1.1．1命题
温故知新
1. 请判断下列语句的真假，能否看出这些语句的表达形式有什么特点？并说出句子的种类.
（1）如果直线a∥b，那么直线a和直线b无公共点；
（2）2 + 4 = 7；
（3）平行于同一条直线的两条直线平行．
【答案】（1）、（3）正确；（2）错误.这些语句都是陈述句.
2.“小华与小强至少有一个人去参加数学奥赛”的含义是 .
【答案】小华与小强两人当中有一个人或两个人都去参赛.
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知 识 构 建
知识点一 命题的定义及结构
1. 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
2. 如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题；
如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题．
3. 从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．
【疑难点拨】1.判断语句为命题的依据是看它是否符合“可以判断真假”和“是陈述句”.所以疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.
2.命题正确与否，看它是否与客观事实相符合.判断数学命题正确与否，常用逻辑推理来论证，或举反例予以否定.
3. “若，则”型的命题只是命题的一种类型，还有大量的命题不能写成这种形式，例如：“某些三角形没有外接圆.”这个命题就不能写成“若，则”的形式.判断一个语句是不是命题，分为两步：第一步看他是不是陈述语句，第二步看它能不能判断真假.
知识点二 四种命题
1.对两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做 互逆命题 ，其中一个命题叫做 原命题 ，另一个命题叫做原命题的逆命题.
原命题为：“若，则”，则逆命题为：“若，则 ”.
2.一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做 互否命题 ，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的
否命题 .
若原命题为：“若，则”，则否命题为：“ 若，则 ”.
3.一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做 互为逆否命题 ，其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的
逆否命题 .若原命题为：“若，则”，则逆否命题为：“ 若，则 ”.
【疑难点拨】
1.四种命题是一个相对概念，单独说一个命题为逆命题或否命题是没有意义的.若把“若，则”当成原命题，则“若，则”成为逆命题，“若，则”为否命题，则“ 若，则”为逆否命题.
2.在写原命题的否命题或逆否命题时对于条件和结论的否定要全盘否定，不能部分否定.
【想一想】
1.“若都是偶数，则是偶数”的否命题是“若不都是偶数，则不是偶数”，还是“若都不是偶数，则不是偶数”？
【答案】“若都是偶数，则是偶数”的否命题是“若不都是偶数，则不是偶数”.
知识点三 四种命题间的关系
1. 四种命题间的关系
【想一想】
1.在四种形式的命题中哪些命题间是互逆关系？哪些命题间是互否关系？哪些命题间是互为逆否关系？
【答案】1.原命题与逆命题，否命题与逆否命题；原命题与否命题，逆命题与逆否命题；原命题与逆否命题，逆命题与否命题.
【练一练】
1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假.
【答案】原命题：若a=0,则ab=0是真命题；
逆命题：若ab=0，则a=0是假命题；
否命题：若a0，则ab0”是假命题；
逆否命题：若ab0，则a0”是真命题.
2．四种命题间的真假关系
（1） 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2） 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.
3.用反证法证明的一般步骤是：
（1） 假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2） 从这个假设出发（当作一个已知条件），经过合理的数学推理，得出矛盾；
（3） 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的正确.
【疑难点拨】
1.通过证明逆否命题成立而间接达到证明原命题成立的这种方法是“反证法”的一种，这个方法利用“若，则若，则”，即欲证“若，则”为真，可由假设“非”来证明“非”，亦即假设结论不成立，通过逻辑推理导致与条件矛盾，从而间接得出“若，则“是真命题”.
2. 反证法适宜的数学命题的形式：
①证明存在性问题，唯一性问题（客观题需要举反例）；
②结论是以“至多”、“至少”等形式出现的命题；
③结论本身是以否定形式出现的命题；
④结论的反面比原结论更具体更容易证明.
要 点 探 究
类型一 四种命题
例1 把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假.
（1）两个全等的三角形的三边对应相等；
（2）负数的平方是正数；
（3）若，则；
【思路】关键是找出原命题的条件p和结论q.
【解析】（1）原命题可以写成：若两个三角形全等，则这两个三角形的三边对应相等；（真）
逆命题：若两个三角形的三边对应相，则这两个三角形全等；（真）
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不是三边对应相等；（真）
逆否命题：若两个三角形不是三边对应相等，则这两个三角形不全等；（真）
（2）原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数；（真）
逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数；（假）
否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；（假）
逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数. （真）
（3）逆命题：若，则，（真命题）.
否命题：若，则，（真命题）.
逆否命题：若，则,（假命题）.
【点评】在写出四种命题时，一定要记清的位置的变化和其是否已被否定.
变式题 （1）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假.
（2）判断命题“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题的真假.
【解析】逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；
否命题：当c>0时，若ab，则acbc.它是真命题；
逆否命题：当c>0时，若acbc，则ab.它是真命题.
（2）法一：∵m>0，∴4m>0, ∴4m+1>0. ∴方程x2+x-m=0的判别式=4m+1>0.
∴方程x2+x-m=0有实根.
∴原命题“若m>0，则x2+x-m=0有实根”为真.
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题也为真.法二：原命题“若m>0，则x2+x-m=0有实根”的逆否命题为“若x2+x-m=0无实根，则m0”. ∵x2+x-m=0无实根，∴=4m+1<0. ∴m<0.
∴“若x2+x-m=0无实根，则m0”为真.
法三：p: m>0，q：x2+x-m=0有实根，：m0, ： x2+x-m=0无实根.
∴：A={m|m0}，：B={m|方程x2+x-m=0无实根}={m|m<}.
∵BA, ∴“若，则”为真，即“若x2+x-m=0无实根，则m0”为真.
类型二 互为逆否命题等价性的应用
例2 若a、b、c均为实数，且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证：a、b、c中至少有一个大于0.
【思路】问题若直接证明不容易，可考虑证明它的逆否命题．本题可考虑证明若a、b、c都不大于0，则条件不成立．
【解析】 假设a、b、c都不大于0，即a0,b0,c0,则a+b+c0.
而a+b+c= x2-2y++ y2-2z++ z2-2x+
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+-3，
因为，-3>0，且无论x、y、z为何实数，(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2 0，
所以a+b+c>0.这与a+b+c0矛盾.
因此，a,b,c中至少有一个大于0.
【点评】对于一些命题的条件和结论不明显的先改写成“若p，则q”的形式，然后再由结论的否定（对立面）推出矛盾.
变式题 已知奇函数是定义在R上增函数，若，求证：.
【解】其逆否命题为：已知奇函数是定义在R上增函数，若，则.
又函数是定义在R上的增函数，
又函数是奇函数，所以，故
=
所以.
当堂体验
1. 命题“若，则”的否命题是________．
【答案】若，则或
【解析】 由否命题的概念写出即可，但要注意条件与结论的全盘否定.
2．命题“若，则”的逆否命题是________．
【答案】若，则
【解析】由逆否命题的概念可以写出，注意“>”的否定为“”.
3. 设、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l，m，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．这两个命题中真命题的个数为________．
【答案】0
【解析】利用线线、面面的位置关系来判定. ①中除了平行还可能异面；②由面面垂直的判定需l⊥.
4. 命题“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_______________.
【答案】-3a0
【解析】由题得ax2－2ax－30恒成立，当a=0时，得-30成立；当a≠0时，则a<0且=(-2a)2+12a0,解得-3a<0．所以a的取值范围为-3a0.
课时作业
一、填空题
1．（2009·江西卷改编）下列四个命题：（1）若,则；（2）若,则；（3）若,则；（4）若,则 ．其中是真命题的序号为________．
【答案】（1）
【解析】由得；而由得；由,不一定有意义；而得不到．
2．下列四个命题：（1）若，则；（2）若，则；（3） 若，则；（4）若，则．其中逆命题为真的序号为________．
【答案】（2）
【解析】由题意写出逆命题再判定真假，∵“若，则”的逆命题为“若，则”是真命题，∴（2）符合.
3. 已知直线m、n与平面，给出下列三个命题：
（1）若
（2）若
（3）若
其中真命题的个数是 ________．
【答案】2
【解析】（1）假命题：反例，若m,n相交并且所在的平面与平行，仍有.
（2）真命题，垂直于平面内的所有直线和平面平行的直线.
（3）真命题：因为，过作平面与交于，则，由可得，所以．
所以真命题的个数是2.
4．命题“若，则”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
【答案】2
【解析】由于原命题与逆否命题是等价的，所以真命题的个数一定是成对出现即为偶数.又∵原命题“若，则”为假，其逆命题“若，则”为真，
∴否命题为真，逆否命题为假.
5.有下列四个命题：（1）“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；（2）若“a>b，则”的逆否命题；（3）“若，则”的否命题；（4）“若是无理数，则a、b是无理数”的逆命题.其中真命题的个数是________．
【答案】1
【解析】（1）逆命题“x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题
（2）因为原命题为假，所以其逆否命题为假
（3）否命题“若x>－3，则”，假如x＝4>－3但，
（4）逆命题“若a、b是无理数，则也是无理数”假，如，，
则＝2是有理数.
6.下列四个命题中，真命题的序号有 （写出所有真命题的序号）.
（1）将函数y=的图象按向量=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=;
（2）圆x2+y2+4x+2y+1=0与直线y=相交，所得弦长为2;
（3）若sin(+)= ,sin(－)=,则=5.
【答案】（3）
【解析】（1）错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x+2|;
（2）错误，圆心坐标为（－2，－1），直线y=经过圆心，所以弦长为直径4．
（3）正确，sin(+)=＝sincos＋cossin，sin(－)＝sincos－cossin＝，两式相加，得2 sincos＝，两式相减，得2 cossin＝，故将上两式相除，即得 =5.
7.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我获奖了”，乙说：“甲、丙未获奖”，丙说：“是甲或乙获奖”，丁说：“是乙获奖”．四位歌手的话有两句是对的，则是 歌手获奖.
【答案】甲
【解析】由四个语句有两句是对的，假设甲对则乙不对，丁对与甲对矛盾，所以丙对，又因为只有一位获奖，所以只能甲获奖.
三、解答题
8.把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：
（1）全等三角形的面积相等；
（2）奇数的平方是奇数；
（3）正三角形的三内角相等；
（4）已知a，b，c是实数，若ab，则 a·cb·c.
【解析】（1）若两个三角形全等，则它们的面积相等，为真命题；
（2）若一个数是奇数，则它的平方是奇数，真命题；
（3）若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等，真命题；
（4）已知a,b,c是实数，若ab,则a·cb·c，假命题.
9. 判断命题“已知为实数，如果关于的不等式的解集非空，则”的逆否命题的真假.
【解析】 其逆否命题：若则不等式的解集是空集.
,
又，.
即不等式解集是空集.所以逆否命题是真命题.
10. 已知函数f(x)是上的增函数，a、bR，对命题“若a+b0,则f(a)+f(b) f(-a)+f(-b)”.
（1）写出其逆否命题，判断真假，并证明你的结论；
（2）写出其逆命题，判断真假，并证明你的结论.
【解析】（1）由四种命题定义得原命题的逆否命题为:“若f(a)+f(b)< f(-a)+f(-b),则a+b<0”.真命题.
由于原命题与其逆否命题是等价的，所以可以判断原命题的真假.
∵函数f(x)是上的增函数，又∵对任意的a、bR， 当a+b0时，有a-b,
∴f(a) f(-b),同理可得f(b) f(-a),
∴f(a)+f(b) f(-a)+f(-b)，所以原命题是真命题.
由四种命题间的真假关系可得其逆否命题也为真命题即“若f(a)+f(b)< f(-a)+f(-b),则a+b<0”为真命题.
（2）原命题的逆命题为：“若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0”.真命题.
由于原命题的否命题为：“若a+b0，则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”，
∵函数f(x)是上的增函数，由a+b0可得a-b, ∴f(a)f(-b)
同理可得f(b)f(-a), ∴f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)，
∴原命题的否命题为真命题.
又∵逆命题与否命题是互为逆否命题，∴逆命题也为真命题.
[选做题]
11. 已知c>0,设p:函数y=cx在R上递减；q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R，若这两个命题中有且只有一个真命题，求实数c的取值范围.
【解析】p:函数y=cx在R上递减，所以0
q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R,
设f(x)= x+|x-2c|=，
则f(x)的最小值为2c，即2c>1,c>,
由题意知p,q一真一假，所以
①当p真q假时，得0∴c的取值范围为.
1. 1. 2 充分条件与必要条件
温故知新
1. 探讨下列生活中名言名句的逻辑关系．
（1）水滴石穿 （2）骄兵必败 （3）有志者事竞成
（4）名师出高徒 （5）兔子尾巴长不了 （6）玉不琢，不成器
【答案】由于生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生有不同观点正常，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”.
2. 前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？
（1）若x＝y，则x2＝y2
（2）若ab = 0，则a = 0
（3）若x2>1，则x>1
（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0
【答案】（1）（4）为真，当其中的条件成立，结论一定成立；（2）（3）为假，当其中的条件成立时，结论不一定成立.
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知 识 构 建
知识点一 充分条件与必要条件
1. 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由条件p成立，可以推出结论q成立，记作 pq.
那么就说：p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件.
【疑难点拨】
1.概念的理解：（1）通俗地理解：“充分”就是“足够”的意思；“必要”就是“必须有”的意思.
【想一想】若x>5，则x>3.这里的“x>5”是“x>3”的什么条件？
【答案】这里x>5就是x>3的充分条件.
（2）从推理角度理解：由充分条件、必要条件的定义可知，若pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.所以“p是q的充分条件”还有以下相同意义的说法：若p则q；pq；q是p的必要条件. “p是q的充分条件”与“p是q的充分不必要条件”是不一样的，前者是否为必要条件并不清楚.
（3）从集合的角度理解：对于AB而言：若xA，则xB(是A的，必是B的)，“xA”是“xB”的充分条件，而“xB”是“xA”的必要条件.
2. 充分条件与必要条件的判断
（1）直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）；
（2）利用等价命题关系判断：“pq”的等价命题是“qp”，即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.
知识点二 充要条件
1.如果既有pq，又有qp，就记作pq，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.
【疑难点拨】
1. “p是q”的充要条件还有以下相同意义的说法：①当且仅当p成立时，q成立；②要q成立，必须且只须p成立；③pq.
2. 符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”.
3.按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：
(1)充分不必要条件，即pq，而q p.
(2)必要不充分条件，即：p q，而qp.
(3)既充分又必要条件，即pq，又有qp.
(4)既不充分又不必要条件，即p q，又有q p.
要 点 探 究
类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判定
例1指出下列命题中，p是q的什么条件？（指明是充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）
（1）p:ax2+ax+1>0的解集是R；q：0(2)p:|x-2|<3；q:.
(3)p:A； q:.
（4）p：； q:.
【思路】根据条件p和结论q的结构形式，采用适当的方法判断p是q的什么条件.
【解析】（1）由可得00的解集为R，所以qp；当a=0时，易见p成立，可见p q，所以P是q的必要不充分条件.
（2）p的解集为A={x|-1（3）对于p: AAB; 对于q: AB
∴A .即pq，所以p是q的充要条件.
（4）由，根据同向不等式相加、相乘的性质，有，即pq，
但 ，反例：时，，而,
∴qp, ∴p是q的充分不必要条件.
【点评】（1）涉及方程的解集、不等式的解集、点集等集合相关命题时（如（2）、（3）），采用集合判断法来判别两命题之间的充要性是一个行之有效的方法.
（2）在充要条件的判定中举反例是关键和难点，考虑特殊情况和边界状态是举反例的常用手段.
变式题 （2009·山东卷改编）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的________．
【答案】必要不充分条件
【解】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件．
类型二 充要条件的应用问题
例2 已知方程，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.
【思路】△是方程有实数根的充要条件，但只是方程有两个大于1的实数根的必要非充分条件，因此还需结合实根大于1的性质寻求条件组.
【解析】当△=时，方程有两个实数根 ，
所以，方程有两个大于1的实数根的充要条件为：
解（1），得；解（2），得．
解（3），得 ；解（4），得，即或．
综合（1），（3），（4）得．
方程有两个大于1的实数根的充要条件是．
【点评】寻求结论成立的充分必要条件，实际上寻求等价条件组的一系列等价转换．
变式题 求关于的不等式对于一切实数都成立的充要条件．
【解】“不等式对于一切实数都成立”等价于
.
当堂体验
1. “”是“直线平行于直线”的________．
【答案】充要条件
【解析】当时直线平行于直线,所以是充分条件; 直线平行于直线时有,所以是必要条件,故是充分必要条件.
2．（2009·四川卷改编）已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的________．
【答案】必要而不充分条件
【解析】显然，充分性不成立；若－＞－和＞都成立，则同向不等式相加得＞，即由“－＞－”“＞”．
3.在（1），（2），（3），（4）中，“”的一个必要条件是________．
【答案】（1）
【解析】能推出（1），推不出其它，所以（1）满足．
4.，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的 条件.
【答案】充分而不必要条件
【解析】，是定义在R上的函数，，若“，均为偶函数”，则“为偶函数”；而反之若“为偶函数”，则“，不一定均为偶函数”，所以“，均为偶函数”，是“为偶函数”的充分而不必要条件.
课时作业
一、填空题
1．（2009·安徽卷改编）下列四组条件与结论中，p是q的必要不充分条件的序号是________．
（1）p:＞b+d , q:＞b且c＞d
（2）p:a＞1,b>1 q:的图像不过第二象限
（3）p: x=1, q:
（4）p:a＞1, q: 在上为增函数
【答案】（1）
【解析】由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d推不出＞b且c＞d，可举反例.（2）中是充分不必要条件；（3）是充分不必要条件；（4）是充要条件．
2. （2009·上海春卷改编）在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的________．
【答案】必要不充分条件
【解析】若两条直线平行，则这两条直线没有公共点；反过来，若两条直线没有公共点，则这两条直线可以异面．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件.
3.能成为a>1的必要而不充分条件的序号是________．
①函数f(x)=在上是减函数；②（a－2）2（a－1）>0; ③;④.
A. ①② B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】③④
【解析】当a>1时，一定能够推出，，但当，时却不一定能够推出a>1,所以只有③④能成为a>1的必要而不充分条件.
4. ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是________．
【答案】0【解析】由于二次项系数是字母，因此，首先要对方程ax2+2x+1=0判定是一元一次方程还是一元二次方程.
当a=0时，为一元一次方程，其根为x=,符合要求；
（2）当a0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ0，即4-4a0,从而a1.
又设方程ax2+2x+1=0的两根为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=.
方程ax2+2x+1=0恰有一个负实根的充要条件是
②方程ax2+2x+1=0有两个负实根的充要条件是
综上所述，ax2+2x+1=0至少有一负实根的充要条件是a1.
5.已知都是的必要条件，是的充分条件，则是的 条件，是的 条件，是的 条件．
【答案】充分；充分；必要
【解析】将题目条件借助于推出符号表示为，是的充分条件，是的
充分条件，是的必要条件.
6.设计如图所示的四个电路图，条件：“开关S闭合”；条件q:“灯泡L亮”，则 p是q的
必要不充分条件的序号是________．
【答案】（3）
【解析】图（1）开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定有开关S闭合，
∴pq，但q p，所以p是q的充分不必要条件.
图（2）pq，∴p是q的充要条件.
图（3）开关S,S1,L串联，∴pq, q p，∴p是q的必要不充分条件.
图（4）pq，但q p，所以p是q的充分不必要条件.
三、解答题
7. 已知：；：不都是，p是q的什么条件？
【解析】要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性
从正面很难判断，我们从它们的逆否命题来判断其真假性
“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是，则”真的；
“若q则p”的逆否命题是“若，则x、y都是”假的；
故p是q的充分不必要条件.
8. （2011·盐城高二期末）已知；； 若是的必要非充分条件，求实数的取值范围.
【解析】由，得，由是的必要非充分条件知，是的充分不必要条件，
且（2）（3）等号不能同时取到，
解得，
的取值范围是.
[选做题]
9. 已知数列的前n项和，求数列是等比数列的充要条件.
【解析】，当时，，
因为，所以，
若为等比数列，则，所以，因为，所以p－1＝p＋q，所以，q＝－1，
这是为等比数列的必要条件．再证q＝－1是为等比数列的充分条件
当q＝－1时，，也适合，所以（）.
因此，所求充要条件是q＝－1.
1.2简单的逻辑联结词
温故知新
1. 你知道如何用一个开关控制多个灯泡，多个开关控制一个灯泡吗？
【答案】将灯泡并联或者串联，开关设在主线上，就可以用一个开关控制多个灯泡；将开关并联，灯炮设在主线上，就可以多个开关控制一个灯泡.
2.若，则为真命题若?，则?为 .
【答案】真命题
互动课堂
知 识 构 建
知识点一 p 且q形式的命题
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q,读作“p且q”.
2. 当p、q都为真命题时，p∧q就为真命题；当p、q两个命题中只要有一个命题为假命题时，p∧q就为假命题.
由此可得判断p∧q真假的真值表
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
【疑难点拨】
1.常见表示“且”的词语有“既，又”、“不但，而且”、“及”、“不仅，还”等.
2. 用语言描述p∧q的真假情况，在命题p∧q中只有p、q同真时p∧q才真；p,q中至少有一个为假时，p∧q为假，即同真则真，一假则假.
3.当p∧q为真命题时，p、q都是真命题；当p∧q为假时，p,q中至少有一个假命题.
知识点二 p或q形式的命题
1. 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”.
2. 当p、q两个命题中，只要有一个命题为真命题时，p∨q就为真命题；当p、q两个命题都为假命题时，p∨q才为假命题.
由此可得判断p∨q真假的真值表
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
【疑难点拨】
1.常见表示“或”的词语有“或者”、“要么，要么”、“不是，就是”等.
2. 用语言描述p∨q的真假情况，在命题p∨q中p、q同假时p∨q才为假，p,q中至少有一个真时，p∨q为真，即一真则真，同假才假.
3.当p∨q真命题时，p,q中至少有一个真命题；当p∨q假命题时，p、q都是假命题.
知识点三 “非p”形式的命题
1. 对一个命题p的否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p的否定”.
2. 若p为真命题，则￢p为假命题；若p为假命题，则￢p为真命题.
由此可得判断￢p真假的真值表
p
￢p
真
假
假
真
【疑难点拨】
1. 逻辑联结词“非”（也称为“否定”）的意义是由日常语言中的“不是”、“全盘否定”、“问题的反面”等抽象出来的.
2. 注意命题的否定即非命题与否命题的区别与联系，命题的否定主要是对关键词的否定或结论的否定，并且命题的真假性相反；而否命题是对原命题的条件和结论分别否定，真假性没有必然的联系.
要 点 探 究
类型一 含有逻辑联结词的命题的构成
例1分别指出由下列命题构成的“p∨q”、“ p∧q”、“ ￢p”形式的命题的真假.
（1）p：1是奇数；q：1是质数.
（2）p：0；q：｛x|x2－3x－5<0｝R.
(3)p：55； q：27不是质数.
（4）p：不等式x2+2x－8<0的解集是｛x|－4q：不等式x2+2x－8<0的解集是｛x|x<－4或x>2｝.
【思路】根据或、且、非命题的形式及其真值表直接判断．
【解析】（1）∵1是奇数，∴命题p是真命题，又∵1不是质数，∴命题q是假命题，
因此p∨q为真，p∧q为假，￢p为假.
（2）∵0 ，∴p为假命题.
又∵x2－3x－5<0 ,
∴ ｛x|x2－3x－5<0｝=｛x| ｝R成立.
∴q为真命题.
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，￢p为真命题.
（3）∵P: 55是真命题； q：27不是质数是真命题.
∴p∨q为真命题，p∧q为真命题，￢p为假命题.
（4）∵x2+2x－8<0，∴（x－2）（x+4）<0,即－4∴x2+2x－8<0的解集为｛x|－4∴命题p为真，命题q为假，
∴p∨q为真，p∧q为假，￢p为假.
【点评】判断含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的真假，①弄清构成它的命题p、q的真假；②弄清结构形式；③据真值表判断构成新命题的真假.
变式题 指出下列各命题的构成形式以及构成这一命题的命题.
（1）等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边；
（2）若abc=0,则a,b,c全不为零.
【解】（1）此命题是“p且q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边；q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边.因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题为真命题.
（2）此命题是“非p”的形式，其中p：若abc=0,则a,b,c中至少有一个为零.
类型二 含有逻辑联结词的命题的真假的应用
例2已知：方程有两个不等的负根，：方程没有实根，若或真，且假，求的取值范围．
【思路】正确利用或、且的真假关系判断与的真假，从而得出的取值范围．
【解析】方程有两个不等的负根，，解得
故由知
方程没有实根，∴
又或真，且假，真假或假真．
或得或
【点评】 只有都为真时，为真，否则为假；只有都为假时，为假，否则为真．
变式题 已知，若与都是假命题，则求的取值范围？
【解】与都是假命题，．
∴真时，．
当堂体验
1. 下列结论中：（1）命题p是真命题时，命题“p且q”一定是真命题；（2）命题“p且q”是真命题时，命题p一定是真命题；（3）命题“p且q”是假命题，命题p一定是真命题；
（4）命题p是假命题，命题“p且q”不一定是假命题.
正确的序号是________．
【答案】（2）
【解析】由“p且q”为真时，p和q都必须同时为真可以推断出结论（2）正确.
2．命题“若，则”的否定是________．
【答案】若，则
【解析】“”只否定的结论，命题“若，则”的否定为：若，则．
3.已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题：、 、、，其中为真命题的是________．
【答案】
【解析】由题意得命题为真命题，为假命题，从而上述叙述中只有为真命题.
4.如果命题“非p或非q”是假命题，则下列各结论中： ①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．正确的序号为________．
【答案】①③
【解析】 因为或是假命题，所以、 都是假命题，所以p、 q是真命题，故①③正确．
课时作业
一、填空题
1．“p或 q是假命题”是“非p为真命题”的________．
【答案】充分而不必要条件
【解析】由“p或q是假命题”可得，命题p与命题q均为假命题，则非p为真命题，反之若非p为真命题，不一定有p或q是假命题，于是得“p或q是假命题”是“非p为真命题”的充分而不必要条件.
2.已知：，：，由他们构成的新命题， 中，真命题有________个．
【答案】2
【解析】由题意知命题为真命题，命题为假命题，所以“?”、“”为真命题.
3.已知命题p：点P在直线y=2x－3上；命题q：点P在直线y=－3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的点P的坐标是________．
【答案】（1，－1）
【解析】因为命题“p且q”是真命题，所以p和q都是真命题，所以点P同时在两条直线上，即为两条直线的交点，联立方程易得P（1,－1）.
4.已知命题或，，则是的________条件.
【答案】必要不充分
【解析】或，
又，∴，
是的必要不充分条件．
二、填空题
5. 在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次射击击中飞机”，命题q是“第二次射击击中飞机”，试用p，q以及联结词“或”、“且”、“非”表示下列命题：
（1）命题m：两次都击中飞机 ；
（2）命题n：两次都没击中飞机 ；
（3）命题t：至少有一次击中飞机 .
【答案】（1）p且q; （2）非p且非q (3) p或q
【解析】利用逻辑联结词的同类词，挖掘命题中的“且”、“或”、“非”的关系.
6.已知命题不等式的解集是R，命题在区间上是减函数.若命题“且”是真命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由命题不等式的解集是R为真命题得；
由命题在区间上是减函数为真命题得，即.
∵命题“且”是真命题，∴，即.
三、解答题
7. 已知命题“若则二次方程没有实根”.
(1)写出命题的否命题； (2)判断命题的否命题的真假, 并证明你的结论.
【解析】 (1)命题的否命题为:“若则二次方程有实根”.
(2)命题的否命题是真命题. 证明如下:
二次方程有实根.
∴该命题是真命题.
8. 对命题p：“1是集合｛x|x2【解析】由1是集合｛x|x21,由2是集合｛x|x24,
即使得p,q为真命题的a的取值集合分别为P=｛a|a>1｝,Q=｛a|a>4｝.
当p,q至少有一个为真命题时，“p或q”为真命题，则使“p或q”为真命题的a的取值范围是PQ=｛a|a>1｝;
当p,q都为真命题时，“p且q”才是真命题，则使“p且q”为真命题的a的取值范围是PQ=｛a|a>4｝.
[选做题]
9. 已知a > 0,a≠1,设p:函数y =loga(x+1)在(0,∞)上单调递减;q:曲线y = x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点,如果p且q为假命题,p或q为真命题,求a的取值范围.
【解析】由题意知p与q中有且只有一个为真命题，
当0当a>1，函数在（0，+∞）上不是单调递减；
曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于两点等价于（2a-3）2-4>0，即a<或a>
（1）若p真，q假，则0因此．
（2）若p假,q真,则a>1且“ a<或a>”，所以a>．
综上，a取值范围为[，1)∪(，+∞).
1.３.1量词
温故知新
1. 由命题p：“矩形有外接圆”，q：“矩形有内切圆”组成的命题“p或q”“p且q”“非p”形式的命题中真命题是__________．
【答案】p或q
2. 下列命题中含有哪些量词？
（1）对所有的实数x，都有x2≥0；
（2）存在实数x，满足x2≥0；
（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；
（4）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n.
【答案】（1）中的量词是“所有的”；（2）中的量词是“存在”；（3）中的量词是“至少有一个”；（4）中的量词是“任何”.以上量词表示的是部分或全体.
2. 下列命题中含有哪些量词？
（1）对所有的实数x，都有1-x2≤1；
（2）存在实数x，满足1-x2≤1；
（3）至少有一个实数x，使得x2+2＝0成立；
（4）对于任意实数x，x2+2＝0成立。
【答案】（1）中的量词是“所有的”；（2）中的量词是“存在”；（3）中的量词是“至少有一个”；（4）中的量词是“任意”.以上量词表示的是部分或全体.
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知 识 构 建
知识点一 全称量词
1．“所有”、“任意” 、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号 “”表示“对任意”，含有全称量词的命题，称为全称命题.
2. 将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),… 表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为xM，p(x).读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.
【疑难点拨】
1.全称命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题.由于全称量词表示主词的全部范围，全称量词作为命题的大前提条件，往往可以省略不写.
2.全称量词的等价描述：“所有”、“每一个”、“一切”、“任意”、“凡”等表达意思包含全部的，都可以当作全称量词，并且含有这些短语的命题，都叫做全称命题.
3.在一个全称命题中，可以包含有多个变量，例如xR，yR,（x＋y）（x－y）<0.
4.要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的每个元素验证成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合中一个，使不成立即可.
知识点二 存在量词
1. “有一个”、“有些” 、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,用符号“”表示“存在”.含有存在量词的命题，称为存在性命题.
2.存在性命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可利用符号简记为
x0M,p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.
【疑难点拨】
1. 存在性命题，就是陈述在某集合中有（存在）一些元素具有某性质的命题.
2.常见存在量词的等价描述：如“至少有一个”、“某一个”、“有些”、“存在”等.
3. 一个存在性命题，可以包含多个变量。如R，使sin()=sin+sin.
4.要判定一个存在性命题为真，只要在限定集合中，至少能找到一个，使成立即可；否则为假.
【想一想】1.下列命题中含有哪些量词？并指出命题的类型.
（1）对所有的实数x，都有x2≥0；
（2）存在实数x，满足x2≥0；
（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；
（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；
（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得 s = n × n；
（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有 s = n × n；
【答案】上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词.是全称命题的有⑴⑸，是存在性称命题的有⑵⑶⑷⑹.
要 点 探 究
类型一 判断命题的类型
例1判断下列语句是不是命题，如果是，说明其是全称命题还是存在性命题：
（1）有一个向量，的方向不能确定；
（2）存在一个函数f(x),使f(x)既是奇函数又是偶函数；
（3）对任何实数a,b,c，方程ax2＋bx＋c=0都有解 ；
（4）平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗？
【思路】借助于命题、全称命题、存在性命题的概念来判断.
【解析】（1）（2）（3）都是命题，其（1）（2）是存在性命题，（3）是全称命题.由于对于一条直线和这个平面垂直的真假不能做出判断，因此（4）不是命题.
【点评】判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词，要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.
变式题 将下列命题用量词符号“”或“”表示.
（1） 实数的平方是非负数；
（2） 方程至少存在一个负根；
（3） 若直线垂直于平面内任一直线，则.
【解】（1）R,
（2）
(3) 若，则.
类型二 判断命题的真假
例2判断下列全称命题或存在性命题的真假：
（1）a,b R,a2+b2>2ab.
(2)若a2+b21，则直线ax+by=1与圆x2+y2=1至少有一个公共点.
【思路】（1）可借助于不等式的性质或证明来推断，（2）中直线与圆的交点个数通常利用直线与圆的位置关系即可借助圆心到直线的距离和半径的关系来判断.
【解析】（1）假命题，因为a2+b2－2ab=（a－b）2,所以当a=b时，有a2+b2－2ab=（a－b）2=0，即a2+b2=2ab，a2+b2>2ab不成立.
（2）真命题，因为圆心（0，0）到直线ax+by=1的距离d=,又因为圆的半径为1，所以直线与圆有交点即直线与圆至少有一个公共点.
【点评】对于存在性命题为真的推断只要找出一个元素使命题成立即可，而判断全称命题为真需要严密的推断，判断全称命题为假时举一反例即可.
变式题 若命题p(x)：log2x2－1>0为真命题，则的取值范围是 .
【答案】
【解】由log2x2－1>0，得log2x2>1,∴,∴或x<－,
因此，使p(x)为真命题的x的取值范围为.
当堂体验
1. “经过两条相交直线有且只有一个平面”是________．（回答是否为命题，是全称还是存在性命题）
【答案】全称命题
【解析】题目条件中含有所有的意思，所以是全称命题.
2.给出下列命题：①存在实数x>1，使>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使的根为负数，其中存在性 命题的个数为（ ）
【答案】3
【解析】由存在量词及特称命题的定义知①③④为特称命题.
3.（2009·辽宁卷改编）下列4个命题：；㏒>㏒；㏒ ；㏒．其中的真命题是________．
【答案】
【解析】取x＝,则㏒＝1, ㏒＝log32＜1,正确.
当x∈(0,)时,()x＜1,而㏒ ＞1.正确.
4.用“”符号表示命题：“只要有两数，，，使
，则f（x）在[a，b]上就不是减函数”为 .
【答案】若，，使则f（x）在[a，b]上不是减函数.
【解析】将存在量词改用“”表示即可.
课时作业
一、填空题
1．下列四个命题中是全称命题并且是真命题的序号是________．
（1）每个二次函数的图象都开口向上
（2）对任意非正数c，若，则
（3）存在一条直线与两个相交平面都垂直
（4）存在一个实数x使不等式成立
【答案】（2）
【解析】（1）是全称命题但是假命题，（3）、（4）都是存在性命题.
2.（2010·江苏射阳高二期中）给出以下命题：①x∈R，有；②a∈R，对x∈R使x2＋2x＋a<0,其中真命题的个数为________．
【答案】0
【解析】在①中，当时，不成立，所以①为假命题；在②中由于二次项系数为1>0，所以x2＋2x＋a<0的解集不可能为,②为假命题.
3.设,则以下说法：（1）“R, ”是假命题；（2） 是真命题；（3）“R, ”是假命题；（4）“R, ”是真命题 ．其中错误的序号是________．
【答案】（3）
【解析】（1）中，为假，（1）正确； （2）正确；（3）当时，为真；（4）正确．
4.（2011·盐城模拟）已知命题 “”，命题 “”．若命题“p且q”是真命题，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵命题“p且q”是真命题，∴命题与均为真命题.
∵命题 “”为真时，；
命题 “”为真时，，即或.
∴实数的取值范围是．
5. 对于下列语句
（1） （2）
（3） （4）
其中正确的命题序号是 ．（全部填上）
【答案】（2）（3）
【解析】（1）中由得，,不可能为整数，∴（1）为假命题；
（2）只要中的一个，知其成立，∴（2）为真命题；
（3）中,∴的解集为，∴（3）为真命题；
（4）中,∴的解集不是，∴（4）为假命题.
6．命题①，使 ②对，
③对 ④，使，其中真命题的序号为________．
【答案】③④
【解析】由知①错，④正确；由时，知②错，③正确．
三、解答题
7. 判断下列命题的真假:
(1) N, ;
(2) 若则方程无实根.
(3) 存在两个相交的平面垂直于同一条直线.
【解析】 (1) 为假命题,反例: 不成立;
(2) 为真命题,因为无实根;
(3) 为假命题,因为垂直于同一直线的两个平面互相平行.
8. 若r(x)：sinx＋cosx0,如果对xR,r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围
【解析】 因为r(x)：sinx＋cosx又因为sinx+cosx=,
所以r(x)为假命题时，m.
当命题s(x)：xR ，x2+mx+1>0为真时，有=m2－4<0,所以有－2所以xR,r(x)为假命题且s(x)为真命题时，m的取值范围为－2[选做题]
9. 定义在实数集上的函数f(x),对x，yR,有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)0.
(1)求证：f(0)=1;
(2)求证：y=f(x)是偶函数；
（3）若cR，使f()=0.
①求证对xR,有f(x+c)=－f(x)成立；
②试问函数f(x)是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期；如果不是，请说明理由.
【解析】（1）令x=y=0,则有2f(0)=2f2(0),又∵f(0)0， ∴f(0）=1.
(2)令x=0,则有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y),又∵f(0）=1，∴f(-y)=f(y),
∴y=f(x)是偶函数.
（3）①令x=x+,y=,由题意得f(x+c)+f(x)=2f(x+)f()，又∵f()=0.
∴f(x+c)+f(x)=0，即f(x+c)=－f(x).
②∵f(x+2c)=f((x+c)+c)=－f(x+c)=f(x)，
∴函数f(x)是一个周期函数，且2c为其一个周期.
1.3.2含有一个量词的命题的否定
温故知新
1. 写出下列命题的否定，并判断真假.
（1）
（2）是奇函数；
（3）0是最小的自然数；
（4）梯形的对角线相等且平分.
【答案】
（1）假命题；（2）不是奇函数，假命题；
（3）0不是最小的自然数，假命题；
（4）梯形的对角线不相等或不平分，真命题.
2.回顾否命题与命题的否定的区别与联系．
【答案】否命题是对原命题的条件与结论分别否定；而命题的否定是对原命题的结论进行全盘否定.
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知 识 构 建
知识点一 含有一个量词的全称命题的否定
1. 对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：xM，p(x)，它的否定：xM，（x）.
【疑难点拨】
1.全称命题的否定是存在性命题，所以在写全称命题的否定时，不但要对原命题的关键词进行否定，还要将全称量词换为存在量词.
2.在写一个命题的否定时，要分清这个命题是全称命题还是存在性命题.特别要注意的是,有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不能将它们当成单称命题而将否定写错.例如:质数是奇数.这是一个全称命题:所有质数都是奇数.所以它的否定是:有些质数不是奇数.如果写成“质数不是奇数”就错了.再如:命题“负数的平方都是正数”.如果将命题的否定写成“负数的平方不都是正数”也错了.应写成“存在一个负数，它的平方不是正数”.
知识点二 含有一个量词的存在性命题的否定
1. 对于含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：
存在性 命题：p：xM，p（x），它的否定：xM，（x）
【疑难点拨】
1. 存在性命题的否定是全称命题，所以在写存在性命题的否定时，不但要对关键词进行否定，还要将存在量词换为全称量词.
2.任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；命题的否定是原命题的矛盾命题，两者的真假性相反.
3.常见量词的否定：
词语
是
一定是
都是
大于
小于
且
词语的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
或
词语
必有一个
至少有n个
至多有一个
所有x成立
所有x不成立
能
词语的否定
一个也没有
至多有n-1个
至少有两个
存在一个x不成立
存在一个x成立
不能
要 点 探 究
类型一 全称命题的否定
例1写出下列命题的否定，并判定真假.
（1）所有的正方形都是菱形；
（2）每一个素数都是奇数；
(3）直线平面,则对任意;
(4）.
【思路】首先弄清楚是全称命题还是存在性命题，再针对不同形式加以否定.
【解析】（1）存在一个正方形不是菱形，假命题.
（2）存在一个素数不是奇数，真命题.
(3) 直线平面,则不垂直;假命题.
(4) ．假命题.
【点评】要正确的对含有一个量词的全称命题进行否定,一方面要充分理解量词的含义,另一方面要充分利用原先的命题与它的否定在形式上的联系.
变式题 用符号“”与“”表示下面含有量词的命题，并对命题加以否定：
（1）一切矩形都是平行四边形；
（2）至少有一个质数不是奇数.
【解】（1）矩形是平行四边形，它的否定是：矩形不是平行四边形.
（2）质数不是奇数，它的否定是：质数都是奇数.
类型二 存在性命题的否定
例2写出下列命题的否定.
（1）p：若ab=0，则a,b中至少有一为0．
(2)p：x>1，使x2－2x－3=0.
(3) p：若an=-2n+10,则nN，使Sn<0.
（4）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.
p：、是异面直线，，使.
【思路】根据存在性命题的否定是全称命题的事实,尽量用简洁、自然的语言表述一个含有量词的命题的否定.
【解析】（1）乛p：若ab=0，则a,b中没有一个为0；
（2）乛p：x>1, x2－2x－30.
(3) 乛p：若an=-2n+10, 则nN，Sn0.
（4）乛p：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0.
【点评】在含有一个量词的命题的否定时，除对关键词进行否定外还要注意量词的转换.
变式题 写出下列命题的否定,并判断其真假:
(1) 有一个素数是偶数;
(2) 91;
(3) ，使.
【解】(1) 所有的素数都不是偶数;假命题.
(2) ;真命题.
(3) ；假命题.
当堂体验
1.已知命题，则的否定形式为________．
【答案】
【解析】由命题的否定的概念直接写出即可.
2．“至多有一个”的否定是________．
【答案】至少有两个
【解析】“至多有一个”的含义是“一个也没有或有一个”，所以其否定为“至少有两个”.
3.下列命题的否定不正确的是________．
（1）存在偶数是7的倍数
（2）在平面内存在一个三角形的内角和大于180o
（3）所有一元二次方程在区间[－1，1]内都有近似解
（4）存在两个向量的和的模大于这两个向量的模的和
【答案】（1）
【解析】先写出原命题的否定，注意对所含量词的否定，然后再判断真假.也可先判断给出命题的真假，由命题的否定与原来的命题真假性相反确定．
4. 写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：(m∈R，方程x2+x-m=0必有实根；
（2）q：((R，使得x2+x+1≤0；
【解析】（1）(p：(m∈R，方程x2+x-m=0无实根；真命题.
（2）(q：((R，使得x2+x+1>0；真命题.
课时作业
一、填空题
1．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定________．
【答案】存在一个被5整除的整数不是奇数
【解析】依据全称命题的否定的形式，先是将全称量词换为特称量词，然后再对命题的结论进行否定.
2.命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是________．
【答案】对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根
【解析】将存在量词换成全称量词，再将命题的结论进行否定.
3. 下列命题的否定写法错误的序号是________．
（1）能被3整除的数是奇数; 存在一个能被3整除的数不是奇数
（2）每个四边形的四个顶点共圆; 存在一个四边形的四个顶点不共圆
（3）有的三角形为正三角形; 所有的三角形不都是正三角形
（4）R, ;R,
【答案】（3）
【解析】利用验证法进行验证，（3）中“有些的”否定是“都不是”，故（3）错误.
4.“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的________条件．
【答案】必要不充分
【解析】条件的判断实质是判断命题的真假，可将原命题的真假转化为其逆否命题的真假的判定，∵“a+b=3”是“a=1且b=2”的必要不充分条件，∴“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件．
5. “奇数是质数”的否定是 .
【答案】存在奇数不是质数
【解析】原命题可改写为“任意奇数都是质数”.
6.（2011·盐城模拟）下列结论：
①若命题；命题则命题“”是假命题.
②已知直线l1：
③命题“若”的逆否命题为：“若”.其中正确结论的序号为 .（把你认为正确的命题序号都填上）
【答案】①③
【解析】①中命题、均为真命题，所以命题“”是假命题；②中当时，，所以②的结论错误；③中命题完全符合逆否命题的概念，也正确.
二、解答题
7. 写出下列命题的否命题:
(1) 正方形的四边相等;
(2) 平方和为0的两个实数都为0;
(3) 若三角形是锐角三角形,则三角形的任何一个内角是锐角;
(4) 若,则且.
【解析】(1) 存在一个正方形的四边不全相等;
(2) 平方和为0的两个实数不都为0;
(3) 若是锐角三角形,则某个内角不是锐角;
(4) .
8. 已知命题p：“对，，使”，若命题是假命题，求实数m的取值范围.
【解析】命题是假命题，亦即命题p是真命题，也就是关于x的方程
有实数解，即，令，因为
，所以当时，，因此实数m的取值范围是
[选做题]
9.已知：，恒成立，
在上为单调增函数，
当p、q有且仅有一个为真命题，求m的取值范围．
【解析】∵
所以，
又∵
∴
∵在上为增函数，
∴，即．
p是真命题时；q是真命题时，
因为p、q有且仅有一个为真命题，
所以．
周练一
本试卷分第Ⅰ卷（填空题）（60分）和第Ⅱ卷（解答题）（40分）两部分.共100分.考试时间45分钟．
第Ⅰ卷（填空题 共60分）
一、填空题：本大题共１０小题，每小题6分，共6０分.
1.已知命题：，则为________．
【答案】
【解析】由含有一个量词的否定形式写出即可.
2.函数y = x2 + bx + c是单调函数的充要条件是________．
【答案】
【解析】 要满足条件,就需要,所以.
3.命题“若，则”的逆否命题是________．
【答案】若或，则．
【解析】条件与结论先互换，再分别否定，注意且的否定要改变逻辑联结词.
4. 如果命题“非p为真”，命题“p且q”为假，那么p或q的真假性________．（定或不定）
【答案】不定
【解析】由题意知为假，的真假不确定，所以p或q不一定为真.
5.是“实系数一元二次方程没有实根”的________条件．
【答案】必要不充分
【解析】△＝－4＜0时，－2＜＜2，因为是“－2＜＜2”的必要不充分条件，所以空格填必要不充分.
6．若,下列四个条件：（１）， （２），（３），?（４） ．使成立的一个充分不必要条件的序号是________．
【答案】（４）
【解析】当时，都满足（１）、（２），但是不能得出；
当时，都满足选项（3），但是不能得出.
7.“△中,若,则都是锐角”的否命题为 .
【答案】若,则不都是锐角
【解析】条件和结论都否定.
8.已知A是的内角，则“”是“”的
条件.
【答案】必要而不充分
【解析】由“”可得A=60o或120o，不一定推出；当时，可得A=60o，这时一定有．
9.已知：对，恒成立，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】，，由恒成立可得.
10. 有下列四个命题：
①命题“若，则，互为倒数”的逆命题；
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③命题“若，则有实根”的逆否命题；
④命题“若，则”的逆否命题．
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．
【答案】①②③
【解析】由原命题先写出相关的命题，然后再判断真假，④中由，应该得出，∴④为假.
二、解答题：本大题共3小题，11题12分，12题14分，13题14分.
11. 已知命题：对任意的实数，若，则.写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.
【解析】 逆命题: R, ，，则 ；(假命题)
否命题: R, ；（假命题）
逆否命题: R, ； （真命题）
12.是否存在实数p，使4x+P < 0是的充分条件?如果存在，求出P的取值范围；否则，说明理由．
【解析】由，解得x>2或x<-1，令A=，
由，得B=，
当时，即，即，
此时，
∴当时，的充分条件．
13. 已知下列三个方程：至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围．
【解析】假设三个方程：都没有实数根，则 ，即 ，得
∴所求实数的取值范围 或.
第一章 常用逻辑用语章末总结
单元总结归纳
整合拓展创新
类型一 命题及其关系
学习命题关键是理解命题的构成及逻辑联结词“且”“或”“非”的含义，对于四种命题相关问题的处理首先要弄清每种命题的构造形式，其次要弄清互为逆否命题之间的等价性及等价性在解决相关问题中的应用.对于含逻辑联结词的命题，利用真值表判断真假.对于命题真假的判断、含逻辑联结词的命题的组成结合三角、立体几何、解析几何等知识点的考查是本章考查的重点.
例1“R），则”的逆否命题是________．
【思路】命题结论中的如何否定是关键.
【解析】 是,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:
R),则.
【点评】一个命题结论的否定当条件，条件的否定作结论得到的命题为原命题的逆否命题.
变式题 给出下列四个命题：
①“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆否命题；
②“相似三角形的周长相等”的逆命题；
③“若b-1，则x2-2bx+b2+b=0有实数根”的逆否命题；
④若sin+cos>1,则必定是锐角.
其中真命题的序号是 （请把所有真命题的序号都填上）
【答案】①③
【解析】（1）真命题，因为原命题为真命题，所以其逆否命题为真命题.
（2）假命题，因为“相似三角形的周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”，由相似三角形的判定可知其为假命题.
（3）真命题，因为当b-1时，=（2b）2-4（b2+b）=－4b>0，所以对应的方程有实根成立.
（4）假命题，当=时，sin+cos=>1，但不是锐角，所以此命题为假命题.
例2命题甲：方程的两个相异正根；命题乙：方程无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数的取值范围．
【思路】分别求出使命题甲、乙成立的的取值范围，然后据条件分别求出使甲成立且乙不成立和甲不成立且乙成立的的取值范围，进而得出范围．
【解析】使命题甲成立的条件是,即，
使命题乙成立的条件是，即.
因为命题甲、乙有且只有一个成立，所以或，
所以实数的取值范围为或
【点评】正确理解有且只有一个命题成立是解决本题的关键．
变式题 已知命题且“”与“非”同时为假命题，求的值.
【解析】非为假命题，则为真命题；为假命题，则为假命题，即
，得.
.
类型二 充要条件
对于充要条件的判定始终是高考的热点，易错点，对于充要条件的相关问题的处理经常用“定义法”、“集合法”、“四种命题关系法”、“逆推法”来判断.“充分条件”和“必要条件”是高中数学中重要的概念之一，它讨论“若，则”的命题中的条件和结论的逻辑关系，因此，必须真正弄懂它并善于应用它去分析和解决相关的问题.
例3，若是的必要但不充分条件，求实数的取值范围.
【思路】命题,可以化的更简,由和的关系可以得到与的关系,利用集合的理论方法将问题解决.
【解析】 得：，
.
.
由是的必要但不充分条件知：是的充分但不必要条件，即于是：
，解得.
【点评】利用集合作为逻辑演绎的一个方法，既体现了集合的应用，又能把各种关系清楚地描绘出来.
变式题是下列各小题中，是的充分必要条件的序号是________．
①有两个不同的零点
②是偶函数
③
④
【答案】①④
【解析】（2）由可得，但的定义域不一定关于原点对称；（3）是的既不充分也不必要条件．
高考零距离
1．( 2009·天津卷)命题“存在R，0”的否定是（ ）
A．不存在R, >0 B．存在R, 0
C．对任意的R, 0 D．对任意的R, >0
【思路】含量词命题的否定，首先要将存在性量词变为全称量词，再否定结论。
【解析】命题否定为 “不存在，使”，故选择D。
【点评】含量词命题的否定，全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题。
2．( 2009·浙江卷)已知是实数，则“且”是“且”的（ )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【思路】利用充分、必要条件的判断相互推导、验证，判断命题“若，则”或“若，则”的真假.
【解析】对于“且”可以推出“且”，反之也是成立的故选C.
【点评】条件的判断实质上就是对两个命题的真假性的判断．要说一个命题成立，要能够证明，而要说一个命题不成立，只需要举反例．
3．[2010·湖南卷]下列命题中的假命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】对于B选项x＝1时，，故选B.
【点评】本题含量词命题的真假判断，同时考查指数函数、二次函数、对数函数、正切函数的有关知识，属容易题。
4．[2010·广东卷]“”是“一元二次方程有实数解”的（ ）
A．充分非必要条件 B.充分必要条件
C．必要非充分条件 D.非充分必要条件
【答案】A
【解析】方程有实数解的充要条件为。
【点评】本题考查充分条件与必要条件以及二次方程有解问题，属容易题。
5．[2010·湖北卷]记实数…中的最大数为{…}，最小数为min{…}.已知的三边边长为、、（）,定义它的倾斜度为，则“”是“为等边三解形”的（ ）
A．充分不必要的条件 B．必要不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
【答案】B
【解析】若△ABC为等边三角形，即a=b=c，则，则；若△ABC为不是等边三角形，如a=2,b=2,c=3时，
则，此时仍成立，但△ABC不为等边三角形。所以B正确。
单元测试A
本试卷分第Ⅰ卷（填空题）（60分）和第Ⅱ卷（解答题）（40分）两部分.共100分.考试时间45分钟．
第Ⅰ卷（填空题 共60分）
一、填空题：本大题共10小题，每小题6分，共60分.
1.命题：“两个模相等的向量相等”的否命题为________．
【答案】两个模不相等的向量不相等
【解析】将命题写成如果两个向量的模相等，那么这两个向量相等.然后将条件与结论都否定即得“如果两个向量的模不相等，那么这两个向量不相等”．
2. 下列四个命题
(1)面积相等的两个三角形全等 （2）在实数集内，负数不能开平方 （3）如果m2+n2，那么 （4）一元二次不等式都可化为一元一次不等式组求解．其中正确命题的个数是________．
【答案】1
【解析】 (1)显然不对，（3）中当m，n中有一个为零时可知其不对，（4）当对应一元二次方程没有实根时，无法转化为一元一次不等式组求解.
3.在命题“若a > b，则”及它的逆命题、否命题、逆否命题之中，其中真命题有________个．
【答案】2
【解析】由题意得原命题错误，所以其逆否命题错误；又∵逆命题“若，则a > b”正确，∴其否命题正确.
4. 由“p:8+7=16，q:π＞3”构成的命题中，下列判断：①p或q为真，②p且q为假，③非p为真，其中正确的个数为________．
【答案】3
【解析】由题意知命题p为假，命题q为真，所以 p或q为真，p且q为假，非p为真.
5.对于非零向量， “＋=”是“//”的________条件．
【答案】充分不必要
【解析】由＋=，可得=－，即得//；但//，不一定有=－，所以“＋=”是“//的充分不必要条件.
6. 一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是
________．
【答案】
【解析】一元二次方程有一个正根和一个负根的充要条件是,即.
7. 分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：
命题“非空集A中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是 的形式；命题“非空集AB中的元素是A中元素或B中的元素”是 的形式；命题“非空集CUA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是 的形式．
【答案】p且q,p或q，非p
【解析】由命题的含义知“或”与“并”，“且”与“交”，“非”与“补”同义.
8. 已知、是不同的两个平面，直线，命题无公共点；
命题， 则的 条件．
【答案】必要不充分
【解析】由无公共点推不出所在的平面平行，而当时，、平面内的直线一定无公共点.
9.命题的否定是 .
【答案】
【解析】将全称量词改为存在性量词，然后再对命题的结论进行否定.
10. 已知函数，给出下列四个命题：①为奇函数的充要条件是；②当时，方程的解集一定非空；③方程的解的个数一定不超过2个.
其中所有正确命题的序号是 .
【答案】①②
【解析】①中当为奇函数时，由=－得，当时也有=－，∴为奇函数的充要条件是；
②中时， ，∴方程有解；
③当时，方程的解为1、2、，共有三个，
∴③错误.
二、解答题：本大题共3小题，11题12分，12题14分，13题14分.
11. 命题：已知a、b为实数，若x2+ax+b≤0 有非空解集，则a2－ 4b≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.
【解析】逆命题：已知a、b为实数，若有非空解集.
否命题：已知a、b为实数，若没有非空解集，则
逆否命题：已知a、b为实数，若则没有非空解集.
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.
12.（2011·江苏盐城高二期末）已知,
设p:“函数在(0,+∞)上单调递减”;q:“曲线与x轴交于不同的两点”,如果p且q为假命题,p或q为真命题,求的取值范围.
【解析】若p真，则，
若q真，有，即.
(1) p真q假，则；
(2) q真p假，则；
所以，由(1) (2)得，或.
13. 已知关于x的方程 (1(a)x2+(a+2)x(4=0 a(R 求：
（1） 方程有两个正根的充要条件；
（2）方程至少有一个正根的充要条件.
【解析】（1）方程(1(a)x2+(a+2)x(4=0有两个正实根的充要条件是：
，解得1（2）从（1)知1 当a=1时, 方程化为 3x(4=0有一个正根x=.
方程有一正、一负根的充要条件是：
( ( a<1，
综上，方程(1(a)x2+(a+2)x(4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10.
单元测试B
本试卷分第Ⅰ卷（填空题）（70分）和第Ⅱ卷（解答题）（90分）两部分.共160分.考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（填空题 共70分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．若命题，则┐为________．
【答案】
【解析】含有逻辑联结词“且”的否定，对结论进行否定的同时，将逻辑联结词改为“或”.
2. 有下列四个命题：
①“若 , 则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若 ,则有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题的序号为________．
【答案】①③
【解析】①逆命题为“互为相反数， ”，是真命题；②否命题为“不全等三角形的面积不相等” 为假命题；③若 即,则有实根，为真命题，逆否命题也为真；④逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”是假命题.
3. “”是“”的________条件．
【答案】必要不充分
【解析】当“”时，“”成立；而当“”时，“”.
4. 若命题的逆命题是，否命题是，则命题是命题的________命题．
【答案】逆否命题
【解析】设命题P为“若s，则t”，则命题q为“若t，则s”，命题r为“若?s,则?t”.
所以命题是命题的逆否命题.
5. (2009·临沂一中模拟改编)下列命题错误的序号是________．
①命题“若m>0，则方程x2+x－m=0有实数根”的逆否命题为“若方程x2+x－m=0
无实数根，则m≤0”.
② “x =1”是“x2－3x+2=0”的充分不必要条件.
③若为假命题，则p ，q均为假命题.
④对于命题p：
【答案】③
【解析】利用命题的真假逐一判断，③中若为假命题，只能说明p ，q中至少有一个为假.
6. （2009·安徽卷）“”是“且”的________条件．
【答案】必要不充分
【解析】易得且时必有.若时，则得不到且，比如可能有且.
7. 给出命题：
①若，则x=1或x=2； ②若，则；
③若x=y=0，则； ④，若x＋y是奇数，则x，y中一奇，一偶．
那么①的逆命题、②的否命题、③的逆否命题、④的逆命题中真命题的个数为________．
【答案】3
【解析】先写出原命题的相关命题，然后再判断真假，只有②的否命题是假命题．
8. ∈{－1，3，5}是使不等式22－5－3≥0成立的一个________条件
【答案】充分而不必要
【解析】∵“22－5－3≥0”成立的充要条件为“≤－或≥3”，又∵∈{－1，3，5} 成立时，“≤－或≥3”一定成立，而当“≤－或≥3”成立时，∈{－1，3，5}不成立.所以是充分不必要条件．
9. 已知命题：若平面，平面，则有.命题：若平面上不共线的三点到平面的距离相等，则有.则为________，为________．
【答案】真，假
【解析】由题意知命题不正确，命题正确，所以为真.
10.已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题： ①r是q的充要条件； ②p是q的充分条件而不是必要条件； ③r是q的必要条件而不是充分条件；
④┐p是┑s的必要条件而不是充分条件； ⑤r是s的充分条件而不是必要条件. 则正确命题的序号是________． 【答案】①②④
【解析】由已知有由此得且，①正确，③不正确；，②正确；④等价于，正确；且，⑤不正确.
11. 有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在________盒里．
【答案】银
【解析】∵p=非r，∴p与r一真一假，而p、q、r中有且只有一个真命题，∴q必为假命题，∴非q：“肖像在这个盒子里”为真命题，即：肖像在银盒里．
12．已知实数a>1，命题p：函数y=log（x2+2x+a）的定义域为R，命题q：x2<1是x【答案】真命题
【解析】命题p中=4－4a<0，所以p为真命题；命题q中，由x2<1可以推出x13. 若“或”是假命题，则的范围是___________．
【答案】
【解析】和都是假命题，则.
14. （2009·北京卷理）“”是“”的 条件.
【答案】充分而不必要
【解析】当时，， 反之，当时，有，或，
即或.
第Ⅱ卷（解答题 共90分）
二、解答题：本大题共6小题，15～17题每小题14分，18～20题每小题16分.合计90分.
15. (本小题满分14分)（2009·湛江高二期末）
写出命题，则x = 2且y= 一1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
【解析】逆命题：若x=2且y=-1，则；真命题.
否命题：若，则x≠2或y≠-1；真命题.
逆否命题：若x≠2或y≠-l，则；真命题.
16. （本题满分14分）用反证法证明：若，且，则中至少有一个不于．
【解析】假设都小于，即，则有．
另一方面，由已知有
.
与由假设推得的结论矛盾，∴中至少有一个不小于.
17. （本题满分14分）4名学生参加一次数学竞赛，每人预测情况如下：
甲：如果乙获奖，那么我就没有获奖；乙：甲没有获奖，丁也没有获奖；
丙：甲获奖或者乙获奖；丁：如果丙没有获奖，那么乙获奖．
竞赛结果只有1人获奖，且4人的预测恰有3人正确，请问谁获奖了？
【解析】若甲获奖，则甲、丙对，乙、丁错；若乙获奖，则甲、乙、丙、丁都对；丙若获奖，则甲、乙、丁对，丙错；若丁获奖，则甲对，乙、丙、丁错，因此学生丙获奖了.
18．（本题满分16分）已知二次函数f(x)=ax+x. 对于(x∈［0,1］，|f(x)| ≤1成立，试求实数a的取值范围.
【解析】|f(x)| ≤1(-1≤f(x) ≤1(-1≤ax+x≤1，x∈[0,1] ……①
当x=0时，a≠0，①式显然成立;
当x∈（0，1]时，①式化为--≤a≤-在x∈(0,1] 上恒成立.
设t=，则t∈[1,+∞),则有－t－t≤a≤t-t,所以只须
-2≤a≤0,又a≠0,故-2≤a＜0
综上，所求实数a的取值范围是[-2,0）.
19. （本题满分16分）已知命题：方程在[－1，1]上有解；命题：只有一个实数满足不等式，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
【解析】由得，
显然，
．
“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点，
命题“p或q”是真命题时，
“p或q”是假命题，
的取值范围是.
20. （本题满分16分）求证：关于x的方程x2+2ax+b=0 有实数根，
且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b| ≤4.
【解析】先证明条件的充分性：
①、②知“a≥2且|b|≤4” “方程有实数根，且两根均小于2”.
再验证条件不必要：
∵方程x2－x=0的两根为x1=0, x2=1，则方程的两根均小于2，而a=－<2，
∴“方程的两根小于2” “a≥2且|b|≤4”.
综上，a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.
