2020-2021学年苏科版七年级数学下册7.2探索平行线的性质 平行线的性质自主学习同步训练3（Word版 附答案）

2021年苏科新版七年级数学下册7.2平行线的性质自主学习同步训练3（附答案）
1．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
2．已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．
（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为　
　；
（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为　
　秒时，PB′∥QC′．
3．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点E，F，∠AEF与∠CFE的角平分线交于点P，延长FP交AB于点G，过点G作GQ⊥FG交直线EF于点Q，连接PQ，点M是QG延长线上的一点，且∠PQM＝∠QPM，若PN平分∠FPM交CD于点N，则∠NPQ的度数为　
　．
4．如图，已知AC∥BD，BC平分∠ABD，CE平分∠DCM，且BC⊥CE．则下列结论：①CB平分∠ACD，②AB∥CD，③∠A＝∠BDC，④点P是线段BE上任意一点，则∠APM＝∠BAP+∠PCD．正确的是　
　．
5．如图，∠AEM＝∠DFN＝a，∠EMN＝∠MNF＝b，∠PEM＝∠AEM，∠MNP＝∠FNP，∠BEP，∠NFD的角平分线交于点I，若∠I＝∠P，则a和b的数量关系为　
　（用含a的式子表示b）
6．已知：如图，CD平分∠ACB，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A，∠4＝35°，则∠CED＝　
　．
7．光线在不间介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以水在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，已知EF∥AB∥CD，∠2＝3∠3，∠8＝2∠5+10°，则∠7﹣∠4的结果为　
　度．
8．在6×6的方格纸上，有7个格点已标记，分别为A，B，C，D，E，F，G．从中找出4个点，两个点连一条线，另外两点连一条线，使两条连线平行，则所构造的平行连线可记作：　
　．（格式如：MN∥PQ，用图中的字母表示）
9．如图，已知EF⊥AC于点F，DB⊥AC于点M．∠1＝∠2，∠3＝∠C，若∠ANM＝70°，∠BAN的度数是　
　．
10．探照灯、汽车灯等很多灯具都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB、OC，经灯碗反射以后平行射出，其中∠ABO＝30°，∠BOC＝105°，则∠DCO的度数是　
　．
11．已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP＝∠PQN＝α，PQ平分∠MPN．
（1）如图①，求∠MPQ的度数（用含α的式子表示）；
（2）如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由；
（3）如图③，在（2）的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由．
12．已知，AE∥BD，∠A＝∠D．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，作∠BAE的平分线交CD于点F，点G为AB上一点，连接FG，若∠CFG的平分线交线段AG于点H，求证：∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，若∠ACE＝∠BAC+∠BGM，过点H作HM⊥FH交FG的延长线于点M，且2∠E﹣3∠AFH＝20°，求∠EAF+∠GMH的度数．
13．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　
　；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数．
14．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数．
（3）保特（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
15．如图，已知点E，F为四边形ABDC的边CA的延长线上的两点，连接DE，BF，作∠BDH的平分线DP交AB的延长线于点P．若∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠C．
（1）判断DE与BF是否平行？并说明理由；
（2）试说明：∠C＝2∠P．
16．完成下面的解题过程：
如图，AD∥BC，点F是AD上一点，CF与BA的延长线相交于点E，且∠1＝∠2，∠3＝∠4．CD与BE平行吗？为什么？
解：CD∥BE，理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠4＝　
　（　
　）
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＝　
　（　
　）
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE
（　
　）
即∠BCE＝　
　
∴∠3＝　
　
∴CD∥BE（　
　）
17．如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE（含30°），将三角板ABC（含45°）绕点A顺时针方向旋转一个大小为α的角（0°＜α≤45°），试问：
（1）当∠α＝　
　度时，能使图2中的AB∥DE；
（2）当旋转到AB与AE重叠时（如图3），则∠α＝　
　度；
（3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；
（4）当0°＜α≤45°时，连接BD（如图4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小变化情况，并说明理由．
18．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．
（1）求证：EM∥NG；
（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG＝∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．
19．如图1，点E在直线BH、DC之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠DCE﹣∠HAE＝90°．（1）求证：BH∥CD．
（2）如图2：直线AF交DC于F，AM平分∠EAF，AN平分∠BAE．试探究∠MAN，∠AFG的数量关系．
20．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．
（1）如图1，试说明：∠HMF＝（∠BHP+∠DFP）；
请在下列解答中，填写相应的理由：
解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
∵AB∥CD（已知），
∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4（　
　）
∴∠1+∠2＝∠3+∠4（等式的性质）
即∠HMF＝∠1+∠2．
∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）
∵∠1＝∠BHP，∠2＝∠DFP（　
　）
∴∠HMF＝∠BHP+∠DFP＝（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．
（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；
（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FNQ．
21．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
（1）若∠E＝60°，则∠F＝　
　；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
22．已知，AB∥CD，CF平分∠ECD．
（1）如图1，若∠DCF＝25°，∠E＝20°，求∠ABE的度数．
（2）如图2，若∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，P为射线BE上一点，H为CD上一点，PK平分∠BPH，HN∥PK，HM平分∠DHP，∠DHQ＝2∠DHN，求∠PHQ的度数．
23．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．
（1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝40°，则∠AED＝　
　°；
（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；
（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°，求∠EKD的度数．
24．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．
（1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC；
（2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC＝∠EFC，求∠AEP的度数；
（3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为　
　．
25．已知E、D分别在∠AOB的边OA、OB上，C为平面内一点，DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线．
（1）如图1，若点C在OA上，且FD∥AO，求证：DE⊥AO；
（2）如图2，若点C在∠AOB的内部，且∠DEO＝∠DEC，请猜想∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系，并证明；
（3）若点C在∠AOB的外部，且∠DEO＝∠DEC，请根据图3、图4分别写出∠DCE、∠AEC、∠CDB之间的数量关系（不需证明）．
26．已知：射线OP∥AE
（1）如图1，∠AOP的角平分线交射线AE与点B，若∠BOP＝58°，求∠A的度数．
（2）如图2，若点C在射线AE上，OB平分∠AOC交AE于点B，OD平分∠COP交AE于点D，∠ADO＝39°，求∠ABO﹣∠AOB的度数．
（3）如图3，若∠A＝m，依次作出∠AOP的角平分线OB，∠BOP的角平分线OB1，∠B1OP的角平分线OB2，∠Bn﹣1OP的角平分线OBn，其中点B，B1，B2，…，Bn﹣1，Bn都在射线AE上，试求∠ABnO的度数．
27．（1）如图1，已知直线AB∥CD，点E是AB上方一点，MF平分∠AME，若点G恰好在MF的反向延长线上，且NE平分∠CNG，2∠E与∠G互余，求∠AME的大小．
（2）如图2，在（1）的条件下，若点P是EM上一动点，PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ∥NH，当点P在线段EM上运动时，∠JPQ的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，请说明你的理由．
28．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝80°，AD∥EF，∠1＝∠2，求∠BDG的度数．
29．如图，直线AB，CD被直线BD，DF所截，AB∥CD，FB⊥DB，垂足为B，EG平分∠DEB，∠CDE＝50°，∠F＝25°．
（1）求证：EG⊥BD；
（2）求∠CDB的度数．
30．如图，已知射线CD∥AB，∠C＝∠ABD＝110°，E，F在CD上，且满足∠EAD＝∠EDA，AF平分∠CAE．
（1）求∠FAD的度数；
（2）若向右平行移动BD，其它条件不变，那么∠ADC：∠AEC的值是否发生变化？若变化，找出其中规律；若不变，求出这个比值；
（3）在向右平行移动BD的过程中，是否存在某种情况，使∠AFC＝∠ADB？若存在，请求出∠ADB度数；若不存在，说明理由．
31．请将下列题目的证明过程补充完整：
如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．
证明：连接EF．
∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC＝∠HEC＝90°．
∴FG∥　
　（　
　）．
∴∠3＝∠　
　（　
　）．
又∵∠1＝∠2，
∴　
　＝∠2+∠4，
即∠　
　＝∠EFC．
∴DE∥BC（　
　）．
32．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点M在直线AB，CD之间，连接GM，HM，求证：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线GH是∠BGM的平分线，在MH的延长线上取点N，连接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+∠FGN，求∠MHG的度数．
33．三角形ABC中，D是AB上一点，DE∥BC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．
（1）如图1，求证：CF∥AB；
（2）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数．
34．如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．
35．如图：已知：∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC交CD的延长线于点E，AF平分∠BAD交DC的延长线于点F，若∠ABC＝2∠E，则∠E+∠F＝90°，完成下列推理过程．
证明：
∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（　
　）
∴AD∥BC（　
　）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（　
　）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（　
　）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（　
　）
∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD
∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°
∵AB∥EF（　
　）
∴∠BAF＝∠F（　
　）
∵∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（　
　）
36．如图，点D为线段BC上的一点，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．
（1）AD与EF平行吗？请说明理由；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，∠F＝∠H，那么AD平分∠BAC吗？请说明理由．
37．如图，AF的延长线与BC的延长线交于点E，AD∥BE，∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4＝80°．
（1）求∠CAE的度数；
（2）求证：AB∥DC．
38．如图，AD交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．
（1）证明AD∥EF；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，∠F＝∠H，则∠BAD和∠CAD相等吗？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若FH⊥BC，∠C＝30°，求∠F的度数．
39．如图，已知∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∠D＝80°，∠CBD＝70°．
（1）试说明AB∥CD；
（2）求∠CBA的度数．
40．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠C的度数．
参考答案
1．解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，
而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，
∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，
∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，
在△AEF中，
在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°
故β﹣α＝40°，
而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，
故选：B．
2．解：（1）如图1，当旋转时间30秒时，由已知得∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，
过E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，
∴∠PEQ＝90°，
∴PB′⊥QC′，
故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①当0s＜t≤45时，如图2，则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45+t，
解得，t＝15（s）；
②当45s＜t≤67.5s时，如图3，则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，
即4t﹣180＝180﹣（45+t），
解得，t＝63（s）；
③当67.5s＜t＜135s时，如图4，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t﹣360＝t+45，
解得，t＝135（s）；
综上，当射线PB旋转的时间为15秒或63秒或135秒时，PB′∥QC′．
故答案为：15秒或63秒或135秒．
3．解：设∠PQM＝∠QPM＝x°，
∵PN平分∠MPF，
∴∠MPN＝∠FPN，
设∠MPN＝∠FPN＝y°，
∵∠AEF与∠CFE的角平分线交于点P，
∴∠PEF＝，∠EFP＝，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴∠PEF+∠PFE＝＝90°，
∴∠EPF＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝180°﹣90°＝90°，
∵GQ⊥PF，
∴∠QGP＝90°，
∴∠QGP＝∠EPF，
∴GQ∥EP，
∴∠PQM＝∠QPE＝x°，
∵∠QPE+∠QPM+∠FPN+∠NPM+∠EPF＝360°，
∴x+x+y+y+90＝360，
∴x+y＝135，
即∠QPM+∠NPM＝135°，
∴∠NPQ＝∠QPM+∠NPM＝135°．
4．解：如图，
∵AC∥BD，
∵∠2＝∠3
∵BC平分∠ABD，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∵CE平分∠DCM，
∴∠4＝∠5，
∵BC⊥CE．
∴∠4+∠6＝90°，
∴∠5+∠6＝90°，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠3＝∠6，
∴CB平分∠ACD，故①正确；
∴∠1＝∠6，
AB∥CD，故②正确；
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠BDC，故③正确；
如图，点P是线段BE上任意一点，
∵AB与PC不平行，CD与PM不平行，
∴∠BAP≠∠APC，∠PCD≠∠CPM，
∴∠APM≠∠BAP+∠PCD．故④不正确．
所以正确的是①②③．
故答案为：①②③．
5．解：分别过点P、I作ME∥PH，AB∥GI，
设∠AEM＝2x，∠PNF＝2y，则∠PEM＝x，∠MNP＝y，
∴∠DFN＝2x，
∵PH∥ME，
∴∠EPH＝x，
∵EM∥FN，
∴PH∥FN，
∴∠HPN＝2y，∠EPN＝x+2y，
同理，∠EIF＝，
∵∠EPN＝∠EIF，
∴＝x+2y，
∴，
∴，
故答案为：．
6．解：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠BDC＝180°
∴∠2＝∠BDC
∴EF∥AB
∴∠3＝∠BDE
∵∠3＝∠A
∴∠A＝∠BDE
∴AC∥DE
∴∠ACB+∠CED＝180°
∵CD平分∠ACB，∠4＝35°
∴∠ACB＝2∠4＝2×35°＝70°
∴∠CED＝180°﹣∠ACB＝180°﹣70°＝110°
故答案为：110°．
7．解：∵EF∥AB∥CD，
∴∠4＝∠2，∠5＝∠6，∠7＝∠8，∠4+∠6＝180°，∠3+∠8＝180°，
∴∠4＝180°﹣∠6，∠3＝180°﹣∠8＝180°﹣∠7，
∵∠2＝3∠3，∠8＝2∠5+10°，
∴∠4＝3∠3，∠7＝2∠5+10°＝2（180°﹣∠4）+10°＝2（180°﹣3∠3）+10°＝2[180°﹣3（180°﹣∠7）]+10°，
∴∠7＝142°，
∴∠4＝3∠3＝3（180°﹣∠7）＝114°，
∴∠7﹣∠4＝28°，
故答案为：28．
8．解：如图所示，过A、G两点作直线AG，过C、F两点作直线CF，
根据方格的性质得出：∠1＝∠2，
∵tan∠1＝＝3，tan∠3＝＝3，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AG∥CF，
故答案为：AG∥CF．
9．解：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴∠EFC＝∠DMC＝90°，
∴BD∥FE，
∴∠2＝∠BDC，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BDC，
∴MN∥CD，
∵∠3＝∠C，
∴AB∥CD，
∴MN∥AB，
∴∠BAN+∠ANM＝180°，
∵∠ANM＝70°，
∴∠BAN＝110°，
故答案为：110°．
10．解：过O点作OH∥AB，则∠ABO＝∠HOB＝30°，
∵∠BOC＝105°，
∴∠HOC＝105°﹣30°＝75°，
∵AB∥CD，
∴OH∥CD，
∴∠HOC＝∠DCO＝75°．
故答案为：75°．
11．解：（1）如图①，过点P作PR∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PR，
∴∠AMP＝∠MPR＝α，∠PQN＝∠RPQ＝α，
∴∠MPQ＝∠MPR+∠RPQ＝2α；
（2）如图②，EF⊥PQ，理由如下：
∵PQ平分∠MPN．
∴∠MPQ＝∠NPQ＝2α，
∵QE∥PN，
∴∠EQP＝∠NPQ＝2α，
∴∠EPQ＝∠EQP＝2α，
∵EF平分∠PEQ，
∴∠PEQ＝2∠PEF＝2∠QEF，
∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，
∴2∠EPQ+2∠PEF＝180°，
∴∠EPQ+∠PEF＝90°，
∴∠PFE＝180°﹣90°＝90°，
∴EF⊥PQ；
（3）如图③，∠NEF＝∠AMP，理由如下：
由（2）可知：∠EQP＝2α，∠EFQ＝90°，
∴∠QEF＝90°﹣2α，
∵∠PQN＝α，
∴∠NQE＝∠PQN+∠EQP＝3α，
∵NE平分∠PNQ，
∴∠PNE＝∠QNE，
∵QE∥PN，
∴∠QEN＝∠PNE，
∴∠QNE＝∠QEN，
∵∠NQE＝3α，
∴∠QNE＝（180°﹣∠NQE）＝（180°﹣3α），
∴∠NEF＝180°﹣∠QEF﹣∠NQE﹣∠QNE
＝180°﹣（90°﹣2α）﹣3α﹣（180°﹣3α）
＝180°﹣90°+2α﹣3α﹣90°+α
＝α
＝∠AMP．
∴∠NEF＝∠∠AMP．
12．（1）证明：∵AE∥BD，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠D，
∴∠D+∠B＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点E作EP∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EP，
∴∠PEA＝∠EAB，∠PEC＝∠ECF，
∵∠AEC＝∠PEC﹣∠PEA，
∴∠AEC＝∠ECF﹣∠EAB，
即∠ECF＝∠AEC+∠EAB，
∵AF是∠BAE的平分线，
∴∠EAF＝∠FAB＝EAB，
∵FH是∠CFG的平分线，
∴∠CFH＝∠HFG＝CFG，
∵CD∥AB，
∴∠BHF＝∠CFH，∠CFA＝∠FAB，
设∠FAB＝α，∠CFH＝β，
∵∠AFH＝∠CFH﹣∠CFA＝∠CFH﹣∠FAB，
∴∠AFH＝β﹣α，∠BHF＝∠CFH＝β，
∴∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+∠EAB+2∠AFH＝∠AEC+2α+2（β﹣α）＝∠AEC+2β，
∴∠ECF+2∠AFH＝∠E+2∠BHF；
（3）解：如图，延长DC至点Q，
∵AB∥CD，
∴∠QCA＝∠CAB，∠BGM＝∠DFG，∠CFH＝∠BHF，∠CFA＝∠FAG，
∵∠ACE＝∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ+∠QCA＝∠BAC+∠BGM，
∴∠ECQ＝∠BGM＝∠DFG，
∵∠ECQ+∠ECD＝180°，∠DFG+∠CFG＝180°，
∴∠ECF＝∠CFG，
由（2）问知：∠ECF+2∠AFH＝∠AEC+2∠BHF，∠CFG＝2∠CFH＝2∠BHF，
∴∠AEC＝2∠AFH，
∵2∠AEC﹣3∠AFH＝20°，
∴∠AFH＝20°，
由（2）问知：∠CFM＝2β，∠FHG＝β，
∵FH⊥HM，
∴∠FHM＝90°，
∴∠GHM＝90°﹣β，
过点M作MN∥AB，
∴MN∥CD，
∴∠CFM+∠NMF＝180°，∠GHM＝∠HMN＝90°﹣β，
∴∠HMB＝∠HMN＝90°﹣β，
由（2）问知：∠EAF＝∠FAB，
∴∠EAF＝∠CFA＝∠CFH﹣∠AFH＝β﹣20°，
∴∠EAF+∠GMH＝β﹣20°+90°﹣β＝70°，
∴∠EAF+∠GMH＝70°．
13．解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，
∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，
由（2）可得∠ABD＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠GBF，
设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则
∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，
∴∠AFC＝3α+β，
∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，
∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α＝90°，②
由①②联立方程组，解得α＝15°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．
14．（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F，
∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，
∴∠ACB＝∠CED，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠A＝∠D，
∴∠DFB＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥HN∥CD，
∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE，
∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG＝ABE，
∵AB∥HN，
∴∠2＝∠ABG，
∵CF∥HN，
∴∠2+∠β＝∠3，
∴ABE+∠β＝∠3，
∵DH平分∠EDF，
∴∠3＝EDF，
∴ABE+∠β＝EDF，
∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE），
∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β，
设∠DEB＝∠α，
∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β，
∵∠DEB比∠DHB大60°，
∴∠α﹣60°＝∠β，
∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）
解得∠α＝100°
∴∠DEB的度数为100°；
（3）∠PBM的度数不变，理由如下：
如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠EBM＝∠MBK＝EBK，
∠CDN＝∠EDN＝CDE，
∵ES∥CD，AB∥CD，
∴ES∥AB∥CD，
∴∠DES＝∠CDE，
∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK，
∠G＝∠PBK，
由（2）可知：∠DEB＝100°，
∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°，
∴∠EBK﹣∠CDE＝80°，
∵BP∥DN，
∴∠CDN＝∠G，
∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE，
∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK
＝∠EBK﹣CDE
＝（∠EBK﹣∠CDE）
＝80°
＝40°．
15．解：（1）DE∥BF，
理由是：∵∠3＝∠4，
∴BD∥CE，
∴∠5＝∠FAB，
∵∠5＝∠C，
∴∠C＝∠FAB，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠BGD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BGD，
∴DE∥BF；
（2）∵AB∥CD，
∴∠P＝∠PDH，
∵DP平分∠BDH，
∴∠BDP＝∠PDH，
∴∠BDP＝∠PDH＝∠P，
∵∠5＝∠P+∠BDP，
∴∠5＝2∠P，
∵∠C＝∠5，
∴∠C＝2∠P．
16．解：CD∥BE，理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠4＝∠BCE（两直线平行，同位角相等）
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＝∠BCE（等量代换）
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE
（等式性质）
即∠BCE＝∠ACD
∴∠3＝∠ACD
∴CD∥BE（内错角相等，两直线平行）
故答案为：∠BCE；两直线平行，同位角相等；∠BCE；等量代换；等式性质；∠ACD；∠ACD；内错角相等，两直线平行．
17．解：（1）如图2，当AB∥DE时，∠BAE＝∠E＝30°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
即∠α＝15°，
故答案为：15；
（2）当旋转到AB与AE重叠时，∠α＝∠BAC＝45°，
故答案为：45；
（3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的度数为15°，45°．
①当AB∥DE时，α＝15°；
②当AD∥CB时，α＝45°；
③当DE∥BC时，α＝105°；
④当AE∥BC时，α＝135°；
⑤当AC∥DE时，α＝150°．
又∵0°＜α≤45°，
∴旋转角α的所有可能的度数为15°，45°．
（4）如图4，当0°＜α≤45°时，∠DBC+∠CAE+∠BDE＝105°，保持不变；
理由：设BD分别交AE、AC于点M、N，
在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM＝180°，
∵∠ANM＝∠C+∠DBC，∠AMN＝∠E+∠BDE，
∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC＝180°，
∵∠E＝30°，∠C＝45°，
∴∠DBC+∠CAE+∠BDE＝180°﹣75°＝105°．
18．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AMN+∠CNM＝180°，
∵ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，
∴∠EMN＝∠AMN，∠ENM＝∠MNC，
∴∠EMN+∠ENM＝90°，即∠MEN＝90°，
又∵NG⊥EN，
∴∠MEN+∠ENH＝180°，
∴EM∥NG；
（2）设∠HEG＝x，则∠HGE＝∠MEG＝x，∠NEH＝90°﹣2x，
∵EP平分∠FEH，
∴∠FEH＝2∠PEH＝2（∠PEG+x），
又∵∠FEH+∠HEN＝180°，
∴2（∠PEG+x）+90°﹣2x＝180°，
解得∠PEG＝45°．
19．（1）证明：如图，延长AE交DC于F，
∵AE⊥CE，
∴∠CEF＝90°，
根据三角形的外角性质，∠DCE﹣∠AFD＝∠CEF＝90°，
又∵∠DCE﹣∠HAE＝90°，
∴∠HAE＝∠AFD，
∴BH∥CD；
（2）解：∵AM平分∠EAF，AN平分∠BAE，
∴∠EAM＝∠EAF，∠EAN＝∠BAE＝（∠EAF+∠BAF），
∴∠MAN＝∠EAN﹣∠EAM＝（∠EAF+∠BAF）﹣∠EAF＝∠BAF，
∵BH∥CD，
∴∠BAF＝∠AFG，
∴∠MAN＝∠AFG．
20．解：（1）由MQ∥CD，得到∠1＝∠3，∠2＝∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；
由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1＝∠BHP，∠2＝∠DFP，其依据为：角平分线定义．
故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．
（2）如图2，∵HP⊥EF，
∴∠HPE＝90°，
∴∠EHP+∠HEP＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）
又∵AB∥CD，
∴∠HEP＝∠DFP．
∴∠EHP+∠DFP＝90°．
由（1）得：∠HMF＝（∠EHP+∠DFP）＝×90°＝45°．
（3）如图3，∵NQ⊥FM，
∴∠NFQ+∠FNQ＝180°﹣90°＝90°（三角形的内角和等于180°）．
∴∠NFQ＝90°﹣∠FNQ．
∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，
又∵∠NFQ＝∠NFE+∠QFE＝（∠HFE+∠EFD）＝∠HFD，
∴∠HFD＝2∠NFQ．
又∵AB∥CD，
∴∠EHF+∠HFD＝180°，
∴∠EHF＝180°﹣∠HFD＝180°﹣2∠NFQ＝180°﹣2（90°﹣∠FNQ）＝2∠FNQ，
即无论点H在何处都有∠EHF＝2∠FNQ．
21．解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝120°，
∴∠DFN＝60°，
∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，
∴∠EFD＝∠MEF+60°
∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；
故答案为：90°；
（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝120°，
∴∠DFN＝60°，
∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，
∴∠EFD＝∠MEF+60°，
∴∠EFD＝∠BEF+30°；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，
由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，
设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，
∵FH∥EP，
∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，
∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，
∴∠P＝15°．
22．解：（1）如图1，
过点E作ER∥AB，
∵AB∥CD，
∴ER∥CD，
∵∠DCF＝25°，∠E＝20°，
∵CF平分∠ECD，∴∠DCF＝∠FCE＝25°，
∴∠CER＝∠DCE＝2∠DCF＝50°，
∴∠BER＝∠CER﹣∠CEB＝30°，
∴∠ABE＝∠BER＝30°
答：∠ABE的度数为30°．
（2）如图2，分别过点E、F作AB的平行线ET、FL，
∵∠EBF＝2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，
设∠ABF＝α，则∠EBF＝2α，
∴∠ABE＝3α，∴∠BET＝∠ABE＝3α，
设∠CEB＝β，
则∠DCE＝∠CET＝∠CEB+∠BET＝3α+β，
∵CF平分∠ECD，
∴∠DCF＝∠FCE＝，
∴∠CFL＝，∠BFL＝∠ABF＝α，
∴∠CFB＝∠CFL﹣∠BFL＝，
∴2×+180﹣β＝190，
∴α＝10，
∴∠ABE＝30°．
答：∠ABE的度数为30°．
（3）如图3，过点P作PJ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PJ∥CD，
∵PK平分∠BPH，
∴∠KPH＝∠KPB＝x，
∵HN∥PK，
∴∠NHP＝x，
设∠MHN＝y，
∴∠MHP＝x+y，
∵HM平分∠DHP，
∴∠DHM＝∠MHP＝x+y，
∵∠DHQ＝2∠DHN，
∴∠DHQ＝2（x+y+y）＝2x+4y，
∴∠PHQ＝∠DHQ﹣∠DHP＝（2x+4y）﹣（2x+2y）＝2y，
∴∠HPJ＝∠DHP＝2x+2y，
∴∠BPJ＝∠ABE＝30°＝2y，
∴∠PHQ＝30°
答：∠PHQ的度数为30°．
23．解：（1）如图，延长DE交AB于H，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠AHE＝40°，
∵∠AED是△AEH的外角，
∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+40°＝70°，
故答案为：70；
（2）∠EAF＝∠AED+∠EDG．
理由：∵AB∥CD，
∴∠EAF＝∠EHC，
∵∠EHC是△DEH的外角，
∴∠EHG＝∠AED+∠EDG，
∴∠EAF＝∠AED+∠EDG；
（3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2，
∴设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α，
∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI，
又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°，
∴∠EDK＝α﹣2°，
∵DI平分∠EDC，
∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG，
即3α＝22°+2α﹣4°，
解得α＝18°，
∴∠EDK＝16°，
∴在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°．
24．解：（1）如图1，延长EP交CD于M，
∵AB∥CD，
∴∠AEP＝∠GMP，
∵∠EPG是△PGM的外角，
∴∠EPG＝∠PMG+∠PGC＝∠AEP+∠PGC；
（2）如图1，连接EG，
∵GE平分∠PEF，
∴∠PEG＝∠FEG，
设∠AEP＝α，∠PGC＝β，则∠PGE＝110°﹣α，∠EFG＝2β，
∵AE∥CG，∠AEP+∠PGE＝110°，
∴∠PEG+∠PGC＝180°﹣110°＝70°，即∠PEG＝70°﹣β，
∵∠CGE是△EFG的外角，
∴∠FEG＝∠CGE﹣∠EFG＝β+（110°﹣α）﹣2β＝110°﹣α﹣β，
70°﹣β＝110°﹣α﹣β，
解得α＝40°，
∴∠AEP＝40°；
（3）如图2，∵EF平分∠PEB，
∴可设∠BEF＝∠PEF＝α，
∵AB∥CD，
∴∠GFE＝∠BEF＝α，
∴四边形PGFE中，∠PGF＝360°﹣∠P﹣2α，
∴∠PGC＝180°﹣（360°﹣∠P﹣2α）＝∠P+2α﹣180°，
∵∠EFG是△FGH的外角，
∴∠FGH＝∠EFG﹣∠EHG＝α﹣∠EHG，
又∵QG平分∠PGC，
∴∠PGC＝2∠FGH，
即∠P+2α﹣180°＝2（α﹣∠EHG），
整理可得，∠P+2∠EHG＝180°．
故答案为：∠P+2∠EHG＝180°．
25．解：（1）如图1，∵DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线，
∴∠CDF＝∠CDB，∠CDE＝∠CDO，
∴∠EDF＝（∠CDB+∠CDO）＝90°，
又∵DF∥AO，
∴∠AED＝90°，
∴DE⊥AO；
（2）如图2，连接OC，
∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠CDB是△COD的外角，∠AEC是△COE的外角，
∴∠CDB＝∠COD+∠OCD，∠AEC＝∠EOC+∠ECO，
∴∠CDB+∠AEC＝∠COD+∠OCD+∠EOC+∠ECO＝2∠DCE；
（3）图3中，∠CDB＝∠AEC+2∠DCE；图4中，∠AEC＝∠CDB+2∠DCE．理由：
如图3，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠CDB是△ODG的外角，
∴∠CDB＝∠DOG+∠DGO，
∵∠DGO是△CEG的外角，
∴∠DGO＝∠AEC+∠C，
∴∠CDB＝∠DOG+∠AEC+∠C＝∠AEC+2∠DCE；
如图4，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠AEC是△OEH的外角，
∴∠AEC＝∠DOE+∠OHE，
∵∠OHE是△CDH的外角，
∴∠OHE＝∠CDB+∠C，
∴∠AEC＝∠DOE+∠CDB+∠C＝∠CDB+2∠DCE．
26．解：（1）如图1，∵OP∥AE，
∴∠A＝∠1，
∵∠BOP＝58°，OB是∠AOP的角平分线，
∴∠AOP＝2∠BOP＝116°
∴∠1＝180°﹣116°＝64°，
∴∠A＝∠1＝64°；
（2）如图2，
∵OP∥AE，
∴∠POD＝∠ADO＝39°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB＝∠BOC，
∵OD平分∠COP，
∴∠COP＝2∠DOP＝78°，
∴∠ABO﹣∠AOB＝∠COP＝78°；
（3）如图3，由（1）可知，∠ABO＝（180°﹣m），∠AB1O＝（180°﹣∠OBB1）＝∠ABO＝（180°﹣m），∠AB2O＝（180°﹣m），…
则∠ABnO＝．
27．解：（1）如图，设FG与NE交点为H点，AB与NE的交点I，
在△HNG中，∵∠G+∠HNG+∠NHG＝180°
∴∠HNG＝∠AIE＝∠IHM+∠IMH＝（∠E+∠EMF）+∠IMH＝∠E+（∠EMF+∠IMH
）＝∠E+∠AME
∠NHG＝∠IHM＝∠E+∠EMF＝∠E+∠AME
∴∠G+∠HNG+∠NHG＝∠G+（∠E+∠AME）+（∠E+∠AME）＝180°
（∠G+2∠E）+∠AME＝180°，即90°+∠AME＝180°，
∴∠AME＝60°；
（2）∠JPQ的度数不改变，
∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，
∴∠JPQ＝∠JPN﹣∠MPN
＝（∠ENC﹣∠MPN）
＝（∠AOE﹣∠MPN）
＝∠AME
＝30°．
28．解：∵AD∥EF，
∴∠2＝∠DAC，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DAC，
∴∠GD∥AC，
∴∠BAG＝∠C，
∵∠BAC＝80°，∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠C＝50°，
∴∠BDG＝50°．
29．解：（1）∵AB∥CD，∠CDE＝50°，
∴∠BED＝∠CDE＝50°，
∵EG平分∠DEB，
∴∠DEG＝25°，
∵∠F＝25°，
∴∠F＝∠DEG＝25°，
∴BF∥EG，
∵FB⊥BD，
∴EG⊥BD；
（2）由（1）得∠FBE＝∠BEG＝25°，
∵∠FBD＝90°，
∴∠EBD＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝115°．
30．解：（1）∵射线CD∥AB，∠C＝110°，
∴∠CAB＝70°，∠BAD＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAD＝∠BAD＝∠EAB．
∵AF平分∠CAE，
∴∠FAD＝∠FAE+∠EAD＝∠CAB＝×70°＝35°；
（2）不变．
∵AB∥CD，∠C＝110°，
∴∠CAB＝70°．
当BD向右平移时，∠EAD增大，∠CAB不变，
∵∠EAD＝∠EDA，∠AEC＝∠EAD+∠EDA，
∴∠ADC：∠AEC＝1：2；
（3）存在．
设∠BAD＝∠EAD＝∠EDA＝x°，
∵由（1）知∠FAD＝35°，
∴∠AFC＝x°+35°．
∵AB∥CD，∠ABD＝110°，
∴∠BDC＝70°，
∴∠ADB＝70°﹣x°，
∵∠AFC＝∠ADB，
∴x°+35°＝70°﹣x°，解得x＝17.5°，
∴∠ADB＝70°﹣17.5°＝52.5°．
31．证明：连接EF．
∵FG⊥AC，HE⊥AC，
∴∠FGC＝∠HEC＝90°．
∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠4，
即∠DEF＝∠EFC．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：HE，同位角相等，两直线平行；4，两直线平行，内错角相等；∠1+∠3，DEF，内错角相等，两直线平行．
32．（1）证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠EGF＝∠AEG+∠GFC；
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
∴，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵，
∴，
∴∠FGN＝2β，
过点N作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CGH＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CGH＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．
33．（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠BCF+∠ADE＝180°．
∴∠BCF+∠B＝180°．
∴CF∥AB；
（2）解：如图2，过点E作EK∥AB，
∴∠BEK＝∠ABE＝40°，
∵CF∥AB，
∴CF∥EK，
∴∠CEK＝∠ACF＝60°，
∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°；
（3）∵BE平分∠ABG，
∴∠EBG＝∠ABE＝40°，
∵∠EBC：∠ECB＝7：13，
∴设∠EBC＝7x°，则∠ECB＝13x°，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠EBC＝7x°，∠AED＝∠ECB＝13x°，
∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，
∴13x+7x+100＝180，
解得x＝4，
∴∠EBC＝7x°＝28°，
∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG，
∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣28°＝12°．
34．（1）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE＝∠CEA，
∴∠CEA＝∠BAE，
∴AB∥CD；
（2）证明：过F作FM∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥FM∥CD，
∴∠BAF+∠AFE＝180°，∠DEF+∠EFM＝180°，
∴∠BAF+∠AFM+∠DEF+∠EFM＝360°，
即∠BAF+∠AFE+∠DEF＝360°；
（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°，
∵∠GEF＝∠C，∠GED＝2∠GEF，
∴∠GED＝2x°，
∵AB∥CD，
∴∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣x°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝BAC＝（180°﹣x°）＝90°﹣x°，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AEF＝35°，
∴90﹣x+x﹣35+2x＝180，
解得：x＝50，
即∠C＝50°．
35．证明：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°
∴∠ADF＝∠BCF（同角的补角相等）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
∵BE平分∠ABC
∴∠ABC＝2∠ABE（角平分线定义）
又∵∠ABC＝2∠E
∴∠ABE＝∠E
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）
∵AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
BE平分∠ABC，AE平分∠BAD
∴∠ABE＝∠ABC，∠BAF＝∠BAD
∴∠ABE+∠BAF＝∠ABC+∠BAD＝×180°＝90°
∵AB∥EF（己证）
∴∠BAF＝∠F（两直线平行，内错角相等）
∠ABE＝∠E
∴∠E+∠F＝90°（等量代换）
36．解：（1）AD∥EF，
理由：∵∠BDA+∠CEG＝180°，∠BDA+∠CDA＝180°，
∴∠CEG＝∠CDA，
∴AD∥EF；
（2）AD平分∠BAC，
理由：∵∠EDH＝∠C，
∴DH∥AC，
∴∠H＝∠EGC，
∵∠F＝∠H，
∴∠F＝∠EGC，
∵AD∥EF，
∴∠BAD＝∠F，∠CAD＝∠EGC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
37．（1）解：∵AD∥BE，
∴∠CAD＝∠3，
∵∠2+∠CAE＝∠CAD，∠3＝80°，
∴∠2+∠CAE＝80°，
∵∠2＝30°，
∴∠CAE＝50°；
（2）证明：∵∠2+∠CAE＝∠CAD＝∠3，
∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠CAE＝∠4，
即∠BAE＝∠4，
∴AB∥DC．
38．解：（1）证明：∵∠BDA+∠CEG＝180°，∠BDA+∠ADC＝180°．
∴∠ADC＝∠CEG，
∴AD∥EF；
（2）∠BAD和∠CAD相等，理由如下：
∵∠EDH＝∠C，
∴DH∥AC，
∴∠H＝∠CGH，
∵∠CGH＝∠AGF，
∴∠H＝∠AGF，
∵∠F＝∠H，
∴∠F＝∠AGF，
∵AD∥EF，
∴∠BAD＝∠F，∠CAD＝∠AGF，
∴∠BAD＝∠CAD；
（3）∵FH⊥BC，
∴∠CEG＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CGE＝90°﹣30°＝60°，
∴∠F＝∠AGF＝∠CGE＝60°．
39．（1）证明：∵∠A+∠3＝180°，
∴AE∥GF，
∴∠2＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠A，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∴∠D+∠CBD+∠CBA＝180°，
∵∠D＝80°，∠CBD＝70°，
∴∠CBA＝180°﹣∠D﹣∠CBD
＝180°﹣80°﹣70°
＝30°．
40．解：（1）证明：∵FG∥AE，
∴∠FGC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠FGC，
∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠D＝112°，
∴∠ABD＝180°﹣112°＝68°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝ABD＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝34°．
所以∠C的度数为34°