人教版七年级数学下册导学案 第五章 相交线与平行线 5.1.2 垂线（第一课时）

人教版七年级数学下册导学案
第五章
相交线与平行线
5.1.2
垂线（第一课时）
【学习目标】
1．理解垂线的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.
2．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理.
【课前预习】
1．点P是直线l外一点，A为垂足，PA⊥l，且PA=5cm，则点P到直线l的距离（
）
A．小于PA=5cm
B．等于PA=5cm
C．大于PA=5cm
D．不确定
2．下列说法中，正确的是（
）
A．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直
B．两直线相交，对顶角互补
C．垂线段最短
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
3．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．下列说法中，不正确的是（
）
A．两直线相交所成的四个角中有两个角相等，则这两条直线互相垂直
B．在同一平面内，经过一已知点能画一条直线和已知直线垂直
C．一条直线可以有无数条垂线
D．在同一平面内，过射线的端点与射线垂直的直线只有一条
5．点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为(
)
A．4cm
B．2cm;
C．小于2cm
D．不大于2cm
6．如图所示，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（
）
A．
B．
C．与互为补角
D．的余角等于
7．如图，直线AB与CD相交于点O，∠BOD=40°，OE⊥AB，则∠COE的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连接，使，P在线段上，连接．若，则线段的长不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
9．甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（　　）
A．只有甲的画法正确
B．只有乙的画法正确
C．甲，乙的画法都正确
D．甲，乙的画法都不正确
10．如图，∠1＝20?，⊥，点、、
在同一条直线上，则∠2的度数为（
）
A．70?
B．20?
C．110?
D．160?
【学习探究】
自主学习
阅读课本，完成下列问题
1．观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边，方格纸的横线与竖线。思考这些给大家什么印象？
2．（如图1）出示相交线模型，演示模型。将两根窄纸条用一根大头针钉在一起.
思考：固定纸条a，转动纸条b，当b
的位置变化时，a、b所成的角α是如何变化的？其中会有特殊情况出现吗？当这种情况出现时，a、b所成的四个角有什么特殊关系？
3．归纳：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相
，其中一条直线叫做另一条直线的
，它们的交点叫做
.
4．垂直用符号
来表示，如直线AB、CD互相垂直，记作：
，读作：
.
互学探究
探究（一）垂线的定义及表示
操作与思考:固定木条a,转动木条,
当b的位置变化时,a、b所成的∠a是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?都是什么角？
结论:当b的位置变化时,∠a从锐角变为钝角,其中∠a是_____角（即：∠a=_____）时是特殊情况；其特殊之处还在于:当∠a是_____角时,它的邻补角,对顶角都是_____角,即a、b所成的四个角都是_____角,都_____度.
垂直的定义：两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____角时，我们称这两条直线__________，其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____。
表示方法：垂直用符号“⊥”来表示，如图，“直线AB垂直于直线CD，
垂足为O”，则记为___________________________________。
垂直的推理应用（即：几何语言）：如右上图
（1）∵∠AOD=90°（
）
（2）∵
AB⊥CD
（
）
∴AB⊥CD
（
）
∴
∠AOD=90°（
）
探究（二）.垂线的性质
动手操作画图：（1）.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
（2）.经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
（3）.经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？
思考：画已知直线的垂线能画几条？经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的几条垂线？
垂线的性质
______________________。
例题
例1.(1)如图1，若直线m、n相交于点O,
∠1＝90°,则______；
(2)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的
度数之比为1∶5，那么∠COA＝____，
∠BOC的补角为______.
例2.如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求
∠AOM和∠NOC的度数．
【课后练习】
1．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．下列选项中，不是运用“垂线段最短”这一性质的是（　　）
A．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离
B．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠
C．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程
D．直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短
3．下列说法中错误的是（
）
A．一个锐角的补角一定是钝角；
B．同角或等角的余角相等；
C．两点间的距离是连结这两点的线段的长度；
D．过直线l上的一点有且只有一条直线垂直于l
4．已知点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4
cm，PB＝5
cm，PC＝2
cm，则点P到直线m的距离为(
)
A．4
cm
B．5
cm
C．小于2
cm
D．不大于2
cm
5．下列命题：①两条直线相交，一角的两邻补角相等，则这两条直线垂直；②两条直线相交，一角与其邻补角相等，则这两条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中正确的个数为（
）．
A．3
B．2
C．1
D．0
6．已知A、B为平面上的2个定点，且AB=5．若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件的直线共有(　　)条．
A．2
B．3
C．4
D．5
7．点A、B、C为直线l上三点，点P为直线l外一点，且PA=3cm，PB=4cm，PC=5cm，则点P到直线l的距离为(
)
A．2cm
B．3cm
C．小于3cm
D．不大于3cm
8．如图，学校举行运动会，A为主席台位置，对面是观众席，甲、乙、丙、丁四位同学分别坐在观众席的点B，C，D，E的位置上，已知B，C，D，E四点在一条直线上，且AD⊥BE，问距离主席台最近的同学是（）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
9．下列说法：①相等的角是对顶角；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③
平行于同一条直线的两条直线互相平行；
④同角或等角的余角相等，其中正确的说法有（
）
A．4
个
B．3
个
C．2
个
D．1
个
10．在直线MN上取一点P，过点P作射线PA，PB，使PA⊥PB，当∠MPA＝40°，则∠NPB的度数是（　　）
A．50°
B．60°
C．40°或140°
D．50°或130°
11．过直线AB上一点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC=50°时，则∠BOD的度数__．
12．运动会上裁判员测量跳远成绩时，先在距离踏板最近的跳远落地点上插上作为标记的小旗，再以小旗的位置为赤字的零点，将尺子拉直，并与踏板边缘所在直线垂直，把尺子上垂足点表示的数作为跳远成绩．这实质上是数学知识____________在生活中的应用．
13．关于垂线，小明给出了下面三种说法：①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直；②这两条直线的交点叫垂足；③直线AB⊥CD，也可以说成CD⊥AB．其中正确的有______（填序号）．
14．两条直线相交组成的4个角中如果有一个角是直角，那么其他3个角也是直角．（______）
15．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使∠COD＝90°，当∠AOC＝50°时，∠BOD的度数是____________．
【参考答案】
【课前预习】
1．B
2．C
3．C
4．A
5．D
6．D
7．B
8．C
9．C
10．C
【课后练习】
1．C
2．C
3．D
4．D
5．C
6．B
7．D
8．C
9．B
10．D
11．40?或140?
12．垂线段最短
13．①③．
14．正确
15．40°或140°