函数y=Asin（ωx+φ）的图象

函数y=Asin（ωx+φ）的图象 （1）
一、知识与技能
1.会用“五点法”画出函数的简图
2.能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到的图象，并在这个过程中认识到函数与的联系；
3.进一步理解表达式，掌握A、φ、ωx＋φ的含义；
4.会由函数的图像讨论其性质；
5.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力；
【教学重点与难点】：
重点：由的图象经过变换得到的图象。
难点：几种变换的先后顺序不同意义也不同
一、复习
1.简述对函数图象的影响作用
2.如何由的图象得到函数的图象？
3.如何用五点法作的图象？
【思考】：函数的图象可以由正弦曲线经过哪些图象变换而得到？画出图象变换的流程图。
例1．若函数表示一个振动量：
（1）求这个振动的振幅、周期、初相；
（2）不用计算机和图形计算器，画出该函数的简图；
（3）根据函数的简图，写出函数的单调减区间。
解：（1）函数的振幅为3，初相为，周期为
（2）方法一：先用“五点法”作出一个周期的图象，列表：
描点画图，然后由周期性，通过左右平移（每次个单位）得到整个图象
作图：（引导学生作图）
方法2：作出正弦曲线，并将曲线上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），即可得到的图象。
上述图象变换的顺序如下：
方法3：作出正弦曲线，并将其向右平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上每一点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），即可得到的图象。
上述图象变换的顺序如下：
（3）由函数的图象可知的单调区间是
【结论】：由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换
途径一：先平移变换再伸缩变换
先将的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得的图象
途径二：先伸缩变换再平移变换
先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得的图象
小结平移法过程（步骤）：
两种方法殊途同归：
四、课堂练习
1.函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
2.函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
3.将函数的图象上所有的点 得到的图象，再将
的图象上的所有点 可得到函数的图象。
4.由函数的图象怎样得到的图象？
5.解不等式：sin(2x＋)≤、 tan(2x＋)<.
6.请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程？
（1） （2）
7.已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只需把C的所有点：横坐标伸长到原来的_____倍，纵坐标_______。
8.已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只需把C的所有点：横坐标伸长到原来的______倍，纵坐标_____。
9.已知函数的图象为C，为了得到函数的图象，只需把C的所有点：向_____平移_______个单位长度
10.将正弦曲线上各点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为________
五、总结
1.本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数y = Asin(wx+)(A>0，w>0)的图像的画法。并通过改变各种变换的顺序而发现：平移变换应在周期变换之前，否则得到的函数图像不是函数的图像由图像的得到。
2.图象的平移步骤，突出A, ω, φ的作用. 注意周期变换 、平移变换次序互换地不同.
（1）正弦曲线变换得到函数的图象——顺序可任意，平移要注意；
常常是平移、周期再振幅；
（2）余弦曲线变换得到函数的图象——作法全相同。
练习
1.由正弦曲线经过怎样的变化可以得出下列函数的图象。
① ②
函数的图象（2）
【学习目标】
1.结合具体实例，了解的实际意义，观察并研究参数A，对函数图象变化的影响，会用“五点法”画出函数的简图；
2.能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到的图象，并在这个过程中认识到与的联系.
【学习重点】函数的图象及参数A，，对函数图象变化的影响
【学习难点】函数图象与正弦曲线的关系
【学习过程】
一、课前准备
正弦函数的图象如何？起关键作用的是哪五个点？
概念巩固：函数的振幅、周期、初相、频率各是多少？
2. 新知探究
问题：如何得出的图象，它的图象与的图象有什么关系？
探究1：作出函数y=sin(x+)与y=sin(x-)的图象，并与y=sinx图象比较
小结：一般地，函数y＝sin(x＋) (其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向_____(当＞0时)或向____ (当＜0时)平移_______个单位而得到（ “左加”“右减”)
y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，决定了函数的相位，这一变换称为相位变换.
探究2：作出函数y=2sinx及y=sinx的图象，并与y=sinx图象比较
小结：一般地，函数y=Asinx(A>0，且A)的图象，可以看做是将函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标变为原来的____倍（横坐标不变）而得到的.由于A体现了函数的振幅，故称这一变换为_______变换.
探究3：作出函数y=sin3x及y=sinx的图象，并与y=sinx图象比较
小结：一般地，函数y=sinωx（）图象可以看做是将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）而得到的.由于ω决定了函数的周期，故称这一变换为__________变换.
函数 的图象，可以看做是将函数y=sinωx的图象上所有点向左（当）或向右（当）平移______个单位长度而得到的.
三、例题分析
例1、作出函数y=2sin(-)的简图，并指出它可以由y=sinx的图象怎样变换得到？
变式：把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为__________________________,再将图像上的所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为___________________________.
(点拨：变换的关键是看x发生了怎样的变化!!!)
例2、若将的图象向右平移个单位得图象，再把上的每一点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得图象，再把上的每一点的纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变）得图象，若的解析式为，则的解析式是_____________________________.
练习：将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移，再保持图象上各点的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)解析式是_________________.
.四、当堂检测
1.已知函数的最大值是3，最小正周期是，初相是，则这个函数的解析式是__________________________.
2.要得到函数的图象，只需将函数的图象________________.
3若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为________________________.
4.把函数y＝cos(3x＋)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是( ). A向右平移 B向左平移 C向右平移 D向左平移
5. 将正弦曲线上各点的______坐标变为原来的____倍，再将所得图象上各点的____坐标变为原来的_____倍，最后将所得图象向______平移_______个单位可得y=3sin2x-1的图象.
回顾反思
的图象可以由y=sinx的图象变换得到（变换时，可以先平移后伸缩，也可以先伸缩后平移）
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
五、课后作业
1.将函数y=sin2x的图象向 平移 个单位，可得到函数y=sin（2x-1）的图象，所得函数周期为 值域为_________________.
2. 一个振动量为 (A>0,ω>0),振幅为，频率为，初相为，
则其解析式=_____________________ .
3.将y=sinx图象上各点的纵坐标变为原来的 ___且将各点的横坐标变为原来的 ______可得y=3sinx的图象.
4.要得到y=sin(3x+)图象，只要将y=cos3x图象经_____________平移得到（填一个即可）
5.下列命题正确的序号是___________①y=Asin(ωx)的最大值为A，最小值为-A；②y=Asin(ωx)周期为；③y=-3sin(4x)的振幅是3，最大值为3，最小值为－3.
6.要得到函数y=cos()的图象，只需将y=sin的图象向_____平移___个单位
7.将y=sinx图象上点的横坐标伸长到原来的2倍，再将图象沿x轴正方向平移π个单位，得到函数解析式是_____________________.
8.将函数的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为_______________.
9.已知函数.
（1）求出其振幅、周期、初相, 用“五点法”画出函数的简图；
（2）指出它可由函数的图象经过哪些变换而得到；
（3）写出函数的单调减区间.
10（选做题）用平移法作y=3cos(x+)-1的图象，（要求基础图象用虚线画，作出一个周期内的图象即可，注意作图要规范），并说明平移过程
函数的图象（3）
【学习目标】1.理解由y=sinx的图象逐步向变换的过程，会用三角函数的图象和性质解决一些简单的问题；
2.会由图象求函数的解析式，解决有关简单的问题；
3.进一步体会数形结合的魅力，体会化归的思想方法.
【学习重点、难点】函数的图象和性质
【学习过程】
一、复习
1.函数的振幅、周期、初相各是多少？它的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换而得到？
2.求函数图象的对称轴和对称中心.
二、典型例题
例1、已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）用五点法作出函数的图象，并说明该函数的图象可以由的图象怎样变换得到？
（3）求函数的最大值及取得最大值时的集合；
（4）求函数的单调递增区间；
例2、如下图是函数f(x)＝Asin(ωx＋)(其中A>0,｜｜＜)的图象的一部分，求f(x)的解析式.
练习、已知点M（，3）是函数（A>0,）的图象的一个最高点，且点N（）是图象上与点M相邻的一个最低点，求此函数的解析式.
小结：由函数的图象（或图象特征）求函数的表达式的一般步骤是:
例3、弹簧挂着的小球上、下振动，它在时间时离开平衡位置（就是静止时的位置）的距离由函数关系式决定：.
（1）以为横坐标，为纵坐标作出函数的图象（）；
（2）求小球开始振动的位置；
（3）经过多长时间，小球往返振动一次？
（4）每秒钟内小球能往返振动多少次？
三、当堂检测
1.已知y=sinx +的最大值为，最小值为，则＝____，=_________.
2.函数y＝Asin(ωx＋) (A>0,>0)的部分图象如图，则该函数的解析式为_________________________.
3.若函数的最大值为5，最小值为-1，则它的振幅为____________.
4.若函数的图象关于直线对称，其中，则的值为_________________.
5.若函数为偶函数，且,则的最大值是_________.
四、课后作业
1.已知函数的图象为C.
（1）为了得到函数的图象，只需把C上的所有点_____________________;
(2) 为了得到函数的图象，只需把C上的所有点_____________________;
(3) 为了得到函数的图象，只需把C上的所有点_____________________;
2. 函数y=sin(2x+)的图象的对称轴方程是__________________________.
3.函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是____________.
4.若函数）的图象关于y轴对称，则=______________________.
5.的增区间为__________ ，对称轴方程为 _______________________.
6.关于函数有下列命题：①其最小正周期为；②其图象可由向右平移个单位长度得到；③其图象关于点对称；④直线是图象的一条对称轴，其中正确的是____________________.
7.若函数是奇函数，则=_______________________________.
8.函数f(x)= x的图象交x轴于相邻的两点A、B，且A、B的距离为1，图象过点（1，），求f(x)的解析式.
9.已知函数的一段图象如图所示.求函数的解析式。
10. 函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b (1)若x∈[,π]时，函数f(x)的值域为[2,5]，求实数a、b的值； (2)若a>0,对于上面解出的f(x),定义域为R时，求该函数的对称轴、对称中心，并说明它可以将y=sinx的图象如何变换得到.
11.(选做题) 若函数有一条对称轴为，且，求的值.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
作y=sinx（长度为2的某闭区间）
得y=sin(x+φ)
得y=sinωx
得y=sin(ωx+φ)
得y=sin(ωx+φ)
得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。
沿x轴平 移|φ|个单位
横坐标 伸长或缩短
横坐标伸 长或缩短
沿x轴平 移||个单位
纵坐标伸 长或缩短
纵坐标伸 长或缩短