浙江省嘉兴市2021届高三上学期期末考试数学试题 Word版含答案

嘉兴市2020—2021学年第一学期期末检测
高三数学 试题卷 （2021.1）
姓名 准考证号
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至3页；非选择题部分4至6页。满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：
若事件A，B互斥，则
若事件A，B相互独立，则
若事件A在一次试验中发生的概率是p，则次
独立重复试验中事件恰好发生次的概率
台体的体积公式
其中分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高．
柱体的体积公式
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高
锥体的体积公式
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高
球的表面积公式
球的体积公式
其中R表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知数列满足，且，则
A． B． C． D．
3．已知，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 　B．必要而不充分条件
C．充要条件 　　　D．既不充分也不必要条件
4．函数且的图象可能是

A． B． C． D．
5．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
6．已知实数满足条件，则的最大值是
A． B． 　C． 　　　D．
7．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，
则该几何体的体积（单位：cm3）是
　　A．
B．
C．
D．
8．男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是
A．576 B．432 　C．388 　　 D．216
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，为坐标原点，点是其右支上第一象限内的一点，直线分别交该双曲线左、右支于另两点，若，且，则该双曲线的离心率是
A． B．
C． D．
10．对任意，若不等式恒成立（为自然对数的底数），则正实数的取值范围是
A． B． C． D．
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
11．已知复数（为虚数单位），则 ▲ ， ▲ ．
12．已知抛物线的焦点为，准线方程为，点是抛物线上的一点，则实数 ▲ ， ▲ ．
13．已知△中，角所对的边分别为，，，且△的面积为，则 ▲ ； ▲ ．
14．已知．若，则 ▲ ；
▲ ．
15．已知平面向量与的夹角为，在上的投影是，且满足，
则 ▲ ．
16．甲乙两人进行局球赛，甲每局获胜的概率为，且各局的胜局相互独立．已知甲胜一局的奖金为元，设甲所获的奖金总额为元，则甲所获奖金总额的方差
▲ ．
17．如图，在多面体中，已知棱两两平行，底面，，四边形为矩形，，底面△内（包括边界）的动点满足与底面所成的角相等．记直线与底面的所成角为，则的取值范围是 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（本题满分14分）在△中,角所对的边分别为,已知函数
.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.
19．（本题满分15分）如图，四棱锥中，△为正三角形，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．
20．（本题满分15分）已知数列满足，，，.
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，记数列的前项和为，求证：．
21．（本题满分15分）已知中心在坐标原点的椭圆，其焦点分别为，，
点为椭圆上一点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与轴交于点，由点引另一直线交椭圆于两点．是否存在实数，使得直线的斜率成等差数列．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22．（本题满分15分）已知函数，，．
（Ⅰ）当时，曲线在处的切线与直线
平行，求函数在上的最大值（为自然对数的底数）；
（Ⅱ）当时，已知，证明：．
嘉兴市2020—2021学年第一学期期末检测（2021.1）
高三数学 参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．D； 2．A； 3．B； 4．C； 5．D；
6．C； 7．A； 8．B； 9．A； 10．B．
10．提示：
，令（由可知），
则，设，则即可，
易得，
①当时，，所以此时是增函数，
故，解得，又，所以；
②当时，则在上递减，在上递增，故，
，所以，设，
故即可，而，显然，即在上递减，又，而，所以，所以，又，因此．综上所述，或，即．
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）
11．； 12．8；4
13．1； 14．；0
15．； 16．60； 17．．
17．提示：连结，由题意易知即分别为与底面的所成角，故，可得，分别以作为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，而，可得，即点在以圆心，半径为的圆弧上运动（点在△内且包括边界）．⊙与坐标轴正半轴交于点，，连结，显然，又，，而，故．
三、解答题（本大题共5小题，共74分）
18．（本题满分14分）在△中,角所对的边分别为,已知函数
.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.
18．（Ⅰ）解法一：.
解法二：
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，因此函数的单调递增区间
满足，解得，
即函数的单调递增区间为.
19．（本题满分15分）如图，四棱锥中，△为正三角形，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.
19．（Ⅰ）

取中点，连结.因为，，故由平几及解三角形知识可知，，因此△为正三角形，故，又因为△也是正三角形，因此，又，所以平面，而平面，所以.
（Ⅱ）
方法一：

因为，所以与平面所成角即与平面所成角，记作.
由（Ⅰ）得平面，又平面，所以平面平面，
平面平面，故过点作平面，则垂足必在直线上，
此时，在正△中，，而，，
所以在△中，由余弦定理可得，所以，又，
所以，所以与平面所成角的正弦值为.
方法二：

由（Ⅰ）知平面，又平面，所以平面平面，
平面平面.故过点作直线，则平面，
又，故可如图建立空间直角坐标系.又，，，，可求得各点坐标：，，，，
设平面的一个法向量为，则，即，
故，令，故，又，
记与平面所成角为，则.
又因为，故与平面所成角的正弦值为.
20．（本题满分15分）已知数列满足，，，.
（Ⅰ）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，记数列的前项和为，求证：．
20．（Ⅰ）当时，因为，，
所以，故（常数），
所以数列为首项为，公差为的等差数列．
又，，所以，解得．
（Ⅱ）因为，所以．
所以
，
即，显然．另一方面，
，
故数列是递增数列，所以，因此，．
21．（本题满分15分）已知中心在坐标原点的椭圆，其焦点分别为，，
点为椭圆上一点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与轴交于点，由点引另一直线交椭圆于两点．是否存在实数，使得直线的斜率成等差数列．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21．（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可求得，.
由椭圆定义可知，所以，而，故，
故所求椭圆的方程为.
（Ⅱ）假设存在实数，使得直线的斜率成等差数列，即满足.
① 当直线的斜率为零时，此时直线与椭圆的交点是椭圆长轴的端点，
不妨设，，此时，，，
由于，故，解得.
②当直线斜率不为零时，可设直线的方程为.
，满足方程组，
整理得，
，故
而，，，又，
故，
整理得，
将代入上式可得，整理得，对于任意该等式恒成立，
故，解得.
综合①②，可知存在实数，使得直线的斜率成等差数列.
22．（本题满分15分）已知函数，，．
（Ⅰ）当时，曲线在处的切线与直线
平行，求函数在上的最大值（为自然对数的底数）；
（Ⅱ）当时，已知，证明：．
22．（Ⅰ）当时，，因此，而曲线在处的切线与直线平行，故，解得．
所以，，
故当时，，即函数在上递减，
当时，，即函数在上递增，
所以，而，，
故，即，
所以函数在上的最大值为．
（Ⅱ）当时，，，由于，
故要证明成立．
证明成立证明成立，
证明成立．令，因为，则，
即只需证明成立
证明即可，下面证明该不等式成立．
设，求得，
因为，所以，
所以当时，，
因此函数是上的增函数，故，
这就证明了当时，恒成立，故原命题成立．