1）三边之间关系：a2+b2=c2 (勾股定理）.
（2）锐角之间的关系：∠A+ ∠B = 90°.
（3）边角之间的关系：
课堂小结