新课程标准高中数学训练题（选修2-1）含答案

（数学选修2-1）第一章 常用逻辑用语
[基础训练A组]
一、选择题
1．下列语句中是命题的是（ ）
A．周期函数的和是周期函数吗？ B．
C． D．梯形是不是平面图形呢？
2．在命题“若抛物线的开口向下，则”的
逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）
A．都真 B．都假 C．否命题真 D．逆否命题真
3．有下述说法：①是的充要条件. ②是的充要条件.
③是的充要条件.则其中正确的说法有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
4．下列说法中正确的是（ ）
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“”与“ ”不等价
C．“,则全为”的逆否命题是“若全不为, 则”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
5．若, 的二次方程的一个根大于零,
另一根小于零,则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
1．命题：“若不为零，则都不为零”的逆否命题是 。
2．是方程的两实数根；,
则是的 条件。
3．用“充分、必要、充要”填空：
①为真命题是为真命题的_____________________条件；
②为假命题是为真命题的_____________________条件；
③, , 则是的___________条件。
4．命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是_______。
5．“”是“有且仅有整数解”的__________条件。
三、解答题
1．对于下述命题，写出“”形式的命题，并判断“”与“”的真假：
（其中全集，，）.
有一个素数是偶数；.
任意正整数都是质数或合数；
三角形有且仅有一个外接圆.
2．已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围。
3．若，求证：不可能都是奇数。
4．求证：关于的一元二次不等式对于一切实数都成立的充要条件是
（数学选修2-1）第一章 常用逻辑用语
[综合训练B组]
一、选择题
1．若命题“”为假，且“”为假，则（ ）
A．或为假 B．假
C．真 D．不能判断的真假
2．下列命题中的真命题是（ ）
A．是有理数 B．是实数
C．是有理数 D．
3．有下列四个命题：
①“若 , 则互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若 ,则有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；
其中真命题为（ ）
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
4．设，则是 的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．命题：“若，则”的逆否命题是（ ）
若，则
若，则
若，则
若，则
6．若,使成立的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
二、填空题
1．有下列四个命题：
①、命题“若，则，互为倒数”的逆命题；
②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若，则有实根”的逆否命题；
④、命题“若，则”的逆否命题。
其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）。
2．已知都是的必要条件，是的充分条件,是的充分条件，
则是的 ______条件，是的 条件，是的 条件.
3．“△中,若,则都是锐角”的否命题为 ；
4．已知、是不同的两个平面，直线，命题无公共点；
命题， 则的 条件。
5．若“或”是假命题，则的范围是___________。
三、解答题
1．判断下列命题的真假：
（1）已知若
（2）
（3）若则方程无实数根。
（4）存在一个三角形没有外接圆。
2．已知命题且“”与“非”同时为假命题，求的值。
3．已知方程,求使方程有两个大于的实数根的充要条件。
4．已知下列三个方程：至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围。
（数学选修2-1）第一章 常用逻辑用语
[提高训练C组]
一、选择题
1．有下列命题：①年月日是国庆节，又是中秋节；②的倍数一定是的倍数；
③梯形不是矩形；④方程的解。其中使用逻辑联结词的命题有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．设原命题：若，则 中至少有一个不小于，则原命题与其逆命题
的真假情况是（ ）
A．原命题真，逆命题假 B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
3．在△中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
5．设集合,那么“,或”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．命题若，则是的充分而不必要条件；
命题函数的定义域是，则（ ）
A．“或”为假 B．“且”为真
C．真假 D．假真
二、填空题
1．命题“若△不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题 是 ；
2．用充分、必要条件填空：①是的
②是的
3.下列四个命题中
①“”是“函数的最小正周期为”的充要条件；
②“”是“直线与直线相互垂直”的充要条件；
③ 函数的最小值为
其中假命题的为 （将你认为是假命题的序号都填上）
4．已知，则是的__________条件。
5．若关于的方程.有一正一负两实数根，
则实数的取值范围________________。
三、解答题
1．写出下列命题的“”命题：
（1）正方形的四边相等。
（2）平方和为的两个实数都为。
（3）若是锐角三角形， 则的任何一个内角是锐角。
（4）若，则中至少有一个为。
（5）若。
2．已知； 若是的必要非充分条件，求实数的取值范围。
3．设，
求证：不同时大于.
4.命题方程有两个不等的正实数根，
命题方程无实数根。若“或”为真命题，求的取值范围。
（数学选修2-1）第二章 圆锥曲线
[基础训练A组]
一、选择题
已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，
则到另一焦点距离为（ ）
A． B． C． D．
2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
3．动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
4．设双曲线的半焦距为，两条准线间的距离为，且，
那么双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（ ）。
A． B． C． D．
二、填空题
1．若椭圆的离心率为，则它的长半轴长为_______________.
2．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________。
3．若曲线表示双曲线，则的取值范围是 。
4．抛物线的准线方程为＿＿＿＿＿.
5．椭圆的一个焦点是，那么 。
三、解答题
1．为何值时，直线和曲线有两个公共点？有一个公共点？
没有公共点？
2．在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。
3．双曲线与椭圆有共同的焦点，点是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。
4．若动点在曲线上变化，则的最大值为多少？
（数学选修2-1）第二章 圆锥曲线
[综合训练B组]
一、选择题
1．如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．以椭圆的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
3．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，
则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
4． 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且∠，则
Δ的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆的圆心的抛物线的方程是（ ）
A．或 B．
C．或 D．或
6．设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
1．椭圆的离心率为，则的值为______________。
2．双曲线的一个焦点为，则的值为______________。
3．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______。
4．对于抛物线上任意一点，点都满足，则的取值范围是____。
5．若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是_________．
6．设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，为的中点，为坐标原点，
则____________。
三、解答题
1．已知定点，是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点，
使取得最小值。
2．代表实数，讨论方程所表示的曲线
3．双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程。
已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，
求抛物线的方程。
（数学选修2-1）第二章 圆锥曲线
[提高训练C组]
一、选择题
1．若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．椭圆上一点与椭圆的两个焦点、的连线互相垂直，
则△的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在
抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．若直线与双曲线的右支交于不同的两点，
那么的取值范围是（ ）
A．（） B．（） C．（） D．（）
6．抛物线上两点、关于直线对称，
且，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．椭圆的焦点、，点为其上的动点，当∠为钝角时,点横坐标的取值范围是 。
2．双曲线的一条渐近线与直线垂直，则这双曲线的离心率为___。
3．若直线与抛物线交于、两点，若线段的中点的横坐标是，则______。
4．若直线与双曲线始终有公共点，则取值范围是 。
5．已知，抛物线上的点到直线的最段距离为__________。
三、解答题
1．当变化时，曲线怎样变化？
2．设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，
求△的面积。
3．已知椭圆，、是椭圆上的两点，线段的垂直
平分线与轴相交于点.证明：
4．已知椭圆，试确定的值，使得在此椭圆上存在不同
两点关于直线对称。
（数学选修2-1） 第三章 空间向量与立体几何
[基础训练A组]
一、选择题
1．下列各组向量中不平行的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知点，则点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．若A，B，C，则△ABC的形状是（ ）
A．不等边锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5．若A，B，当取最小值时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
6．空间四边形中，，，
则<>的值是（ ）
A． B． C．－ D．
二、填空题
1．若向量，则__________________。
2．若向量，则这两个向量的位置关系是___________。
3．已知向量，若，则______；若则______。
4．已知向量若则实数______，_______。
5．若，且，则与的夹角为____________。
6．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则________________。
7．已知空间四边形，点分别为的中点，且，用，，表示，则=_______________。
8．已知正方体的棱长是，则直线与间的距离为 。
空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1）
1．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。
证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
.
（Ⅰ）证明：因
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.
（Ⅱ）解：因
（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使
要使
为
所求二面角的平面角.
2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,
平面底面．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．
证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.
（Ⅰ）证明：不防设作，
则， ，
由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直. ∴平面.
（Ⅱ）解：设为中点，则，
由
因此，是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小为
3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，
侧棱底面，，，，
为的中点.
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离.
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则的坐标为、
、、、
、，
从而
设的夹角为，则
∴与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则
，由面可得，
∴
即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.
4．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中
.
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，
设.
∵为平行四边形，
（II）设为平面的法向量，
的夹角为，则
∴到平面的距离为
5．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为.
解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则
（1）
（2）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，所以点到平面的距离为
（3）设平面的法向量，∴
由 令，
∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴时，二面角的大小为.
6．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：
（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.
解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系.
由于，
在三棱柱中有
,
设
又侧面，故. 因此是异面直线的公垂线，
则，故异面直线的距离为.
（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.
7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上
一点，. 已知
求（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的大小.
解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为
轴建立空间直角坐标系.
由已知可得
设
由，
即 由，
又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线
,的距离为.
（Ⅱ）作，可设.由得
即作于，设，
则
由，
又由在上得
因故的平面角的大小为向量的夹角.
故 即二面角的大小为
（数学选修2-1） 第一章 常用逻辑用语 [基础训练A组]
一、选择题
1．B 可以判断真假的陈述句
2．D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题
3．A ①，仅仅是充分条件
② ，仅仅是充分条件；③，仅仅是充分条件
4．D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性
5．A ，充分，反之不行
6．A ，
，充分不必要条件
二、填空题
1．若至少有一个为零，则为零
2．充分条件
3．必要条件；充分条件；充分条件，
4． 恒成立，当时，成立；当时，
得；
5．必要条件 左到右来看：“过不去”，但是“回得来”
三、解答题
1．解：（1） ；真，假；
（2） 每一个素数都不是偶数；真，假；
（3） 存在一个正整数不是质数且不是合数；假，真；
（4） 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。
2．解：
而，即。
3．证明：假设都是奇数，则都是奇数
得为偶数，而为奇数，即，与矛盾
所以假设不成立，原命题成立
4．证明：恒成立
（数学选修2-1） 第一章 常用逻辑用语 [综合训练B组]
一、选择题
1．B “”为假，则为真，而（且）为假，得为假
2．B 属于无理数指数幂，结果是个实数；和都是无理数；
3．C 若 , 则互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；
“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等相等” 为假命题；
若 即,则有实根，为真命题
4．A ，“过得去”；但是“回不来”，即充分条件
5．D 的否定为至少有一个不为
6．D 当时，都满足选项，但是不能得出
当时，都满足选项，但是不能得出
二、填空题
1．①，②，③ ，应该得出
2．充要，充要，必要
3．若,则不都是锐角 条件和结论都否定
4．必要 从到，过不去，回得来
5． 和都是假命题，则
三、解答题
1．解：（1）为假命题，反例：
（2）为假命题，反例：不成立
（3）为真命题，因为无实数根
（4）为假命题，因为每个三角形都有唯一的外接圆。
2．解：非为假命题，则为真命题；为假命题，则为假命题，即
，得
3．解：令，方程有两个大于的实数根
即
所以其充要条件为
4．解：假设三个方程：都没有实数根，则 ，即 ，得
。
（数学选修2-1） 第一章 常用逻辑用语 [提高训练C组]
一、选择题
1．C ①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④ 中有“或”
2．A 因为原命题若，则 中至少有一个不小于的逆否命题为，若都小于，则显然为真，所以原命题为真；原命题若，则 中至少有一个不小于的逆命题为，若 中至少有一个不小于，则，是假命题，反例为
3．B 当时，，所以“过不去”；但是在△中，
，即“回得来”
4．B 一次函数的图象同时经过第一、三、四象限
，但是不能推导回来
5．A “,或”不能推出“”，反之可以
6．D 当时，从不能推出，所以假，显然为真
二、填空题
1．若△的两个内角相等，则它是等腰三角形
2．既不充分也不必要，必要 ①若，
②不能推出的反例为若，
的证明可以通过证明其逆否命题
3．①，②，③ ①“”可以推出“函数的最小正周期为”
但是函数的最小正周期为，即
② “”不能推出“直线与直线相互垂直”
反之垂直推出；③ 函数的最小值为
令
4．充要
5．
三、解答题
1．解（1）存在一个正方形的四边不相等；（2）平方和为的两个实数不都为；
（3）若是锐角三角形， 则的某个内角不是锐角。
（4）若，则中都不为；
（5）若。
2．解：
是的必要非充分条件，，即。
3．证明：假设都大于，即
，而
得
即，属于自相矛盾，所以假设不成立，原命题成立。
4．解：“或”为真命题，则为真命题，或为真命题，或和都是真命题
当为真命题时，则，得；
当为真命题时，则
当和都是真命题时，得
（数学选修2-1） 第二章 圆锥曲线 [基础训练A组]
一、选择题
1．D 点到椭圆的两个焦点的距离之和为
2．C
得，或
3．D ，在线段的延长线上
4．C
5．B ，而焦点到准线的距离是
6．C 点到其焦点的距离等于点到其准线的距离，得
二、填空题
1． 当时，；
当时，
2． 设双曲线的方程为，焦距
当时，；
当时，
3．
4．
5． 焦点在轴上，则
三、解答题
1．解：由，得，即
当，即时，直线和曲线有两个公共点；
当，即时，直线和曲线有一个公共点；
当，即时，直线和曲线没有公共点。
2．解：设点，距离为，
当时，取得最小值，此时为所求的点。
3．解：由共同的焦点，可设椭圆方程为；
双曲线方程为，点在椭圆上，
双曲线的过点的渐近线为，即
所以椭圆方程为；双曲线方程为
4．解：设点，
令，，对称轴
当时，；当时，
（数学选修2-1） 第二章 圆锥曲线 [综合训练B组]
一、选择题
1．D 焦点在轴上，则
2．C 当顶点为时，；
当顶点为时，
3．C Δ是等腰直角三角形，
4．C
5．D 圆心为，设；
设
6．C 垂直于对称轴的通径时最短，即当
二、填空题
1． 当时，；
当时，
2． 焦点在轴上，则
3．
中点坐标为
4． 设，由得
恒成立，则
5． 渐近线方程为，得，且焦点在轴上
6． 设，则中点，得
，，
得即
三、解答题
1．解：显然椭圆的，记点到右准线的距离为
则，即
当同时在垂直于右准线的一条直线上时，取得最小值，
此时，代入到得
而点在第一象限，
2．解：当时，曲线为焦点在轴的双曲线；
当时，曲线为两条平行的垂直于轴的直线；
当时，曲线为焦点在轴的椭圆；
当时，曲线为一个圆；
当时，曲线为焦点在轴的椭圆。
3．解：椭圆的焦点为，设双曲线方程为
过点，则，得，而，
，双曲线方程为。
4．解：设抛物线的方程为，则消去得
，
则
（数学选修2-1） 第二章 圆锥曲线 [提高训练C组]
一、选择题
1．B 点到准线的距离即点到焦点的距离，得，过点所作的高也是中线
，代入到得，
2．D ，相减得
3．D 可以看做是点到准线的距离，当点运动到和点一样高时，取得最小值，即，代入得
4．A 且焦点在轴上，可设双曲线方程为过点
得
5．D 有两个不同的正根
则得
6．A ，且
在直线上，即
二、填空题
1． 可以证明且
而，则
即
2． 渐近线为，其中一条与与直线垂直，得
3．
得，当时，有两个相等的实数根，不合题意
当时，
4．
当时，显然符合条件；
当时，则
5． 直线为，设抛物线上的点
三、解答题
1．解：当时，，曲线为一个单位圆；
当时，，曲线为焦点在轴上的椭圆；
当时，，曲线为两条平行的垂直于轴的直线；
当时，，曲线为焦点在轴上的双曲线；
当时，，曲线为焦点在轴上的等轴双曲线。
2．解：双曲线的不妨设，则
，而
得
3．证明：设，则中点，得
得
即，的垂直平分线的斜率
的垂直平分线方程为
当时，
而，
4．解：设，的中点，
而相减得
即，
而在椭圆内部，则即。
（数学选修2-1） 第三章 空间向量 [基础训练A组]
一、选择题
1．D 而零向量与任何向量都平行
2．A 关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变
3．C
4．A ，，得为锐角；
，得为锐角；，得为锐角；所以为锐角三角形
5．C
，当时，取最小值
6．D
二、填空题
1． ，
2．垂直
3．若，则；若，则
4．
5．
6．
7．
8．
设
则，而另可设
，